skkn rèn luyện tư duy giải toán thông qua phương trình bất phương trình

Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 2
bồi dỡng t duy sáng tạo
cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải
các bài toán phơng trình và bất phơng trình
đề tài SKKN bộ môn toán
Nguyễn đình đức
2
Quúnh lu 2012–
sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 2
Nguyễn đình đức
bồi dỡng t duy sáng tạo
cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải
các bài toán phơng trình và bất phơng trình
Quỳnh lu - 2012
Mục lục
Trang
A, đặt vấn đề 1
I. Lý do chọn đề tài 1
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học 1
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 1
b, Các chức năng của bài tập toán 2
c, Phân loại bài tập toán 4
d, Dạy học giải bài tập toán học 5
2. Thc trng vic dy hc gii toán ở trờng ph thụng hin nay 7
II. Những vấn đề đợc nêu trong đề tài 7
B, Nội dung 8
I. Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng tHPT.8
1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình 8
2. Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng

trình 9
3. Tiềm năng phát triển t duy sáng tạo của toán phơng trình và bất
phơng trình 26
II. Một số định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học
sinh qua việc tìm lời giải các bài toán phơng trình
và bất phơng trình 28
1. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc phân tích quá trình
giải bài toán 29
2. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc định hớng và xác
định đờng lối giải toán 31
5
3. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc lựa chọn các phơng
pháp và công cụ thích hợp để giải toán 33
4. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc kiểm tra bài giải 34
5. Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm kiếm các bài
toán liên quan và sáng tạo các bài toán mới 36
III. Một số biện pháp rèn luyện các yếu tố của t duy
sáng tạo 37
1. Rèn luyện tính mềm dẻo trong việc sử dụng kiến thức để tìm tòi
lời giải bài toán phơng trình và bất phơng trình 37
2. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn trong nhìn nhận vấn đề dới nhiều
góc độ khác nhau 40
3. Rèn luyện tính độc đáo trong việc tìm lời giải đặc biệt cho
những bài toán đặc biệt 43
4. Rèn luyện tính nhạy cảm trong chuyển hoá nội dung, hình thức,
công cụ giải toán 44
5. Rèn luyện tính hoàn thiện trong kiểm tra, đánh giá lời giải bài
toán 46
IV. Thực nghiệm s phạm 49
1. Mục đích thực nghiệm 49

2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm 49
a, Tổ chức thực nghiệm 49
b, Nội dung thực nghiệm 50
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 53
a, Đánh giá định tính 53
b, Đánh giá định lợng 54
4. Kết luận chung về thực nghiệm s phạm 55
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57

7
A, đặt vấn đề
I. Lí do chọn đề tài SKKN
Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm
những bộ phận, những vấn đề sau đây:
+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học.
+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học.
+ Phát triển t duy Toán học.
Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dỡng và phát
huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết
các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó
thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ
bản, và thông qua sự hớng dẩn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức để
giải quyết hệ thống các bài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các vấn
đề mới khác, để từ đó các em phát triển năng lực sáng tạo của mình.
1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán học
a, Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [18] thì vai trò của bài tập Toán đợc
thể hiện trên các bình diện sau:
+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trờng

phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động t duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
8
- Bồi dỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngời lao động mới.
+ Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phơng tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đợc
trình bày trong phần lí thuyết.
+ Thứ ba, trên bình diện phơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để ngời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt các bài tập nh vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh, Và một bài tập cụ thể có thể
nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
b, Các chức năng của bài tập toán
ở trờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,
trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, dạy học giải bài tập
toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của ph-

ơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh có thể coi việc
giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập toán
có những chức năng sau:
- Chức năng dạy học:
Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý
thuyết đã học. Trong nhiều trờng hợp giải toán là một hình thức rất tốt để dẫn
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Có khi bài tập lại là một định lý,
9
mà vì một lí do nào đó không đa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập
mà học sinh mở rộng đợc tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục:
Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới. Qua
những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất
thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nớc thông qua các bài toán từ cuộc
sống chiến đấu và xây dựng tổ quốc. Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số
phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện đ-
ợc: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật, năng
suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiết
kiệm, biết đợc đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn.
- Chức năng phát triển:
Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt
là phát triển t duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất t duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học
Toán và trình độ phát triển của học sinh cũng nh khả năng vận dụng kiến thức
đã học. Trong việc lựa chọn bài tập toán và hớng dẫn học sinh giải bài tập
toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của các bài
tập toán đó.
Thực tiễn s phạm cho thấy, giáo viên thờng cha chú ý đến việc phát huy

tác dụng giáo dục của bài toán, mà thờng chú trọng cho học sinh làm nhiều
bài tập toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập
toán là cha đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải
của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm.
Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thờng do ba nguyên
nhân sau:
10
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái
niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,
+ Sai sót về phơng pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Lời giải đơn giản nhất.
c, Phân loại bài tập toán
Đứng trớc một bài toán, hầu hết những ngời làm toán thờng đặt ra câu
hỏi: Bài toán này thuộc kiểu nào?, và từ đó dẫn tới câu hỏi: Có thể áp dụng
biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?. Điều đó nói lên sự cần thiết phải
phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu,
có thể giúp ích cho ta khi giải toán.
- Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm
tòi là tìm ra (dựng, thu đợc, xác định) một đối tợng nào đó, tức là tìm ra ẩn
số của bài toán.
- Những bài toán chứng minh: Mục đích cuối cùng của một bài toán
chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhận
hay bác bỏ kết luận đó.
- Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập toán
trong chơng trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ cấp;
các bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp.

- Nếu theo tiêu chí về số lợng các đại lợng thay đổi trong một bài tập
toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chơng trình toán phổ thông
thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa tham số.
- Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán
thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập
11
toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không đợc
trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).
d, Dạy học giải bài tập Toán học
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm [25] của G. Pôlya
ông đã đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán:
Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải
có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý
hớng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán
của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân
tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều
kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì?. Có thể biểu diễn bài toán
dới một hình thức khác đợc không?. Nh vậy, ngay ở bớc Hiểu rõ đề toán ta
đã thấy đợc vai trò của t duy sáng tạo trong việc định hớng để tìm tòi lời giải.
2) Xây dựng chơng trình giải:
Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của t duy sáng tạo đợc thể hiện
rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản
hơn. Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng
hợp đặc biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua
các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Bài toán này có thuật giải hay không?

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha? Em
có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?.
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?.
12
* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một
bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Em có
thể giải một phần của bài toán?
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hớng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi
ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các
bài toán. Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất
cả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt
động giải toán của mình.
3) Thực hiện chơng trình giải:
Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc. Em đã thấy rõ
ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc:
Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bài
toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán.
13
- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cách
giải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán, và kết
quả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần lu ý để phát
huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài
toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh
trung bình và kém chán nản.
2. Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trờng phổ trông hiện nay
Thực tế dạy học phần bài tập ở các trờng phổ thông hiện nay có thể đợc
mô tả nh sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại
lớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét
lời giải, giáo viên sửa hoặc đa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho
học sinh. Một số bài toán sẽ đợc phát triển theo hớng khái quát hóa, đặc biệt
hóa, tơng tự hóa cho đối tợng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thờng chú ý
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít
khi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc hay các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất
các giải pháp.
Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phơng pháp thuyết trình và đàm
thoại chứ cha chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học.
II. Những vấn đề đợc nêu trong đề tài
1. Hệ thống hoá mt s phng phỏp tỡm li gii cỏc bi toỏn phng
trỡnh v bt phng trỡnh.
2. Hệ thống hoá các phơng pháp bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.
3. xut mt s bin phỏp s phạm nhằm bi dng các yu t ca t
duy sỏng to thông qua dạy học giải bài tập toán phơng trình và bất phơng

trình.
14
4. Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện
thực, tính hiệu quả của đề tài.
B, Nội dung
I. Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng tHPT
1. Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình
Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nội dung cơ bản của
chơng trình môn Toán ở nhà trờng phổ thông. Những vấn đề lí luận nh khái
niệm phơng trình, bất phơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình,
bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình đợc đa dần ở
mức độ thích hợp với từng bậc, lớp đi lên theo vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8
đến lớp 12. Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với từng loại phơng
trình, bất phơng trình thích ứng với năng lực nhận thức Toán học của học sinh.
ở đầu bậc Trung học phổ thông, cụ thể là sách giáo khoa Đại số 10,
Nâng cao, học sinh đợc học về phơng trình, bất phơng trình với các khái niệm
chung và phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất, bậc hai một
ẩn số. Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đa ra kết luận: kiến thức này là sự
trình bày lại những gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậc trung học cơ sở.
Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhng lại có sự khác biệt về nội
dung.
Đến đầu lớp 11, Sách giáo khoa trình bày các kiến thức về phơng trình
và bất phơng trình lợng giác. Đây là sự tiếp nối mạch kiến thức về hàm số
luợng giác và các công thức lợng giác đã đợc học từ cuối lớp 10. Tuy nhiên so
với sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì các kiến thức ở mảng này đợc trình
bày đơn giản hơn: Chỉ giới thiệu và nêu cách giải các phơng trình lợng giác cơ
bản; phơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng
trình đẳng cấp bậc hai, và phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Còn ph-
ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx cũng nh bất phơng trình lợng giác đợc
15

đa vào phần đọc thêm. Nh vậy chơng trình mới phù hợp với tinh thần giảm tải
của Bộ GD&ĐT đã đề ra.
Đến chơng trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đa ra định nghĩa và các ph-
ơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình mũ và logarit, đây cũng là dạng
phơng trình và bất phơng trình cuối cùng đợc trình bày trong chơng trình Toán
trung học phổ thông.
2. Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng trình
+ Phơng trình, bất phơng trình đa thức và phân thức:
Đối với dạng toán phơng trình đa thức và phân thức, thì các phơng trình
cơ bản đợc trình bày trong chơng trình là phơng trình bậc nhất và phơng
trình bậc hai. Thông thờng, các dạng phơng trình khác, trong quá trình giải
đều đa về các dạng cơ bản trên. Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu thuật giải chi
tiết để giải các loại phơng trình đó.
Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp
12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đa ra phơng trình bậc ba và phơng
trình bậc bốn.
Phơng trình bậc ba đợc nêu ra trong chơng trình chủ yếu là các phơng
trình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tơng đối dể dàng,
sau đó học thực hiện phép phân tích để đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai.
Phơng trình bậc bốn chỉ giới thiệu dạng trùng phơng, bằng cách đặt ẩn
phụ sẽ đa về phơng trình bậc hai.
Đối với các bài tập bất phơng trình đa thức và phân thức, thì kiến thức
về xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lại là kiến thức cơ bản.
Bất phơng trình đa thức và phân thức tổng quát đợc giải bằng cách chuyển tất
cả các hạng tử về một vế, phân tích thành thừa số bậc nhất hoặc bậc hai rồi lập
bảng xét dấu để lấy nghiệm.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
2 1
1 2 3
x x

x x

<
+
16
Giải:
Ta có bất phơng trình tơng đơng
2 1
0
1 2 3
x x
x x

<
+

1 4
0
( 1)(2 3)
x
x x

<
+
Bảng xét dấu vế trái:
x

-1
4
1

2
3

+
1-4x
+ + 0
x+1
0 + + +
2x-3
0 +
Vế trái
+ || 0 + ||
Ta đợc nghiệm -1 < x <
4
1
; x >
2
3
+ Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối:
Để giải các bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối, cần khắc sâu cho các
em học sinh định nghĩa giá trị tuyệt đối |A| =
, 0
, 0
A n A
A n A



<

ếu
ếu
Và các phép biến đổi tơng đơng cơ bản:
1) |f (x)| = |g (x)|

f
2
(x)=g
2
(x)

f (x) =

g(x)
2) |f (x)|= g (x)

2 2
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x

=





( ) ( )

( ) 0
f x g x
g x
=




3) |f (x)|<

- < f (x) < ( >0)
|f (x)|>

( )
( )
f x
f x
>


<

( >0)
4) |f (x)| < |g (x)|

f
2
(x) < g
2
(x)

5) |f (x)| > g (x)

2 2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
g x
g x
f x g x
<







>



17
6) f (x)| < g (x)

( ) 0
( ) ( ) ( )
g x
g x f x g x
>

< <

Ví dụ 2: Giải phơng trình
2 2 1 0x x =

Nhận xét:
Đối với dạng toán này, trong chơng trình toán trung học phổ thông, th-
ờng có các định hớng nh sau:
+ Thứ nhất, nếu dùng công cụ là định nghiã giá trị tuyệt đối, ta có bài toán t-
ơng đơng nh sau:
Nếu x 2 phơng trình trở thành x +1 = 0

x = -1 (không thỏa mãn).
Nếu x <2 phơng trình trở thành 3x - 3 = 0

x = 1 (thỏa mãn).
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
+ Thứ hai, nếu dùng các phép biến đổi tơng đơng, ta có:
Phơng trình đã cho tơng đơng
2 2 1x x =
Điều kiện: 2x - 10

x
2
1
Bình phơng hai vế, ta có: (x - 2)
2
= (2x - 1)
2

x
2
= 1

x =

1
Đối chiếu với điều kiện x
2
1
, phơng trình có một nghiệm duy nhất x = 1.
+ Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ
Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ là phơng trình, bất phơng trình
chứa biểu thức vô tỉ của ẩn.
Để giải dạng toán này, cần cho học sinh nắm vững các kiến thức:
k
A
2
có nghĩa

A

0
k
A
2


0 với mọi A

0
Và cần áp dụng các phép biến đổi tơng đơng cơ bản sau đây:
1)
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
f x g x f x g x
+
+
= =
2)




=
=
0)(
)()(
)()(
2
2
xg
xgxf
xgxf
k
k

18
3)
)()()()(
1212
xgxfxgxf
kk
==
++
4)




=
=
0)(
)()(
)()(
22
xg
xgxf
xgxf
kk
5)
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x

<

<

6)
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x



< >


<

7)
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x

g x
f x g x
g x
f x g x
>



<


>





>



+ Phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit
Từ định nghĩa các hàm số mũ và hàm số lôgarit, với mọi a > 0 và a 1
ta có các phép biến đổi tơng đơng nh sau:
1) a
f (x)
=b

f (x) = log
a

b (b>0)
2) a
f (x)
=a
g (x)


f (x) = g(x)
3) log
a
f (x) = b

f (x) = a
b
4) log
a
f (x) = log
a
g (x)

( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x
=


>

5) a >1: a

f (x)
<a
g (x)

f (x) <g (x)
6) 0<a <1: a
f (x)
<a
g (x)

f (x) > g (x)
7) a >1: log
a
f (x) <log
a
g (x)

( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
>


<

8) 0<a <1: log
a
f (x)<log
a

g (x)



( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
>


>

Ví dụ 3: Giải phơng trình
(2 3) (2 3) 4
x x
+ + =
19
Giải:
Nhận xét: (2-
3
) (2+
3
)=1. Vì vậy bài toán trở nên quen thuộc nếu ta đặt
t =
(2 3)
x
+
, bởi vì khi đó
1

(2 3)
x
t
=
Giải ra, phơng trình có hai nghiệm x =-1 và x =1.
Ví dụ 4: Giải bất phơng trình
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x


+
+
Giải:
Tơng tự nh ví dụ 4 ở trên, ta có nhận xét
)15( +
)15(
=1, vì vậy,
với x -1 bất phơng trình

1
1
)25(
1
)25(
+

+

+
x
x
x

1 1 ( 1)( 2)
1 ( 1)(1 0 0 2 1, 1.
1 1) 1
x x x
x x x x
x x x
+
+ < >
+ + +
+ Phơng trình, bất phơng trình lợng giác
So với chơng trình cũ, kiến thức trong các sách giáo khoa hiện hành đợc
trình bày theo hớng giảm nhẹ lý thuyết kinh viện, tăng cờng thực hành, coi
trọng vai trò của ghi nhận trực giác, coi trọng rèn luyện khả năng quan sát và
dự đoán.
Trên tinh thần đó, sách giáo khoa hiện hành chỉ giới thiệu khái niệm và
thuật toán giải các phơng trình lợng giác cơ bản; phơng trình bậc nhất và bậc
hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx;
phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Còn các dạng phơng trình
khác và cách giải bất phơng trình lợng giác đợc đa vào bài đọc thêm. Cũng
trên quan điểm giảm tải đối với học sinh, gắn toán học vốn mang tính khô
khan với đời sống hàng ngày, nên các bài tập đa ra không còn nhiều bài khó,

các bài tập mang tính ứng dụng đợc đa ra nhiều hơn, điều đó tạo hứng thú tốt
cho ngời học.
20
- Những tình huống điển hình liên quan đến phơng trình, bất phơng trình
có chứa tham số
+ Giải và biện luận
Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình có nghĩa là tùy theo các
giá trị của tham số tiến hành giải phơng trình, bất phơng trình đó. Đây là dạng
toán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống
nh giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham số ta có
đợc trờng hợp riêng của bài toán đó. Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi ngời
học phải có năng lực t duy, nên cha phù hợp để đa vào dạy ở bậc Trung học cơ
sở. Ngay từ đầu cấp Trung học phổ thông việc giải và biện luận phơng trình,
bất phơng trình đợc dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic. Sách giáo khoa Đại
số 10, Nâng cao, lần lợt giới thiệu phơng pháp giải và biện luận phơng dạng
ax + b = 0, giải và biện luận phơng dạng
ax
2
+ bx + c = 0, giải và biện luận phơng bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kỹ năng giải, biện luận cần đạt
của học sinh là:
+) Phơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
+) Phơng trình dạng ax + b = cx + d và phơng trình chứa ẩn ở mẫu.
+) Phơng trình trùng phơng.
+) Bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất, bậc hai đơn giản có
chứa tham số.
Nội dung giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình chứa một thời l-
ợng khá lớn trong nội dung phơng trình và bất phơng trình, điều này đợc thể
hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số lợng bài tập
giải và biện luận mà sách giáo khoa Đại số 10 đa ra là tơng đối lớn. Tuy nhiên

bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm vào các mục đích:
củng cố kiến thức đợc học, tăng cờng khả năng vận dụng kiến thức và rèn
luyện khả năng t duy cho học sinh.
21
Bài tập củng cố kiến thức đợc học, chẳng hạn nh:
Ví dụ 5: Giải và biện luận các phơng trình sau theo tham số m:
a) (m
2
+ 2)x - 2m = x - 3.
b) (m - 1)x
2
+ 3x - 1 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức đợc học và tiến
hành gần nh tơng tự thì sẽ giải quyết đợc.
ở mức độ khó hơn, Sách giáo khoa đa ra những bài tập đòi hỏi sự vận
dụng linh hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn nh:
Ví dụ 6: Giải và biện luận theo tham số m:
a) (2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0.
b)
1
1
mx
m
x
+
=

.
Học sinh cha đợc cung cấp phơng pháp chung để giải phơng trình:
(2x + m - 4) (2mx - x + m) = 0

Nhng ở đây, nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy đây là tích của hai
phơng trình dạng ax + b = 0, là phơng trình mà phơng pháp giải và biện luận
đã biết. Để giải biện luận ta tiến hành giải và biện luận từng phơng trình: 2x +
m - 4 = 0 và 2mx - x + m = 0, sau đó nêu kết luận chung của phơng trình dựa
vào kết quả giải và biện luận hai phơng trình trên. Ví dụ 6b) là dạng toán mà
cách giải và biện luận học sinh vẫn cha đợc cung cấp. Đây là phơng trình chứa
ẩn ở mẫu, nằm trong giá trị tuyệt đối. Để giải đợc phơng trình này học sinh
cần có kiến thức về giá trị tuyệt đối, từ đó học sinh dễ dàng nêu ra kết luận:
nếu m < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Do đó, chỉ cần xem xét trờng hợp m 0,
trong trờng hợp này ta có thể phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đa phơng trình
cần giải và biện luận về việc giải và biện luận hai phơng trình chứa ẩn ở mẫu
đó là:

1
1
mx
m
x
+
=

và
1
1
mx
m
x
+
=

22
Sau đó biện luận kết quả của phơng trình dựa vào kết quả biện luận của
hai phơng trình trên.
Ví dụ 7: Giải và biện luận phơng trình:
x
4
+ (2a - 1)x
2
+ a
2
-1 = 0 (2)
Để giải phơng trình trên thì cần có bớc đặt ẩn phụ, nhằm chuyển phơng
trình đã cho về phơng trình bậc hai.
Đặt: t = x
2
, điều kiện: t 0. Phơng trình trở thành:
f (t) = t
2
+ (2a - 1)t + a
2
- 1 = 0 (3)
Đây là bớc mà học sinh bình thờng đều có thể tiến hành, bởi thực chất
phơng trình đã cho là phơng trình trùng phơng, có thể dễ dàng chuyển về ph-
ơng trình bậc hai một ẩn số. Vấn đề cần sự t duy, ở đây là sự tơng quan giữa
nghiệm của hai phơng trình (2) và (3).
+ Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phơng trình thỏa mãn tính
chất cho trớc
a) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
Điều kiện để phơng trình dạng ax + b = 0 (x là ẩn số) có nghiệm sẽ là:
a 0 hoặc a = b = 0.

Điều kiện để phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm là:
+) a = 0 và b 0.
+) a = 0 và b = c = 0
+) a 0 và = b
2
- 4ac 0.
Ví dụ 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 1)x
2
+ 2x - 1 = 0.
Xét 2 trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu m = 1 thì phơng trình trở thành: 2x -1 = 0 x =
1
2
.
Vậy với m = 1 phơng trình có nghiệm.
Trờng hợp 2: Với m 1, để phơng trình có nghiệm thì:
23
= 1 + (m - 1) = m 0.
Vậy để phơng trình có nghiệm thì điều kiện của tham số sẽ là: m 0.
Trên đây là dạng toán cơ bản mà việc giải chúng là khá đơn giản nhờ vào
việc vận dụng kiến thức cơ bản trong nội dung chơng trình. Tuy nhiên, trong
thực tế còn nhiều bài toán với mức độ phức tạp cao hơn.
Ví dụ 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
x + 3 (m - 3x
2
)
2

= m.
Phơng trình trên có thể dễ dàng nhận ra là một phơng trình bậc 4, nếu
giải bằng phơng pháp đa về phơng trình tích là rất khó khăn. Nhờ vào việc
phân tích kỹ đặc điểm bài toán, ta có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn số phụ:
y = m - 3x
2
Với cách đặt ẩn phụ này ta chuyển bài toán về hệ phơng trình đối xứng 2
ẩn số:

2
2
3
3
x y m
y x m

+ =


+ =


(I)
Học sinh đã biết phơng pháp giải hệ đối xứng này, thực hiện phép trừ 2
vế hai phơng trình.
b) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm
Bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm, thực chất
là bài toán ngợc của bài toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm. Nếu nh tập hợp các giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm là S,
miền giá trị của tham số là D, thì tập hợp các giá trị của tham số để phơng

trình vô nghiệm là D\S.
Phơng trình dạng: ax + b = 0 vô nghiệm khi: a = 0 và b 0.
Phơng trình dạng: ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm khi:
+) a = b = 0 và c 0.
+) a 0 và = b
2
- 4ac < 0.
24
Quay trở lại với ví dụ: tìm điều kiện tham số m để phơng trình sau có
nghiệm:
x + 3 (m - 3x
2
)
2
= m.
Giá trị m để phơng trình có nghiệm là m
1
12

, nên dễ dàng suy ra giá
trị của m để phơng trình vô nghiệm sẽ là: m <
1
12

.
c) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất
Đối với phơng trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy nhất
sẽ là: a 0.

Đối với phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy
nhất sẽ là:
+) a = 0 và b 0.
+) a 0, = b
2
4ac = 0.
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phơng trình có dạng: ax
+ b = 0 và ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng, nó
cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm đợc.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để ph-
ơng trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn nh:
Ví dụ 10: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x
2
- 2mx + (m + 1)x-m+1 = 0 (4)
Nếu học sinh xét 2 trờng hợp x m và x < m để phá dấu giá trị tuyệt đối
thì sẽ đa lại phức tạp trong tính toán, cũng nh trong suy luận. Tuy nhiên nếu
biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển đợc phơng trình (4) về dạng:
(4) (x - m)
2
+ (m + 1)x - m + 1 - m
2
= 0
Đặt X = x - m, (điều kiện: X 0), ta đợc:
X
2

+ (m + 1)X + 1 - m
2
= 0. (5)
Với mỗi X > 0, phơng trình (4) có 2 nghiệm x = m X.
25
Với mỗi X = 0, phơng trình (4) có 1 nghiệm x = m.
Với mỗi X < 0, phơng trình (4) vô nghiệm.
Từ định hớng trên, học sinh dễ dàng thực hiện các công việc tiếp theo.
d) Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn hệ
thức cho trớc
Đối với loại toán này thờng đợc ra với phơng trình bậc hai. Yêu cầu tìm
giá trị tham số sao cho nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình bậc hai thỏa mãn hệ thức
cho trớc nh:
x
1
= 2x
2
; x
1
= 9x
2
;
2 2
1 2 1 2
2 3x x x x+ =
;

hoặc thỏa mãn hệ thức đối xứng:

3 3
1 2
40x x+ =
;
4 4
1 2
3x x+ =
;
Với dạng toán này nếu đi tìm ra các nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào hệ thức để
tìm ra giá trị tham số sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bởi khi đó các nghiệm sẽ đợc
tính theo tham số và có chứa căn bậc hai nên khá cồng kềnh, rất phức tạp
trong tính toán. Để đơn giản trong quá trình giải thì phơng pháp giải thông th-
ờng là vận dụng Định lí Viet đối với phơng trình bậc hai, kết hợp với hệ thức
mà đề bài đã cho nhằm tìm ra giá trị tham số.
Ví dụ 1 1 : Tìm m sao cho phơng trình:
x
2
- (m + 2)x + m
2
+ 1 = 0
có nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn hệ thức:
2 2
1 2 1 2
2 3x x x x+ =
Trớc hết ta phải đi tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm:
= (m + 2)
2
- 4 (m
2
+ 1) 0
- 3m
2
+ 4m 0
0 m
4
3
(*)
Khi đó theo Định lí Viet phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: