một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy - học hình học lớp 12

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao
đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện
khá phổ biến. Bài toán hình học không gian nói chung và bài toán về
tính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến thức khó đối với
học sinh THPT.
Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi
quen dạng, làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển
được tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình
huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp.
Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên,
nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo
dục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã
quyết định chọn đề tài:
“Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”.
Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháp
tính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo
viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối
đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết các
bài toán khó.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng
Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tích
khối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12. Đây là phần kiến thức
1
rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập; đây cũng
là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất
nhiều trong thực tế.
Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp

cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp.
Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích
đáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức
là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích.
Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câu
hỏi: “Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu?”. Một số học sinh có
thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi thử
nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là
không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong
quá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét
bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán
để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy
theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua
quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và
giải toán.
Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung và
bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết học
sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi
giải bài tập. Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa trang bị
cho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nên
rất lúng túng khi đứng trước một bài toán.
2. Kết quả của thực trạng
2
Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến
hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4
trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) và thu
được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ
số

Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
3
45 1 2 8 18 24 53 10 22 2 5
12A
4
45 0 0 3 7 21 47 16 36 5 10
Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều
do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại công
thức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháp
tính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi
đưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi
chia nội dung thành 3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3
tiết; trong mỗi buổi có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tự
rèn luyện về phương pháp tính.
Sau đây là nội dung cụ thể:
Phần I
3
Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất và
được ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp,
tức là dựa vào chiều cao của các khối và diện tích đáy. Như vậy mấu
chốt của phương pháp này là phải xác định được chiều cao và diện
tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như sau: Các thí dụ minh họa
Thí dụ 1. Cho khối chóp
.S ABC

có
2BC a=
,
·
·
0
90 ,BAC ACB
α
= =
. Mặt
phẳng
( )SAB
vuông góc với mặt phẳng
( )ABC
, tam giác
SAB
cân tại
S
và tam giác
SBC
vuông. Tính thể tích
của khối chóp
.S ABC
.
Lời giải. (h.1)
Tam giác
ABC
có
2 sin , 2 cosAB a AC a
α α

= =
nên
2
sin 2
ABC
S a
α
=
.
Vì
( ) ( )SAB ABC⊥
và
SA SB=
nên
( )SH ABC⊥
với
H
là trung điểm cạnh
AB
.
Bây giờ ta xác định tam giác
SBC
vuông tại đỉnh nào.
Nếu
SBC
∆
vuông tại đỉnh B thì
CB BA
⊥
(theo định lí ba đường vuông

góc), điều này vô lý vì
ABC
∆
vuông ở
A
.
Tương tự, nếu
SBC
∆
vuông ở C thì
·
0
90HCB =
(Vô lí).
Từ đó suy ra
SBC
∆
vuông tại S.
Gọi K là trung điểm cạnh BC thì
2 2 2 2 2
1 1
, / / à cos
2 2
sin
sin .
SK BC a HK AC v HK AC a
SH SK HK a
SH a
α
α

α
= = = =
⇒ = − =
⇒ =
Từ đó:
4
s
Hình 1
A
B
C
H
K
.
2
3
1
.
3
1
sin 2 . sin
3
1
= sin 2 .sin .
3
S ABC ABC
V S SH
a a
a
α α

α α
=
=
Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối
chóp từ giả thiết
( ) ( )SAB ABC⊥
và
SA SB=
và việc còn lại là xác định SH.
Thí dụ 2. Cho hình lập phương
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
,M N
theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh
,AB BC
và
1 2
,O O
thứ tự là
tâm các mặt
1 1 1 1 1 1
,A B C D ADD A
. Tính
thể tích khối tứ diện
1 2
MNO O

.
Lời giải. (h.2)
Ta có
1 2
( ) ( )mp NO O mp ABCD⊥
và
chúng cắt nhau theo giao tuyến
NE
(
E
là trung điểm cạnh
AD
).
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
thì
MO NE
⊥
.
Suy ra
MO
là đường cao của hình chóp
1 2
. O OM N
.
Ta có:
1 2 1 1 1 1 1 1 2 2
O O EE

2 2 2
2
2
( )
1
( )
2 2 4 2
3
.
8
N N N NN O E O O ENO
S S S S S
a a a
a
a
= − + +
= − + +
=
5
A
C
Hình 2
O1
O2
D
B
A1
D1
B1
C1

E
N
N1
E1
M
O
1 2 1 2
. O O O O
2
3
1
Nên .
3
1 3
. .
3 8 2
.
16
M N N
V S MO
a a
a
=
=
=
Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp
tính gián tiếp, tuy nhiên các khối “bù” với khối
1 2
MNO O
là quá nhiều và

phức tạp. Nếu để ý mặt phẳng
1 2
( )NO O
nằm trong mặt phẳng
1 1
( )NEE N
thì việc xác định chiều cao và diện tích đáy của hình chóp
1 2
. O OM N
trở
nên đơn giản.
Thí dụ 3. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
Giả sử
H
là trung điểm cạnh
AB
và hai mặt phẳng
( ),( )SHC SHD
cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp
có ba mặt bên là tam giác vuông.
Lời giải. (h.3)
Vì
( ) và ( )SHC SHD

cùng vuông
góc với đáy
( )ABCD
nên
SH
là
đường cao của khối chóp.
Hai tam giác
SAD
và
SBC
lần
lượt vuông tại
A
và
B
(theo định
lí ba đường vuông góc).
Tam giác
SCD
có
SC SD
=
(vì
HC HD
=
) nên nó không thể
vuông tại C hoặc D.
6
S

Hình 3
B
C
A
D
H
Nếu
SCD
∆
vuông tại
S
thì
SC CD a
< =
. Nhưng do
SBC
∆
vuông tại
B
nên
SC SB a
> =
. Từ đó
SCD
∆
không là tam giác vuông.
Từ giả thiết suy ra
SAB∆
phải là tam giác vuông.
Do

SA SB
=
, (vì
HA HB=
) nên
SAB∆
vuông tại S, suy ra
1
.
2 2
a
SH AB= =
Vậy
3
2
.
1 1
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SH a= = =
Thí dụ 4. Xét các khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành
với
5
,

2
a
AB a SA SB SC SD= = = = =
. Khối chóp nào có thể tích lớn nhất và
tính giá trị lớn nhất đó.
Lời giải. (h.4)
Vì khối chóp
.S ABCD
có các
cạnh bên bằng nhau nên đáy
phải nội tiếp.
Suy ra
ABCD
là hình chữ
nhật.
Gọi
H
là giao của
vàAC BD
thì
( ).SH ABCD⊥
Đặt
( 0)BC x x= >
thì
2 2
2 2 2
4
, ( 2 )
4
ABCD

a x
S ax SH SA AH x a
−
= = − = <
2 2
2 2 2
.
1 4
(4 ).
3 4 6
S ABCD
a x a
V ax x a x
−
⇒ = = −
Vì
2 2 2 2
(4 ) 4x a x a+ − =
nên theo BĐT Cauchy
.S ABCD
V
đạt giá trị lớn nhất
khi và chỉ khi
2 2 2
4 2x a x x a= − ⇔ =
.
Lúc đó
3
.
ax

3
S ABCD
a
M V =
.
7
x
a
S
H
Hình 4
B
C
A
D
Bài tập tự luyện
Bài 1. (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là
tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
( )ABC
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
2HA HB
=
. Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng
( )ABC
bằng

0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo
a
.
Bài 2. Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy là hình thoi cạnh
a
và
·
0
60BAD =
. Hai mặt chéo
( ' ')và ( DD' ')ACC A B B
cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
, ' 'CD B C
và
'MN BD
⊥
.
Tính thể tích của hình hộp.
Bài 3. Cho khối chóp
.S ABC
có

·
·
·
0 0 0
1, 2, 3,AS 60 ,AS 90 , 120SA SB SC B C BSC= = = = = =
. Tính thể tích khối chóp
đó.
Bài 4. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng
a
và
·
0
60BAD =
. Các mặt phẳng
( ),( ),( )SAB SBD SAD
nghiêng đều với đáy
( )ABCD
một góc
α
. Tính thể tích khối chóp đó.
Bài 5. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang cân, đáy lớn
AB
bằng
4

lần đáy nhỏ
CD
, chiều cao của đáy bằng
a
. Bốn đường cao của
bốn mặt bên ứng với đỉnh
S
có độ dài bằng nhau và bằng
b
. Tính thể
tích của hình chóp.
Bài 6. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
cân tại đỉnh
S
và mặt phẳng
( ) ( )SAB ABC⊥
. Giả sử
E
là trung điểm
8
SC
và hai mặt phẳng
( ),( )ABE SCD
vuông góc với nhau. Tính thể tích
của khố chóp đó.

Bài 7. Hình chóp
.S ABC
có
SA a
=
,
SA
tạo với đáy một góc
α
,
·
·
90 ,
o
ABC ACB
ϕ
= =
.
G
là trọng tâm
ABC
∆
. Hai mặt phẳng
( ),( )SGB SGC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )ABC
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
Bài 8. Cho hình lăng trụ

. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
.
Các cạnh
' , ' , 'A A A B A C
nghiêng đều trên đáy một góc
α
. Tính diện tích
xung quanh và thể tích của lăng trụ.
Bài 9. Cho hình chóp
1 2
.A A ( 3)
n
S A n ≥
có diện tích đáy bằng
D
, chu vi
đáy bằng
P
. Các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc
α
. Hình chiếu
của
S
lên mặt phẳng đáy nằm trong đa giác
1 2
A A
n
A

. Tính thể tích
hình chóp đó.
Phần 2
Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác
định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng
ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách chia khối cần tính thành
nhiều khối nhỏ hoặc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính. Từ
đó bằng công thức cộng thể
tích ta có thể suy ra thể tích
khối cần tính. Sau đây là một
số thí dụ minh họa cho phương
pháp thứ 2.
Thí dụ minh họa
9
A
Hình 5
C
B
S
I
Thí dụ 1. Cho khối chóp
.S ABC
với tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
2AC a=
,
( )SA ABC⊥

và
SA a=
. Giả sử
I
là điểm thuộc cạnh
SB
sao cho
1
3
SI SB=
. Tính thể tích khối tứ diện
SAIC
.
Lời giải. (h.5)
Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
có
2AC a=
nên
2AB BC a= =
.
Do đó
2
1
.
2
ABC
S AB BC a= =

.
Vì
( )SA ABC⊥
nên
SA
là chiều cao của hình chóp
.S ABC
.
Suy ra
3
.
1
.
3 3
S ABC ABC
a
V SA S= =
Mặt khác
.
.
1
. .
3
S AIC
S ABC
V
SA SI SC
V SA SB SC
= =
.

Vậy
3 3
. .
1 1
.
3 3 3 9
S AIC S ABC
a a
V V= = =
.
Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy
nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơn
giản hơn rất nhiều.
Thí dụ 2. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
2 , ; 2AB a BC a SA SB SC SD a= = = = = =
. Giả sử
E
là điểm thuộc cạnh
SC
sao
cho
2SE SC=
,
F
là điểm thuộc cạnh
SD

sao cho
1
3
SF FD=
. Tính thể tích
khối đa diện
SABEF
.
Lời giải. (h.6)
10
S
Hình 6
O
A
D
B
C
E
F
Ta có
2
. 2
ABCD
S AB BC a= =
.
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông
ABD
ta có
2 2
5BD AB AD a= + =

.
Gọi
O AC BD
= ∩
thì
1 5
2 2
a
BO BD= =
.
Xét tam giác
SBD
cân tại
S
có
SO
là trung tuyến nên
SO
đồng thời là
đường cao của tam giác
SBD
. Suy ra
SO BD
⊥
.
Chứng minh tương tự
SO AC
⊥
. Suy ra
( )SO ABCD⊥

hay
SO
là đường
cao của hình chóp
.S ABCD
.
Ta có
2 2 2 2
5 3
( 2) ( )
2 2
a a
SO SB BO a= − = − =
.
3
2
.
1 1 3
. .2 .
3 3 2
3
S ABCD ABCD
a a
V S SO a= = =
.
Mặt khác
.
.
2
. .

3
S ABE
S ABC
V
SA SB SE
V SA SB SC
= =
3
. . .
2 1
. .
3 3
3 3
S ABE S ABC S ABCD
a
V V V⇒ = = =
(1)
.
.
2 1 1
. . .
3 4 6
S AEE
S ACD
V
SA SE SF
V SA SC SD
= = =
3
. EF . .

1 1
. .
6 12
12 3
S A S ACD S ABCD
a
V V V⇒ = = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
3 3 3
. .
5 3
36
3 3 12 3
SABEF S ABE S AEF
a a a
V V V= + = + =
.
Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc các khối quen
thuộc (không có công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia
thành các khối nhỏ quen thuộc, và ta có thể tính gián tiếp một cách dễ
dàng dựa vào tỷ lệ thể tích.
11
A'
C'
Hình 7
D'
B'
A
D

B
C
N
K
M
Thí dụ 3. Chi hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Gọi
M
là trung
điểm của cạnh
'BB
. Mặt phẳng
( ' )A MD
chia hình lập phương
thành hai khối đa diện. Tính tỉ
số thể tích của hai khối đa diện
trên.
Lời giải. (h.7)
Gọi
N
là giao điểm của
'A M
và
AB
, K là giao điểm của
DN
và

BC
.
Mặt phẳng
( ' )A MD
chia hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
thành hai khối
đa diện
'A MKDAB
và khối diện
' ' ' 'A B C D MKCD
.
Do
' '/ /A B BN
nên
' ' '
1 ' '
A B MB
BN A B a
BN MB
= = ⇒ = =
.
Do
/ /BN CD
nên
1
2
BK BN AB a
BK CK
CK CD CD

= = = ⇒ = =
.
Ta có
3
.
1
. .
6 24
B MNK
a
V BM BN BK= =
;
3
. '
1
AA'. .
6 3
A A ND
a
V AN AD= =
.
3 3 3
' . ' .
7
3 24 24
A MKDAB A A ND B MNK
a a a
V V V= − = − =
.
Thể tích khối lập phương

. ' ' ' 'ABCD A B C D
bằng
3
a
.
Từ
. ' ' ' ' ' ' ' ' 'ABCD A B C D A MKDAB A B C D MKCD
V V V= +
' ' ' ' . ' ' ' ' '
3 3
3
7 17
24 24
A B C D MKCD ABCD A B C D A MKDAB
V V V
a a
a
⇒ = −
= − =
Suy ra
'
' ' ' '
7
17
A MKDAB
A B C D MKCD
V
V
=
.

12
Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở
thí dụ này ta dựa vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính
Thí dụ 4. Chi hình chóp
.O ABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với
nhau,
, ,OA a OB b OC c= = =
;
', ' 'OA OB OC
lần lượt là đường cao
của các tam giác
, ,OBC OAC OAB
.
Tính thể tích khối chóp
. ' ' 'O A B C
.
Lời giải. (h.8)
Ta có
.
1
. .
6 6
O ABC
abc
V OA OB OC= =
.
Do

, ,OA OB OA OC OB OC⊥ ⊥ ⊥
, nên các tam giác
, ,OAB OBC OAC
vuông tại
O
.
Áp dụng định lý Pythagore ta có:
2 2 2 2 2 2
, ,AC a c AB a b BC b c= + = + = +
.
Xét tam giác
OBC
vuông tại
O
có
'OA
là đường cao nên:
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 .
.
'
'
b c
OB OC
OA
OA OB OC OB OC b c
= + ⇒ = =

+ +
.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông
'OA C
ta có
2
2 2 2 2 2
2 2
' ' ' '
c
OC OA CA CA OC OA
b c
= + ⇒ = − =
+
Chứng minh tương tự ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ; ' ; ' ; ' ; '
c a a b b
CB AB AC BC BA
a c a c a b a b b c
= = = = =
+ + + + +
.
Mặt khác
13
Hình 8
G
A
B

C
C'
A'
B'
4
. ' ' . ' '
2 2 2 2
. .
' '
. .
( )( )
O CA B C OA B
O ABC C OBA
V V
CO CA CB c
V V CO CB CA b c a c
= = =
+ +
Suy ra
4
. ' ' .
2 2 2 2
. .
( )( )
O CA B O ABC
c
V V
b c a c
=
+ +

Chứng minh tương tự, ta được:
4
. ' ' .
2 2 2 2
4
. ' ' .
2 2 2 2
. ;
( )( )
. .
( )( )
O AB C O ABC
O BA C O ABC
a
V V
a b a c
b
V V
a b b c
=
+ +
=
+ +
Do đó
. ' ' ' . . ' ' . ' ' . ' '
4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
[1 ( )].
( )( ) ( )( ) ( )( ) 6

O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C
V V V V V
a b c abc
a b a c a b b c b c a c
= − + +
= − + +
+ + + + + +
Nhận xét: Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối
“bù” với khối cần tính thì trong thí dụ 4 ta thấy phương pháp này rất
hiệu quả.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật, đường
thẳng
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )ABCD
,
G
là trọng tâm của tam
giác
SBD
, mặt phẳng
( )SBG
cắt
SC
tại

M
, mặt phẳng
( )ABG
cắt
SD
tại
N
. Tính thể tích khối chóp
.S ABMN
; biết rằng
SA AB a
= =
, góc giữa
đường thẳng
AM
và mặt phẳng
( )ABCD
bằng
0
30
.
Bài 2. Cho hình chóp
.O ABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau;
, , ; ', ', 'OA a OB b OC c OA OB OC= = =
lần lượt là các đường phân giác trong
của các tam giác
, ,OBC OCA OAB

. Tính thể tích của khối chóp
. ' ' 'O A B C
.
Bài 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
3SA a=
,
( )SA ABCD⊥
. Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
14
điểm
A
trên các cạnh
,SB SD
. Mặt phẳng
( )AHK
cắt
SC
tại
I
. Tính thể
tích của khối chóp
.S AHIK

.
Bài 4. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O. SA
vuông góc với đáy và SA =
2a
. Cho
AB a=
. Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu của A trên SB, SD. CM: SA ⊥ (AHK). Tính thể tích hình
chóp OAHK.
Bài 5. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có hình chóp A
1
ABC là
hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, AA
1
= b. Gọi α là góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (A
1
BC). Tính tanα và thể tích hình chóp
A
1
BB
1
C
1

C.
Phần 3
Trong các buổi trước, chúng ta đã được rèn luyện 2 phương pháp
tính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp. Để tính thể tích khối đa
diện, trong các bài toán thi đại học và học sinh giỏi còn sử dụng một
phương pháp rất hiệu quả đó là phương pháp tọa độ hóa, nội dung
phương pháp này gồm 4 bước:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan, chuyển bài toán
hình học không gian thông thường thành bài toán hình học tọa độ.
Bước 3: Tính toán dựa vào các công thức hình học tọa độ trong
không gian.
Bước 4: Kết luận.
Sau đây là một số thí dụ minh họa và các bài tập rèn luyện:
Thí dụ minh họa
15
Thí dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=AB=a, AD=
2a
, gọi M, N lần
lượt là trung
điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) CMR:
( ) ( )SAC SMB
⊥
b)Tính thể tích tứ diện ANIB
Lời giải. (Hình 9) Chọn hệ tọa độ với
Axyz với
, ,
∈ ∈ ∈

D Ax B Ay S Az
Khi đó:
2
(0;0;0), (0; ;0), ( 2; ;0), (0;0; ), ( ;0;0),
2
a
A B a C a a S a M
2
; ;
2 2 2
a a a
N
 
 ÷
 
a) Ta có:mp(SAC) có vtpt là
= −
ur
1
(1; 2;0)n
mp(SMB) có vtpt là
=
uur
2
( 2;1;1)n
. Hình 9
⇒ = ⇒ ⊥
ur uur ur uur
1 2 1 2
. 0n n n n

. Hay
( ) ( )SAC SMB
⊥
.
b) Ta có mp(SAC) có phương trình:
− =2 0x y
, BM có phương
trình:
=


= −


=

2
0
x t
y a t
z
Vì
= ∩( )I BM SAC
⇒
2
( ; ;0)
3 3
a a
I
.

3
1 2
, .
6 36
ANIB
a
V AN AI AB
 
⇒ = =
 
uuur uur uuur
.
16
Thí dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Biết rằng
( ) ( )AMN SBC⊥
.
Tính thể tích hình chóp.
Lời giải. (Hình 10)
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ (h.10).
Đặt SO = h. Khi đó ta có:
( ;0;0), ( ; ;0),
2
3 2 3
a a a
C A
−
( ; ;0), (0;0; )
2
2 3

a a
B S h
− −
,
( ; ; ), ( ;0; )
4 2 2
4 3 2 3
a a h a h
M N
− −
.
Hình 10
Ta có
3
( ; ; ), ( ; ; )
4 2 2 2
4 3 3
a a h a a h
AM AN
− −
= =
uuur uuur

−
 
= ⇒ −
 
uuur uuur uur
2
1

3 5 5
, ( ; ; ) ( ) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ: n ( ; 3; )
8
8 3 8 3 3
ah ah a a
AM AN mp AMN h h
mp(SBC) đi cắt Oy tại
(0; ;0)
3
a
K
−
, Ox tại
( ;0;0)
3
a
C
, Oz tại S(0;0;h)
nên có phương trình theo đoạn chắn là:
2
3 3 1 3 3 1
1 1 ( )cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ: n ( ; ; ).
3
3
x y z
x y z mp SBC
a a
h a a h a a h
−
+ + = ⇔ − + = ⇒

−
uur
Ta có
1 2
3 3 5 1 5
( ) ( ) . 0 ( ). 3.( ) . 0
12
3
a
AMN SBC n n h h h a
a a h
−
⊥ ⇒ = ⇔ − + + = ⇔ =
ur uur
.
Vậy
2 3
.
1 1 5 3 5
. . . .
3 3 12 4 24
S ABC ABC
a a
V SO S a
∆
= = =
Thí dụ 3. (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013)
17
Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C

có đáy ABC là tam giác cân
tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và
·
ABC
bằng 30
0
. Tính thể tích của khối
lăng trụ
. ' ' ',ABC A B C
biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
'CB
bằng
.
2
a
Lời giải. (H.11)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và A’B’. Ta có MN là đường cao
của lăng trụ. Giả sử
MN h=
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O
trùng với M, các điểm A, C, N lần lượt
thuộc các tia Ox, Oy, Oz. (Hình 11)
Khi đó:
'
( ;0;0), ( ;0;0), ( ;0; )A a B a B a h− −

Hình 11
Dễ có:

3
a
CM =
nên
(0; ;0)
3
a
C
và
2
1
.
2
3
ABC
a
S CM AB
∆
= =
Ta có
2 2
2 2
[ , '] (0; 2 ; ), [ , ']. '
3 3
a a h
AB CB ah AB CB BB
= − − =
uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur
Suy ra:
2 2

[ , ']. '
d(AB, CB') =
[ , ']
3
AB CB BB
ah
AB CB
a h
=
+
uuuuruuuur uuuur
uuuuruuuur

Từ giả thiết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ bằng
.
2
a
Ta suy ra
h a=
Vậy:
3
. ' ' '
3
.
3
ABC A B C ABC
a
V MN S= =
18
Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đưa

bài toán hình học không gian thông thường thành bài toán hình học
tọa độ giúp việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều, như ở ví
dụ 3 nếu không dùng tọa độ thì việc tính chiều cao h là rất khó khăn.
Điều quan trọng là cần xác định được những yếu tố vuông góc trong
hình để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
.
SA vuông góc với đáy và SA =
2a
. (α) là mặt phẳng qua A và
vuông góc với SC, (α) cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. CM: AH ⊥
SB, AK ⊥ SD. Tính thể tích khối chóp AHIKBCD.
Bài 2. Cho hình lập phương
' ' ' 'ABCDA B C D
cạnh
a
,
,M N
lần lượt là
trung điểm của
AA'
và
BC
; P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác
'A AD
và
'C BD
. Tính thể tích khối tứ diện

MNPQ
theo
a
.
Bài 3. (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là
tam giác vuông cân tại B,
2AB BC a= =
, hai mặt phẳng
( )SAB
và
( )SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )ABC
. Gọi M là trung điểm của AB;
mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )ABC
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S BMCN
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo
a

.
II. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT
1. Kết quả nghiên cứu
Trong năm học 2012 – 2013, tôi được nhà trường phân công dạy
môn toán tại các lớp 12A3, 12A4. Đứng trước thực trạng học sinh rất
ngại khi đối mặt với những bài toán hình học không gian, tôi đã mạnh
dạn đưa vào chương trình bồi dưỡng phương pháp tính thể tích đa
diện. Và thực tế sau khi được học một cách có hệ thống và đầy đủ các
19
phương pháp tính thể tích thì học sinh đã hứng thú hơn trong các giờ
học hình học không gian, học sinh giải tốt các bài toán về tính thể tích
nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung. Qua đó học sinh
còn rèn luyện được cách trình bày bài giải một cách khoa học, chặt
chẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học sinh về tư duy logic, tư
duy sáng tạo, củng cố được những kiến thức cơ bản.
Kết quả cụ thể
Lớp
Sĩ
số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
3
45 10 22 18 40 17 38 0 0 0 0
12A
4
45 5 11 17 38 22 49 1 2 0 0
2. Kiến nghị, đề xuất
- Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn
để giáo viên có thể học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các sáng kiến

kinh nghiệm của cá nhân.
- Nhà trường cần tăng cường hơn nữa những trang thiết bị hỗ trợ cho
giảng dạy.
- Sở Giáo dục và Đào tạo cần mở những lớp chuyên đề hướng dẫn
giáo viên sử dụng những phần mềm trong công tác giảng dạy.
C. KẾT LUẬN
20
Trong quá trình thực hiện và áp dụng sáng kiến trên, mặc dù đã
thu được những kết quả nhất định, học sinh đã hứng thú hơn đối với
các bài toán hình học không gian, kết quả học tập môn toán được nâng
lên rõ rệt; tuy nhiên để sáng kiến được sử dụng hiệu quả và rộng hơn
thì rất cần những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để khắc phục
những thiếu sót, hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm
2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Nguyễn Sỹ Tam
21
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trang 1
I.LỜI MỞ
ĐẦ Trang 1
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN
CỨU Trang 2

1. Thực trạng………………………………………………………
……Trang 2
2. Kết quả của thực trạng……………………………… …………
…. .Trang 2
B. GIẢI QUYẾT VẤN
ĐỀ Trang 3
I. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
… Trang 3
II. KẾT QUẢ VÀ KIẾN NGHỊ ĐỀ
XUẤT Trang 17
1.Kết quả nghiên
cứu Trang 17
2.Kiến nghị, đề
xuất Trang 17
22
C. KẾT
LUẬN Trang
18
23