khai thác autograph hỗ trợ dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

1
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

STT Viết tắt Viết đầy đủ
1 CNTT Công nghệ thông tin
2 GV Giáo viên
3 HS Học sinh
4 GD&ĐT Giáo dục và đào tạo
5 SGK Sách giáo khoa
6 SBT Sách bài tập
7 PPDH Phương pháp dạy học
8 THPT Trung học phổ thông
9 MTĐT Máy tính điện tử
10 PMDH Phần mềm dạy học

2
MỤC LỤC

Nội dung Trang
MỞ ĐẦU 1
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
4
1.1. Bối cảnh chung về tác động toàn diện của CNTT tới sự phát triển
của xã hội
4
1.2. Nhà trường hiện đại trong bối cảnh phát triển như vũ bão của
CNTT
5
1.2.1. CNTT nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục 5
1.2.2. CNTT góp phần đổi mới nội dung phương pháp dạy học 5
1.2.3. CNTT góp phần đổi mới công tác kiểm tra đánh giá 9
1.2.4. Nhận định chung 10
1.3. Ứng dụng CNTT trong các nhà trường ở Việt nam 10
1.3.1. Quan điểm chỉ đạo về việc ứng dụng CNTT trong nhà trường 10
1.3.2. Định hướng về việc đưa CNTT vào nhà trường ở Việt Nam 10
1.4. Ứng dụng CNTT trong dạy học Toán 12
1.4.1. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán 12
1.4.2. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán và vấn đề đổi mới trong hệ
thống phương pháp dạy học môn toán.

15
1.5. Phần mềm dạy học (PMDH). 21
1.5.1. Phần mềm 21
1.5.2. Phần mềm dạy học 22
1.5.3. PMDH thông minh 24
1.6. Quan điểm hoạt động trong dạy học 24
1.6.1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực
và sáng tạo của hoạt động học tập
25
1.6.2. Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và
kiến thức sẵn có của người học
26
1.6.3. Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học 26
1.6.4. Dạy tự học trong quá trình dạy học 27
1.6.5. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ 28


3
thác, điều khiển và thể chế hóa
1.7. Thực trạng việc ứng dụng CNTT vào dạy học bộ môn Toán bậc
THPT ở địa bàn tỉnh Lai Châu.
29
Kết luận chương 1 30
Chương 2: Khai thác phần mềm AutoGraph trong dạy học Toán ở trường
THPT
31
2.1. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học nội dung hàm số liên tục 31
2.1.1. Những thuận lợi, khó khăn của giáo viên và học sinh khi học tập
và giảng dạy nội dung hàm số liên tục
31

2.1.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ các hoạt động để dạy học nội dung
hàm số liên tục
32
2.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học nội dung đạo hàm và ứng
dụng của đạo hàm
41
2.2.1. Những khó khăn khi giảng dạy và học tập nội dung đạo hàm và
ứng dụng của đạo hàm
41
2.2.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ các hoạt động để dạy học nội dung
đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
42
2.3. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học một số bài toán quỹ tích 69
2.4. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học một số bài toán về phương
trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa
tham số
79
2.5. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng
91
Kết luận chương 2 99
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
100
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 100
3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm. 100
3.3. Nội dung thực nghiệm 101
3.4. Triển khai thực nghiệm sư phạm 101
3.5. Kết quả thực nghiệm 102
3.5.1. Nhận xét về mặt định tính 102
3.5.2. Đánh giá theo góc độ định lượng 102

4
Kết luận chương 3 107
KẾT LUẬN 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO 109
PHỤ LỤC 112

5
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng
tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn
lên” (Luật giáo dục 2005, chương I, điều 4).
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của HS” (Luật giáo dục 2005,
chương I, điều 24)
Chỉ thị số 29/2001/CT - Bộ GD&ĐT chỉ ra: đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin trong giáo dục và đào tạo ở tất cả các cấp học, ngành học theo hướng sử
dụng công nghệ thông tin như một công cụ hỗ trợ đắc lực nhất cho đổi mới phương
pháp giảng dạy, học tập ở tất các các môn.
Năm học 2012 – 2013, Sở GD&ĐT Lai Châu đã xác định cần phải đẩy
mạnh việc ứng dụng CNTT trong quản lý và đổi mới PPDH. Tuyên truyền để GV
xác định CNTT là phương tiện hỗ trợ, nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
Khuyến khích GV chủ động tự soạn giáo án, bài giảng và tài liệu giảng dạy để
ứng dụng CNTT trong các môn học. GV các môn học tự triển khai việc tích hợp,
lồng ghép việc sử dụng các công cụ CNTT vào quá trình dạy các môn học của
mình nhằm tăng cường hiệu quả dạy học qua các phương tiện nghe nhìn, kích
thích sự sáng tạo và độc lập suy nghĩ, tăng cường khả năng tự học, tự tìm tòi của
người học.
Từ những định hướng trên, thấy rằng việc ứng dụng CNTT và các PPDH

hiện đại vào hoạt động dạy học là một hướng đang nhận được sự quan tâm của
Đảng, Nhà nước và của toàn xã hội. Việc đổi mới PPDH theo hướng trên sẽ góp
phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, đặc biệt là giáo dục và đào tạo phổ
thông.
Với những lý do trên và qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT,
chúng tôi nhận thấy việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy là hết sức cần thiết. Vì
vậy đề tài được chọn là: “KHAI THÁC AUTOGRAPH HỖ TRỢ DẠY HỌC NỘI
DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM”


6
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi nghiên cứu :
- Một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 và Giải tích 12 về vấn đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Một số bài toán nâng cao trong các tài liệu luyện thi Đại học.
2. Đối tượng nghiên cứu
- Vận dụng phần mềm AutoGraph vào thiết kế một số hoạt động hỗ trợ dạy
học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Xây dựng phương án ứng dụng CNTT vào dạy học một số chủ đề môn
Toán ở trường THPT nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy.
IV. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sử dụng phần mềm Autograph là phần mềm được thiết kế chuyên dụng
dành cho GV giảng dạy môn Toán trên lớp học để thiết kế một số hoạt động hỗ
trợ dạy và học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Điều này tạo nên sự
khác biệt so với hầu hết các phần mềm tương tự khác ở chỗ các phần mềm tương
tự khác đều được thiết kế cho người sử dụng vừa là GV vừa là HS.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Nằm trong xu thế phát triển như vũ bão của CNTT, ngành giáo dục đã có
những thay đổi sâu sắc, toàn diện dưới tác động của CNTT. CNTT và truyền
thông ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhà trường là do những ưu điểm về
mặt kỹ thuật và tiềm năng về mặt sư phạm của nó.
1. CNTT nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục
Vai trò của CNTT trong việc nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục đã được
các chuyên gia về quản lý giáo dục khẳng định. CNTT tạo ra một cuộc cách mạng
trong quản lý giáo dục nó làm thay đổi căn bản phương thức điều hành và quản lý
giáo dục. Đó là công nghệ quản lý giáo dục (Education Management
Technology).
2. CNTT góp phần đổi mới nội dung phương pháp dạy học
Những thành tựu của CNTT có thể khai thác trong dạy học


7
- Kỹ thuật đồ họa 2 chiều, 3 chiều trên máy tính dùng để thiết kế các thí
nghiệm ảo trong vật lý, hoá học, sinh học …
- Công nghệ đa phương tiện (multimedia) với các chuẩn nén dữ liệu MP3,
MP4, các phương pháp xử lý âm thanh, đồ hoạ tiên tiến cho phép tích hợp nhiều
dạng dữ liệu như văn bản, biểu đồ, âm thanh, hình ảnh, video vào bài giảng
nhằm hỗ trợ tối đa khả năng tiếp thu kiến thức của người học.
- Sự phát triển của công nghiệp phần mềm đã cung cấp hàng loạt các
PMDH, PMDH thông minh, các phần mềm công cụ với giao diện hết sức “thân
thiện” hỗ trợ GV và HS trong dạy và học.
* CNTT tạo ra một môi trường dạy học mới
CNTT đã tạo ra một môi trường dạy học hoàn toàn mới, khắc phục được
các nhược điểm của môi trường học truyền thống:
- Tài nguyên học tập phong phú hơn: xuất hiện các “Sách giáo khoa” điện
tử dưới dạng CD-ROM, DVD,… với khả năng lưu trữ hầu hết các dạng thông tin
của loài người nhờ công nghệ số hoá.

- CNTT giúp tạo ra những kênh thông tin đa dạng, phong phú tác động đến
tất cả các giác quan của người học nhằm kích thích hứng thú học tập cho HS.
CNTT còn tạo ra một môi trường thuận lợi chưa từng có để tổ chức các hoạt động
học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức và kỹ năng cho HS, trong đó việc xử lý
thông tin một phần được thực hiện nhờ MTĐT, vì vậy công nghệ và MTĐT đã
trở thành một bộ phận của bài học.
-Với các phần mềm vi thế giới, HS có thể tạo ra, tác động lên các đối tượng
để từ đó tìm tòi, phát hiện ra quy luật của các đối tượng hoặc sử dụng quan sát các
thí nghiệm ảo về sinh vật, hoá học, vật lý để rút ra được các nhận xét, kết luận
khoa học. Việc sử dụng CNTT để thực hiện các thí nghiệm ảo đã giúp nhà trường
tránh được những thí nghiệm nguy hiểm, vượt quá hạn chế về thời gian, không
gian hoặc chi phí- Đây là vấn đề khác biệt, vượt trội so với việc chỉ sử dụng các
phương tiện, đồ dùng dạy học truyền thống.
- Sự ra đời của Internet tạo ra một môi trường học tập mới. Việc tương tác
đa chiều giữa giảng viên, học viên, chuyên gia, việc trao đổi thông tin giữa GV và
HS, giữa HS với HS, giữa gia đình và nhà trường được thực hiện qua mạng và
Internet.
- Việc ứng dụng CNTT đã tạo ra khả năng xây dựng môi trường hoạt động
lý tưởng cho HS. Trong môi trường này HS là chủ thể của quá trình dạy học, tự


8
làm việc, tự phát hiện, tự kiểm tra đánh giá. HS rất hứng thú khi được học tập với
MTĐT vì vậy hiệu quả cao hơn hẳn việc học tập theo phương pháp truyền thống.
* CNTT góp phần đổi mới việc dạy
- CNTT hỗ trợ người GV gia tăng giá trị lượng thông tin đến HS, hình
thành nhiều kênh trao đổi thông tin hai chiều giữa GV và HS.
- CNTT đưa ra nhiều lựa chọn để GV chuẩn bị bài giảng và tiến hành lên
lớp sau cho phát huy cao nhất tính tích cực chủ động của HS.
- CNTT cho phép GV thực hiện việc phân hoá cao trong dạy học.

- CNTT không chỉ hỗ trợ GV dạy học trên lớp mà còn đưa ra nhiều hình
thức dạy học mới như dạy học trên cơ sở mạng LAN, mạng WAN và Internet, dạy
học, kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS từ xa
* CNTT góp phần đổi mới việc học, đặc biệt chú trọng việc tự học của HS
- CNTT tạo ra môi trường tương tác để người học hoạt động và thích nghi
với môi trường, nó tạo điều kiện cho người học hoạt động độc lập với mức độ
cao.
- Thành tựu của CNTT sẽ dẫn đến khả năng thực hiện phân hoá cao trong
quá trình giáo dục. CNTT đã hỗ trợ tối đa HS vươn lên trong quá trình học tập.
HS nhận được sự giúp đỡ, khuyến khích do MTĐT đưa ra vì vậy có điều kiện
phát triển kịp thời trong mọi thời điểm của cả quá trình học tập.
3. CNTT góp phần đổi mới công tác kiểm tra đánh giá
Ta có thể khai thác CNTT trong các công đoạn: biên soạn đề, kiểm tra tính
đúng đắn của đáp án, tổ chức và đánh giá kết quả kiểm tra…
4. Nhận định chung
Khi đưa CNTT vào quá trình dạy học sẽ có sự thay đổi lớn, nó tạo ra một
cuộc cách mạng trong giáo dục và do đó sẽ tạo ra những thay đổi lớn trong
PPDH.
5. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán
* Điều chỉnh quá trình dạy học toán dựa trên thông tin ngược
MTĐT có khả năng cung cấp nhanh và chính xác các thông tin phản hồi
một cách khách quan, những thông tin phản hồi như vậy sẽ giúp GV, HS một
cách hiệu quả trong quá trình dạy học toán.
Trong quá trình dạy và học toán, GV, HS có thể đưa ra các dự đoán, giả
thuyết của riêng mình và nhờ MTĐT thử nghiệm những dự đoán đó. Trên cơ sở
thông tin phản hồi do MTĐT đưa ra ta có thể tiếp tục phát triển hoặc điều chỉnh,
thay đổi những giả thuyết chưa chính xác.


9

* Sử dụng MTĐT xây dựng các mô hình trực quan để sử dụng trong quá
trình dạy học toán
Để nghiên cứu một đối tượng toán học nào đó trước hết người ta tìm cách
xây dựng một vài mô hình tương ứng với các trường hợp cụ thể. Trên cơ sở các
kết quả làm việc với mô hình sẽ cho phép ta đi đến việc chứng minh hoặc lời giải
trong trường hợp tổng quát. So với các phương tiện đồ dùng dạy học truyền thống
thì MTĐT có khả năng giúp ta thể hiện các đối tượng toán học trong thế giới thực
bởi các mô hình trên giao diện đồ hoạ 2 chiều, 3 chiều. CNTT là công cụ tự nhiên
để diễn tả các mô hình toán học. Máy tính có thể giúp đỡ HS phát triển ý tưởng,
đưa ra cách tiếp cận hướng giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên
cứu các mô hình toán học. Điều này giúp GV trình bày các vấn đề của toán học rõ
ràng, sinh động và khám phá vấn đề từ những cái phức tạp trong cuộc sống để thu
cô đọng lại những gì tinh tế, sâu sắc rồi kết nối chúng lại để xây dựng các mô
hình toán học
* Sử dụng MTĐT và phần mềm toán học để phát hiện các, tính chất, các
mối quan hệ trong toán học
Ngoài việc đưa ra một mô hình trực quan, MTĐT còn hỗ trợ ta quan sát,
khám phá, xử lý các mô hình đó một cách thuận tiện bằng cách cho thay đổi một
vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại. Qua việc
quan sát và thu nhận thông tin phản hồi do MTĐT đưa ra sẽ giúp ta phát hiện ra
các tính chất của đối tượng toán học cũng như mối quan hệ giữa các đại lượng
toán học với nhau.
Các chuyên gia về giáo dục đã nhấn mạnh vai trò của CNTT trong việc hỗ
trợ HS tự khám phá và phát hiện vấn đề trong quá trình học toán và thông qua quá
trình này HS có điều kiện rèn luyện phương pháp nghiên cứu trong học tập, năng
lực tư duy sáng tạo.
* Dạy và học toán với các phần mềm động
Người học có thể sử dụng các phần mềm toán chuyên dụng trên MTĐT để
biểu diễn các biểu đồ, hình vẽ một cách sinh động. Mặt khác, chỉ cần một vài thao
tác đơn giản với chuột, ta có thể có được hình ảnh về đối tượng cần nghiên cứu

dưới các góc độ khác nhau, thậm chí có thể cho một vài yếu tố của đối tượng toán
học biến đổi liên tục một cách tự động. Với các phần mềm động này, người học
dễ dàng hình dung ra các hình hình học một cách trực quan trên cơ sở hình ảnh
được máy tính mô tả.
* Dạy học toán với máy tính


10
- Nếu sử dụng CNTT một cách hợp lý thì sẽ đạt được các kết quả sau:
+ Những đối tượng và quan hệ toán học không còn xa lạ và khó đối với số
đông HS.
+ Khai thác CNTT trong dạy học toán có thể làm tăng tỷ lệ HS khá, giỏi về
toán và giảm tỷ lệ HS yếu so với dạy học truyền thống.
+ GV có điều kiện giúp được hầu hết HS rèn luyện tốt năng lực sáng tạo,
rèn luyện phương pháp nghiên cứu trong học tập.
6. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán và vấn đề đổi mới trong hệ thống
PPDH môn Toán
CNTT đã góp phần đổi mới PPDH Toán trong nhà trường phổ thông với
những nội dung cơ bản sau:
- CNTT đã tạo ra môi trường thuận lợi nhất chưa từng có để đạt được mục
đích là HS học toán một cách tích cực, chủ động, trong quá trình tự mình giải
quyết vấn đề, trên cơ sở đó phát triển tư duy sáng tạo và phát triển tự học.
- CNTT đã khắc phục được việc dạy – học đơn thuần là truyền thụ một
chiều, HS thụ động tiếp thu và tái hiện một cách máy móc.
- CNTT đã giúp hướng tới việc khuyến khích HS ngoài việc tích luỹ kiến
thức thì chú trọng đến phát triển năng lực mà chủ yếu là năng lực giải quyết vấn
đề.
- CNTT đã tạo ra các hình thức dạy học phong phú, hiệu quả.
- Việc sử dụng CNTT đã góp phần nâng cao ý thức và hiệu quả của việc sử
dụng phương tiện dạy học.

- Với những dịch vụ phong phú mà CNTT cung cấp, người GV có điều
kiện để lựa chọn PPDH theo nội dung, sở trường, đối tượng HS, sao cho tối ưu
nhất.
7. Giới thiệu tổng quan về phần mềm AutoGraph
Autograph là phần mềm hỗ trợ học tập và giảng dạy Toán do một nhóm các
giáo viên và chuyên gia tin học Anh quốc thiết lập từ năm 2000. Phần mềm này
đã được rất nhiều giải thưởng là phần mềm dùng trong nhà trường tốt nhất tại
nước Anh và nhiều quốc gia EU khác. Autograph được thiết kế chuyên dụng cho
giáo viên giảng dạy môn Toán trên lớp học kết hợp với máy chiếu (projector).
Phần mềm hỗ trợ giảng dạy môn Toán phần Đại số (đặc biệt là đồ thị và hình học
giải tích trên mặt phẳng và không gian), Xác suất thống kê, bao phủ hầu hết các
module kiến thức môn Toán từ các khối lớp THCS đến THPT và các năm đầu của
chương trình đại học. Các đặc điểm nổi bật nhất của phần mềm là:


11
- Khả năng thể hiện các đồ thị hàm số đẹp với nhiều tuỳ biến động cho các
tham số.
- Có khả năng tạo các hiệu ứng animation tự động hoặc bằng tay ngay trên
màn hình rất sinh động.
- Thực hiện được hầu hết các tính toán tự động với đồ thị hàm số như tiếp
tuyến, tiệm cận, giao cắt, tích phân, đạo hàm.
- Trên mặt phẳng (hoặc không gian) tọa độ có thể thực hiện được rất nhiều
các thao tác hình học như tạo điểm, đường tròn, vector, đa giác, các phép biến đổi
trên các đối tượng hình học này.
- Khả năng cho phép người dùng (giáo viên) vẽ (viết) trực tiếp trên màn
hình tương tự như đang làm việc với một bảng đen trong lớp học.
Tất cả các chức năng trên đã tạo cho Autograph trở thành một công cụ lý
tưởng cho việc giảng dạy môn Toán trên lớp học. Với phần mềm này các tiết học
và dạy Toán trên lớp sẽ trở nên sinh động, đẹp mắt, chính xác.

Một điều nữa cần nhắc lại và nhấn mạnh là Autograph là phần mềm được
thiết kế chuyên dụng dành cho GV giảng dạy môn Toán trên lớp học. Điều này
tạo nên sự khác biệt so với hầu hết các phần mềm tương tự khác ở chỗ: các phần
mềm tương tự khác đều được thiết kế cho người sử dụng vừa là GV vừa là HS.
8. Thực trạng việc ứng dụng CNTT vào dạy học bộ môn Toán bậc THPT ở
địa bàn tỉnh Lai Châu
- Cơ sở vật chất đã được trang bị tương đối đầy đủ ( trừ một số trường mới
thành lập) đảm bảo cho GV và HS có môi trường học tương đối tốt.
- Đa số các GV đều đã được tiếp cận và biết sử dụng một số phần mềm dạy
học như Cabri, Graph, Sketchpad, Maple.
- Việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy đã lác đác được thực hiện ở một số
trường có truyền thống học tập như trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, THPT số
1 Than Uyên, … Tuy nhiên, các đa phần các GV mới chỉ dừng lại ở việc khai thác
phần mềm để hỗ trợ vẽ hình phục vụ cho soạn giáo án. Đa số các GV đều ngại sử
dụng giáo án điện tử và phần mềm hỗ trợ vì việc soạn bài tương đối mất thời gian
và kỹ năng sử dụng máy tính còn chưa tốt. Chỉ có các tiết thao giảng mới có một
số giáo viên dùng giáo án điện tử và có sử dụng các phần mềm để hỗ trợ giảng
dạy.
Kết luận: Qua tìm hiểu các ưu thế của CNTT ta thấy hoàn toàn có đủ cơ sở
để ứng dụng CNTT hỗ trợ các hoạt động dạy và học toán ở trường THPT nói
riêng và đối với mọi cấp học nói chung.


12
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Trong thực tế các năm học khi tham gia giảng dạy và hướng dẫn học sinh học
tập phần đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bản thân tôi nhận thấy còn có những khó
khăn sau:
- HS gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu bản chất của định nghĩa tiếp tuyến của
đường cong, ý nghĩa hình học của đạo hàm. Vì vậy đối với dạng toán viết phương trình

tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho cũng gặp nhiều khó khăn.
- Không lưu ý đến các tính chất đặc biệt của một hàm số để vẽ chính xác đồ thị:
chẳng hạn đối với hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn ( tức là điểm có hoành độ
là nghiệm của phương trình
'' 0
y

), hàm số bậc 4 trùng phương có trục đối xứng là trục
tung.
- Ít chú ý đến độ dốc của các nhánh của đường cong. Đa số HS khi vẽ những
cung đặc biệt ( có cực trị, có cung lồi, lõm, có điểm uốn…) thì phần kéo dài của các
cung ở phần ngoài thường vẽ tùy tiện.
- Thiếu thận trọng khi điền các dữ liệu vào bảng biến thiên, đặc biệt là phần điền
các kết quả giới hạn
- Kỹ năng tìm tiệm cận xiên còn chưa tốt.
- Khi giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số như biện luận theo tham số
số nghiệm phương trình, viết phương trình tiếp tuyến, tính diện tích hình phẳng, tính thể
tích khối tròn xoay … nếu có hình vẽ động thì việc tiếp thu kiến thức của HS sẽ tốt hơn.
2. Nguyên nhân của thực trạng trên:
- Tư duy trực quan trừu tượng của HS còn chưa tốt;
- Đặc thù của môn Toán là “khô khan”, “logic”, “trừu tượng”, thiếu tính sinh
động và hấp dẫn nên học sinh ít có hứng thú trong giờ học môn toán, đặc biệt là đối với
đối tượng học sinh yếu.
- Ở phần ứng dụng của đạo hàm, SGK chương trình mới đã bỏ phần tính lồi lõm,
điểm uốn của đồ thị nên HS gặp rất nhiều khó khăn khi hiểu các khái niệm tiếp tuyến
của đồ thị, khái niệm tiệm cận và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba đặc biệt là đối với những
đồ thị hàm số bậc ba ở dạng đơn điệu hoàn toàn.
- Ở phần tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, HS cần phải có tư
duy trừu tượng cao mới có thể hiểu được bản chất thực sự của vấn đề…
III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Với những sự trợ giúp của phần mềm Autograph, những khó khăn ở trên có thể
khắc phục được nhờ vào tính năng ưu việt như tính động; trực quan; có thể tính diện tích
hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, có thể vẽ được đồ thị của đạo hàm, xác định tọa độ
các điểm cực trị…. Sau đây là một số ví dụ về việc vận dụng AutoGraph vào thiết kế
một số hoạt động dạy học đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm:


13

Ví dụ 1: Trong phần đạo hàm, để giúp HS hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học của đạo hàm,
với sự trợ giúp của AutoGraph, GV thực hiện hoạt động sau:
Cho hàm số
3
y x

có đồ thị (C), M (1 ; 1) là điểm thuộc (C), N là điểm thay đổi trên
(C).
a. Dựng cát tuyến MN.
b. Khi N

M, hãy quan sát và nhận xét gì về hệ số góc k của cát tuyến MN và
so sánh k với


'
M
y x
.
Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau:
GV: Tính



'
M
y x
=?
HS:


'
M
y x
= 3
GV mở phần mềm
AutoGraph, thực hiện thao tác
vẽ đồ thị của hàm số
3
y x

;
xác định điểm M có hoành độ
bằng 1 và điểm N bất kỳ trên
đồ thị (C); dựng đường thẳng
MN.
GV thay đổi hoành độ của N bằng
công cụ View\Animate Object và yêu cầu
HS quan sát sự thay đổi của cát tuyến MN trên màn hình. Chọn View\Status Box, hộp
thoại Status Box hiện ra cho phép ta thấy được sự thay đổi của hệ số góc k.
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi nào thì cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến
của đồ thị (C)?

HS: Khi M dần tới N thì cát tuyến MN cũng thay đổi vị trí. Khi M

N thì cát tuyến MN
trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C).
GV: Quan sát trên màn hình, cho biết MN có phương trình là gì? Từ đó cho biết hệ số
góc của MN?
HS: MN có phương trình là
3 2
y x
 
, tức là MN có hệ số góc
3 '(1)
k y
 

GV: Cho biết mối quan hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
y x

tại
điểm M và đạo hàm của hàm số đó?
HS: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M là đạo hàm của hàm số
3
y x

tại
M
x
.
GV: Phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Hình 1


14
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
1
y x kx k
   
có đồ thị là (C
k
), k là tham số.
1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C
-3
) với k = -3.
Với k = -3, ta có
3
3 2
y x x
  

HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
GV dùng Auto Graph để vẽ đồ thị hàm số: nhập hàm số
3
1
y x kx k
   
và chọn k = -3. Ta được đồ thị (C

-3
) ( Hình 2)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành.
*Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên.
GV: Từ đồ thị (C
-3
), cho biết phần hình phẳng cần tính diện tích?
HS: Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện tích.
GV: Yêu cầu học sinh tính diện tích hình phẳng đó.
HS: Tính toán và được kết quả
27
4
S 

* Hoạt động 2: GV minh họa kết quả bài toán bằng AutoGraph
+ Thực hiện thao tác xác định giao điểm của (C
-3
) và trục hoành. Trong hộp Results Box
có thể thấy tọa độ hai điểm đó là (-1; 0) và (2; 0 )
+ Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành: Chọn (C
-3
) và kích
chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện, ta chọn chức năng
Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Ta nhập: Start Point: -1 End Point: 2
Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích (Hình 3)
và trong hộp Result Box cho ta kết quả -6.75

Chú ý: Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm phía dưới trục hoành nên diện
tích cần tìm là 6,75. Đây là một trong những hạn chế của AutoGraph, vì vậy GV và HS
trong khi dạy và học không nên phụ thuộc quá nhiều vào phần mềm.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C
-3
) biết tiếp tuyến đi qua điểm


1; 5
A


*Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
GV: Yêu cầu HS nhắc lại phương pháp giải bài tập dạng viết phương
trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y f x

biết tiếp tuyến đi qua
điểm


0 0
;
A x y

GV: Phương trình đường thẳng qua


1; 5

A

có dạng như thế nào?
HS: Đường thẳng qua


1; 5
A

có phương trình dạng:
5 ( 1)
y m x
  

hay
- - 5
y mx m

với m là hệ số góc.
GV: Để đường thẳng trên là tiếp tuyến của (C
-3
) thì cần điều kiện gì?
HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:
Hình 3
Hình 2
Hình 4


15
3

2
3
3 2 5 0
2
v
3 15
3 3
4
x
x x mx m x
m
x m
m




     

 

  
 
 









Với
3
m
 
ta có tiếp tuyến cần tìm là:
3 2
y x
  

Với
15
4
m

tiếp tuyến cần tìm là
15 35
4 4
y x
 

*Hoạt động 2 : GV minh họa bài toán trên bằng Auto Graph
+ Trong hộp thoại Constant Controller chọn
3
k
 
để xác định đồ thị
(C
-3

)
+ Xác định điểm


1; 5
A

trên mặt phẳng tọa độ.
+ Chọn Enter Equation và nhập phương trình
- - 5
y mx m


+ Chọn View\Constart Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Ta chọn
3
k
 
để xác định (C
-3
), chọn m để xác định cát tuyến AM.
+ GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào
của m thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến.
HS: Với
15
4
m

(Hình 4) và
3
m

 
(Hình 5) cát tuyến trở thành tiếp tuyến đúng với
kết quả đã tìm ra ở phần đầu.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3 0
x x m
  
(*)
Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau:
GV: Dựa vào đâu để biện luận theo
m
số nghiệm của (*)
HS: Biến đổi phương trình (*)
3
3 (**)
x x m   
; khi đó số nghiệm của (*)
chính là số nghiệm của (**). Số nghiệm của (**) là số giao điểm của trục hoành và đồ
thị (C).
GV: Như vậy số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm
số
3
3
y x x
 
và đường thẳng ():
y m
 

GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số
3
3
y x x
 
và
y m
 

+ Xác định giao điểm của (C) và ().
+ GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng View\Constart Controller và yêu cầu
HS quan sát, nhận xét vị trí tương đối của () và đồ thị (C) ứng với sự thay đổi của m
(Hình 6)


Hình 5


16










GV: Dựa vào đó kết quả trên, hãy biện luận số nghiệm của (*)?

HS: + Với
2
m
 
hoặc
2
m

thì (*) có một nghiệm duy nhất
+ Với
2
m
 
hoặc
2
m

thì (*) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép
+ Với
2 2
m
  
thì (*) có ba nghiệm phân biệt.
5. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
3
3 0
x x m
  
(*)
Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau:

GV: Để xác định số nghiệm của (*), ta sử dụng phương pháp đồ thị giống như ví trên.
Vậy ta cần phải làm những gì?
HS: B1: Chuyển (*) về dạng
3
3 (**)
x x m  
.
B2: Vẽ đồ thị các hàm số
3
3
y x x
 
và
y m
 

B3: Dựa vào đồ thị hai hàm số trên để chỉ ra số nghiệm (**).
GV: Quy trình vẽ đồ thị hàm số


y f x

khi đã biết đồ thị hàm số
( )
y f x

?
HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.
GV: Tuy nhiên, ở đây ta có thể rút ngắn được thời gian vẽ đồ thị



y f x

bằng cách
sử dụng AutoGraph. Việc vẽ đồ thị đó HS về nhà tự thực hiện.
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số
3
3
y x x
 
;

y m
 
; đặt tên cho hai đồ thị hàm số trên lần lượt là (C) và
(d). Xác định giao điểm của (C) và (d).
+ GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng
View\Constart Controller. và yêu cầu HS quan sát, nhận xét
các vị trí tương đối của (C) và (d).
GV: Dựa vào các nhận xét ở trên, nêu kết luận của bài toán?
HS: Với
0 2
m
 
thì phương trình
3
3 0
x x m
  
có 4 nghiệm phân biệt.

6. Tìm các giá trị của k để (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d):
1
y x
 
.
Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
Hình 6
Hình 7
m > 2
m = 2
-2 < m < 2
m = - 2
m < -2
2



17
GV: (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d):
1
y x
 
khi nào?
HS: Khi (d) là tiếp tuyến của (C).
GV: Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)?
HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:

3
2
1 1
3 1
x kx k x
x k

    


 



GV: Giải hệ trên?
HS thực hiện giải hệ trên, tìm được
1
; 2
4
k k
  

* Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph
+ GV mở một trang Auto Graph và vẽ đồ thị các hàm số
3
1
y x kx k
   
(C
k

);
1
y x
 
(d). Xác định giao điểm của (C
k
) và (d).
GV thay đổi các giá trị của k bằng chức năng View\Constart Controller. Yêu cầu HS
quan sát và cho nhận xét vị trí tương đối của (C
k
) và (d). Từ đó HS rút ra kết luận của
bài toán.
HS: (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d) khi
2
k
 
(hình 8) và
1
4
k

(hình 9)

7. Tìm k để (C
k
) có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm cực đại và cực tiểu đó
* Hoạt động 1: Tìm k để (C
k
) có cực đại và cực tiểu.
GV: (C
k
) có cực đại và cực tiểu khi nào?
HS: Khi
2
' 3 0
y x k
  
phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là
0
k


* Hoạt động 2: GV sử dụng Auto Graph để minh họa:
+ Dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
3
1
y x kx k
   
(C
k
)

+Xác định điểm cực trị trên (C
k
): Dùng chức năng View\Constart Controller và thay
đổi k để nhận được (C
k
) có cực trị
+ Kích chuột phải vào (C
k
) và chọn Solve f’(x)=0. Lúc này trên (C
k
) sẽ xuất hiện hai
điểm cực trị. Xác định tọa độ các điểm cực trị bằng cách: kích chuột phải vào một điểm
Hình 8


Hình 9




18
cực trị bất kỳ rồi chọn Text box. Hộp thoại Edit TextBox hiện ra và bấm OK. Lúc này
Auto Graph cho ta tọa độ của hai điểm cực trị trên màn hình. ( Hình 10)
+ GV thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát sự thay đổi trên màn hình.
GV: Với giá trị nào của k thì (C
k
) có hai cực trị?
HS: Với
0

k

thì (C
k
) có hai cực trị.
* Hoạt động 3: Khi
0
k

, hàm số có cực đại và
cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị đó:
GV: Phương pháp để viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đối với hàm số bậc ba?
HS: Nhắc lại phương pháp đã được học và thực hiện giải toán theo phương pháp đã biết.
+ Chia y cho y’ta được:
 
2
1 2 1 2
' 1 3 1
3 3 3 3
y xy kx k x x k kx k
        

+ Giả sử các điểm cực trị có tọa độ là




1 1 2 2

; , ;
x y x y
khi đó ta có

1
1 1
1 1 1 1
'( ) 0
2
1
1 2
3
'( ) 1
3 3
y x
y kx k
y x y x kx k



   

   



và
2
2 2
2 2 2 2

'( ) 0
2
1
1 2
3
'( ) 1
3 3
y x
y kx k
y x y x kx k



   

   



Từ đó ta thấy tọa độ hai điểm cực trị thỏa mãn phương trình đường thẳng
2
1
3
y kx k
  
. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
1
3
y kx k

  

GV minh họa bằng AutoGraph như sau:
+ Vẽ đồ thị hàm số:
2
1
3
y kx k
  
bằng AutoGraph
+ Thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát màn hình.
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết với giá trị nào của k thì đồ thị (C
k
) có hai cực
trị và đường thẳng
2
1
3
y kx k
  
có vị trí như thế nào đối với hai điểm cực trị?
Hình 10
Hình 11


19
HS: Với
0
k


thì (C
k
) có hai điểm cực trị và đường thẳng
2
1
3
y kx k
  
luôn đi qua
hai điểm đó.
8. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
k
)
GV: Phương pháp tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số
( , )
f x m
với
m
là tham số?
HS: Nhắc lại phương pháp giải đã biết và thực hành giải được kết quả .
Vậy tọa độ điểm cố định là:


1;0
A 

GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto Graph:
+ Mở một trang Auto Graph mới và vẽ đồ thị hàm số
3

1
y x kx k
   

+ Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart
Controller xuất hiện. Ta chọn Option, hộp thoại Edit Constant
Options xuất hiện. Ta chọn Family Plot và trong Comma
Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng
với các giá trị k đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận được là hình 12
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy nhận xét về điểm cố định của họ đồ thị (C
k
)?
HS: Điểm cố định của họ đồ thị (C
k
) là điểm (-1; 0).

Ví dụ 3: Cho hàm số
4 2
2
y x mx m
   
có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C
-2
) với m = -2
Với m =-2 ta có:
4 2
2

y x x
 
. HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị (C
-2
)
GV: Kiểm tra lại tính chính xác bằng AutoGraph.
2. Tìm a để phương trình
4 2
2 log
x x a
 
có 6 nghiệm phân biệt
GV: Việc giải bằng phương pháp khử dấu giá trị tuyệt đối để tìm ra kết quả của bài toán
trên là tương đối khó mà HS khó có thể thực hiện được. Đối với bài toán này, ta có thể
sử dụng phương pháp đồ thị để tìm ra lời giải một cách nhanh chóng.
GV: Sử dụng sự tương giao của đồ thị hai hàm số, hãy chỉ ra số nghiệm của phương
trình
4 2
2 log
x x a
 
là số giao điểm của đồ thị hai hàm số nào?
HS: Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
4 2
2
y x x
 
và
log
y a


.
* Vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số
4 2
2
y x x
 

GV: Nhắc lại quy trình xác định đồ thị hàm số


y f x

khi đã biết đồ thị hàm số
( )
y f x

?
HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.
Hình 12


20
GV: Hãy xác định đồ thị (C) của hàm số
4 2
2
y x x
 
?
Ta có:

4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
2 2 0
2
2 2 0
x x khi x x
y x x
x x khi x x

  

  

   



Vì vậy (C) được vẽ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C
-2
) nằm ở phía trên trục hoành
và lấy đối xứng phần đồ thị của (C
-2
) nằm ở phía dưới của trục hoành qua trục hoành.
GV: Yêu cầu HS về nhà tự vẽ theo quy trình đã nêu ở trên. Ở đây, với sự trợ giúp của
AutoGraph, ta có thể xác định đồ thị (C) một cách nhanh chóng như sau: GV mở 1 trang
AutoGraph mới và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2
y x x

 
. HS quan sát thấy ngay đồ thị (C)
trên màn hình.
GV: Nhận xét gì về đồ thị của hàm số
log
y a

?
HS: Vì
a
là hằng số nên với
0
a

thì đồ thị hàm số
log
y a

là một đường thẳng song
song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm
log
a
.
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
log
y a

; xác định giao điểm của hai đồ thị trên.
+ GV thay đổi các giá trị của a bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát sự thay đổi của đồ thị hàm số

log
y a

đồng thời
nhận xét về sự tương giao của đồ thị hai hàm số trên.
GV: Quan sát hình ảnh và cho biết với những giá trị nào của
tham số
a
thì đồ thị (C) và đường thẳng
log
y a

cắt nhau tại
6 điểm phân biệt?
HS:
1 10
a
 

GV: Kết luận của bài toán?
HS:
4 2
2 log
x x a
 
có 6 nghiệm phân biệt khi
1 10
a
 
.

GV: Dựa vào đồ thị trên, hãy đưa ra lời giải của bài toán?
HS: Đường thẳng
log
y a

cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi
0 log 1 log1 log log10 1 10
a a a
       


3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị

GV: Điều kiện gì để hàm số có 3 cực trị?
HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
' 0
y

có ba nghiệm
phân biệt và
'
y
đổi dấu khi đi qua ba điểm đó
2
2 (2 ) 0
x x m
  
có 3 nghiệm phân biệt
0
m

 

GV sử dụng AutoGraph để minh họa như sau:
+ Vẽ đồ thị của hàm số
4 2
2
y x mx m
   
(C
m
) bằng
Hình 13
Hình 14


21
AutoGraph
+ Xác định các điểm cực trị của đồ thị (C
m
).
+ Thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của số các điểm cực trị
trên đồ thị của hàm số.
GV: Quan sát và rút ra kết luận?
HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m < 0
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục Ox.
* Hoạt động 1: HS giải bài toán trên.
GV: Từ đồ thị ý 1. Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện
tích? Thực hiện tính diện tích đó?

HS: Thực hiện tính toán theo phương pháp đã biết. Kết quả
diện tích hình phẳng cần tìm là:
3
2
S

(đơn vị diện tích)
* Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph
+ Xác định giao điểm của (C
-2
) và trục hoành
Trong hộp Results box có thể thấy tọa độ ba điểm đó là:
Solution: x=-1,414; y=0,0001916
Solution: x=0,0001206; y=0
Solution: x=1,414; y=0,0001552
+ Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục hoành. Chọn (C
-2
) và kích
chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện yêu cầu, ta chọn chức năng
Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Nhập: Start Point: -1,414 End Point:
1,414 Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích và
trong hộp Result Box cho ta kết quả
1,508

. Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm
phía dưới trục hoành nên diện tích cần tìm là:
1,508

Chú ý: Vì giao điểm với trục hoành tính được là số gần đúng nên kết quả diện tích hình
phẳng cũng là số gần đúng.

5. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục Ox
khi quay quanh Ox
* Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
GV: Xác định khối tròn xoay cần tính thể tích? Công thức tính thể tích khối tròn xoay
đó?
HS: Thực hiện tính toán theo công thức đã biết, kết quả thể tích cần tìm là:
1,149
V



(đv thể tích )
*Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph
+ Mở một trang Auto Graph ở chế độ đồ thị 3D; Trong hộp thoại Edit Axes Settings
Option và chọn Hide z- axes.
Hình 15


22
+ Chọn Enter Equation và nhập phương trình
4 2
2
y x x
 
và

chọn “Plot as 2D” sau đó chọn OK.
+ Tạo ra miền hình phẳng cần quay: Kích chuột vào đồ thị 
chuột phải  Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện ta chọn
một trong 4 cách tìm diện tích là: Retange(-), Retange (+),
Trapedium Rule và Simpson’s Rule. Nhập Start Point:
2

,
End Point:
2
Chọn Division: 1000 và chọn OK
+ Tìm thể tích: Chọn Slow Plot, Auto Graph sẽ tạo ra khối tròn xoay một cách từ từ; chọn
miền hình phẳng cần giới hạnchuột phảiFind Volume. Khi đó hộp thoại Edit
Volume xuất hiện yêu cầu ta nhập trục mà miền hình phẳng quay quanh. Ta nhập phương
trình trục hoành là y = 0 rồi chọn OK. Khi đó trên thanh Status Bar cho kết quả thể tích có
dạng
1,149
V



6. Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C
-2
) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):
24 1
y x
 

GV: Phương trình đường thẳng song song với (d) có dạng như thế nào?
HS:

24
y x m
 

GV: Để đường thẳng trên là tiếp tuyến của (C
-2
) thì cần điều
kiện gì?
HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:
4 2
3
2 24 (1)
4 4 24 (2)
x x x m
x x

  


 



HS: Giải hệ trên được
2
x

thay vào (1) được
40
m

 

phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
24 40
y x
 

GV minh họa bằng Auto Graph như sau:
+ Dùng Auto Graph vẽ đồ thị các hàm số
4 2
2
y x x
 
;
24
y x m
 

+ GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào
của m thì đường thẳng
24
y x m
 
tiếp xúc với đồ thị (C
-2
)?
HS: Với
40
m
 

thì đường thẳng
24
y x m
 
tiếp xúc với đồ thị (C
-2
) đúng với kết
quả đã tìm ra ở phần trên.
7. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)
* Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
GV: Thực hiện việc tìm điểm cố định của hệ trên?
HS: Điểm cố định của họ (C
m
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m.
4 2 4 2
2 2 ( 1)
y x mx m y x m x
        

Hình 16

Hình 17


23
Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phương trình:
4
2

2 0
1 0
y x
x

  


 



Hệ trên vô nghiệm vì phương trình thứ 2 là vô nghiệm. Vậy (C
m
) không đi qua điểm cố
định nào.
* Hoạt động 2: GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto
Graph
+ Dùng Auto Graph vẽ đồ thị hàm số
4 2
2
y x mx m
   
(C
m
)
+ Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart
Controller xuất hiện. Chọn Option, hộp thoại Edit Constant
Options xuất hiện. Chọn Family Plot và trong Comma
Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK

để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng với các giá trị của tham số
m
đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận được là hình 18
GV: Từ hình ảnh nhận được hãy nhận xét về điểm cố
định của họ đồ thị hàm số?
HS: Họ đồ thị (C
m
) không đi qua bất kỳ điểm cố định nào.
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số
2 2
mx m
y
x m
 


(C
m
) luôn đồng biến trên tập xác định.
* Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
GV: Tập xác định của hàm số trên?
HS:


\
D m
 


GV: Đồ thị (C

m
) luôn đồng biến trên tập xác định khi nào?
HS: Khi và chỉ khi
' 0,
y x m
   

Ta có
2
2
2 2
'
( )
m m
y
x m
 


;
' 0
y m
 
vì
2
2 2 0
m m m
   

Kết luận:

m

thì đồ thị của hàm số
2 2
mx m
y
x m
 


luôn đồng biến trên tập xác định
* Hoạt động 2: GV minh họa bằng Auto Graph
+ GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
2 2
mx m
y
x m
 


(C
m
)
+ Kích chuột vào đồ thị (C
m
) và chọn chức năng Equation  Create Gradient
Function
 OK. Lúc này Auto Graph sẽ vẽ cho ta đồ thị của đạo hàm bậc nhất
' '( )
y f x



+ GV thay đổi giá trị của
m
và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của đồ thị của đạo hàm
bậc nhất.
Hình 18


24
GV: Nhận xét gì về đồ thị của đạo hàm bậc nhất?
HS: Luôn nằm phía bên trên trục hoành
m


GV: Kết luận gì về dấu của
'
y
?
HS:
' 0
y m
 

GV: Kết luận gì về tính đơn điệu của hàm số
2 2
mx m
y
x m
 



?
HS: Luôn đồng biến trên tập xác định.

Ví dụ 11: Cho họ parabol


2 2
: (2 1) 1
m
P y x m x m
    
, chứng minh rằng


m
P

luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng đó.
(Trang 176_ Các bài toán khảo sát và đồ thị hàm số - Trần Văn Hãn – Lê Sĩ Đồng)

Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau:
* Hoạt động 1: GV dùng AutoGraph để hướng dẫn HS tìm ra cách giải bài toán trên
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
2 2
(2 1) 1
y x m x m
    
.

- Chọn View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options
hiện ra. Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ
nhất và nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ


m
P

với các giá trị của m từ -10 đến 10 với bước nhảy là 0,1. Khi đó AutoGraph sẽ cho ta
thấy đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị của m đó (Hình 20)
GV: Quan sát hình ảnh trên, có thể rút ra nhận xét
gì?
HS: Họ đồ thị


m
P
luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định và có thể thấy đường thẳng này đi qua
hai điểm (1;0) và (0;1).
GV: Có thể chỉ ra được phương trình của đường
thẳng cố định đó?
HS: Đường thẳng đó đi qua hai điểm (1;0) và (0;1)
nên suy ra phương trình của nó là
1
y x
 

GV: Từ kết quả đó, hãy đề xuất phương hướng giải bài toán trên? ( Dựa vào yếu tố cố
định của đường thẳng )

HS: Gọi đường thẳng cần tìm là
y Ax B
 
. Ta tìm A và B để đường thẳng trên tiếp
xúc với


m
P
với mọi m tức là phương trình hoành độ giao điểm
2 2
(2 1) 1
x m x m Ax B
     
luôn có nghiệm kép
m

.
Hình 19
Hình 20


25
Ta có
2 2
(2 1) 1
x m x m Ax B
     
2 2
(2 1 ) 1 0

x m A x m B
       
có
nghiệm kép
m




2
4 1 2 4 5 0,
m A A A B m
         

2
1 0
1
1
2 4 5 0
A
A
B
A A B
 



 
 
 

   


vậy đường thẳng cần tìm là
1
y x
 

* Hoạt động 2: Dùng AutoGraph để phát triển bài toán trên
GV: Đồ thị hàm số


2 2
: (2 1) 1
m
P y x m x m
    
luôn tiếp xúc với đường
thẳng
1
y x
 
m

. Nếu ta thay đổi giả thiết của bài toán, đồ thị hàm số


m
P
có

phương trình là
2 2
(2 1) 1
y ax m x m
    
với
a
là hằng số. Khi
a
thay đổi thì liệu
rằng họ đồ thị


m
P
còn tiếp xúc với đường thẳng nữa hay không? Ta sẽ kiểm tra bằng
AutoGraph để tìm ra câu trả lời trên.
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
2 2
(2 1) 1
y ax m x m
    
. Chọn
View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options hiện ra.
Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ nhất và
nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ


m
P

với các
giá trị của m từ -10 đến 10 với bước nhảy là 0,1.
Lúc này AutoGraph sẽ mặc định cho
1
a

và
kết quả nhận được là hình 20
GV thay đổi các giá trị của tham số
a
bằng chức
năng View\Constant Controller và yêu cầu HS
quan sát. ( Hình 21)
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi
a

thay đổi thì họ đồ thị


m
P
còn tiếp xúc với một
đường thẳng nữa hay không?
HS: Khi
a
thay đổi thì dường như họ đồ thị


m
P

luôn tiếp xúc với một parabol nào đó.
GV: Tương tự phần trên, hãy tìm parabol đó?
HS: Gọi parabol cần tìm là
2
y Ax Bx C
  
. Làm tương tự như phần trên tìm được
1; 1; 1
A a B C
    
.
GV: Khi tham số
a
thay đổi thì họ đồ thị


m
P
luôn luôn tiếp xúc với Parabol
2
( 1) 1
y a x x
   
. Với
1
a

thì chính là kết quả của bài toán ban đầu.

Hình 21