Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng chúng cho khu vực x thuộc thềm lục địa việt nam

MỤC LỤC
Trang
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian..................................2
CHƯƠNG 1...........................................................................................................................3
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHƠNG GIAN....................................3
1.1. Phương pháp trung bình hóa.......................................................................................4
1.2. Phương pháp tiếp tục giải tích trường.........................................................................8
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực:............................................................14
1.4. Tính đạo hàm ngang cực đại.....................................................................................19
CHƯƠNG 2.........................................................................................................................20
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ.............................................20
2.1. Phép biến đổi Fourier................................................................................................20
CHƯƠNG 3.........................................................................................................................33
KẾT LUẬN..........................................................................................................................47


DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ
Trang
Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực. Error: Reference
source not found
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian..................................2
CHƯƠNG 1...........................................................................................................................3
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHƠNG GIAN....................................3
Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa khơng gian trên..............................................11
Hình 1.2. Minh họa cho cơng thức 1.34...............................................................................14
Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c)....................................................18
Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang.....................................................................................18
CHƯƠNG 2.........................................................................................................................20
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ.............................................20
Hình 2.1. Vị trí của mặt quan sát, mặt tính chuyển và vật thể.............................................29
Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực....................................32

CHƯƠNG 3.........................................................................................................................33
Hình 3.1. Trường trọng lực của quả cầu và các đạo hàm.....................................................34
Hình 3.2. Trường trọng lực của cầu thể ở trung tâm............................................................35
Hình 3.3. Trường trọng lực mơ hình có ba cầu thể..............................................................35
Hình 3.4. Tính trung bình trường (bán kính 3 km)..............................................................36
Hình 3.5. Tính trung bình trường (bán kính 7 km)..............................................................36
Hình 3.6. Tính đạo hàm thẳng đứng (bậc 1)........................................................................37
Hình 3.7. Tính hạ trường xuống 1 km..................................................................................37
Hình 3.8. Tính nâng trường lên 1 km...................................................................................38
Hình 3.9. Tính nâng trường lên 3 km...................................................................................38
Hình 3.10. Tính nâng trường lên 5 km.................................................................................39
Hình 3.11. Tính đạo hàm ngang cực đại..............................................................................39
Hình 3.12. Bản đồ trọng lực Bughe khu vực X....................................................................40
Hình 3.13. Sơ đồ cấu trúc kiến tạo khu vực X [4]...............................................................41
Hình 3.14. Bản đồ nâng trường lên 5 km.............................................................................42

2


Hình 3.15. Bản đồ nâng trường lên 10 km...........................................................................42
Hình 3.16. Bản đồ nâng trường lên 15 km...........................................................................43
Hình 3.17. Bản đồ nâng trường lên 20 km...........................................................................43
Hình 3.18. Bản đồ nâng trường lên 30 km...........................................................................44
Hình 3.19. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền trường nâng mức 5 km...........................45
Hình 3.20. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền trường nâng mức 15 km.........................45
Hình 3.21. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền mức nâng 20 và 30 km...........................46
KẾT LUẬN..........................................................................................................................47

3

MỞ ĐẦU
Phương pháp thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp địa vật lý
được sử dụng từ rất sớm và rộng rãi ở Việt Nam. Thăm dò trọng lực đã đóng góp
một vai trị rất lớn trong nghiên cứu địa chất, dầu khí những năm qua. Phương pháp
địa vật lý này rất có thế mạnh trong nghiên cứu cấu trúc địa chất, nhất là cấu trúc
sâu. Trong thăm dị dầu khí, thăm dị trọng lực cũng đóng vai trò đáng kể. Những
năm gần đây, thăm dò trọng lực rất được quan tâm trong việc nghiên cứu cấu trúc
địa chất vùng thềm lục địa.
Biến đổi trường trọng lực quan sát được là một trong các bài toán cơ bản và
quan trọng trong lĩnh vực phân tích và xử lý số liệu. Từ các số liệu quan sát được,
sau khi tiến hành các hiệu chỉnh cần thiết người ta có thể tính chuyển lên xuống các
mức khác nhau so với mức quan sát được, có thể tính các đạo hàm, làm trơn với các
mức độ khác nhau... Nhìn chung, mục đích của bài tốn biến đổi trường là để nhấn
mạnh thành phần nào đó của trường và giảm bớt ảnh hưởng của thành phần trường
mà ta chưa hoặc không quan tâm.
Bài tốn biến đổi trường thế nói chung đã được các thày giáo và nhiều thế hệ
sinh viên ở bộ môn Vật lý địa cầu, trường ĐH Khoa học Tự nhiên quan tâm nghiên
cứu. Nhiều phần mềm loại này có xuất sứ từ bộ môn đã được cả các cơ sở bên ngoài
trường sử dụng. Tuy nhiên, chúng ta đều biết, các bài tốn biến đổi thơng tin rất khó
tránh khỏi sự mất mát hoặc méo mó một phần nào đó của thơng tin ban đầu. Trong
phạm vi bản luận văn này, học viên được giao nhiệm vụ tìm hiểu lý thuyết, xây dựng
chương trình và thử nghiệm xem xét một bài toán ứng dụng nhỏ của phép biến đổi
trường trong nghiên cứu địa chất trên một khu vực thuộc thềm lục địa Việt nam.

1


Bài toán đặt ra thuộc loại cơ bản, truyền thống, được trình bày trong các tài
liệu giáo khoa nhưng đối với một học viên mới làm quen với lĩnh vực địa vật lý,

nhiệm vụ đặt ra vẫn là mới mẻ. Các kết quả thử nghiệm có được mới chỉ là khởi đầu.
Luận văn với tiêu đề “Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng
chúng cho khu vực X thuộc thềm lục địa Việt Nam” được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian
Chương 2: Các phép biến đổi trường trong miền tần số
Chương 3: Một số kết quả thử nghiệm trên mơ hình và khu vực X thềm lục
địa Việt nam
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế, chắc chắn luận văn còn những khiếm
khuyết, rất mong được các thầy các cô chỉ bảo, bổ khuyết.

2


CHƯƠNG 1
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN

Các dị thường trọng lực quan sát được phản ánh toàn bộ hiệu ứng trọng lực do
các yếu tố địa chất gây ra. Trong trường tổng cộng mỗi yếu tố địa chất đó đều có
đóng góp một phần nhất định. Vì vậy, trong khi giải quyết các nhiệm vụ địa chất cụ
thể, từ trường tổng đó phải tách ra được các thành phần trường riêng biệt có liên hệ
trực tiếp đến đối tượng cần nghiên cứu. Muốn vậy, người ta phải tiến hành biến đổi
trường quan sát được nhằm nhấn mạnh thành phần trường cần thiết (được coi là
phần hữu ích) và làm yếu đi các thành phần khác (được coi là nhiễu). Như vậy, các
phép biến đổi trường dị thường trọng lực có điểm chung như phép lọc nhiễu, phân
tách tín hiệu trong lý thuyết truyền tin. Mục đích chính của phép biến đổi trường
trọng lực (hoặc từ) là tách trường quan sát thành các thành phần tương ứng với đối
tượng địa chất nằm ở các độ sâu khác nhau.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp biến đổi trường dị thường trọng lực. Tuỳ thuộc
vào phép biến đổi mà hàm số sau khi biến đổi có thể có thứ nguyên của hàm số xuất phát
(nhưng thuộc về mức khác) hoặc là các đạo hàm của hàm xuất phát. Các đạo hàm sau

khi biến đổi có thể thuộc mức xuất phát hoặc là mức mới. Các hàm biến đổi đôi khi có
thứ ngun là tích của hàm xuất phát với toạ độ.
Dưới dạng toán học, tất cả các phép biến đổi đều được biểu diễn bằng công
thức sau đây [3]:

3


Vbđ(x0,y0,z0)= ∫∫

V xp (ξ ,η ,0) K ( x0 − ξ , y 0 − η , z 0)dξdη

(1.1)

Trong trường hợp bài toán ba chiều, và:
Vbđ(x0,z0)= ∫∫

V xp (ξ ,0) K ( x0 − ξ , z 0)dξ

(1.2)

Trong trường hợp bài tốn hai chiều, trong đó:
+

Vbd ( x0, y 0, z 0)

và

Vbd ( x 0, z 0)

là các hàm số đã được biến đổi.

+ V xp (ξ ,η ,0) và V xp (ξ ,0) là các hàm số xuất phát (trường tổng).
+ K ( x0 − ξ , y0 − η , z 0) và K ( x0 − ξ , z 0) là các nhân biến đổi (đôi khi cịn gọi là
các hàm trọng số).
Vì K ( x0 − ξ , y 0 − η , z 0) và K ( x0 − ξ , z 0) thường là các tốn tử tuyến tính nên tất
cả các biến đổi tương ứng gọi là các biến đổi tuyến tính.
Phép biến đổi trường trọng lực và từ trong miền không gian chia làm ba
nhóm chính:
+ Trung bình hố.
+ Tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực (xem như là các hàm điều hồ).
+ Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực.
Chúng ta lần lượt xét đến các nhóm phương pháp trên.
1.1. Phương pháp trung bình hóa
Việc phân chia các dị thường trọng lực ra thành các thành phần khu vực và địa
phương nhờ phương pháp trung bình hố được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bản
chất của phương pháp trung bình hố như sau: Xem trường trọng lực quan sát được
gồm hai thành phần, thành phần khu vực Vr và thành phần địa phương Vl.

4


V = Vr + Vl

(1.3)

Lấy trung bình trường quan sát được trong phạm vi của đường trịn bán kính
R. Giá trị trung bình đó được biểu diễn bằng tích phân sau [1,2,3]:
V (0,0,0)=

1
πR 2

2π ∞

∫ ∫V (r ,α ,0)rdrdα
0 0

(1.4)

Bán kính R được chọn sao cho lớn hơn nhiều so với kích thước của các dị
thường địa phương và nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các dị thường khu vực.
Khi thoả mãn điều kiện này thì thành phần khu vực được tách riêng ra từ trường
quan sát. Do các dị thường địa phương âm và dương bù trừ lẫn nhau trong khi đó
các thành phần khu vực ít bị thay đổi. Do đó V ≈ Vr , trường hợp đặc biệt nếu
trường khu vực thay đổi theo quy luật tuyến tính nó hồn tồn khơng bị thay đổi khi
lấy trung bình, tức:
V (0,0,0) = Vr(0,0,0)

(1.5)

Sau khi tính được trường khu vực V r, trường dị thường địa phương tính theo
cơng thức:
Vl = V - V

(1.6)

Để làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý của phương pháp trung bình hố, người ta đưa
vào khái niệm về mức độ trung bình hố, đó là tỷ số giữa trường được trung bình
hố và trường xuất phát.

ε=

V
V

(1.7)

Mức độ trung bình hố đồng thời đặc trưng cho mức độ chính xác của việc
tách trường địa phương.
Trong thực tế bán kính trung bình hố R được chọn bằng phương pháp thực
nghiệm theo trường đo được bằng cách áp dụng phương pháp tại các điểm khác
nhau của trường với các bán kính trung bình khác nhau người ta vẽ đồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc giữa trường trung bình và bán kính trung bình. Theo đồ thị [1] ta sẽ

5


chọn được bán kính trung bình tối ưu R tư, Rtư được chọn là đại lượng R mà từ đó
Vz(R) không thay đổi theo R nữa, hoặc R tư là giá trị Vz(R) của R tương ứng với
điểm uốn.

Trong phương pháp trung bình hố, ngồi cách lấy trung bình theo vịng trịn
người ta cịn lấy trung bình theo các hình khác nhau. Một trong các hình hay được
dùng là hình vng , nhờ có Pa-lét vng mà khối lượng phép tính được giảm đi rất
nhiều. Phương pháp trung bình hố cũng như phép biến đổi trường trong miền
không gian thường được thực hiện bằng Pa-lét. Người ta đưa ra các tiêu chuẩn để
đánh giá khả năng lọc của Pa-lét qua việc đánh giá độ sâu. Đó là q trình theo dõi
sự biến đổi dị thường theo chiều sâu do một đơn vị nguồn điểm nằm tại độ sâu Z
chứa toàn bộ nguồn của dị thường cần tách ra.
Trong phương pháp trung bình hố, để đánh giá độ sâu người ta thường đưa

vào một đại lượng gọi là đại lượng đặc trưng tương đối ký hiệu là N(z). Đại lượng
này được định nghĩa như sau:
Đặc trưng độ sâu tương đối N(z) là tỷ số giữa dị thường trọng lực đã biến đổi
và khi chưa biến đổi.
N(z) =

M ( z)
Mbt ( z )

Nhờ biểu thức này ta sẽ biết vật thể ở độ sâu Z sau phép biến đổi dị thường của
nó biến đổi như thế nào.
M(z) - Dị thường trọng lực sau biến đổi.

6


Mbt(z) - Dị thường trọng lực chưa biến đổi.
Các công thức này được Andrêep và Klusin xây dựng công thức tính như sau:
∞

∞

∞

0

0

0

−αz
Mbt(z) = ∫ αdα ∫ ∆ g ( ρ ) J 0 (αρ ) ρdρ = ∫ e αdα =

1
z2

(1.8)

+ ∆g ( ρ ) là giá trị trung bình của trường dị thường được quan sát trên đường
trịn bán kính ρ nhận được sau khi tính tốn với các giá trị đọc được tại các điểm
nút của Palét.
+ J 0 (α , ρ ) là hàm Bessel loại 1 cấp 0, nó khác với hàm J0(x) và J1(x) giống như
sự khác biệt của COS (αx) và SIN (αx) với COS(x) và SIN(x).
+ α đóng vai trị như tần số vịng trong trường hợp hàm điều hồ.
∞

Cịn M(z) =

∫
0

2 J 1 (αR ) −αR
e
=
αR

2
Z + R (Z + Z 2 + R 2 )
2

2

(1.9)

Thay M(z) và Mbt(z) vào N(z) ta có:
N(z) =

2Z 2
Z 2 + R 2 (Z + Z 2 + R 2 )

(1.10)

với : Z- Độ sâu đến vật thể gây ra dị thường.
R- Bán kính trung bình hố.
Theo cơng thức trên ta thấy N(z) là một hàm phụ thuộc vào độ sâu thế nằm Z.
Khảo sát hàm N(z) thấy

Z → 0 thì N(z) → 0
Z → ∞ thì N(z) → 1

7


Nhìn đồ thị ta thấy dị thường gây ra bởi các vật thể nằm ở độ sâu bằng khoảng
lấy trung bình Z = 2R và độ sâu hơn nữa là hầu như không thể thay đổi. N( z r ) bắt
đầu tiệm cận với N( z r ) = 1 từ z r = 2. Có thể chọn Z=2R làm độ sâu nghiên cứu.
R là bán kính trung bình hố tối ưu. Có thể xác định R theo cách trình bày ở trên,
biết R tìm được ra Z.
1.2. Phương pháp tiếp tục giải tích trường.
Cơ sở của phương pháp tiếp tục giải tích trường các dị thường trọng lực và từ

là: Hàm thế được xem như một hàm điều hoà.
Theo lý thuyết trường thế, nếu biết trước sự phân bố của các hàm thế hay các
đạo hàm của chúng trong một miền nào đó khơng chứa vật thể gây dị thường, ta có
thể xác định chúng trong tồn bộ khơng gian kể cả phần bên trong của vật thể chỉ
trừ các điểm đặc biệt, tại đó tính điều hồ của hàm số khơng tồn tại. Việc xác định
hàm điều hồ V(x,y,z) và các đạo hàm của nó trong miền tồn tại hàm theo các giá
trị cho trước tại một miền hẹp nào đó được gọi là tiếp tục giải tích trường. Cần phải
chú ý rằng các đạo hàm của thế trọng lực và từ cũng là những hàm điều hoà.
Phương pháp tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực và từ không những được
sử dụng rộng rãi để tách các dị thường mà đơi khi cịn được sử dụng để xác định các
thông số của vật thể gây nên dị thường. Các dị thường do các vật thể có kích thước

8


khác nhau và nằm ở những độ sâu khác nhau sẽ bị biến đổi khác nhau trong quá
trình tiếp tục giải tích.
Để thấy rõ ý nghĩa của việc tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực ta xét ví
dụ sau:
+ Hai quả cầu, một nằm ở độ sâu h có khối lượng M, một nằm ở độ sâu nh và
có khối lượng n 3 M. Các dị thường trọng lực do các quả cầu gây ra trên mặt đất tại
điểm trên tâm cầu tương ứng là:
Vz1(0,0,0) =

kM
h2

(1.11)

Vz2(0,0,0) =

kMn
kn 3 M
= 2
2 2
h
n h

(1.12)

Tức là:
Vz 2
=n
V z1

(1.13)

nếu tiếp tục giải tích các dị thường này lên độ cao H = h, thì:
kn 3 M
kM
Vz1(0,0,-H) = 2 và Vz2(0,0,-H) = 2
h (n + 1) 2
4h

Nên
Vz 2 (0,0, − H )
4n 3
=
f n
Vz1 (0,0, − H ) (n + 1) 2

(1.14)

Khi n  1.
Như vậy, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực lên nửa khơng gian trên
thì các dị thường do các khối vật chất nằm nông hơn sẽ giảm đi rất nhiều so với các
dị thường có nguồn gốc sâu hơn.
Bây giờ ta lại tiếp tục giải tích các dị thường đó xuống nửa khơng gian bên
dưới đến độ sâu H=0.5h. Tương ứng ta có:
Vz1(0,0,H) =

kMh 3
4
4kM
và Vz2(0,0,H) =
2
2
h (2n − 1) 2
h

V z 2 (0,0, H )
n3
=
 n
V z1 (0,0, H ) (2n − 1) 2

khi n>1.

9

(1.15)


Điều này chứng tỏ rằng, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực xuống
nửa không gian bên dưới thì dị thường khu vực Vz2 tăng lên chậm so với dị thường
địa phương Vz1. Dị thường địa phương được làm rõ hơn qua phép biến đổi.
Sau đây là một số bài tốn tiếp tục giải tích cụ thể.
1.2.1. Bài tốn tiếp tục giải tích trường lên nửa khơng gian trên.
Nếu hàm điều hồ cho trước trên hình cầu hay trên mặt phẳng thì để xác định
hàm đó trong khơng gian ngồi người ta có thể sử dụng cơng thức Poisson.
Trong hệ toạ độ vng góc, trục Z hướng xuống dưới, tích phân Poisson có dạng:
z
V(x,y,-z) =
2π

Trong đó:

2π ∞

V (ξ ,η ,0)dηdξ

∫ ∫ [(ξ - x)

− ∞− ∞

2

+ (η − y ) 2 + z 2

]

(1.16)

32

V(x,y,-z) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm (x,y,-z)

V( ξ ,η ,0 ) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm trên mặt phẳng x0y.
Trong hệ toạ độ trụ thẳng đứng (r, α , z) có gốc toạ độ nằm tại hình chiếu của
điểm cần tính hàm trên mặt phẳng x0y thì tích phân Poisson trên sẽ có dạng:
z
V(x,y,-z) =
2π

2π ∞

V (r , α ,0)
rdrdα
2
+ z 2 )3 2

∫ ∫ (r
0 0

(1.17)

Nếu biến đổi tích phân Poisson trong hệ toạ độ vng góc bằng cách lấy tích
phân theo biến η từ − ∞ → ∞ ta sẽ thu được tích phân Poisson trong trường hợp hai
chiều:
z

V(x,-z) =
π

∞

V (ξ ,0)
dξ
2
+ z2

∫ (ξ − x)

−∞

(1.18)

Đối với điểm có toạ độ (0,-h) nằm tại độ cao h thì:
∞

h V (ξ ,0)
dξ
V(0,-h) = ∫ 2
π − ∞ξ + h 2

(1.19)

Trên cơ sở các biểu thức dạng (1.18),(1.19) người ta đã xây dựng các palet
dùng cho việc tính chuyển trường lên các mức cao hơn mặt quan sát [1,2,3].
Để có thể tính tốn trực tiếp mà khơng sử dụng palet, có thể đưa (1.18) về
dạng đơn giản hơn [6]. Biểu thức (1.18) không phụ thuộc vào gốc tọa độ mà phụ

10


thuộc vào hiệu ξ-x nên ta có thể đặt gốc tọa độ ở vị trí trái nhất của tuyến quan sát.
Ta chia đoạn tuyến quan sát ra các khoảng ∆ξ đều nhau, sao cho điểm quan sát nằm
ở trung tâm khoảng chia ấy. Giả sử có m điểm quan sát thì khoảng tích phân sẽ là từ
0 đến m∆ξ như hình 1.1.

Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa khơng gian trên.
Biểu thức (1.18) có thể biến đổi như sau [6]:
1
V(x,-z) =
π
1
=
π

m∆ ξ

∫

0

1
zV (ξ ,0)
dξ ≈
2
2
π

(ξ − x) + z

ξ j + ∆ ξ /2

m

z
dξ =
2
2
ξ j − ∆ ξ /2 (ξ − x ) + z

∑ V (ξ ,0) ∫
j

j =1

m

∑ V (ξ ,0)C j ( x)
j =1

(1.20)

j

Ở đây, V (ξ j ,0) là giá trị trường quan sát, còn các hệ số
C j ( x)

= arctg

ξ j − x + ∆ξ / 2
z

- arctg

C j ( x)

ξ j − x − ∆ξ / 2
z

được xác định :
(1.21)

Công thức (1.20) và (1.21) khá thuận tiện cho việc tính tốn, trong khóa luận
này chúng tơi sẽ tính tốn theo các công thức này. Trong thực tế, giá trị trường ở độ
cao z được tính ở cùng tọa độ quan sát, nghĩa là x1=ξ1 , x2=ξ2 ...
1.2.2. Bài toán tiếp tục giải tích trường xuống nửa khơng gian dưới
Việc tiếp tục giải tích các hàm điều hồ xuống nửa khơng gian bên dưới phức
tạp hơn nhiều so với việc tiếp tục giải tích xuống nửa khơng gian bên trên. Bài tốn
tiếp tục giải tích xuống nửa khơng gian bên dưới là bài tốn khơng ổn định với mỗi

11


biến đổi nhỏ của hàm xuất phát sẽ cho giá trị của hàm được tiếp tục giải tích xuống
dưới bị sai lệch đi rất nhiều.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp để tính chuyển trường xuống nửa khơng
gian bên dưới nhưng ta chỉ xét đến một vài phương pháp thường được sử dụng.
* Phương pháp thứ 1 :

Để tiếp tục giải tích trường ta sử dụng trực tiếp cơng thức Poisson tương tự
(1.18) [2]:
∞

V(0,0) =

h V (ξ , h)
dξ
π −∫ ξ 2 + h 2
∞

(1.22)

Do hàm số chưa biết V( ξ , h ) nằm dưới dấu tích phân nên để giải bài tốn này
ta phải giải phương trình tích phân. Có thể giải phương trình này bằng phương pháp
gần đúng liên tiếp. Bản chất của phương pháp đó như sau:
Trường ở độ cao h so với mặt quan sát sẽ có độ lớn nhỏ hơn so với độ lớn
trường tại mặt quan sát, ta có độ chênh lệch đó, tạm gọi là ∆ 1V ( giả sử trục z hướng
xuống dưới):
∆ 1V = V(0,0) – V(0,-h)

(1.23)

Tương tự, giữa trường ở mặt quan sát và trường ở độ sâu h:
∆ 1V = V(0,h) – V(0,0)

(1.24)

ở đây ta giả sử hiệu số này không đổi khi h thay đổi [3,5], lúc đó với mức gần
đúng bậc nhất thì:

V(0,h) = V(0,0) + ∆ 1V

(1.25)

V(0,h) = 2V(0,0) – V(0,-h)

(1.26)

hay:
Sau đó tiếp tục tính chuyển trường lên mức –2h thì ta sẽ có hiệu số giới nội
trong khoảng (-h,-2h) và ký hiệu hiệu số giới nội này là ∆ 2 V, ta sẽ có công thức
gần đúng:
V(0,h) = V(0,0) + ∆ 1V + ∆ 2 V

(1.27)

hay :
V(0,h)=3V(0,0) – 3V(0,-h) + V(0,-2h)

12

(1.28)


Tiếp tục làm như trên đến hiệu số thứ n thu được công thức gần đúng:
n

V(0,h) =

∑ (−1) C

k

k =0

k +1
n +1

V (0,−kh)

(1.29)

Thay các hàm số V(0,-kh) trong công thức trên bằng tích phân Poisson và tách
riêng số hạng đầu tiên của tổng, ta có:
k

n

k +1
V(0,h) = (n+1)V(0,0) + ∑ (−1) C n +1
k =1

∞

kh
V (ξ ,0)
∫∞ξ 2 + k 2 h 2 dξ
π −

(1.30)

Với:
+1
C k +1 =
n

(n + 1)!
(k + 1)!(n − k )!

(1.31)

Để tính tích phân này người ta thay bằng tổng các tích phân có cận giới nội,
khi đó:
∞

V(0,h) = (n+1) V(0,0) +

∑V K

i = −∞

i

i

(1.32)

Với
n

k

k+
K i = ∑ (−1) C n +11
k =1

n
ξ
ξ
kh ξi +1 dξ
k+ 1
= ∑ (−1) k C n +11 (arctg i +1 − arctg i ) (1.33)
2 2
π ∫ξi ξ + k h
π
kh
kh
k =1

Dựa vào cơng thức trên có thể thành lập các Pa-let để tính chuyển trường
xuống nửa khơng gian dưới.
* Phương pháp thứ 2.
Phương pháp này sử dụng định lý trung bình của Gauss. Trong trường hợp bài
tốn hai chiều, ông cho rằng giá trị trung bình của hàm thế trên vịng trịn chính
bằng giá trị của hàm tại tâm vịng trịn đó:
V(0,0) =

1
V (r , α )dα
2πr ∫

(1.33)

Thay phép lấy tích phân bằng phép lấy tổng và giới hạn số điểm lấy tổng bằng
4, như trên hình 1.2:
V(0,0) = [V(-h,0) + V(h,0) + V(0,-h) + V(0,h)]/4
V(0,h) = 4V(0,0) – V(-h,0) - V(h,0) - V(0,-h)

13

(1.34)
(1.35)


Hình 1.2. Minh họa cho cơng thức 1.34
Trong trường hợp bài tốn 3 chiều, ta thay giá trị trung bình của hàm trên vịng
trịn bằng giá trị trung bình của hàm trên hình cầu với 6 điểm đặc trưng, trong đó có
4 điểm nằm trên mặt phẳng xích đạo và 2 điểm ở 2 cực [5]:
V(0,0,h) = 6V(0,0,0) – V(0,0,-h) - 4 V (r )
V (r ) =

1
[V(-h,0,0) + V(h,0,0) + V(0,-h,0) + V(0,h,0)]
4

(1.36)
(1.37)

nhờ các cơng thức trên ta có thể tiếp tục giải tích xuống nửa khơng gian dưới theo
phương pháp mạng lưới.
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực:

Khi phân tích các số liệu trọng lực, việc tính tốn các đạo hàm bậc cao của thế
trọng lực đóng vai trị quan trọng. Trong nhiều trường hợp các đạo hàm bậc cao cho
phép đơn giản nhiều các thơng số của vật thể. Việc tính các đạo hàm bậc cao hơn so
với các thành phần đo được cũng cho phép người ta phân chia trường thành các
thành phần khu vực và địa phương riêng biệt.
Để tìm các cơng thức tính đạo hàm bậc cao của thế trọng lực theo các giá trị
quan sát được trên mặt đất, người ta có thể vi phân cơng thức Poisson (1.16) hay
(1.17) hoặc dùng nghiệm của bài toán Neuman. Bài toán Neuman là bài tốn tính
hàm V(x,y,z) trong miền Ω bị giới hạn bởi mặt S và thoả mãn các điều kiện sau :
+ Hàm V(x,y,z) liên tục trong toàn bộ miền Ω , kể cả mặt S.

14


+ V(x,y,z) trong miền Ω phải thoả mãn phương trình Laplax (điều kiện để
V(x,y,z) là hàm điều hoà).
+ Đạo hàm theo pháp tuyến của hàm V trên mặt S phải nhận giá trị cho trước.
Hàm thế trọng lực là hàm thoả mãn cả 3 điều kiện trên. Trong hệ toạ độ Đề
các, nghiệm của bài tốn Neuman ngồi được xác định bằng công thức:
1
V(x,y,z) =
2π

∞ ∞

V z (ξ ,η ,0)dξdη

∫ ∫ [(ξ - x)

− ∞− ∞

2

+ (η − y ) 2 + z 2

]

1

(1.38)

2

Như vậy là khi xác định được V z trên mặt phẳng z=0 (tức là xác định được ∆g
trên mặt phẳng quan sát) người ta có thể dựa vào cơng thức trên để tính hàm thế V. Sau
khi đã xác định được hàm V, bằng cách lấy đạo hàm theo các toạ độ tương ứng người
ta có thể xác định được các đạo hàm với các bậc khác nhau của thế trọng lực.
Trên cơ sở này công thức tổng quát để tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng
lực có dạng:
∂ m + n + pV ( x, y, z )
1
=
m
n
p
2π
∂x ∂y ∂z

∞ ∞

∫

∫ Vz (ξ ,η ,0)

− ∞− ∞


∂ m+n+ p 
1
dξdη
1 
m
n
p 
∂x ∂y ∂z  [ (ξ − x) + (η − y ) + z ] 2 

(1.39)

Trong thực tế để tiện lợi cho việc tính tốn, người ta thường viết các cơng thức
tính đạo hàm trong hệ toạ độ trụ. Sau đây là một số công thức thường dùng trong
thực tế:
1
V(0,0,-z) =
2π

2π ∞

1
2π

2π ∞

V x (0,0,− z ) =
V y (0,0,− z ) =

1
2π

V z (r , α ,0) rdrdα

∫∫

(r 2 + z 2 )

0 0

∫∫

∫∫

(r 2 + z 2 )

1
V yy (0,0,− z ) =
2π

3

(1.41)

2

V z (r , α ,0)r 2 sin αdrdα
(r 2 + z 2 )

0 0

1
V xx (0,0,− z ) =
2π

(1.40)

2

V z (r , α ,0)r 2 cos αdrdα

0 0

2π ∞

1

2π ∞

∫∫

3

(1.42)

2

V z ( r , α ,0)(2r 2 cos 2 α − r 2 sin 2 α − z 2 )rdrdα
(r 2 + z 2 )

0 0

2π ∞

∫∫

5

2

V z (r , α ,0)(2r 2 sin 2 α − r 2 cos 2 α − z 2 )rdrdα
(r 2 + z 2 )

0 0

15

5

2

(1.43)

(1.44)

−3
2π

2π ∞

1
V zz (0,0,− z ) =
2π

2π ∞

V ∆ (0,0,− z ) =

∫∫

(r 2 + z 2 )

0 0

∫∫

∫∫

5

2

V z (r , α ,0) zr 2 cos αdrdα

(r 2 + z 2 )

0 0

3
2π

2

(r 2 + z 2 )

2π ∞

3
V yz (0,0,− z ) =
2π

5

V z (r , α ,0)(r 2 − 2 z 2 )rdrdα

0 0

3
V xz (0,0,− z ) =
2π

2V xy (0,0,− z ) =

V z (r , α ,0)r 3 cos 2αdrdα

2π ∞

∫∫

5

2

V z (r , α ,0) zr 2 sin αdrdα
(r 2 + z 2 )

0 0

2π ∞

∫∫

5

2

V z (r , α ,0)r 3 sin 2αdrdα
(r 2 + z 2 )

0 0

5

2

(1.45)
(1.46)

(1.47)

(1.48)
(1.49)

Ngồi những cơng thức để tính đạo hàm bậc một và hàm bậc hai như trên,
trong thực tế người ta cịn sử dụng cơng thức tính đạo hàm bậc ba V zzz vì nó cho độ
phân giải cao. Để tính V

zzz

người ta sử dụng cơng thức Laplax. Tại một điểm bất

kỳ theo phương nằm ngang V zzz được xác định theo công thức:
V zzz (a ) = −

1 5
4
4
1
1

V z (a ) − V z (a + h) − V z (a − h) + V z (a + 2h) + V z (a − 2h)  (1.50)
2 
3
3

12
12
h 2


với, a, (a-h), (a-2h), (a+h), (a+2h) là các điểm nằm trên một đường thẳng và
cách nhau một khoảng là h.
Ngồi cơng thức trên cịn sử dụng một công thức khác:
V zzz =

[

4
V z (0) − V z (h)
h2

]

(1.51)

V z (h) là giá trị trung bình của V trên đường trịn bán kính h.

Để đưa các cơng thức tính đạo hàm 3 chiều về trường hợp 2 chiều ta lấy tích
phân biến η từ (- ∞,+∞ ) trong bài toán Neuman và trong hệ Đềcac:
∞

1
1
V(x,-z) = ∫ V z (ξ ,0) Ln
π −∞

(ξ − x) 2 + z 2

[

]

1

2

dξ

Cơng thức tổng qt để tính đạo hàm hai chiều là:

16

(1.52)


∞

a m+ p
1
a m+ p
1
V ( x,− z ) = ∫ V z (ξ ,0) m p Ln
m p
π −∞
ax az
ax az

(ξ − x ) 2 + z 2

[

]

1

2

dξ

(1.53)

Sau đây là một số cơng thức tính đạo hàm trong trường hợp 2 chiều:
V x (0,− z ) =

∞

1
ξ
∫∞Vz (ξ ,0) ξ 2 + z 2 dξ
π−

(1.54)

∞

1
ξ

dξ
V z (0,− z ) = − ∫ V x (ξ ,0) 2
π −∞
ξ + z2
xx (0,− z ) = −V xx (0,− z ) = V∆ (0,− z ) =

(1.55) V

∞

1
ξ 2 − z2
V z (ξ ,0)
dξ
π −∫
ξ2
∞

(1.56)

∞

1
ξ 2 − z2
dξ
V zz (0,− z ) = ∫ V z (ξ ,0) 2
π −∞
(ξ + z 2 ) 2

(1.57)

∞

2
ξz
dξ
V xz (0,− z ) = ∫ V z (ξ ,0) 2
π −∞
(ξ + z 2 ) 2

(1.58)

Trong trường hợp 3 chiều các cơng thức tính V x , V y ,V xx ,V yy ,V zz và trong
trường hợp hai chiều các cơng thức tính V x ,V z khi z=0 là các tích phân đặc biệt,
chúng chỉ hội tụ với những điểm đặc biệt của hàm số V. Để tránh khó khăn này ta
thay V(r, α ,0 ) bằng V(r, α ,0 )– V(0,0,0). Việc thay thế này khơng ảnh hưởng tới kết
quả tính, nhờ các thay thế này mà các thành phần sẽ nhận các giá trị giới nội [3,5].
Để tính gần đúng tích phân trên trong trường hợp 3 chiều, người ta chia tồn
bộ diện tích lấy tích phân bằng những vịng trịn đồng tâm và các tia xuyên tâm. Với
hướng tính như vậy, rất nhiều palet được xây dựng giúp cho việc tính tốn các đạo
hàm được tiện lợi như palet Malovisco, palet Vexelop, palet Chepkin để tính đạo
hàm thẳng đứng và palet để tính đạo hàm ngang [5].

17


Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c)

Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang
Nhìn chung, các sách giáo khoa kinh điển về thăm dò từ và trọng lực

[1,2,3,4,5,6] đều khơng đưa các cơng thức giải tích để có thể tính tốn các đạo hàm
bậc cao của thế trọng lực. Trong trường hợp bài toán hai chiều, một số tác giả đề
xuất cách tính đơn giản theo định nghĩa đạo hàm [6,8]:
(1.59)

18


(1.60)
Cơng thức (1.59), (1.60) để tính đạo hàm theo phương nằm ngang và thẳng đứng.
1.4. Tính đạo hàm ngang cực đại
Việc tính đạo hàm ngang (tương tự (1.59) hay trong miền tần số) khơng có gì
mới lạ, bài tốn này nhằm xác định điểm uốn của đường cong quan sát. Điểm uốn
của đường cong trường trọng lực quan sát thường là nơi chuyển tiếp giữa hai khối
có mật độ khác nhau.
Với số liệu quan sát trên diện, ta có thể tính được đào hàm theo cả chiều x và y
như sau:

(1.61)
Hướng của véc tơ gradient tổng xác định theo qui tắc hình bình hành:

(1.62)
Giá trị cực đại H[G(x,y,z)] và điểm có cực đại X max được xác định bằng đa
thức bậc 2 dạng: a X2max + b Xmax + c . Đây là đường cong hồi qui đi qua điểm xem
xét và hai điểm lân cận.

19


CHƯƠNG 2

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
Ta sẽ chuyển sang việc nghiên cứu các phép biến đổi trường bằng phương
pháp phổ. Để thực hiện việc này phải sử dụng phép biến đổi Fourier và các ứng
dụng của nó trong miền tần số ta sẽ xem xét qua về phép biến đổi Fourier và các
định lý về phổ [3,4].
2.1. Phép biến đổi Fourier
2.1.1. Định nghĩa
Một hàm F(x) không tuần hồn bất kỳ và có giới hạn nào đó có thể được biểu
diễn dưới dạng tích phân Fourier:
1
F(x)=
π

∞

∫ S (ω )e

jωx

dω

(2.1)

− jωx
S( ω ) = ∫ F ( x)e dx

(2.2)

−∞

Trong đó:
∞

−∞

Theo (II-1) và (II-2) với j= − 1 , ω là tham số đo bằng Radian/m.
Hàm số không tuần hồn F(x) được biểu diễn bằng tổng vơ cùng lớn các hàm
có các thành phần tuần hồn vơ cùng nhỏ, rất gần với tần số. Người ta gọi mối quan
hệ giữa F(x) và S( ω ) là phép biến đổi Fourier, trong đó ω là tần số, S( ω ) là phép
biến đổi Fourier, trong đó ω là tần số, S( ω ) là phổ phức của hàm F(x), S (ω ) là
Modun của phổ:
S (ω ) = Re s 2 (ω ) + Im s 2 S (ω )

(2.3)

Trong đó, Res( ω ) là phần thực của phổ.
Ims( ω ) là phần ảo của phổ.
Góc ϕ (ω ) = Arctg

Im s(ω )
Re s(ω )

gọi là phổ pha.
Biến đổi Fourier 2 chiều của F(x,y) có dạng:

20

(2.4)

∞ ∞

1

F(x,y)= 2π ∫ ∫ S (u, v)e

j (uv+vv )

(2.5)

dudv

−∞ −∞

ở đây
1
S(u,v)=
2π

∞ ∞

∫ ∫ F ( x , y )e

− j ( ux + vy )

dxdy

(2.6)

− ∞− ∞

là phổ của hàm F(x,y), u và v là các tần số.
Trong hệ toạ độ cực thì x=rcos ϕ , y=rsin ϕ , u= ρ cos ϕ , v= ρ sin θ , dxdy=rdrd
ϕ , dudv= ρ d ρ d θ .
Khi đó, nếu x, y biến thiên từ − ∞ → +∞ thì r biến đổi từ 0 → ∞ cịn ϕ từ 0 → 2
π và ρ , θ cũng bị biến đổi như vậy nếu u và v biến thiên từ − ∞ → +∞ . Chuyển
sang hệ toạ độ cực, ta có:
F( r , ϕ )=
1
=
2π

1
2π

2π ∞

∫ ∫ S ( ρ ,θ )e

jrρ (cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ )

ρdρdθ =

0 0

2π ∞

∫ ∫ S ( ρ ,θ )e

jrρ cos(θ −ϕ )

ρdρdθ

(2.7)

0 0

Lấy tích phân vế trái và vế phải của biểu thức trên theo ϕ và đặt:
1
F(r)=
2π

2π

∫ F (r, ϕ )dϕ

(2.8)

0

là giá trị trung bình của F(r, ϕ ) trên đường trịn bán kính
r = x2 + y2

và
S (ρ ) =

1
2π

2π

∫ S ( ρ , θ ) dθ

(2.9)

0

là giá trị trung bình của S ( ρ , θ ) trên đường trịn bán kính
ρ = u2 + v2

và
F(r)=

1
2π

∞ 2π

∫ ∫ S ( ρ )e
0 0

21

jrρ cos(θ −ϕ )

ρdρdϕ

(2.10)

hay
2π

∞

1
jrρ cos(ϕ −θ )
dϕ
F(r)= ∫ S ( ρ )ρdρ ∫ e
2π 0
0

(2.11)

về mặt tốn học [4] ta có:
2π

∫e

± jr ρ cos(φ −θ )

0

dφ = 2π J 0 ( ρ r )

(2.12)

cuối cùng :
∞

F(r)= ∫ S ( ρ )J 0 ( ρr ) ρdρ

(2.13)

0

Lập luận tương tự như trên, ta có:
∞

S( ρ ) = ∫ F (r ) J 0 ( ρr )rdr

(2.14)

0

Trong đó: J 0 ( ρr ) là hàm Bessel trụ bậc 0, (2.13) và (2.14) gọi là biến đổi
Hanken bậc 0.
2.1.2. Các định lý về phổ
* Định lý về phép cộng:
Giả sử hàm F(x)= ∑ Fk ( x) thì
k
S( ω )=

∞

− jωx
∫ ∑ Fk ( x)e dx =

−∞ k

∞

∑ ∫ F ( x )e

− jωx

k

k −∞

dx = ∑ S k (ω )

(2.15)

k

nghĩa là phổ của tổng các hàm bằng tổng của phổ các hàm thành phần. Định lý này
chứng tỏ rằng phép biến đổi Fourier là tuyến tính.
• Định lý về dịch chuyển:
Giả sử, F ξ (x) = F(x- ξ ), thì khi đó:
S ξ (ω ) =

∞

∫

−∞

Fξ ( x)e − jω x dx =

∞

∫

F ( x − ξ )e − jω x dx

(2.16)

−∞

Nếu đặt biến t=x- ξ thì chúng ta nhận được:
S ξ (ω ) = e

− jωξ

∞

∫

F (t )e − jωt dt

(2.17)

−∞

22