CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


1

CHUYÊN : TÍCH PHÂN HÀM LNG GIÁC

PHNG PHÁP BIN I S TRONG TÍCH PHÂN HÀM LNG GIÁC

Dng 1: Tính tích phân dng
 
cos .sin
I f x x dx




đt
cos sin
t x dt dx
   


Bài tp gii mu:

Bài 1: (HTS – 1999) Tính tích phân sau
 
2
2
0

sin cos 1 cos
I x x x dx

 


Gii:
Cách 1: Ta có:
 
   
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sin
I x x x dx x x x x dx x x x xdx
  
       
  

t
cos sin
t x dt xdx
   

i cn
0
1
0
2

x
t
t
x







 






Khi đó
   
0 1
2 3 4
2 3 2 3
1 0
1
2 17
2 2
0
2 3 4 12
t t t

I t t t dt t t t dt
 
          
 
 
 

Cách 2:
 
   
 
2 2 2
2
2 2 3
0 0 0
2 3 4
sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos
cos 2cos cos 17
2
2 3 4 12
0
I x x x dx x x x x dx x x x d x
x x x
  

        
 
    
 
 

  

Cách 3:
t
sin
1 cos
cos 1
xdx dt
t x
x t
 

  

 

… bn đc t gii (cách này là d nht)
Cách 4:
t
     
 
3
2 2 1 cos
sin 1 cos 1 cos 1 co
sin
cos
s
3
du
x

x x
xdx
u x
d
v
d xv xdx
 



 

 
 

  
 





Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


2

       
 
2 2
3 3 3
0 0
4
1 2 1
1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos
2
3 3 3
0
2 1 17
1 cos
2
3 12
1
c
12
os .
3
0
x x x dx x d x
I
x
x
 


      

   
 
 

Bài 2: Tính tích phân sau
2
3
sin
dx
I
x





Gii:
Cách 1:
Nhân c t và mu cho
sin
x
ta đc
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin
sin 1 cos
dx xdx xdx
I

x
x x
  
  
  

  

t cos sin
t x dt xdx
   

i cn
0
2
1
2
3
t
x
t
x







 


 

 





Khi đó
 
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2
1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 2 1
1 1
1
1 1
ln 1 ln 1 ln 3
2
2 2
0
dt dt dt dt
I dt
t t t t

t t
t t

 
      
 
   
 
 
     
    

Cách 2:
t
2
2
1 2
tan tan 1
2 2 2
1
x x dt
t dt dx dx
t
 
     
 

 

2

2
1 1 2 1
.
2
sin
1
1
tdt
dx dt
t
x t
t
t
  



i cn
3
3
3
1
2
x
t
x
t








 

 
 






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


3

Khi đó
 
1
2
3
3
3
1

1 1 3 1
ln ln ln3.
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t


     
 

Cách 3:
2 2 2 2
2
3 3 3 3
tan
1
2
2
ln tan ln3
sin 2 2
2sin cos 2 tan cos tan
2 2 2 2 2
3
x
d
dx dx dx x
I dx
x x x x x

x
   
   


 
 
 
     
   

Cách 4:
   
  
 
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
1 cos 1 cos
sin sin 1
cos
sin 2 1 cos 1 cos
sin 1 cos
x x
dx xdx xdx
I d x
x x x
x x
   
   

  
    
 

   

     
2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
cos 1 cos 1 cos
2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos
d x d x d x
x x x x
  
  
 
       
 
   
 
  

1 1 1
2 2
ln 1 cos ln 1 cos ln 3
2 2 2
3 3
x x
 

 
     
Cách 5:
t
2
sin
c
c
os
o
n
t
si
u x
du xdx
dx
v
d
x
x
v






 
 





…. Bn đc t gii nhé
Bài 2: (H – A 2005) Tính tích phân sau
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x






Gii:
Cách 1:
Ta có:


sin 2 sin sin 2cos 1
x x x x
  
.
t
1 3cos
t x

  ta đc
3sin sin 2
3
2 1 3cos 1 3cos
x x dt
dt dx dx
x x

   
 
;
2 2
1 2 1
cos 2cos 1
3 3
t t
x x
 
   
i cn
0
2
1
2
x
t
t
x








 






Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


4

2
2
3
1
2
4 2 4 2 34
1
9 9 27 9 27
t

I dt t t
 
 
    
 
 
 
 


Cách 2: t
1 3cos
t x
 
… bn đc t gii
Cách 3:
t
 
2cos 1
2sin
1 3cos
2
sin
1 3cos
3
1 3cos 3 1 3cos
u x
du x
d x
x

v x
dv dx
x x
 

 

 


 
    
 

 


Khi đó

   
 
2 2
0 0
3
2 4 2 4
2cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos
2
3 3 3 9
0
2 8 34

1 3cos
2
3 27 27
0
I x x x xdx xd x
x
 


         
   
 

Cách 4:
Phân tích
 
 
 
   
2 1
1 3cos
sin 2 sin 1 2cos 1 1
3 3
. 1 3cos . 1 3cos
3 3
1 3cos 1 3cos 1 3cos
2 1
1 3cos 1 3cos 1 3cos
9
9 1 3cos

x
x x x
dx d x d x
x x x
xd x d x
x
 
 
      
  
     


… n đây thì quá d rùi, bn đc t làm nhé
Chú ý:
Nu ta đt
cos
t x

thì tích phân ban đu tr thành tích phân hàm hu t li phi đt ln na mt công nên ta
la chn cách nào là phù hp nht
Tng quát:





dx
xdc
xbxa

cos
sin2sin.
hoc
.sin 2
s
a x bcosx
dx
c d inx





ta đt
cos
c d x t
 
.
Bài 3: (H – B 2005) Tính tích phân sau
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
I dx
x





Gii:
Cách 1:
Ta có
2
2 2
0 0
sin 2 .cos sin .cos
2
1 cos 1 cos
x x x x
I dx dx
x x
 
 
 
 

t
sin
1 cos
cos 1
dt xdx
t x
x t
 

  

 



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


5

i cn
1
2
2
0
t
x
t
x







 







Khi đó
 
2
1 2
2
2 1
1 2
1
2 2 2 2 2 ln 2ln 2 1
12
t
t
I dt t dt t t
t t

 
 
         
 
 
 
 
 

Cách 2:
 
 

 
2
2
2 2 2
0 0 0
2
2
0
1 cos 1
sin 2 .cos sin .cos
2 2 cos
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln 2 1
2
1 cos 2
0
x
x x x x
I dx dx d x
x x x
x
x d x x x
x
  


 
 
 

  
  
 
 
        
 
 

 
 
  


Chú ý:




cos 1 cos
d x d x
  và ta có th đt
cos
t x


Tng quát:
sin 2 .cos
.cos
a x x
I dx

b c x





ta đt
.cos
t b c x
 
hoc
cos
t x


Bài 4: ( 68 IVa) Tính tích phân sau
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x





Gii:

Ta có


  


3 3
3
2
4sin 1 cos 4sin 1 cos
4sin
4sin 4sin cos 4sin 2sin 2
1 cos 1 cos 1 cos
sin
x x x x
x
x x x x x
x x x
x
 
     
  

Cách 1:
Khi đó
   
3
2 2
0 0
4sin

4sin 2sin 2 cos2 4cos 2
2
1 cos
0
x
I I dx x x dx x x
x
 

      

 

Cách 2:
   
3
2 2
2
2 2
0 0
0 0
4sin
4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 2
2 2
1 cos
0 0
x
I dx x x x dx xdx xd x x x
x
 

 
 
        

   

Cách 3:
 
2
3
2 2
0 0
4 1 cos sin
4sin
1 cos 1 cos
x x
x
I dx dx
x x
 

 
 
 

t
sin
1 cos
cos 1
dt xdx

t x
x t
 

  

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


6

i cn
1
2
2
0
t
x
t
x








 






Khi đó
 
 
 
2
1 2
2
2 1
4 1 1
2
4 8 2 8 2
1
t
I dt t dt t t
t
 
 
 
        
 

Chú ý: Có th đt
cos
t x


Cách 4:
t
2
2
2
2
tan sin
2
1
1
cos
1
dt
dx
x t
t x
t
t
x
t






  










Chú ý: Nu ta phân tích theo hng sau
3
4sin 4sin (1 cos )(1 cos )
4sin 2sin 2
1 cos 1 cos
x x x x
x x
x x
 
  
 
… li có my cách khác, bn đc t làm và khám
phá nhé!
Tng t
3
2
0
4cos

2
1 sin
x
I dx
x

 



Bài 5: Tính tích phân sau
12
0
tan 4
I xdx




Gii:
Cách 1:
Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
cos 4
x
xdx dx
x

 

 

t
cos 4 4sin 4 sin 4
4
dt
t x dt xdx xdx
      

i cn
0 1
1
12 2
x t
x t

 
 
 

 
 
 
 

Khi đó
1
1

12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
cos 4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
x t t
 
      
   

Cách 2:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


7

 
12 12 12
0 0 0
cos 4

sin 4 1 1 1
tan 4 ln cos4 ln 2
12
cos 4 4 cos 4 4 4
0
d x
x
I xdx dx x
x x
  

      
  

Bài 6: Tính tích phân sau
3
2
4
cos
1 sin
x
I dx
x






Gii:

 
 
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
1 sin
cos cos
cos cos 1 sin cos
1 sin 1 sin 1 sin
x
x x
I dx xdx xdx x xdx
x x x
   
   

    
  
   

n đây ta đt
1 sin
t x
 

Hoc
 
2 2 2
4 4 4

1 1 3 2 2
2
cos cos sin cos sin 2 sin sin 2
2 4 4
4
I x x x dx xdx xdx x x
  
  



 
      
 
 
  


Bài tp t gii có hng dn:
Bài 1: (HTL – 2000) Tính tích phân:
2
2 2
0
3sin 4cos 3
ln3
6
3sin 4cos
x x
I dx
x x




  



HD:
Tách làm hai tích phân
2 2
2 2 2 2
0 0
sin cos
3 4
3sin 4cos 3sin 4cos
x x
I dx dx
x x x x
 
 
 
 
kt hp vi công thc
2 2
sin cos 1
x x
 
ta s đc kt qu
Cách khác: S dng tích phân liên kt là
2

2 2
0
3cos 4sin
3sin 4cos
x x
J dx
x x






Bài 2: (DBH – A 2005) Tính tích phân sau
3
2
0
3
sin .tan ln 2
8
I x xdx

  


HD:
Ta có
 
2 2
sin

sin .tan 1 cos
cos
x
x x x
x
  và đt
cos
t x


Bài 3: (HQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau
2
0
sin3
1 3ln 2
1 cos
x
I dx
x

   



HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

8

Ta có
 
2
3
2 2 2
0 0 0
sin 4 cos 1
sin3 3sin 4sin
1 cos 1 cos 1 cos
x x
x x x
I dx dx dx
x x x
  


  
  
  
và đt
1 cos
t x
 

Bài 4: (HQGHN – A 1997) Tính tích phân sau
3
2

2
0
sin
1
2
1 cos
x
I dx
x


  



HD:
Ta có
3 2
2 2
sin 1 cos
sin
1 cos 1 cos
x x
x
x x


 
và đt
cos

t x


Bài 5: Tính tích phân sau
2
2 2
0
sin
ln 2
sin 2cos .cos
2
x
I dx
x
x x

 



HD:
Ta có
 
2 2 2
sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos
2
x
x x x x x x
      và đt
1 cos

t x
 

Bài 6: (HNN  – B 1998) Tính tích phân:
2
0
cos 2
1
1 cos 2
x
I dx
x


  



Bài 7: Tính tích phân:
3
6
0
sin3 sin 3 1 1
ln 2
1 cos3 6 3
x x
I dx
x



   



HD:
Phân tích


3 2
sin 3 sin 3 sin 3 1 sin 3 sin 3 .cos3
x x x x x x
    và đt
1 cos3
t x
 

Bài 8: (HDB – 2004) Tính tích phân sau:
2
cos
0
sin 2 2
x
I e xdx

 


HD:
S dng công thc nhân đôi
sin 2 2sin cos

x x x

và đt
cos
t x


Bài 9: (HDB – 2005) Tính tích phân sau:
 
1
4
sin
2
0
tan cos ln 2 1
x
I x e x dx e

    


HD:
Tách ra thành tng hai tích phân đn gin
Bài 10: (H – D 2005) Tính tích phân sau:
 
2
sin
0
cos cos 1
4

x
I e x xdx e


    


HD:
Tách ra thành tng hai tích phân đn gin
Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau:
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx
x





www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


9

Bài 12: Tính tích phân sau:
3
0
2sin 2 sin
6cos 2
x x
I dx
x






HD:
t
6cos 2
t x
 
hoc
6cos 2
t x
 

Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau:
 
2
3
4 4

4 4
0 0
1 cos sin
4sin
4
1 cos 1 cos
x x
x
I dx dx
x x
 

 
 
 

HD: t
cos
t x


Bài 14: Tính tích phân sau:
2
2
0
cos
4
1 cos
x
I dx

x


 



HD:
Phân tích
2 2
1 cos 2 sin
x x
   t đó đt
sin
t x


Bài 15: Tính tích phân sau
2
2
0
sin 4 3
2 6ln
4
1 cos
x
I dx
x

  




HD:
Phân tích
2
sin 4 2sin 2 cos2
1 cos2
1 cos
1
2
x x x
x
x




và đt
3 cos 2
t x
 
hoc
cos 2
t x


Dng 2: Tính tích phân dng
 
sin .cos

b
a
I f x xdx


đt sin cos
u x du xdx
  

 tính tích phân dng
.sin 2 .sin
.cos
a x b x
dx
c d x



ta đi bin bng cách đt
.cos
t c d x
 

Bài tp gii mu:

Bài 1: (H – B 2003) Tính tích phân sau
2
4
0
1 2sin

1 sin 2
x
I dx
x






Gii:
Cách 1:
Ta có
2
4 4
0 0
1 2sin cos2
1 sin 2 1 sin 2
x x
I dx dx
x x
 

 
 
 

t
1 sin 2 cos2
2

dt
x t xdx
   

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


10

i cn
2
4
1
0
t
x
t
x







 







Khi đó
2
1
2
1 1 1
ln ln 2
1
2 2 2
dt
I t
t
  


Hoc đt
sin 2
x t


Cách 2:
 
 
 
'
4 4 4

0 0 0
1 sin 2
cos 2
1 1 (1 sin 2 ) 1 1
ln 1 sin2 ln 2
4
1 sin 2 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
0
x
x
d x
I dx dx x
x x x
  



     
  
  

Cách 3:
Bin đi




2
1 – 2sin cos sin cos – sin
x x x x x

  và
 
2
1 sin 2 cos sin
x x x
  
 
2
4 4 4
0 0 0
cos sin
1 2sin cos sin 1
ln cos sin ln 2
4
1 sin 2 cos sin cos sin 2
0
d x x
x x x
I dx dx x x
x x x x x
  


 
     
  
  

Hoc đt
sin cos

t x x
 

Bài 2: Tính tích phân sau



3
0
2
2cos2
cos

dx
x
x
I
Gii:
t
sin cos
t x dt xdx
  

i cn
0
0
3
3
2
t

x
x
t





 

 


 



Khi đó







2
3
0
2
2

3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I


t
3 3
cos sin
2 2
t u dt udu
   
i cn
0

2
3
2
4
t
u
t
u







 

 

 





Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

11

 
3
2
2 2 4
2 20
4 4
4
3
sin
1 1 1 1
2
2 3 2 3 2 2 4 2
1 cos
2 2
udu
dt
I du u
t u

 
 


    
 
  

Chú ý:
Ta có th dùng mt bc đt là
3
sin cos
2
x u
 thì bài toán s nhanh hn
Bài 3: Tính tích phân sau
cos3
sin
x
I dx
x



Gii:
   
 
   
2 2
3 2
0
2
4cos 3 4 1 sin 3
cos3 4 cos 3cos
.cos . sin
sin sin sin sin
1 1

4sin sin 4. sin ln sin
sin 2
x x
x x x
I dx dx xdx d x
x x x x
x d x x x C
x

  

    
 
      
 
 
   


Hoc đt
sin
t x


Bài 4: Tính tích phân sau
2
2
sin
0
sin 2

x
I e xdx




Gii:
t
2
sin sin 2
t x dt xdx
  
i cn
0
0
1
2
x
t
t
x







 







Khi đó
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e

    
 

Hoc
 
2 2 2
2 2
sin sin 2 sin
0 0
sin 2 sin 1
2
0
x x x

I e xdx e d x e e
 

    
 


Bài tp t gii và có hng dn
Bài 1: (B đ 96) Tính tích phân sau
2
0
cos
2 cos 2
x
I dx
x





HD:
Ta có
2
2 cos 2 3 2sin
x x
   và đt
sin
t x


Bài 2: (C K thut Cao Thng – 2006) Tính tích phân sau
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


12

 
2
3
2
0
15
sin 2 1 sin
4
I x x dx

  


HD:
Ta có




3 3

2 2
sin 2 1 sin 2sin 1 sin cos
x x x x x
   và đt
sin
t x


Bài 3: Tính tích phân sau
4
0
1 tan .tan sin
2
x
I x xdx

 
 
 
 


HD:
Ta có
2
2sin cos sin
sin 1 cos
2 2 2
tan .tan .sin . .sin .sin .sin
2 cos cos 2 cos

cos
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x

  
và đt
cos
t x


s:
2 1
1 ln 2
2 4 2
I

   
Bài 4: (HN – 1998) Tính tích phân sau
2
2
0
cos
4
1 cos
x
I dx

x


 



HD:
Phân tích
2 2 2
1 cos 1 1 sin 2 sin
x x x
      và đt
2
2 sin
t x
  hoc
2
2 sin
t x
 
Bài 5: (HBKHN – 1998) Tính tích phân:
 
2
4 4
0
cos2 sin cos . 0
I x x x dx

  



HD:
Phân tích
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
   và đt
sin 2
t x


Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau:
2
2
0
sin 2 4
ln
3
4 cos
x
I dx
x

 



Bài 7: (H BCVT – 1997) Tính tích phân sau:
3
2
2
0
sin cos
1 cos
x x
I dx
x





Bài 8: (CSP HCM – 1997) Tính tích phân sau:
6
2
0
cos 10
ln
9
6 5sin sin
xdx
I
x x

 
 


Bài 9: (CHQ – 1999) Tính tích phân sau
2
0
cos
7 cos2 6 2
x
I dx
x


 



Bài 10: (CHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau
2
2
0
cos
11 7sin cos
xdx
I
x x


 


www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


13

Bài 9: Tính tích phân
2
6 3 5
0
12
1 cos .sin .cos
91
I x x xdx

  


HD:
6
3 3 6
1 cos cos 1
t x x t
    
. Hoc
3
1 cos
t x
 

Dng 3: Tính tích phân dng
2
2
sin
sin 2
cos
b
a
x
I f xdx
x
 


 


 

 

đt
2
2
sin sin 2
sin 2
cos
x du xdx
u

du xdx
x



 


 





Bài tp gii mu:

Bài 1: Tính tích phân sau
2
2
0
sin 2
1 cos
x
I dx
x





Gii:
t
2
1 cos sin 2 sin 2
t x dt xdx xdx dt
       

i cn
0
2
1
2
x
t
t
x







 






Khi đó
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.
1
1 cos
x dt dt
I dx t
t t
x

     

  

Hoc
 
2
2 2
2
2 2
0 0
1 cos
sin 2
ln 1 cos ln 2
2

1 cos 1 cos
0
d x
x
I dx x
x x
 


      
 
 

Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau
4
2
0
sin 4
1 cos
x
I dx
x





Gii:
Ta có:
4 4

2 2
0 0
sin 4 2sin 2 cos2
1 cos 1 cos
x x x
dx dx
x x
 

 
 

t
2
1 cos 2sin cos sin 2
t x dt x xdx xdx
       và


2 2
cos 1 cos 2 2cos 1 2 1 1 2 3
x t x x t t
         

i cn
0 2
3
4 2
x t
x t


 
 
 

 
 
 
 

Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


14

 
 
3 3
2
2 2
3
2 2
2
2
2 2 3
6 6 4

4 4 4 6ln 2 6ln
3
3
2
t dt
I dt dt t t
t t t
 
   
         
   
   
  

Cách khác:
 
 
 
 
 
 
2
2
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
2
4 4
2 2

2
0 0
2 1 cos 3
sin 4 2sin 2 cos2 2cos 1
2 1 cos 2 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
1 cos
4
8 sin sin 6 4sin 6ln 1 cos 2 6ln
4
3
1 cos
0
x
x x x x
I dx dx d x d x
x x x x
d x
xd x x x
x
   
 

 

       
   

        


   
 

Hoc phân tích
2
sin 4 2sin 2 .cos2 sin 2 .cos 2
4
1 cos 2
3 cos 2
1 cos
1
2
x x x x x
x
x
x
 




và đt
3 cos 2
t x
 

Bài 3: Tính tích phân sau
 
2
3

2
0
sin 2 1 sin
I x x dx

 


Gii:
t
2
1 sin 2sin cos sin 2
t x dt x xdx xdx
    
i cn
0
1
2
2
x
t
t
x








 






Khi đó
 
2
4
2
3
2 3
0 1
2
1 15
sin 2 1 sin 4
1
4 4 4
t
I x x dx t dt

      
 

Cách khác:
     
 
4

2
2 2
3 3
2 2 2
0 0
1 sin
15
sin 2 1 sin 1 sin 1 sin
2
4 4
0
x
I x x dx x d x
 


      
 

Bài 4: (H – A 2006) Tính tích phân sau:
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x






HD:
Cách 1: Phng pháp phân tích kt hp bin đi s
2 2
2 2 2
0 0
sin 2 sin 2
1 sin 4sin 1 3sin
x x
I dx dx
x x x
 
 
  
 

t
2
1 3sin sin 2
3
dt
t x xdx
   
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

15

i cn
4
2
1
0
t
x
t
x







 






Khi đó
14 4
2
1 1

4
1 1 2 2
1
3 3 3 3
dt
I t dt t
t

   
 

Hoc đt
2
1 3sin
t x
 
Chú ý: Không cn bin đi mà có th đt luôn
2 2
cos 4sin
t x x
  hoc
2 2
cos 4sin
t x x
 
Cách 2:
   
 
1
2 2 2

2 2
2
2 2 2
0 0 0
2
sin 2 sin 2 1
1 3sin 1 3sin
3
1 sin 4sin 1 3sin
2 2
1 3sin
2
3 3
0
x x
I dx dx x d x
x x x
x
  


    
  
  
  

Cách 3:
Ta có
2 2
0 0

sin 2 sin 2
1 cos 2 1 cos 2 5 3cos 2
4
2 2 2
x x
I dx dx
x x x
 
 
  

 

Và đt
5 3cos 2
2
x
t

 hoc
5 3cos 2
2
x
t


Tng quát:  tính I =
2
2 2 2 2
0

sin cos
cos
x xdx
a x b sin x



vi a, b

0
Ta đt: u =
2 2 2 2
cos
a x b sin x

Bài 5: Tính tích phân sau
I
2
2 2
0
sin cos
4cos 9
x xdx
x sin x





HD :

t u =
2 2
4cos 9
x sin x
  u
2
=
2 2
4cos 9
x sin x

5sin cos
udu x xdx
 

Khi đó
I
3
3
2
2
1 1 1
.
5 5 5
u d u
u
u
  


Bài 6: (HTCKTHN - 95) Tính tích phân sau
2
2 2 2 2
0
sin .cos
cos sin
x x
I dx
b x c x





HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


16

Nu
2 2
b c b c
   
thì
2
0

1 1
sin 2
2 2
I xdx
b b

 

;
Nu
2 2
b c b c
   
thì đt
2 2 2 2
cos sin
t b x c x
  . Khi đó


2 2
2 2 2 2
sin .cos .
cos sin
c b x x dx
dt
b x c x




và tính đc
1
I
b c



Bài 7: Tính tích phân sau
2
2 2 2 2
0
sin cos
sin cos
x x
I dx
a x b x





Gii:
Cách 1:
Ta có
   
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0

sin cos sin cos sin cos
cos sin
1 sin sin sin
x x x x x x
I dx dx dx
a x b x
a x b x b a x a
  
  

   
  

t
   


2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 sin cos
sin sin
sin cos
tdt b a x xdx
t b a x a t b a x a
tdt
x xdx
b a

 


       






i cn
2
0
t b
x
t a
x


 

 

 







Khi đó

 
2 2
2 2
2 2
1 1
.
b
a
b
b a
tdt
I t
b a a b
t b a a
b a

   
 




Cách 2:
t
2 2 2 2 2 2
sin cos 2( )sin cos
t a x b x dt b a x xdx
     
i cn
2

2
0
2
x t a
x t b


  


  



Nu
ba 
Khi đó
 
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
0
sin .cos 1 1 1
2
.sin .cos

b
b
a
a
a b
x x dt
I dx t
a b
b a b a
b a t
a x b x


    

 


 

Nu
ba 
Khi đó
2 2 2
2
2 2 2 2
0 0 0
0
sin .cos sin .cos 1 1 1
sin 2 cos2

2 4 2
.sin .cos
x x x xdx
I dx xdx x
a a a a
a x b x
  

     

  


Bài tp t gii có hng dn:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


17

Bài 1: (HNT – 2001) Tính tích phân sau
4
6 6
0
sin 4 4
ln 2
3
sin cos

x
I dx
x x

 



HD:
Phân tích
6 6
2
sin 4 2sin 2 cos 2
3
sin cos
1 sin 2
4
x x x
x x
x



và đt
sin 2
t x

hoc
2
3

1 sin 2
4
t x
 
Hoc
4
2 2
2
0
1 1 3 1 3 4
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln 2
4
3
3 4 3 4 3
1 sin 2
0
4
I d x x
x



 
     
 
 



Bài 2: Tính tích phân sau:

tan
4
2
0
cos
x
e
I dx
x




HD: t
tan
t x


Bài 3: ( 104) Tính tích phân sau:
3 3
8 8
2 2 2 2
8 8
1 1
4
sin cos cos sin
dx
I dx
x x x x
 

 
 
   
 
 
 

Cách 2: Phân tích
3
8
2
8
4
sin 2
dx
I
x





Cách 3: t
tan
2
x
t 

Dng 4: Tính tích phân dng
 

2
1
tan
cos
I f x dx
x




đt
 
2
2
1
tan 1 tan
cos
u x du dx x dx
x
    
Hoc:
 
 
2
tan 1 tan
I f x x dx


 


đt
2
1
tan
cos
u x du dx
x
  

Bài tp gii mu:

Bài 1: Tính tích phân sau
4
0
1 tan
dx
I
x





Gii:
t
 
2
2 2 2
1
tan 1 tan

cos 1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
x x t
       
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


18

i cn
0
0
1
4
x
t
t
x








 






Khi đó
 
 
 
 
1 2 3
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2
1 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
 


 
     
  
 
 
  
 
 
 
  

Tính:
1
1
0
1
1 1 ln 2
ln 1
0
2 1 2 2
dt
J t
t
   



Tính:



2
1 1
2
2
2 2
0 0
1
1
1 1 1 ln 2
ln 1
0
2 4 4 4
1 1
d t
tdt
J t
t t

    
 
 

Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1

2 2 8
1
dt
J du
t


  

 
(vi
tan
t u

)
Vy
ln 2 ln 2 ln 2
2 4 8 8 4
I
 
    
Cách 2:
Phân tích




cos sin cos sin
1 cos 1
.

1 tan sin cos 2 sin cos
x x x x
x
x x x x x
  
 
  

Khi đó
 
 
4 4
0 0
sin cos
1 1 1 1
ln sin cos ln 2
4
2 2 sin cos 2 8 4
0
d x x
I dx x x x
x x
 



      

 

Hoc: S dng đng nht thc




cos cos sin cos sin
x A x x B x x
    đng nht hai v tìm A và B

Bài 2: Tính tích phân
 
2
4
4 2
4
sin
cos tan 2tan 5
x
I dx
x x x




 


Gii:
Phân tích
   

2 2
4 4
4 2 2 2
4 4
sin tan
cos tan 2tan 5 tan 2tan 5 .cos
x x
I dx dx
x x x x x x
 
 
 
 
   
 

t
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
  
i cn
1
4
1
4
x

t
t
x









 
 


 



Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


19




 
 
1 1 1 1
2
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1
2 2
3
2 5 2 5
1 4
1
ln 2 5 3 2 5ln 2 3
1
t
t dt
I dt dt dt
t t t t
t
t t t I I
   

   
   
 
       

   

Tính
 
1
1
2
1
1 4
dt
I
t


 


t


2
1 2 tan 2 tan 1
t u dt u du
    
Khi đó


 
2
0 0
1

2
4 4
0
2 tan 1
1 1
2 2 8
4 tan 1
4
u
I du du u
u
 


 

   


 

Vy
3
2 5ln 2
8
I

  
Bài 3: Tính tích phân sau
4

4
0
1
cos
I dx
x




Gii:
Cách 1:
Ta có
4 4
4 2 2
0 0
1 1 1
.
cos cos cos
I dx dx
x x x
 
 
 

t
2
1
tan
cos

t x dt dx
x
  
i cn
0
0
1
4
x
t
t
x







 






Khi đó
 
1
3

4
2
4
0 0
1
1 4
1 .
0
3 3
cos
t
I dx t dt t
x

 
     
 
 
 

Cách 2:
   
 
3
4 4 4
2 2
4 2
0 0 0
1 1 tan 4
1 tan 1 tan tan tan

4
3
cos cos
0
x
I dx x dx x d x x
x
x x
  

 
       
 
 
  

Cách 3:
Phân tích
2 2 2 2
4 4 4 2 2 2
1 sin cos sin 1 tan 1
cos cos cos cos cos cos
x x x x
x x x x x x

    
… đn đây thì quá d rùi phi không
Cách 4:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


20

t
2
2
1
cos
1
cos
u
x
dv dx
x









… Mi bn đc t làm, d thôi mà
Hoc : t
tan
t x



Bài 4: Tính tích phân sau
4
6
0
tan
I xdx




Gii:
Cách 1:
t
 
2
2
tan tan 1
1
dt
t x dt x dx dx
t
     


i cn
0
0
1

4
x
t
t
x







 






Khi đó
1
1 1
6 5 3
4 4
6 4 2
2 2
0 0 0 0
0
1 13
tan 1

5 3 15 4
1 1
t dt t t
I xdx t t dt t du
t t
 

 
 
           
 
 
 
 
 
   

Cách 2:
Phân tích






     
 
6 6 4 4 2 2
4 2 2 2 2
4 2

2
tan tan tan tan tan tan 1 1
tan tan 1 tan tan 1 tan 1 1
1
tan tan 1 1
cos
x x x x x x
x x x x x
x x
x
      
      
   

Khi đó
 
5 3
4 4
4 2
2
0 0
1 tan tan 13
tan tan 1 tan
4
5 3 15 4
cos
0
x x
I x x dx dx x x
x

 


 
         
 
 
 

Bài 5: Tính tích phân sau
4
3
0
tan
I xdx




Gii:
   
2 2
2
tan 1 tan 1
1
dt
t x dt x dx t dt dx
t
       


i cn
0
0
1
4
x
t
t
x







 






Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

21

 
 
 
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t

t


 
       
 
   
 
      
     

Hoc phân tích
 
3 3
2
1
tan tan tan tan tan . tan
cos
x x x x x x
x
     …bn đc t gii
Bài 6: Tính tích phân sau
/4
2 2
0
sin 2sin .cos cos
dx
I
x x x x



 


Gii:
Chia c t và mu cho
2
cos
x
ta đc
 
/4 /4
2
2 2
0 0
tan
cos
tan 2 tan 1 tan 2tan 1
dx
d x
x
I
x x x x
 
 
   
 

t
2

1
tan
cos
t x dt dx
x
  
i cn
1
4
0
0
t
x
t
x







 






Khi đó

 
 
1 1
2 2
2
0 0
1
1 1 2
ln
0
2 1
2 2 1 2
1 2
dt dt t
I
t t
t
t
 
  
 
 
 
 

Cách khác:
t
2
2
1

tan
2
2sin cos
1
dt
dx
t
x t
t
x x
t





 






… bn đc t gii

Bài tp t gii có hng dn:
Bài 1: Tính tích phân sau
 
2
4

2
0
tan 1
7
3
cos
x
I dx
x


 


HD: t
tan 1
t x
 

Bài 2: Tính tích phân sau
 
3
4
2
2 5
0
sin
tan 1 cos
x
I dx

x x





HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


22

Phân tích
   
3 3
2 2 2
2 5 2
sin tan 1
.
cos
tan 1 cos tan 1
x x
x
x x x

 
và đt

tan
t x


Bài 3: (H – A 2008) Tính tích phân sau
 
4
6
0
tan 1 10
ln 2 3
cos 2 2
9 3
x
I dx
x

   


HD:
Bin đi


2 2 2 2
cos2 cos sin 1 tan cos
x x x x x
    và đt
tan
t x



Hoc s dng công thc
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x




Bài 4: (HKTQD – 2001) Tính tích phân sau
3
6
0
tan
cos 2
x
I dx
x




HD:
Bin đi



2 2 2 2
cos2 cos sin 1 tan cos
x x x x x
    và đt
tan
t x


Hoc s dng công thc
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x




Bài 5: Tính tích phân sau
3
2
4
tan
5 3
cos . 1 cos

x
I dx
x x


  



HD:
Phân tích
2 2 2 2
2
1
cos 1 cos cos cos 1 cos tan 2
cos
x x x x x x
x
 
    
 
 
và đt
2
tan 2
t x
 

Hoc đt
tan

t x


Bài 6: (HC – 1999) Tính tích phân sau
2
0
1
1 sin 2
dx
I
x

 



HD:
Phân tích
   
2
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos cos tan 1
x x x x x x x x x
       
và đt
tan 1
t x
 

Cách khác:

 
2 2 2
2
2
0 0 0
4
1 sin 2
sin cos
2cos
4
d x
dx dx
I
x
x x
x
  


 

 
 
  



  

Bài 7: (HSP TPHCM – 2001) Tính tích phân:

 
4
2
0
1
sin 2cos
I dx
x x





HD:
Phân tích
   
2
2
sin 2cos cos tan 2
x x x x
  
và đt
tan 2
t x
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

23

Bài 8: (H Y HN – 1999) Tính tích phân sau
4
3
ln3
sin
2
dx
I
x


 


HD:
2
tan
1
4
2
2
sin 2sin .cos tan .cos tan
2 4 4 4 4 4
x
d
dx dx dx

x x x x x x
 
 
 
  
Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau
2
0
1
1 cos
dx
I
x

 



HD:
2
tan
1 cos 2
2cos
2
dx dx x
d
x
x
 
 

 

 

Bài 10: (HTS – 2001) Tính tích phân sau
4
0
cos 2
sin 2 cos 2
x
I dx
x x





HD:
Phân tích




2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2
cos 2 1
sin 2 cos2 4 sin 2 cos 2
x x x x
x
x x x x
  


 

Bài 11: Tính tích phân sau
 
4
8
0
76
1 tan
105
I x dx

  


HD:
Phân tích








8 8 6 6 4 4 2 2
1 tan tan tan tan tan tan tan tan 1
x x x x x x x
 

         
 


Dng 5: Tính tích phân
 
2
1
cot
sin
I f x dx
x




đt
2
1
cot
sin
u x du dx
x
   
Hoc:
 
 
2
cot 1 cot
I f x x dx



 

đt
2
1
cot
sin
u x du dx
x
   

Bài tp gii mu:

Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau:
3
2
3
3
sin sin
cot
sin
x x
I xdx
x







Gii:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498


24

Cách 1:
3 3
2 2
3
3 2 2
3 3
sin sin 1 cot
cot 1 .
sin sin sin
x x x
I xdx dx
x x x
 
 

  
 

t

2
1
cot
sin
t x dt dx
x
   
i cn
0
2
1
3
3
t
x
t
x







 

 

 






Khi đó
5 8
0 0
3 2
3 3
3
1 1
3 3
0
3 1
.
1
8
8 3
3
I t tdt t dt t      
 

Cách 2:
     
3 33 3
2 2
3 2
3 3
5 8
2 2 2

3
2
3 3
3
2
3
3 3 3
sin sin sin sin cot
cot
sin
sin sin
1 3 1
2
1 .cot cot cot .cot cot cot cot cot
8
sin
8 3
3
x x x x x
I xdx dx
x
x x
xd x x xd x xd x x
x
 
 
  
  



 
 
         
 
  

Cách 3:
3 33 3
2 2
3 4
3 3
sin sin cos sin sin
cot
sin sin
x x x x x
I xdx dx
x x
 
 
 
 
 

t
sin cos
t x dt xdx
  

i cn
1

2
3
2
3
t
x
t
x







 

 

 





Khi đó
3
1 1
3 3
2

4 3
3 3
2 2
1
1
t t
t
I dt dt
t t


 
 

t
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2
dt
u u u du
t t t
      

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Gmail:
D: 01694 013 498

25

i cn
3
1
0
1
3
3
2
t
u
u
t




 

 
 

 


Khi đó
3

0
4
3
3
1
3
3
0
3 3 1
1
2 2 4
8 3
3
u
I u du

   



Bài 2: (HY TB – 2000) Tính tích phân sau
2
2
0
1
2 cos
I dx
x






Gii:

Ta có
 
1
4 4
2 2 2
2 2
0 0 0
2
1
2
2sin cos
cos 2 tan 1
1
2
dx dx dt
I
x x
x x
t
 
  


 


 
 
  

t
2
0
2
1 1
tan
2
2
1
2
dt
t u I
u

  
 

 
 

, (vi
tan 2)


Khi đó
2

2
I

 (vi
tan 2


)

Bài tp t gii có hng dn:
Bài 1: Tính tích phân sau
2
4
4
4
3
sin
dx
I
x


 


HD:
Phân tích
 
2
4 2 2 2

1 1 1 1
. 1 cot
sin sin sin sin
x
x x x x
   và đt
cot
t x


Bài 2: Tính tích phân sau
2
2
4
3cot 1
sin
x
I dx
x






HD: t
3cot 1
t x
 
hoc

3cot 1
t x
 

Bài 3: Tính tích phân sau:
4
2
6
1
sin cot
I dx
x x





HD: t
cot
t x


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com