skkn xay dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trơng của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu
phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã
có nhiều sự thay đổi.
Một trong những hớng quan trọng của sự phát triển phơng pháp hiện đại
trong dạy học toán là xây dựng các phơng tiện dạy học và chỉ dẫn phơng pháp sử
dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính
của đối tợng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự
hứng thú trong các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dới ảnh hớng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự
phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phơng tiện dạy học đã xuất hiện ở trờng phổ
thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phơng
tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phơng tiện tổ chức
khoa học lao động s phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trờng Trung học phổ thông nớc ta cho thấy học sinh
thờng gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít,
nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhng không giải
thích đợc đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách
máy móc, hoặc không biết hớng vận dụng. Do vậy việc sử dụng các phơng tiện trực
quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới ph-
ơng pháp dạy học hiện nay ở trờng phổ thông.
Từ nhận thức ấy tôi chọn đề tài của mình với tiêu đề:
Xõy dng v sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy
tính tự học vàt rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ,
hàm số logarít
II. Mục đích nghiên cứu
Xác định một số dạng phơng tiện dạy học trực quan cần thiết Giải toán phần
hàm số mũ, hàm số logarít.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hình thành các yêu cầu s phạm của các dạng phơng tiện trực quan trong dạy

học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số dạng phơng tiện
trực quan tơng ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy hc.
IV. Giả thuyết khoa học
1
Trên cơ sở chơng trình sách giáo khoa,chúng tôi cho rằng nếu xây dựng đợc
các phơng tiện dạy học trực quan và có chỉ dẫn phơng pháp sử dụng hợp lý thì sẽ
góp phần nâng cao chất lợng dạy học
V. Phơng pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phơng pháp dạy
học toán và sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài
nghiên cứu.
Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học, các luận văn, luận án, các
công trình nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài.
2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm số
mũ, hàm số logarít có sử dụng các phơng tiện dạy học trực quan.
Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số mũ,
hàm số logarít làm cơ sở cho việc xây dựng và sử dụng các phơng tiện dạy học trực
quan.
Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện trực quan.
2. Đặc điểm yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở
trờng phổ thông.
3.Kết luận chơng I.
Chơng 2
Xõy dng v sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy
tính tự học và t rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ,
hàm số logarít

Chơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn.
i. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện
trực quan
Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phơng tiện trực quan phục vụ cho việc
dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt đợc mục đích dạy học nói chung, vừa đạt đợc
mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần nâng cao hiệu quả
của quá trình dạy học. Việc phân tích đánh giá hiệu quả của quá trình dạy học theo
2
một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả học tập nhất thời của học
sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phơng tiện và cả quá trình sử dụng phơng
tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn phơng tiện dạy một cách thích hợp thì
khi sử dụng nó có thể khai thác đợc các chức năng của phơng tiện nhằm đạt đợc yêu
cầu đặt ra cho nó và nh thế sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
1. Các yêu cầu của việc lựa chọn và sử dụng phơng tiện trong quá trình
dạy học
a) Thông tin đợc trình bày trong phơng tiện dạy học phải hớng vào mục đích
giáo dục toàn diện. Những thông tin này vừa đảm bảo tính khoa học, phù hợp với
chơng trình môn học tạo điều kiện hình thành có hiệu quả những tri thức cơ bản
phát triển năng lực nhận thức và khả năng công tác tự lập.
b) Phơng tiện dạy học phải kích thích và tạo điều kiện sử dụng những phơng
pháp dạy học đa dạng và có hiệu quả.
c) Phơng tiện dạy học phải đảm bảo việc tổ chức hợp lý lao động s phạm của
giáo viên và học sinh, các phơng tiện phải hấp dẫn, phù hợp về hình dáng, kích th-
ớc
d) Phơng tiện dạy học phải đảm bảo những yêu cầu về kinh tế, kỹ thuật đòi hỏi
phơng tiện dạy học phải có chất lợng phản ánh cao.
2. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện trực quan
Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phơng tiện trực quan phụ thuộc vào
việc lựa chọn đúng đắn các phơng tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn các ph-

ơng tiện đó trong quá trình dạy học toán
Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ năng sử dụng các phơng
tiện trực quan một cách hợp lý thì sẽ góp phần:
- Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác trong dạng
ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời
sống
Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các
hình tợng hiểu biết của học sinh.
Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá trình giảng dạy là đảm
bảo sự chuyển từ Trực quan sinh động sang t duy trừu tợng. Do đặc thù của môn
toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tợng, khái quát cao hơn so với các môn
học khác. Vì thế, nếu sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan sẽ góp phần vào việc
phát triển t duy trừu tợng, nâng cao hiệu quả của quá trình dạy và học
ii. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ,
hàm số logarít ở trờng phổ thông
3
Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của trờng Trung học phổ thông chúng tôi phân
tích đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít nhằm xác định các
nhiệm vụ và yêu cầu s phạm của phơng tiện trực quan trong quá trình dạy và học.
1. Đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít
Mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức dạy học vốn gắn bó
chặt chẽ với nhau, trong đó mục đích dạy học giữ vai trò chi phối, quyết định sự
liên hệ giữa các thành phần đợc thể hiện ở các đặc điểm sau.
a) Về phơng diện mục đích dạy học:
Dự thảo chơng trình cải cách môn toán đã chỉ rõ: Cung cấp cho học sinh một
hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng phơng pháp toán phổ thông, cơ bản,
hiện đại, tơng đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo tinh thần giáo
dục kỹ thuật tổng hợp Khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể, thể hiện
tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp ở những điểm sau:

Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về hàm số mũ, hàm số
logarít, các tính chất, định lý, các dạng đồ thị, các phơng trình, bất phơng trình mũ,
logarít.
Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa hàm số mũ với hàm số logarít, chỉ ra
các ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số logarít (trong các ngành kỹ thuật,
trong hóa học, trong âm nhạc) và giải các bài toán thích hợp .
Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời
sống. Thông qua việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít theo tinh thần giáo
dục kỹ thuật tổng hợp sẽ làm cho khả năng t duy, nhận thức của học sinh phát triển
cao hơn. Đồng thời góp phần hớng nghiệp cho các em, bởi vì một trong những
nguyên tắc hớng nghiệp là Bảo đảm tính chất giáo dục kỹ thuật tổng hợp trong h-
ớng nghiệp .
Việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có mục đích chủ yếu là cung
cấp cho học sinh các khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các phơng pháp suy
đồ thị, giải các phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình theo tinh thần giáo dục
tổng hợp. Các phơng tiện dạy học trực quan phải thể hiện đợc đặc điểm này của
việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
b) Về phơng diện nội dung dạy học:
Nội dung chơng trình phần hàm số mũ, hàm số logarít đợc xây dựng bằng
phơng pháp tổng hợp, nhằm cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về hàm số
mũ, hàm số ngợc, hàm số logarít với những nội dung chính sau:
- Mở rộng khái niệm về số mũ của các lũy thừa.
- Hàm số mũ, các tính chất hàm số mũ, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ, so
sánh các dạng lũy thừa, tìm giới hạn của hàm số mũ, các phép suy đồ thị, phơng
trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình mũ.
- Hàm số ngợc.
4
Trong quá trình giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít về mặt phơng
diện nội dung dạy học, cần đạt mức độ và yêu cầu sau:
* Về mặt lý thuyết:

Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = a
x
(a > 0) với tập xác định là toàn bộ R,
đó là một hàm số liên tục, đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và luôn
luôn có giá trị dơng
Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm số
logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn.
Bằng việc sử dụng các phơng tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo viên
phải làm cho học sinh thấy đợc ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo dục của
toàn chơng, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý nghĩa của
định lý đó. Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện kỹ năng sử
dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn.
* Về phơng diện bài tập:
Hệ thống hóa bài tập trong sách giáo khoa phần hàm số mũ, hàm số logarít đ-
ợc lựa chọn nhằm mục đích: Củng cố kiến thức cơ bản, rèn luyện t duy lôgíc, khả
năng trừu tợng hóa và bổ sung một số kiến thức không đề cập trong sách giáo khoa.
Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt đợc
những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời giải một
cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các bài toán về
phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình mũ và logarít.
Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn,
đồng thời rèn luyện các phẩm chất t duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra
đánh giá
c) Về phơng diện phơng pháp dạy học:
Tất cả các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarít không chứng minh vì
phép chứng minh phần lớn vợt ra ngoài chơng trình toán bậc phổ thông; vì thế các
em không khỏi băn khoăn ngờ vực, thậm chí thiếu niềm tin vào tính đúng đắn của
nội dung các tính chất.
Điều đó sẽ cản trở học sinh lĩnh hội chúng một cách tự giác, học sinh sẽ thiếu
cơ sở để tiến hành lập luận có căn cứ.

Nếu thừa nhận rằng dạy toán là dạy hoạt động toán học theo cách nói của
A.A. Xtoliar, thì theo ông giai đoạn đầu tiên, giai đoạn tích lũy các sự kiện nhờ quan
sát, quy nạp, tơng tự, khái quát hóa là cơ sở cho giai đoạn tiếp theo.
Việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít cần coi trọng đặc biệt giai
đoạn đầu. Có thể giải quyết vấn đề này bằng việc sử dụng hợp lý các phơng tiện
trực quan, đồng thời làm chỗ dựa vững chắc cho việc hình thành các khái niệm và
tính chất, lập luận có căn cứ.
Tóm lại, bằng phơng pháp trực quan, các phơng tiện trực quan khi dạy học
phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể tạo điều kiện thuận lợi cho cho hoạt động
5
dạy học, kích thích quá trình học tập, cung cấp cho học sinh những kiến thức bền
vững, chính xác.
Sự phân tích các đặc điểm nêu trên cho phép kết luận rằng:
Yêu cầu s phạm của việc xây dựng và sử dụng phơng tiện trực quan dùng cho
việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít phải góp phần:
- Tạo ra các hình ảnh ban đầu, các biểu tợng về đối tợng nghiên cứu
- Tái tạo lại nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọn, nhằm giúp
học sinh củng cố ghi nhớ, áp dụng kiến thức.
- Hớng dẫn học sinh lập luận có căn cứ.
- Tạo điều kiện cho quá trình suy diễn trừu tợng phát triển thuận lợi.
2. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trờng Trung học
phổ thông
Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc làm
rất cần thiết. Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các yêu cầu s
phạm đối với các phơng tiện dạy học trực quan.
Thực tiễn dạy học ở trờng Trung học phổ thông cho thấy chất lợng dạy học
phần hàm số mũ, hàm số logarít cha cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình
thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng hạn cho rằng lý luận dẫn
đến định nghĩa số mũ 0, a
0

= 1(a
0
) là một chứng minh.
Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm đợc các tính chất, không hiểu đợc
bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít.
Chẳng hạn: 4
3
nghĩa là gì thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu
chính xác. Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công
thức nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm.
Ví dụ nh cho rằng:
+) log
a
A.B = log
a
A.log
b
B (A,B > 0 và a,b
1

)
+) log
a
(A+B) = log
a
A + log
a
B
+) log
2

-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)
3
=

- 8)
+) log
a
x


=

log
a
x;
n
.a
m
a
=
nm
a
+
.
Trớc hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn tới
việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thờng mắc sai lầm. giáo viên lại không có
biện pháp thích hợp để khắc phục. Thực tế đó giúp ta hiểu rằng càng phải chuẩn bị
cho giáo viên những điều kiện cần thiết, trong đó có việc hớng dẫn giáo viên tạo ra và
sử dụng các phơng tiện dạy học một cách thích hợp, để họ có thể dạy tốt phần hàm số
mũ, hàm số logarít theo yêu cầu của chơng trình sách giáo khoa.

1.5. Kết luận chơng I
6
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trờng phổ thông đối
chiếu với những quan điểm đổi mới phơng pháp dạy toán trong giai đoạn hiện nay,
chúng tôi cho rằng:
Để giáo dục toán cho học sinh ở trờng Trung học phổ thông qua dạy học toán
cần quan tâm tới phơng pháp dạy học trực quan, để từ đó thông qua việc tổ chức
hoạt động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới.
Chơng 2
XY DNG V sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp
học sinh phát huy tính tự học và t rèn luyện kỹ năng
trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số
logarít
xY DNG V sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học
sinh vận dụng tri thức và kỹ năng trong quá trình giải toán phần
hàm số mũ, hàm số logarít
Trên cơ sở phân tích các nguyên tắc ở mục chng 1. Để đạt đợc kết quả nhất
định trong việc giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít theo hớng vận dụng các ph-
ơng tiện dạy học trực quan chúng tôi đề xuất một số biện pháp sau:
Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan nhằm giúp học
sinh chiếm lĩnh tri thức. Đồng thời rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng
vận dụng các phơng tiện trực quan trong quá trình giải toán phần hàm số mũ,
hàm số logarít.
Do đặc điểm của môn toán, phơng pháp trực quan rất cần thiết trong dạy học
bộ môn giúp học sinh khắc phục khó khăn ban đầu, tiếp thu vận dụng đợc các khái
niệm tính chất và suy luận trừu tợng trong quá trình giải toán.
Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh và trực quan động
- Trực quan động thờng dựa vào máy tính đợc xây dựng từ các phần mềm dạy
học (gọi là trực quan ảo).
- Trực quan tĩnh thờng là hình ảnh vật chất, hình biểu diễn, sơ đồ, ký hiệu

Hình thức trực quan đợc sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trực quan t-
ợng trng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức ) ([3]).
Trong quá trình giải toán phần hàm số mũ và hàm số logarít việc sử dụng hợp
lý các phơng tiện trực quan tợng trng sẽ giúp học sinh tìm ra hớng giải quyết bài
toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyện đợc kỹ
năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn
Thực tiễn s phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phơng trình và bất ph-
ơng trình mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các phơng pháp
7
- Phơng pháp đa về cùng cơ số
- Phơng pháp logarit hóa và mũ hoá
- Phơng pháp đặt ẩn phụ
- Phơng pháp đánh giá
Nhng đối với một số dạng phơng trình đặc biệt là các bài toán có chứa tham
số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý các phơng tiện trực
quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt của bài toán
Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x2
21
= m (1)
Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị
Giáo viên hớng dẫn học sinh: đặt 2
x
= t với điều kiện t > 0, rồi yêu cầu học
sinh đa phơng trình về hệ
Có thể hỏi học sinh nh sau: Cứ giả sử rằng phơng trình (1) là có nghiệm khi
đó hiển nhiên m phải có điều kiện gì ? (m 0) nếu m < 0 phơng trình (1) vô
nghiệm
t

2
+ m
2
= 1
Hệ (I)

m 0 (II)
t > 0
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu diễn miền nghiệm của t
2
+
m
2
= 1 là đờng tròn tâm 0(0,0) bán kính R = 1 xét trong hệ tọa độ vuông góc t0m.
Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các điểm
M(t,m) thỏa mãn (II) đợc biểu diễn bằng đờng đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ
điểm B).
Vậy: 0 m < 1 phơng trình có nghiệm duy nhất
Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán tơng
tự.
Bài toán 2.
Tìm m để hệ phơng trình:
8
m
1
B
A
1
0
0

t

t
2
+ m
2
= 1
t > 0
(I)
m < 0
m 1
Ph~ơng trình vô nghiệm
log
(x+y)
2
= 4
(x
2
+y
2
)
2(m+1)
= 1
có nghiệm.
Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hệ phơng trình:
Điều kiện:
Đối với hệ phơng trình trên bằng cách đa về hệ đối xứng loại 1 học sinh có
thể biện luận đợc để hệ phơng trình có nghiệm, nhng học sinh dễ bị thiếu sót các tr-
ờng hợp, hoặc lầm lẫn trong tính toán, bằng sự mô tả trên đồ thị học sinh sẽ phát
hiện vấn đề một cách rõ ràng trực quan hơn.

Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn các tập nghiệm của (1) và (2) lên mặt
phẳng tọa độ 0xy.
Gọi x
1,

x
2
lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2)
- x
1
là tập các điểm trên đờng tròn (c)
- x
2
là tập hợp các điểm trên các đờng thẳng (d
1
): x + y + 2 = 0 và (d
2
): x + y - 2
= 0.
Bằng sự minh họa trực quan theo hình vẽ
học sinh dễ dàng tìm đợc điều kiện để hệ phơng
trình có nghiệm, bao gồm các trờng hợp:
Trờng hợp 1: (d
1
) và (d
2
) cùng là tiếp tuyến
của đờng tròn (C) R =
2

2)1(2 =+m

m = 0 khi đó hệ phơng trình có 2 nghiệm phân
biệt.
Trờng hợp 2: (d
1
) và (d
2
) cùng cắt (C) tại
hai điểm phân biệt R >
2


)1(2 +m
>
2
m > 0 khi đó hệ phơng
trình có 4 nghiệm phân biệt.
Tóm lại, hệ phơng trình có nghiệm khi m 0.
Giáo viên có thể ra cho học sinh làm các bài toán tơng tự sau:
Bài tập ôn luyện
9
m >-1
m -
x
2
+ y
2
= 2(m + 1) (1)
(x + y)

2
= 4 (2)
Hệ ph~ơng trình
Tâm 0(0,0)
Bán kính R =

2



2

x

-2

0



-

2



x

+

y+2=0



2



2





y



0



x + y 2 = 0
có 2 nghiệm
1. Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
1
2
15
a
2

15
xx
=









+








+
Hớng dẫn: Ta có
1
2
15
2
15
=

+
Đặt
t
2
15
x
=

+
Đa phơng trình về với ẩn t rồi dùng các phơng tiện trực quan là đồ thị để suy
ra điều kiện của a
2. Tìm a để bất phơng trình sau đúng x R
25
x
+ (m +1)5
x
2m + 3 0
Hớng dẫn: Sử dụng bài toán 1.3
3. Tìm m để hệ phơng trình
log
2(x+y)
(x
2
+y
2
) = 1
(x +y)
2
= m
Hớng dẫn: Sử dụng bài toán 1.4
4. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x2
2 - 1
= m 2
x
Hớng dẫn: Đặt 2
x

= t, điều kiện t > 0, đa phơng trình về hệ rồi biện luận tơng
tự bài toán 1.1.
5. Cho phơng trình
4
|x |
- m.2
|x |+1
+ 2 = 0
a. Giải phơng trình với m = 3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Hớng dẫn: đặt 2
|x |
= t điều kiện t 1, sử dụng các phơng tiện trực quan là đồ
thị để suy ra điều kiện của m.
Biện pháp 2: Việc sử dụng các phơng tiện trực quan có thể khai thác tiềm
năng logíc bên trong của vấn đề đợc trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm
vững bản chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng hơn, mạch lạc
hơn.
Ta biết rằng, mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động
nhất định, đó là những hoạt động đã đợc tiến hành trong quá trình hình thành vận
dụng nội dụng đó. Khi đứng trớc một vấn đề, nếu thờng xuyên quan tâm đến việc
khai thác tiềm năng từ logíc bên trong để nắm đợc các thuộc tính bản chất thì chúng
10
D D
ta sẽ phát hiện đợc những hoạt động tiềm tàng trong mỗi vấn đề, nghĩa là lúc đó về
thực chất chúng ta đã vạch ra đợc con đờng, cách thức giải quyết vấn đề.
Bài toán 1. Với giá trị nào của a thì phơng trình
4
x
- 2

x
+ a = 0 (1) có nghiệm.
Cách 1: giáo viên yều cầu học sinh đặt 2
x
= t điều kiện t > 0 rồi đa phơng
trình về dạng t
2
- t = -a (t > 0).
- Yêu cầu học sinh vẽ parabol: y =
t
2
-t và đờng thẳng y = -a trên cùng hệ trục tọa
độ t0y.
Để phơng trình (2) có nghiệm t > 0
thì -a phải là một giá trị của hàm số y = t
2
- t
với tập xác định là (0, +)
Từ đồ thị học sinh sẽ suy ra đợc: ph-
ơng trình (2) có nghiệm t > 0 thì đờng thẳng
y = -a phải cắt đồ thị hàm số f(t) = t
2
t
trên (0,+)
-a -
4
1
a
4
1

Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đề tổng
quát: để giải và biện luận phơng trình f(x ) = g(m) (1)
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y = f(x ) và đờng thẳng (d): y = g(m).
Bớc 2: Xét hàm số y = f(x )
Tìm miền xác định (D)
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bớc 3: Kết luận: Phơng trình có nghiệm
min f(x ) g(m) max f(x )
Nếu biện luận phơng trình trên thì có thể tùy thuộc vào số giao điểm của đồ thị y
= f(x) và đờng thẳng y = g(m)
Bài toán 2. Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất.
11
2
2x
+2
2y
+2
y+1
m-1
2
2y
+2
2x
+ 2
x+1
m-1
y = -a
y

t
4
1

2
1
1
0
0
I
1
I
2
v
u
Tâm I
1
(0,-1)
Bán kính R
1
=
m
Giải: giáo viên gợi ý: vế trái của hệ luôn luôn dơng vậy để hệ phơng trình có
nghiệm thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ?
(m-1 0 m 1)
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh
phát hiện ra rằng:
Gọi X
1
, X

2
lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2)
X
1
là tập các điểm trong hình tròn
X
2
là tập các điểm trong hình tròn
Giáo viên có thể hỏi: từ các đồ thị trên hãy tìm điều kiện để hai đờng tròn
trên tiếp xúc với nhau? Bằng trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phơng trình
có nghiệm duy nhất khi (C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
I
1
I
2
= R
1
+ R
2

2
=
m2
m =
2
1

Kết luận: với m =
2
1
thỏa mãn điều kiện đầu bài
Bằng cách lập luận tơng tự bài toán 2. giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải
bài toán sau:
Bài toán 3. Tìm m để hệ phơng trình:
12
(C
1
)
log(x
2
+y
2
) = 1
có 2 nghiệm
(x+y)
2
= m

Tâm I
1
(-1, 0)
Bán kính R
2
=
(C
2
)

u = 2
x
v = 2
y
điều kiện u,v > 0 hệ t~ơng đ~ơng
Yêu cầu học sinh đặt:
u
2
+(v+1)
2
m(1)
v
2
+ (u+1)
2
m (2)
Bài toán 4. Cho hệ phơng trình
Tìm m để hệ có nghiệm, khi đó hãy khẳng định rằng hệ có nghiệm duy
nhất.
Hớng dẫn:
Đặt:
Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của 2 đờng tròn (C
1
) và (C
2
), đối với (C
1)
ta chỉ lấy
cung AB (trên góc phần t thứ nhất).
Đối với (C

2
) chỉ lấy cung CD (trong góc phần t thứ nhất). Vậy hệ có nghiệm
khi cung AB và cung CD giao nhau khác rỗng
I
1
C < R
1
< I
1
D
2
<
m
< 1+
3
2 < m < 4 +2
3

và khi đó vì cung AB và cung CD giao nhau tại điểm {M} nên hệ có nghiệm duy
nhất.
Vậy 2 < m < 4+2
3
hệ có nghiệm duy nhất.
Bài toán 5. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phơng trình
lg (m-x
2
) = lg (x
2
3x +2)
Phân tích lời giải: Biến đổi phơng trình về dạng

Để biện luận hệ phơng trình
(I) bằng các định lý đảo của tam thức
bậc 2 thì học sinh sẽ phải phân chia
làm rất nhiều các trờng hợp, sẽ
không tránh khỏi khó khăn và sai
sót. Khi học sinh đã biết kiến thức về
đồ thị hàm số:
13
u = 2
x
v = 2
y

điều kiện u,v > 0
u
2
+(v +1)
2
= m (1)
(u+1)
2
+v
2
= 4 (2)
Ph~ơng trình (1) là đ~
ờng tròn (C
1
) có
Ph~ơng trình (2) là đ~
ờng tròn (C

2
) có
Tâm I
1
(0,-1)
Bán kính:R
1
=
Tâm I
2
(-1,0)
R
2
=

2
Hệ
2
2x
+ (2
y
+1)
2
= m
(2
x
+1)
2
+2
2y

= 4
x
2
-3x+2>0
m-x
2
= x
2
-3x+2
x< 1 x >2
(I)
2x
2
-3x+2 = m

y
x
y = m
0
2
4
8
7
1
Hình 17
f(x) = ax
2
+ bx + c (a0) ở lớp 10, bài toán sẽ trở nên đơn giản, bằng sự mô tả đồ
thị học sinh dễ dàng phát hiện số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đ-
ờng thẳng y = m với đồ thị hàm số y = 2x

2
-3x+2 trên miền (-,1) (2,+).
Biện luận:
Với m <
8
7
phơng trình vô nghiệm, m =
8
7
1 m 4 phơng trình có một
nghiệm,
8
7
< m < 1 m > 4 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài toán 6. Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
1m
2
log
+
[x
3
+ (m - 3)x
2
- mx - m
2

+ 2m + 1] >
1m
2
log

+
(1 - x
2
)
Với các bất phơng trình logarít có chứa tham số là một dạng toán gây nhiều
khó khăn đối với học sinh, học sinh thờng áp dụng các phép biên đổi tơng đơng:
Đối với bài toán trên nếu áp dụng phép biến đổi tơng đơng, rồi dùng các
định lý về dấu của tam thức bậc 2 thì bài toán sẽ trở nên phức tạp, cũng có thể
không đi tới đích đợc.
Giáo viên hớng dẫn để học sinh phát hiện vấn đề, bằng sự minh họa trên đồ
thị. Trở lại bài toán trên: phơng trình tơng đơng với.
14
a > 1
0 < f(x) < g(x)
0 < a < 1
0 < g(x) < f(x)
log
a
f(x) < log
a
g(x)
a>1
0 < f(x) < a
b
0<a<1
f(x) > a
b
log
a
f(x) < b

a>1
f(x) > a
b
0<a < 1

0< f(x) < a
b
log
a
f(x) > b
m
2
+ 1 1
1- x
2
> 0
x
3
+ (m -3)x
2
- mx - m
2
+ 2m + 1 > 1 x
2
m 0
- 1 <m<1 (I)
(x
2
- m)(x + m - 2) >0
Xét hệ tọa độ vuông góc 0xm, các điểm M(x,m) thỏa mãn hệ (I) đợc biểu

diễn miền gạch trong hình.
Vậy bất phơng trình có nghiệm hệ (1) có nghiệm 0 < m < 3
Nhận xét:
Thông qua các bài toán trên giáo viên có thể ý thức cho học sinh một quy
trình, phơng pháp mới khi giải các bài toán phơng trình, bất phơng trình mũ,
logarít (có chứa tham số) bằng việc vận dụng các phơng tiện trực quan.
Biện pháp 3: Việc sử dụng các phơng tiện trực quan có thể khai thác các
kết quả ứng dụng khác nhau của khái niệm, định nghĩa, định lý và đề xuất bài
toán nâng cao nhằm khắc sâu các khái niệm, định nghĩa, định lý.
Khai thác các kết quả, khái niệm, định nghĩa, định lý trong việc giải các bài
toán đặc biệt cần lu ý tới các ký hiệu, tập hợp và logíc có thể giúp hình dung rõ ràng
về các định nghĩa, các khái niệm, các quy tắc, các định lý. Cùng với yêu cầu học
sinh trình bày lời giải các bài tập một cách đầy đủ, cần cho học sinh làm quen với
cách trình bày cô đọng và trực quan bằng cách sử dụng các ký hiệu hiện logíc
([5,tr.83]).
15
m
x
3
-1 1
0
m = -x +2
m = x
2
Thực hiện mạch logíc trên khi dạy hoc toán nói chung và dạy học phần hàm số
mũ hàm số logrít nói riêng là bao hàm việc dạy sâu khái niệm, định nghĩa, định lý
đồng thời thực hiện việc phát triển nhận
thức toán học cho học sinh.
Theo quan điểm đặt bài toán
cần giải quyết trong mối quan hệ tơng

quan với các khái niệm, định nghĩa,
định lý đã biết Chính việc thực hiện
quan điểm trên là phát triển đợc năng
lực định hớng, năng lực huy động kiến
thức cho học sinh, thông qua việc vận
dụng các phơng tiện trực quan, cụ thể ta
xét các bài toán sau:
Bài toán 1.
Giải phơng trình: 2
x
= 4x
Giáo viên dẫn dắt học sinh phát
hiện đợc phơng trình trên không giải đợc bằng phơng pháp đại số, nên cần phải khai
thác theo con đờng khác.
Dễ dàng tìm đợc một nghiệm (x = 4). Để tìm nghiệm khác (nếu có) tốt hơn
cả là ta dựng đồ thị từ mô hình trực quan để tìm đợc nghiệm thứ 2
Học sinh đã biết khái niệm hàm số mũ, hàm số bậc nhất. Giáo viên yêu cầu
học sinh dựng đồ thị y = 2
x
và y = 4x, ở đây tung độ tăng nhanh hơn hoành độ nên ta
chọn (tỷ lệ xích) trên trục 0x nhỏ hơn trục 0y. Từ đồ thị, học sinh sẽ tìm đợc giao
điểm A và B của hai đồ thị và chỉ có hoành độ điểm A là x = 4, hoành độ điểm B là
x

0,3.
Có thể chính xác hóa nghiệm tìm đợc bằng tính toán dùng bảng logarít.
Bài toán 2. Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm
log
a+x
[x (a-x)] < log

a+x
x (1)
Việc khai thác và vận dụng các tính chất, định lý vào bài toán trên là rất cần
thiết chẳng hạn: Khi xét y = log
a
x

điều kiện: x > 0
0 < a 1
Nhng khi vận dụng vào bài toán cụ thể log
a
f(x) > log
a
g(x) (hoặc log
a
f(x) <
log
a
g(x)) giáo viên cần phải chỉ rõ cho học sinh phân biệt hai trờng hợp hàm số
logarít đồng biến hoặc nghịch biến. Nh vậy, bất phơng trình (1) tơng đơng với hai
hệ sau:
Trờng hợp 1:
16
x > 0
a + x > 1
a - x > 0
a - x < 1

x > 0
(I) a + x > 1

x(a - x) < 1
x
y = 4x
B
0
y = 2
x
0,3
A
y
x
a
a-x = 1
10
1
2
1
2
1
a-x = 0
a+x = 1

Trờng hợp 1, sẽ trở nên đơn giản nếu học
sinh biết biểu diễn nghiệm của hệ (I) lên trên
hệ trục tọa độ x0a. Các điểm thoã mãn hệ (I)
biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ.
Hệ (I) có nghiệm ứng với giá trị a =
nếu nh đờng thẳng a = cắt miền gạch nói
trên. Từ đồ thị trên suy ra hệ có nghiệm khi
a >

2
1
.
Trờng hợp 2: Bất phơng trình sau t-
ơng đơng với
Hoàn toàn tơng tự trờng hợp 1. Đa vào xét hệ
trục x0a, các điểm thỏa mãn hệ (II) đợc biểu diễn trên
miền gạch trong hình vẽ (ta thấy ngay miền đó bằng
trống).
Vậy bất phơng trình(1) có nghiệm khi a >
2
1
.
Chú ý: Khai thác các kết quả, khái niệm, định nghĩa, định lý toán học giáo
viên cần giúp học sinh nắm đợc ý nghĩa, ứng dụng vào các bài toán, nhng đồng thời
cần phải khám phá các ứng dụng khác nhau của kết quả, định lý.
Xét bài toán sau:
Bài toán 3. Cho các bất phơng trình
0xlogxlog
2
4
1
2
2
1
<+
(1)
x
2
+ mx + m

2
+ 6m < 0 (2)
a. Giải bất phơng trình (1)
b. Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2).
Giải: Việc nắm vững các tính chất, định lý và vận dụng chúng là rất cần thiết
đối với việc giải bất phơng trình (1).
17
(II)
x > 0
a + x > 0
a + x < 1
a - x > 0
x(a - x) > x
x > 0
a + x > 0
a + x < 1
a - x > 1

a
x
a+x=1
a+x=0
0
1
a-x=1
-1

1+m+m
2
+6m<0

4+2m+m
2
+6m<0
m
2
+7m +1<0
m
2
+8m+4 <0
Giáo viên yêu cầu học sinh: xác định tập xác định của bất phơng tình (x > 0)
rồi sử dụng các tính chất logarít đa bất phơng tình về dạng
0xlogxlog
2
1
2
2
1
<+
đặt
xlog
2
1
= t
t
2
+t < 0 -1 < t < 0. Do đó - 1 <
xlog
2
1
< a

(*)
1 < x < 2
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh hiểu rằng
xlog
2
1
là hàm số có cơ số
là nhỏ hơn 1 nên hàm số y =
x
2
1
log
nghịch biến; việc vận dụng vào đẳng thức (*)
phải lu ý để lấy khoảng nghiệm của bất phơng trình.
Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2), giáo viên có thể nêu
những câu hỏi sau:
- Với 1 < x < 2 đều làm cho f(x) = x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 tức là x

(1,2)
đều thuộc vào tập nghiệm của bất phơng trình f(x) < 0 có mối quan hệ nh thế nào
giữa (1,2) với tập nghiệm đó ?
- Hãy biểu diễn (1,2) cùng với các tập nghiệm của bất phơng trình (2) lên
trục số ?
Những câu hỏi này có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giải: mọi
nghiệm của (1) là nghiệm của (2) có nghĩa là cần tìm m để tập nghiệm của (2) chứa
hết khoảng 1 < x < 2. Bằng sự biểu diễn trên trục số học sinh sẽ phát hiện dễ dàng

hơn.
Bài toán tơng đơng với điều kiện

Bài toán 4. cho hệ phơng trình
Xác định a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó ?
Lớp các bài toán hệ phơng trình mũ logarít rất rộng và không có phơng pháp
chung để giải. ở chơng trình SGK hiện hành chỉ xét một vài dạng đơn giản nhất,
nhằm giúp học sinh có một cách nhìn sâu sắc hơn, bản chất hơn về các bài toán hệ
phơng trình, ngời giáo viên cần phải biết khai thác kỹ các tính chất, định lý và hớng
học sinh vận dụng vào các bài toán cụ thể, đồng thời cũng cần phải mô tả một số
dạng toán bằng đồ thị, để từ những phơng tiện trực quan ấy giúp học sinh tiếp thu
kiến thức dễ dàng hơn.
18
2
2x
+3
2y
= 1
2
x
+2
y
= a

324-m
2
45-7-
+<<

/ / / / / / / / ( )/ / / / / / / /

+ (1,2) +
x
1
- x
2

Trở lại bài toán 4. Giáo viên dẫn dắt học sinh đặt
Với điều kiện u,v > 0 hệ phơng trình sẽ đa về dạng:
Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu học
sinh biểu diễn miền nghiệm hệ (I) trên hệ trục
u0v: u
2
+ v
2
= 1 là đờng tròn đơn vị (C) có
(chỉ lấy cung AB góc phần t thứ
nhất)
u + v = a là phơng trình đờng thẳng (d) từ
mô hình trực quan dễ thấy rằng hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (d) tiếp xúc
với đờng tròn tâm (0) tại cung AB.
Khi (d) tiếp xúc (c) tại điểm M (-
2
2
;
2
2
) suy ra u = v =
2
2

Bài toán 5. Giải bất phơng trình:
1) x(log
1

1 3x - x2log
1
3
1
2
3
1
+
>
+
(1)
Đa số học sinh khi gặp bài toán này đều thấy khó khăn và phải phân chia rất
nhiều trờng hợp. Nếu các em để ý biểu diễn trên trục số thì bài toán sẽ đơn giản hơn
rất nhiều. Bằng phơng tiện trực quan là trục số
Giáo viên có thể khai thác các tính chất, định lý về logarít nhằm giúp học
sinh phân chia các trờng cho chính xác. Cụ thể nh sau:
Điều kiện của bất phơng trình:
19
u = 2
x
v = 2
y
u + v = a
u
2
+

v
2
= 1
(I)
Tâm O(0,0)
Bán kính R = 1
v
u
u+v = a
A
B
0
-1<x<
x>1 (x 0,)
2
x
=
2
y
=

x = -
y = log
3


a > 0

Khoảng cách từ 0 (d) = R

a> 0

2a
=
1
2
a-
=
Đặt
2
3
x00x3x201x3x2logA
22
3
1
<<<>+=

0x11x0)1x(logB
3
1
<<+>+=
Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn miền nghiệm của A và B lên trục số
x
- -1 0 1/2 1 3/2 +
A - + + -
B + - - -
Giáo viên yêu cầu học sinh: Từ bảng xét dấu trên hãy xét các trờng hợp có
thể xảy ra đối với bất phơng trình trên.
- Trong khoảng (-1,0) VT < 0, VP > 0 nên bất phơng trình (1) không xảy ra.
- Trong khoảng (0,

2
1
) VT > 0, VP < 0, bất phơng trình (1) đúng.
- Trong khoảng (1,
2
3
) VT > 0, VP < 0 bất phơng trình (1) đúng trong miền
xác định.
- Trong khoảng (
2
3
, +) VT < 0, VP < 0 bất phơng trình (1) tơng đơng với:
132log
2
3
1
+ xx
<
)1(log
3
1
+x

01132
2
>+>+ xxx
5
5
01
05

1
2
>



>
<<




>
>
x
x
x
xx
x
vì điều kiện x >
2
3
Tóm lại nghiệm của bất phơng trình
),5( )
2
3
,1( )
2
1
,0(x +

Nhận xét:
Con đờng giải toán theo định hớng trên đòi hỏi ngời giáo viên cần phải cung
cấp cho học sinh những tri thức về phơng pháp để học sinh tự tìm tòi, tự phát hiện
vấn đề, tìm ra đợc hớng giải của một bài toán
Hoàn toàn tơng tự các bài toán trên giáo viên yêu cầu học sinh giải các bài
toán sau:
Bài tự ôn luyện
1. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phơng trình
20
m
x
-1
B
0
I
A
-1
(c)
(d)
[ ]
)(log)(log mxmx
mm
++=−−
++
121
2
22
2
22
Híng dÉn:

Do m
2
+2 > 1 bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng




++=−−
>++
)(
)(
mxmx
mx
121
012
22
(I)



=+++
>++
⇔
1)1m()1x(
01mx
22
Trong hÖ t¹o ®é 0xm cã ®iÓm M(x,m) tháa m·n hÖ (I)
⇔ -1 < m < 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, ngoµi ra v« nghiÖm.
2. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm






=+
>−+
++
myx
1)3y2x2(2log
)2yx(
22
Híng dÉn: HÖ



=+
<−+−
⇔
(2) myx
(1) 2)2y()2x(
22

(1) lµ ®êng trßn (C) cã t©m I(2,2),
b¸n kÝnh
2R =
(d): x+y-m = 0
HÖ cã nghiÖm ⇔ (d) c¾t
(C) ⇔ d(I,d) < R
⇔

6m22
2
m22
<<⇔<
−+

21
y
x
6
2
0
2
6
I
Kết luận chơng II
Nội dung chủ yếu của chơng này là lập luận về các nguyên tắc, các biện pháp
s phạm trong việc xây dựng và sử dụng các phơng tiện dạy học trực quan, nhằm góp
phần nâng cao chất lợng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
Tiếp theo, chúng tôi thể hiện cụ thể các nguyên tắc, biện pháp đó vào việc
xây dựng và sử dụng hợp lý các phơng tiện dạy học trực quan phục vụ cho việc dạy
học khái niệm, định lý và giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít, các hoạt động
dạy học toán chủ yếu ở trờng THPT.

XC NHN CA TH TRNG
N V
Trnh Bỏ phũng
Thanh Húa, ngy 27 thỏng 4 nm 2013
Tụi xin cam oan õy l SKKN ca
mỡnh vit, khụng sao chộp ni dung ca

ngi khỏc.
NGI VIT

Bựi Hựng Trỏng
22
Ti liu tham kho
1. Phan Đức Chính, Vũ Dơng Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các
3. Hoàng Chúng (1978), Phơng pháp dạy học toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phơng pháp giải toán mũ, logarít, Nxb Hà
Nội, Hà Nội.
5. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dơng Thụy (2001), Ph-
ơng pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
6. Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic toán, Nxb Thanh Hóa,
Thanh Hóa.
7. Goocki D.P (1974), Logic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
8. Nguyễn Viết Hải (1984), Bản tóm tắt luận án tiến sỹ, Các bộ thiết bị dạy học nh
là phơng tiện dạy học hình học.
9. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Nguyễn Đạo Phơng, Lê Tất Tốn,
Đặng Quan Viễn (2000), Toán bồi dỡng học sinh THPT, Đại số 10, 11, 12,
Nxb Hà Nội, Hà Nội.
10. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học môn
toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
11. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thắng (1997), Tâm lý học lứa tuổi và
tâm lý học s phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
12. Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
13. Krutecxki A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và s phạm, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
14. Bùi Tuấn Khang (1997), Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dùng để đánh
giá thành quả dạy học môn toán cho sinh viên chơng trình 1, Luận văn Thạc
sỹ.

15. Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
16. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy (1992), Phơng pháp dạy học môn toán. Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
17. Polia G (1997), Giải bài toán nh thế nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội.
18. Petrovxki A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi s phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
23
19. Bùi Gia Quang (1986), Sử dụng các tổ hợp đồ dùng dạy học để dạy học phần
hình học không gian ở lớp cuối bậc phổ thông cơ sở trong cải cách giáo dục,
Luận án Tiến sỹ.
20. Nguyễn Ngọc Quang (1986), Lý luận dạy học đại cơng (tập 1), Trờng Cán bộ
quản lý giáo dục Trung ơng.
21. Phan Thanh Quang, Lơng Hà Thi, Nghiêm Ngọc Thảo (2000), Hớng dẫn giải
Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nxb Đại học quốc gia TPHCM.
22. Đào Tam (2000), Bồi dỡng học sinh giỏi ở trờng phổ thông, năng lực huy
động kiến thức trong giải bài toán", Nghiên cứu giáo dục.
trình, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
23. Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực t duy logic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ
thông trong dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ.
24. Một số tạp chí Giáo dục và báo Toán học tuổi trẻ từ 2000 2008.
24