skkn toạ độ hoá một số phần khó của bài toán thể tích trong các đề thi đại học những năm gần đây

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn
diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và
đào tạo , đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu
xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong
đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương
pháp dạy học môn Toán.
Từ năm 2009 trở về đây, cùng với sự thay đổi cơ bản nội dung sách giáo
khoa THPT, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, cao đẳng cũng có sự thay
đổi căn bản về cấu trúc giữa các phần. Ở đề thi cũ, bài toán thể tích nằm ở phần
tự chọn theo ban nâng cao, nhưng trong cấu trúc đề thi mới nó lại là bài toán
nằm ở phần chung bắt buộc mọi thí sinh phải làm. Điều đó cho thấy bài toán thể
tích ngày càng có một vị trí quan trọng trong hệ thống nội dung kiến thức thi cử
hiện nay.
Khi gặp một bài toán thể tích chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư
duy ra lời giải. Tuy nhiên lối tư duy theo hướng hình không gian thông thường
vẫn được các thầy cô giáo và các bạn học sinh chú trọng nhiều, sách giáo khoa
Hình học 11 và 12 cũng dành phần lớn thời gian cho mảng kiến thức này. Vì đặc
thù của phương pháp là sử dụng hình vẽ và phụ thuộc quá nhiều vào hình vẽ,
nhất là việc kẻ thêm đường phụ đã gây không ít khó khăn cho học sinh. Bằng
kinh nghiệm đã tích lũy được ở những năm học phổ thông và hai năm giảng dạy
toán ở trường THPT Nga Sơn, dù là ít ỏi, nhưng tôi thấy rằng: Sử dụng tọa độ để
giải bài toán thể tích là một phương pháp giải rất hay, có hướng đi rành mạch, rõ
ràng và có thể áp dụng cho nhiều mảng kiến thức. Nếu học sinh nhanh nhạy
trong việc kết hợp cùng lúc cả hai phương pháp trên sẽ cho ra những lời giải ấn
tượng và thậm chí còn rất ngắn gọn. Nhưng phương pháp này không được sách
giáo khoa phổ thông ưu ái cho một lượng thời gian hợp lí, vì vậy nó chưa được
sử dụng đại trà.

1
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
II. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường cũng như các trường
THPT khác trên địa bàn huyện cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm
với bộ môn hình, nhất là hình không gian thể tích. Lí do được các bạn đưa ra là
học hình không gian khó, khó ở vấn đề tư duy hình vẽ, kẻ các đường phụ, tìm
mối liên hệ từ hình vẽ…Điều đó đã dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn các
bạn học sinh dự thi đại học, cao đẳng đều bỏ qua hoàn toàn bài hình thể tích
hoặc chỉ vẽ hình và làm được một vài nội dung kiến thức dễ, trong khi bài toán
thể tích không phải bài toán khó, bài toán mấu chốt của đề. Một điều đáng ngạc
nhiên nữa là nhiều học sinh không làm được bài toán này nhưng vẫn làm được
bài toán hình tọa độ trong không gian. Câu hỏi đặt ra là “tại sao chúng ta lại
không chuyển bài toán thể tích sang tọa độ, hay kết hợp cùng lúc cả hai mảng
kiến thức đó?”. Có thể việc làm này sẽ giúp chúng ta đơn giản hơn rất nhiều
những vấn đề khó. Chính thực trạng trên đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Sử
dụng tọa độ vào một số phần khó của bài ton thể tích trong cc đề thi Đại
học những năm gần đây”. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo
viên và học sinh.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Hệ thống kiến thức liên quan
2. Các bước tọa độ hóa
Phần này tôi sẽ đưa ra các bước để tọa độ hóa một bài toán thể tích, các cách
xây dựng hệ trục tọa độ cùng với ví dụ về cách xây dựng hệ trục tọa độ trong
một số hình để học sinh tiếp cận.
3. Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài toán thể tích liên quan đến góc
Dạng 2: Bài toán thể tích liên quan đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Dạng 3: Bài toán thể tích liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau
Dạng 4: Bài toán thể tích liên quan đến bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp.
Đối với mỗi dạng, tôi hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể, đồng
thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, những dạng
bài có nhiều cách làm tôi đều giải mẫu một bài theo những cách làm đó để học
sinh áp dụng làm tương tự các bài khác
Để minh hoạ cho những dạng bài này, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trong
các đề thi Đại học những năm gần đây (áp dụng cho học sinh lớp 12). Với mỗi
bài toán như vậy, tôi dẫn ra những cách giải tương ứng, đưa ra những nhận xét
phù hợp, để từ đó học sinh có thể nắm bắt được nội dung, thấy được "cái nhanh"
của cách làm và có con đường tổng quát cho các bài toán tương tự.
4. Các bài tập tự luyện
Hệ thống các bài tập đưa ra được chọn lọc kĩ càng, sát chương trình, trong đó
có những bài nằm trong các đề thi đại học gần đây để học sinh củng cố kiến
thức và thử nghiệm.
II. NỘI DUNG THỰC HIỆN

2
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
1. Hệ thống kiến thức liên quan
• Cho 2 vecto
);;( zyxu
,
)';';'( zyxv
và số k tùy ý:
+
);;();;( kzkykxzyxkuk ==
+

'''. zzyyxxvu ++=
+
222
zyxu ++=
+
222222
'''.
'''
.
,
),cos(
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu
++++
++
==
+
[ ]
)'';'';''(
''
;
''
;
''
, xyxyxzzxzyyz
yx
yx

xz
xz
zy
zy
vu −−−=








=
• Cho 2 điểm
);;( zyxA
và
)';';'( zyxB
+
)';';'( zzyyxxAB −−−
+
)'()'()'(
222
zzyyxxAB −+−+−=
• Phương trình mặt phẳng:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm
);;(
000
zyxA
nhận

);;( CBAn
làm vecto pháp
tuyến có phương trình:
0)()()(
000
=−+−+− zzCyyBxxA
• Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng (d) đi qua điểm
);;(
000
zyxA
nhận
);;( cbau
làm vecto chỉ
phương có phương trình:
+ Phương trình tham số:





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0

+ Phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
• Khoảng cách từ điểm
);;(
000
zyxM
đến mp(P):
0=+++ DCzyBAx
222
000
))(,(
CBA
DCzByAx
PMd
++
+++
=
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d

(qua điểm M, có
VTCP
u
) và đường thẳng d’ (qua điểm M’ có VTCP
'u
):
[ ]
[ ]
',
'.',
)',(
uu
MMuu
ddd =
• Công thức tính diện tích:
* Diện tích đa giác:
+ Diện tích tam giác thường ABC:
AHBCS .
2
1
=
( trong đó AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC)
+ Diện tích tam giác thường ABC tính theo vecto:
[ ]
ACABS ,
2
1
=

3

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
+ Diện tích tam giác ABC vuông tại A:
ACABS .
2
1
=
* Diện tích hình vuông ABCD:
2
ABS =
* Diện tích hình chữ nhật ABCD:
ACABS .=
* Diện tích hình thang ABCD có hai đáy là AB, CH và chiều cao AH:
).(
2
CDAB
AH
S +=
* Diện tích hình bình hành ABCD tính theo vecto:
[ ]
ACABS ,=
• Công thức tính thể tích:
* Thể tích khối chóp:
đáy
ShV .
3
1
=
, h là chiều cao khối chóp
* Thể tích khối lăng trụ:
đáy

ShV .=
, h là chiều cao khối lăng trụ
* Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ tính theo vecto:
[ ]
'., AAADABV =
* Thể tích khối chóp S.ABCD ( đáy ABCD là hình bình hành) tính theo
vecto:
[ ]
ASADABV .,
3
1
=
* Thể tích khối chóp tam giác hoặc khối tứ diện SABC tính theo véc tơ:
[ ]
ASACABV .,
6
1
=
2. Các bước tọa độ hóa.
a, Các bước tọa độ hóa:
B1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz.
B2: Xác định tọa độ các điểm.
Chú ý: Chỉ nên xác định tọa độ các điểm có liên quan đến việc tính toán.
B3: Từ giả thiết bài toán thiết lập các mối quan hệ theo tọa độ để giải
b, Cách xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz:
* Nếu từ hình vẽ của bài toán ta đã có ba đường thẳng đồng qui đôi một vuông
góc với nhau thì ta chọn hệ gồm ba đường thẳng đó làm ba trục tọa độ, điểm
đồng qui làm gốc tọa độ (ví dụ: hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình lăng
trụ đứng có đáy là tam giác vuông,…).

*Trong trường hợp tổng quát, ta xác định trên mặt phẳng đáy hai đường thẳng
d và d’ vuông góc với nhau, cắt nhau tại điểm I. Từ I kẻ đường thẳng d” vuông
góc với mặt phẳng đáy (thông thường kẻ song song với đường cao của khối

y
x
z
O
x
y
O
4
z
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
chóp). Khi đó hệ trục tọa độ cần xác định là hệ nhận I làm gốc, ba đường thẳng
d, d’, d” làm ba trục tọa độ.
Ví dụ 1: Đối với khối chóp tam giác đều S.ABCD. Ta có thể xác định hệ trục
tọa độ như sau:

x
y
z
G
A
B
C
D
O
Gọi O là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
ABCO ⊥

và
)(ABCDG ⊥
, từ O kẻ đường thẳng Oz//DG. Khi đó, ba đường thẳng OC, OB, Oz
đồng qui tại O và đôi một vuông góc với nhau, ta có thể chọn làm hệ trục tọa độ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hình
chiếu vuông góc của điểm D' trên mp(ABCD) trùng với giao điểm I của AC và
BD.
Ta có thể xác định hệ trục tọa độ như sau: Từ A kẻ đường thẳng Az//D’I, khi đó
AB, AD, Az là ba đường thẳng đồng qui tại A và đôi một vuông góc với nhau, ta
có thể chọn làm hệ trục tọa độ.
Hoặc từ I ta kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với AB và AD, khi đó hai
đường thẳng này và đường D’I cũng tạo thành hệ trục tọa độ.
z
y
x
I
A
B
D
C
D'
A'
B'
C'
(cách xây dựng này chúng ta sẽ thấy rõ hơn ở phần bài tập)
3. Các dạng bài tập xuất hiện trong đề thi đại học những năm gần đây.
DẠNG 1: Bài toán thể tích liên quan đến góc.
PHƯƠNG PHÁP:
+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan
a. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD:

+ Tính
AB
và
CD
+ Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng AB và CD, khi đó
ϕ
được tính
theo một trong các công thức sau:

5
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim

CDAB
CDAB
.
.
cos =
ϕ
hoặc
[ ]
CDAB
CDAB
.
,
sin =
ϕ
b. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (MNP)
+ Xác định

AB
và véc tơ pháp tuyến của mp(MNP) (
[ ]
MPMNn ,=
)
+ Gọi
ϕ
là góc giữa đường thẳng AB và mp(MNP), khi đó
ϕ
π
−
2
là góc
giữa đường thẳng AB và đường thẳng chứa phương của
n
,
ϕ
được tính
theo một trong các công thức sau:
nAB
nAB
.
.
)
2
cos( =−
ϕ
π
( tức là
nAB

nAB
.
.
sin =
ϕ
)
Hoặc
[ ]
nAB
nAB
.
.
)
2
sin( =−
ϕ
π
(tức là
[ ]
nAB
nAB
.
.
cos =
ϕ
)
c. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP)
+ Xác định véc tơ pháp tuyến
[ ]
ACABn ,=

của mp(ABC) và
[ ]
MPMNn ,'=

của mp(MNP)
+ Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng, khi đó
ϕ
được tính theo một trong
các công thức sau:
'.
'.
cos
nn
nn
=
ϕ
hoặc
[ ]
'.
',
sin
nn
nn
=
ϕ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
AB=AD=2a, CD=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0

60
. Gọi I
là trung điểm của cạnh AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (Trích đề thi
đại học khối A năm 2010).
Giải

A
B
D
C
S
I
T
Gọi T là trung điểm của BC, khi đó
ADIT ⊥
, đặt
bSI
=
. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz, với
)0;0;0(OI ≡
, D thuộc tia Ox, T thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz. ta có:
)0;
2
3
;0(
a
T
,

);0;0( bS
,
)0;;( aaC
,
)0;2;( aaB −
);;( baaSC −
,
)0;1;2( −= aBC
, đặt
)0;1;2( −=u
[ ]
)3;2;(
12
;
20
;
01
, abb
aaabba
SCun =








−
−−

−
==

6
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Mặt phẳng (SBC) nhận
n
làm một véc tơ pháp tuyến, mặt phẳng (ABCD)
trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nhận
)1;0;0(k
làm véc tơ pháp tuyến.
Vì góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
0
60
nên
5
153
5
153
)3()2(
3
2
1
.
.
60cos
222
0
a
SI

a
b
abb
a
kn
kn
=⇒=⇔
++
=⇔=
Diện tích hình thang ABCD:
)(3)2.(2.
2
1
).(
2
1
2
dvdtaaaaDCABADS
ABCD
=+=+=
Thể tích khối chóp:
)(
5
153
3.
5
153
.
3
1

.
3
1
3
2
dvtt
a
a
a
SSIV
ABCD
===
Chú ý: Nếu sử dụng theo công thức
ϕ
sin
thì ta làm như sau:
[ ]
)0;;2(, bbkn −=
,
[ ]
5
153
)3()2(
)()2(
2
3
.
,
60sin
222

22
0
a
b
abb
bb
kn
kn
=⇔
++
−+
=⇔=
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB=a,
3aAC =
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên
mp(ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC
và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
(Trích đề thi đại học khối A năm 2008)
Giải:

A
C
B
A'
C'
B'
T
M
Gọi M là trung điểm BC

Ta có
aaaBC 2)3(
22
=+=
,
a
BC
AM ==
2
,
3)2(''
2222
aaaAMAAMA =−=−=
)(
2
3 3
6
1
'
6
1
.'
3
1
3
'.
dvtt
a
aaaACABMASMAV
ABCABCA

====
Kẻ AT//A’M sao cho AMA’T là hình chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với
)0;0;0(OA ≡
, B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, T thuộc tia Oz. ta có:
)0;0;(aB
,
)0;3;0( aC
,
)3;
2
3
;
2
(' a
aa
A
.
Ta có
)3;
2
3
;
2
(' a
aa
AA =
,
)0;3;( aaBC −=

7

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
4
1
)3(.)3()
2
3
()
2
(
4
3
2
.'
'.
),'cos(),'(
22222
22
=
+++
+−
===
aaa
aa
aa
BCAA
BCAA
BCAABCAACos
Nhận xét: Bài toán này gồm có hai ý, ý đầu là tính thể tích khối lăng trụ, đối với
ý này nếu ta sử dụng tọa độ hóa thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn rất nhiều so
với làm theo lối tư duy hình không gian thông thường. Nhưng với ý thứ hai,

chúng ta sẽ rất khó hình dung ra góc giữa hai đường thẳng AA’ và BC dựa vào
tư duy hình vẽ, sử dụng tọa độ hóa như đã làm ở trên cho chúng ta một lời giải
ngắn gọn và dễ hiểu. Ở ví dụ trên tôi đã kết hợp cả hai phương pháp để có một
lời giải hoàn mĩ. Những bài toán dưới đây chúng ta sẽ thấy rõ hơn điều đó.
DẠNG 2: Bài toán thể tích liên quan đến khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD).
PHƯƠNG PHÁP:
+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Viết phương trình mp(BCD) (đi qua một trong các điểm B, C, D và
nhận
[ ]
BDBC,
làm vecto pháp tuyến):
0=+++ DCzyBAx
+ Tính khoảng cách theo công thức:
222
000
))(,(
CBA
DCzByAx
BCDAd
++
+++
=
* Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song: được qui về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy là tam giác ABC vuông tại B.
Giả sử AB=a, AA'=2a, AC'=3a, gọi M là trung điểm A'C' và I là giao điểm của
AM và A'C. Tìm thể tích tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC).
(Trích đề thi đại học khối D năm 2009)

Giải:

I
A'
C'
B'
A
B
C
K
M
Ta có:
( ) ( ) ( )
)(.
2
1
;22;523
22
222
dvdtaBCABSaaaBCaaaAC
ABC
===−==−=
Kẻ AK song song và bằng BC, khi đó
aAKABAK 2; =⊥
. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz, với
)0;0;0(OA ≡
, B thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A' thuộc tia Oz. Ta có:
)0;0;(aB
,

)0;2;( aaC
,
)2;0;0(' aA
,
)2;;
2
( aa
a
M
)2;1;
2
1
(aAM =
,
)2;2;1(' −= aCA
,
)2;0;1(' −= aBA
, đặt
)2;0;1( −=u
,
)2;2;1( −=v

8
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
[ ]
)1;0;2(2
21
01
;
12

12
;
22
20
, =








−
−
−
−
== vun
Đường thẳng AM có phương trình:
tztytx 2;;
2
1
===
Mp(A'BC) đi qua B, nhận
)1;0;2(n
làm VTPT, có phương trình:
022
=−+
azx
Mp(ABC) trùng với mp(Oxy) có phương trình:

0
=
z
Giao điểm I của AM và A'C chính là giao điểm của AM và mp(A'BC).
Tọa độ I là nghiệm của hệ:






⇒





=−+
===
3
4
;
3
2
;
3
022
2;;
2
1

aaa
I
azx
tztytx
Khoảng cách từ I đến mp(ABC):
3
4
))(,(
a
d
ABCI
=
Thể tích khối tứ diện I.ABC:
)(
9
4
.
3
4
.
3
1
.
3
1
3
2
))(,(
dvtt
a

a
a
sdV
ABCABCI
===
Khoảng cách từ A đến mp(IBC):
5
52
12
2
22
))'(,())(,(
a
a
dd
BCAAIBCA
=
+
−
==
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
3aAD =
. Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mp(ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng
0
60
.
Tính thể tích hình lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B' đến mp(A'BD) theo
a. (Trích đề thi đại học khối B năm 2011)
Giải

O
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
K
Kẻ BK//OA', BK=OA'=b (b>0). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
)0;0;0(OB ≡
, A
thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, K thuộc tia Oz. Ta có:
)0;0;(aA
,
)0;3;0( aC
,
)0;3;( aaD
,
);
2
3
;
2
(' b
aa
A
.

)0;1;0(3aAD =
,
);
2
3
;
2
(' b
aa
AA
−
=
,
)0;3;1(aBD =
[ ]
)
2
;0;(3
2
3
2
10
;
2
00
;
2
3
01
3',

a
ba
aa
a
b
b
a
aAAADn =










−
−
==
Mặt phẳng (ADD'A') qua AD và AA' nhận véc tơ
n
làm một vec tơ pháp
tuyến.
Mặt phẳng (ABCD) (trùng với mp(Oxy)) nhận
)1;0;0(k
làm một vec tơ pháp
tuyến.

9
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Vì góc giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và (ABCD) bằng
0
60
nên
2
3
'
2
3
4
2
2
1
.
.
60cos
2
2
0
a
OA
a
b
a
b
a
kn
kn

=⇒=⇔
+
=⇔=

Thể tích của lăng trụ:
)(
2
3
'.'
3
dvtt
a
BCABOASOAV
ABCD
===
[ ]
)0;1;3(
00
31
;
01
10
;
10
03
, −=









= aakBD
Mặt phẳng (A'BD) đi qua B, nhận
[ ]
kBD,
làm véc tơ pháp tuyến có phương
trình:
03 =− yx
.
Ta có B'C//A'D, suy ra B'C//(A'BD). Khoảng cách từ B' đến (A'BD) là:
( ) ( )
2
3
)1()3(
3
)'(,)'(,'
22
a
a
BDACdBDABd =
−+
−
==
DẠNG 3: Bài toán thể tích liên quan đến khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau AB và CD
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1:

+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Viết phương trình mp(P) chứa AB và song song với CD ( hoặc chứa
CD và song song với AB), mp(P) đi qua một trong các điểm A, B và
nhận
[ ]
CDAB,
làm vecto pháp tuyến:
0=+++ DCzyBAx
+ Khoảng cách cần tính chính là khoảng từ một trong hai điểm C, D đến
mp(P), ta tính theo công thức:
222
000
))(,(),(
CBA
DCzByAx
PCdCDABd
++
+++
==
Cách 2: (theo chương trình nâng cao)
+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Tính tọa độ ba vecto
ACCDAB ,,
, sử dụng trực tiếp công thức tính
khoảng cách:
[ ]
[ ]
CDAB
ACCDAB
CDABd

,
.,
),( =
Nhận xét: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một
mảng kiến thức được coi là khó nhất của phần hình không gian, việc tìm
đường vuông góc chung, tính độ lớn đoạn vuông góc chung hay qui về các
loại khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song là một việc làm không phải mọi học sinh giỏi
hình đều làm được. Chuyển sang tọa độ chúng ta không phải làm điều đó mà
chỉ cần thực hiện một số phép toán vecto thông thường.
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích khôí
chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo A.
(Trích đề thi đại học khối A năm 2012)

10
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Giải:
Cách 1:
A
B
H
C
S
T
M

Gọi M là trung điểm AB,ta có:
2
3
)
2
(
22
aa
aCM =−=
, kẻ HT//CM sao cho
HT=CM,
6
a
HBMBHM =−=
. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
)0;0;0(OH ≡
, T
thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz. Khi đó:
)0;
3
2
;0(
a
A
,
)0;
6
;
2
3

(
aa
C
,
)0;
3
;0(
a
B
−
,
3
7
22
a
HMCMHC =+=
,
3
21
60tan.
0
a
HCSH ==
,
)
3
21
;0;0(
a
S

Thể tích khối chóp:
)(
12
7
2
3

3
21
.
6
1

6
1
.
3
1
3
.
dvtt
aa
a
a
CMBASHSSHV
ABCABCS
====

)21;2;0(

3
−=
a
SA
,
)0;1;3(
2
a
BC =
. Đặt
)21;2;0(
−=
u
,
)0;1;3(=v

[ ]
)32;73;21(, −−=vu

Mặt phẳng (p) đi qua BC và song song với SA nhận
[ ]
)32;73;21(, −−=vu
làm
vecto pháp tuyến có phương trình:
07327321 =−−− azyx

)(
8
42
)32()73()21(

772
))(,(
222
),(
dvtt
a
aa
PAdd
BCSA
=
++
−−
==

Cách 2
Đối với học sinh học theo sch gio khoa ban nâng cao ta còn có thể sử dụng
trực tip cc công thức tính thể tích khối chóp và khoảng cch giữa hai
đường thẳng chéo nhau bằng tích hỗn tạp như đã đưa ở phần lí thuyt, lời
giải sau đây được coi là thuần túy theo phương php tọa độ:

B
A
S
C
T
H
M
Giải:

11

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Gọi M là trung điểm AB,ta có:
2
3
)
2
(
22
aa
aCM =−=
, kẻ MT//HS sao cho
HS=TM,
6
a
HBMBHM =−=
. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
)0;0;0(OM ≡
, C thuộc tia Ox,
A thuộc tia Oy, T thuộc tia Oz. Khi đó:
)0;
2
;0(
a
A
,
)0;0;
2
3
(
a

C
,
)0;
2
;0(
a
B
−
,
)0;
6
;0(
a
H −
,
3
7
)
6
()
2
3
(
22
aaa
HC =+=
,
);
6
;0( b

a
S
−
, b>0,
);
6
;
2
3
( b
aa
SC −=
. Vì góc
giữa SC và (ABC) bằng
0
60
nên góc giữa SC và trục Oz bằng
0
30

)
3
21
;
6
;0(
3
21
)
6

()
2
3
(
.
.
30cos
222
0
aa
S
a
b
b
aa
b
kSC
kSC
−⇒=⇒
++
==
)
3
21
;
3
2
;0(
aa
SA

−=
,
)0;
2
;
2
3
(
aa
BC =
,
)0;;0( aBA =
,
)
3
21
;
3
;0(
aa
BS =

[ ]
)
2
3
;0;0(,
2
a
BCBA −=

. Thể tích khối chóp:
[ ]
)(
12
7
,
6
1
3
.
dvtt
a
BSBCBAV
ABCS
==

[ ]
)32;73;21(
6
,
2
−−=
a
BCSA
[ ]
3
62
)32()73()21(
6
,

2
222
2
aa
BCSA =−+−+=
[ ]
[ ]
8
42
3
62
2
7
,
.,
2
3
),(
a
a
a
BCSA
BABCSA
d
BCSA
=
−
==

Chú ý:

+ Hai cch làm trên đã chỉ ra hai cch chọn h trục tọa độ khc nhau, điều
đó cho thấy rằng nu bài ton xuất hin nhiều quan h vuông góc thì ta sẽ có
rất nhiều cch chọn h trục tọa độ
+ Đối với ý thứ hai, để tính được khoảng cch giữa hai đường thẳng SA và
BC chúng ta còn có thể làm theo cch sau:
Cách 3: Từ hai đường thẳng chéo nhau SA và BC, ta dựng hình hộp (H) có hai
mặt đáy lần lượt nhận SA và BC làm cạnh, như hình vẽ:

N
Q
S
M
B
C
A
P
H
Ta có:
),(.
6
1
))(,(.
6
1
)(
6
1
BCSAdSBCPQSAdSHVV
BCPQBCPQSABC
===

12
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
[ ] [ ]
8
42
3
62
12
7
.6
,
6
,
66
),(
2
3
a
a
a
BCSA
V
BCBQ
V
S
V
BCSAd
SABCSABC
BCPQ

SABC
=====⇒
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt
AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
(Trích đề thi đại học khối A năm 2011)
Giải

A
B
K
C
S
M
N

Ta có
3260tan
0
aABSA ==
,
aBCMN ==
2
1
. Thể tích khối chóp

)(3)2(.32.
6
1
)(
2
.
3
1
)(.
3
1
3
dvttaaaaaBCMN
MB
SABCNMdtSAV
SBCNM
=+=+==
Kẻ MK//SA sao cho SAMK là hình vuông
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
, với
)0;0;0(OM ≡
, N thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy, K
thuộc tia Oz. Ta có:
)0;0;(aN
,
)0;;0( aB
,
)32;;0( aaS −
,

)0;;0( aA −
,
)0;1;0(2aAB =
,
)32;1;1( −= aSN
. Đặt
)0;1;0(=v
,
)32;1;1( −=u
[ ]
)1;0;32(
10
11
;
00
132
;
01
321
, =








−−
=vu

Mặt phẳng (p) qua AB song song với SN, nhận
[ ]
vu,
làm vec tơ pháp tuyến, có
phương trình:
032 =+ zx
13
392
1)32(
32
))(,(),(
2
a
a
PNdSNABd =
+
==
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C,
cạnh đáy AB=2a,
0
30=∠ABC
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho biết khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ bằng
2
a
.(Trích đề thi HSG tỉnh Thanh
Hóa năm 2013)

13
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim

Giải:
A'
B'
C'
A
B
C
K
M
3
3a
CM =
,
)(
3
3
.
2
1
2
dvdt
a
ABCMS
ABC
==
, gọi M, K lần lượt là trung điểm của
AB và A’B’.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
)0;0;0(OK ≡
, C’ thuộc tia Ox, B’ thuộc tia Oy, M

thuộc tia Oz. Ta có:
)0;;0(' aB
,
);0;0( tM
,
)0;0;
3
3
('
a
C
,
);0;
3
3
( t
a
C
,
)0;;0(' aA −
,
t>0,
);;
3
3
(' ta
a
CA =
,
);;

3
3
(' ta
a
CB −−=
,
[ ]
)
3
3
;0;(2','
a
taCBCA −=
Phương trình mặt phẳng (A’B’C):
0
3
3
=− z
a
tx
3
3
3
))''(,()',(
2
2
a
t
t
a

CBAMdCBABd
+
==
, theo bài ra ta có:
2
3
3
3
2
)',(
2
2
a
a
t
t
a
a
CBABd =
+
⇒=
)(
3
3
.
3
'''
dvtt
a
KMSVaKMat

ABCCBABCA
==⇒=⇒=⇒
DẠNG 4: Tìm tâm, bán kính và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABC
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1:
+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan
+ Xác định vecto pháp tuyến của mp(ABC) (
[ ]
ACABn ,=
), gọi I là tâm
của đáy, viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc với
mp(ABC) (nhận
[ ]
ACABn ,=
làm VTCP)
+ Gọi O là tâm khối cầu, khi đó O thuộc (d), gọi tọa độ O theo phương
trình (d), từ OA=OS ta tìm được tọa độ O, bán kính R=OA, thể tích
3
3
4
RV
π
=
Cách 2:
+ Thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm liên quan

14
GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
+ Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt là mặt phẳng

trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, SA.
(mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua trung điểm của đoạn AB và
nhận
AB
làm vecto php tuyn)
+ Gọi O là tâm khối cầu, khi đó O sẽ là giao điểm của 3 mặt phẳng (p),
(Q), (R), tọa độ O là nghiệm của hệ





)(
)(
)(
Rmppt
Qmppt
Pmppt
*Chú ý:
+ Ta có thể hon đổi vị trí cc điểm S, A, B, C cho nhau
+ Khối cầu ngoại tip khối chóp có đy là hình vuông, hình chữ nhật, đa
gic đều cũng chính là khối cầu ngoại tip khối chóp tam gic.
Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có AB=a, góc giữa hai mặt
phẳng (A'BC) và (ABC) bằng
0
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Tính thể
tích lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a.
(Trích đề thi đại học khối B năm 2010)

I
A
A'
C'
B'
C
B
K
H
G
Giải:
Cách 1: Gọi H là trung điểm của BC, khi đó
ACBH
⊥
,
2
3a
BH =
,
)(
4
3
.
2
1
2
dvdt
a
BHACS
ABCD

==
, gọi I là trung điểm BC,
2
3a
BHAI ==
,
0
60'=∠AIA
,
2
3
60tan.'tan.'
0
a
AIAIAAIAA ==∠=
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
)(
8
33
4
3
.
2
3
.'
32
dvtt
aaa
SAAV
ABC

===
Kẻ AK song song và bằng BH, chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
)0;0;0(OA ≡
, K
thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy, A' thuộc tia Oz. Ta có:
)
2
3
;0;0('
a
A
,
)0;;0( aC
,
)0;
2
;
2
3
(
aa
B
;
G
là trọng tâm tam giác A'BC,
)
2
;
2
;

6
3
(
aaa
G
; G’ là trọng tâm tam
giác ABC,
)0;
2
;
6
3
('
aa
G
Đường thẳng (d) qua G’, vuông góc với (ABC) nhận
)1;0;0(k
làm VTCP, có
phương trình:
tz
a
y
a
x === ;
2
;
6
3

15

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC, khi đó:
);
2
;
6
3
(,)( t
aa
OdO ∈
Ta có:
12226
3
2
2
2
2
a
t
a
tt
aa
OGOA −=⇔






−=+







+








⇒=
Bán kính mặt cầu:
12
7
2
2
aa
tOGR =






−==

.
Cách 2:
Từ cách 1, ta có
)0;0;0(OA ≡
,
)0;
2
;
2
3
(
aa
B
,
)0;;0( aC
,
)
2
;
2
;
6
3
(
aaa
G
. Gọi I, M, K
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, GA, BC, khi đó
)0;
4

;
4
3
(
aa
I
,
)
4
;
4
;
12
3
(
aaa
M
,
)0;
4
3
;
4
3
(
aa
K
,
)0;1;3(
2

a
AB =
,
)3;3;1(
6
3a
GA =
,
)0;1;3(
2
−=
a
CB
. Gọi (P), (Q), (R) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn
thẳng AB, GA, CB
Mp(P) qua I và nhận
AB
làm VTPT có pt:
03 =−+ ayx
Mp(Q) qua M và nhận
GA
làm VTPT có pt:
0
12
37
33 =−++
a
zyx
Mp(R) qua K và nhận
CB

làm VTPT có pt:
03 =− yx
Tọa độ tâm O của mặt cầu là nghiệm của hệ:







=−
=−++
=−+
03
0
12
37
33
03
yx
a
zyx
ayx
12
7
)
12
()
2
()

6
3
()
12
;
2
;
6
3
(
222
aaaa
AOR
aaa
O =−++==⇒−⇒
Nhận xét: Cả hai cách giải trên tuy có phần dài hơn so với giải theo hình học
không gian thông thường, nhưng nó lại có hướng đi rõ ràng, yêu cầu học sinh
kiên trì và tính toán cẩn thận
Ví dụ 9: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ,
AB=a, AD=2a, gọi I là giao điểm của AC và BD, hình chiếu của S lên mặt
phẳng (ABCD) là trung điểm của AI, góc giữa đường thẳng SC và AC bằng
0
45
.
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho. (Trích bộ đề tham khảo
năm 2012)
Giải:

16
GV: Nguyn Vn Vng Sng kin kinh nghim

I
A
B
D
C
S
K
M
Gi M l trung im AI, ta cú
4
53
4
3 a
ACCM ==
, tam giỏc SMC vuụng cõn ti
M
4
53a
MCSM ==
.K ng thng AK//SM sao cho AKSM l hỡnh ch nht,
chn h trc ta Oxyz, vi
)0;0;0(A
, D thuc tia Ox, B thuc tia Oy, K thuc
tia Oz. Ta cú:
)
4
53
;
4

;
2
(
aaa
S
,
)0;
2
;(
a
aI
. Mt phng (ABCD) l mt phng ta
nờn cú VTPT
)1;0;0(k
, ng thng (d) qua I v vuụng gúc vi mp(ABCD) cú
phng trỡnh:







=
=
=
tz
a
y
ax

2
. Gi O l tõm khi cu ngoi tip khi chúp ó cho, khi ú
O thuc (d).
);
2
;( t
a
aO
,
4
5
)
4
53
()
42
()
2
()
2
(
222222
a
t
a
t
aaa
at
a
aSOAO =++=++=

4
5a
OAR ==
. Th tớch khi cu
)(
48
125
3
4
3
3
dvtt
a
RV


==
3. H thng bi tp t luyn
1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE
vuông góc với SC. Biết AB= a, BC= b, SA=c.
a. Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE.
b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB= a, BC= 2a, AA'= a. Lấy
điểm M trên cạnh AD sao cho AM= 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (AB'C).
3. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a. Trên đờng thẳng qua C và
vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD= a. Mặt phẳng
qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối
tứ diện CDEF theo a.

4. A2002 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy
bằng a. Gọi M, N lần lợt là các trung điểm của SB và SC. Tính theo a diện
tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng
(SBC).
5. B2002 Cho hình lập phơng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng A
1
B

và B
1
D.
b. Gọi M, N, P lần lợt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD, A
1
D
1
.
Tính góc giữa hai đờng thẳng MP và C
1
N.

17
GV: Nguyn Vn Vng Sng kin kinh nghim
6. D2002: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp( ABC ),
AC= AD= 4cm, AB = 3 cm, BC= 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới
mp(BCD ).
7. B2003: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60
0
. Gọi M là trung điểm cạnh AA và N
là trung điểm cạnh CC . Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N cùng thuộc
một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là
hình vuông.
8. B2009: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có BB = a, góc giữa đ-
ờng thẳng BB và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C
và
ã
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện AABC
theo a.
9. ĐH2008B Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a
;
SA a
=

;
3SB a=
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo
a
thể tích khối
chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đờng thẳng SM, DN.
10. D2008: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a
= =
, cạnh bên
' 2AA a=
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC và khoảng cách giữa hai đờng
thẳng AM, BC.
11. ĐH2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,
ã
ã
0
90= =BAD ABC
,
AB BC a
= =
,
2AD a
=
, SA vuông góc với đáy và
2SA a
=

.
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là
hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo
a
.
12.DBA1-07 : Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
2a 5=
và
ã
o
BAC 120=
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh
MBMA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
13. DBB1-07 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA
vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lợt là

hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích
hình chóp OAHK.
14. DBB2-07 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đờng tròn đó sao cho AC = R. Trên đờng thẳng vuông
góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
ã
o
(SAB,SBC) 60=
. Gọi H, K lần lợt là
hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh AHK vuông và tính V
SABC
?
15. DBD2-07 Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
16.ĐH2004 K.B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

(0

0
<

< 90
0
). Tính tan của góc giữa hai
mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a và

.
17. H 2010D Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a,
cnh bờn SA=a, hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S lờn mt phng (ABCD)
l im H thuc on AC, AH=AC/4, gi CM l ng cao ca tam giỏc
SAC. Chng minh M l trung im ca SA v tớnh th tớch khi t din
SMBC theo a.
18. H 2011D Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B,
BA=3a, BC=4a, mt phng (SBC) vuụng gúc vi mt phng (ABC), bit

18
GV: Nguyn Vn Vng Sng kin kinh nghim
0
30,32 == SBCaSB
. Tớnh th tớch khi chúp S.ABC v khong cỏch t
B n mt phng (SAC).
19. H 2012 D Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng,
tam giỏc AAC vuụng cõn, AC=a. Tớnh th tớch khi t din ABBC v
khong cỏch t A n mt phng (BCD) theo a.
20. A 2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và
(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
C. KT LUN
I. KT QU NGHIấN CU
Thc t cho thy, vi cỏch lm trờn ó to c cho hc sinh s nhanh
nhn, kiờn trỡ, linh hot, vng vng, tit kim c thi gian hn trong quỏ
trỡnh gii toỏn. Hc sinh bit vn dng v cú s sỏng to hn trong hc tp, bit
liờn kt nhiu mng kin thc, nhiu phng phỏp gii cho mi phn trong
cựng mt bi toỏn. Cỏch lm trờn ó ỏp ng c nhu cu hc tp tớch cc ca
hc sinh. Sau khi ó c ụn tp nhng kin thc c bn v lý thuyt, hc sinh
ó t gii c nhng bi tp tng t, nht l nhng bi tp nm trong cỏc
thi i hc nhng nm gn õy, bit t xõy dng cho mỡnh h thng bi tp phự
hp vi ni dung kin thc c hc. Hiu qu trong hc tp ca hc sinh ó
c nõng lờn rừ rt.
cú c bi vit trờn, tụi ó phi my mũ nghiờn cu v kim chng
qua mt s nhúm hc sinh cú hc lc khỏ v trung bỡnh khỏ trong cỏc lp m
tụi ging dy nh lp 12D v lp 12K nm hc 2012- 2013.
Vi bi toỏn: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông,
AB BC a
= =
, cạnh bên
' 2AA a=
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính
theo
a

thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC và khoảng cách giữa hai đờng
thẳng AM, BC .
Tụi ó chn ra hai nhúm hc sinh vi s lng bng nhau, cú hc lc
ngang nhau, lm theo hai phng phỏp: hỡnh hc khụng gian thụng thng v
ta húa, trong ú nhúm lm theo ta húa cú th phi kờt hp c phng
phỏp hỡnh khụng gian thụng thng vo vic tớnh toỏn nhng phn cn thit.
Kt qu thu c th hin bng sau:
Nhúm S hc
sinh
S hc sinh cú li
gii
S hc sinh cú li
gii ỳng
S
lng
% S
lng
%
NHểM I (lm theo hỡnh
hc khụng gian thụng
thng)
15 10 66,7% 8 53,3%
NHểM II (lm theo
phng php ta húa)
15 14 93,3% 13 86,7%
Qua bng thng kờ trờn ta thy cỏch lm trờn ó th hin c s hiu qu
vt tri.
II. KT LUN V KIN NGH

19

GV: Nguyễn Văn Vương Sng kin kinh nghim
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên
biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng
dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì
sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với
việc thực hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy
được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh.
Mỗi một nội dung kiến thức, luôn chứa đựng những cách tiếp cận thú vi.
Mỗi giáo viên, cần có sự chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và
phát huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo. Trong quá trình giảng dạy,
cần xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với
từng đối tượng học sinh để giúp cho việc học của học sinh tích cực, chủ động
và đạt kết quả cao hơn.
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi
những thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết
được hoàn thiện hơn, cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp
mình giảng dạy, đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 05/05/2013
Tôi xin cam đoan đây là sang kiến
kinh nghiệm của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Người vit:
Nguyễn Vương

20