skkn dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị

Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013
MỤC LỤC
Nội dung Trang
I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1
II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2
1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2
2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 15
III. Kết luận……………………………………………… 15
Tài liệu tham khảo
MỤC LỤC
Nội dung Trang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DẠY HỌC TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Người viết SKKN
ĐỖ XUÂN VƯỢNG
Hiệu Trưởng
LÊ THỊ NGUYỆT.
Triệu Quang Phục , ngày 22 tháng 4 năm 2013
I. Đặt vấn đề………………………………………………. 1
II. Giải quyết vấn đề………………………………………. 2
1. Cơ sở lý luận của vấn đề……………………………… 2
2. Thực trạng của vấn đề………………………………… 3
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết……………… 3
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………… 16
III. Kết luận……………………………………………… 17
Tài liệu tham khảo 18

Danh mục chữ viết tắt 19
I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán THPT nói chung và lớp 12 nói riêng, học sinh đã
được trang bị kiến thức về hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số, tuy nhiên kỹ năng áp dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán tìm
2
cực trị của một biểu thức có nhiều biến số, hoặc chứng minh một bất đẳng thức
của đa số học sinh còn nhiều hạn chế. Nguyên nhân là bài toán chứng minh bất
đẳng thức, tìm cực trị là một dạng toán khó mà thời lượng trong chương trình lại
còn ít. Kiến thức dàn trải suốt cả ba năm học THPT gây khó khăn cho học sinh
trong việc xâu chuỗi, hệ thống hoá kiền thức để hình thành phương pháp cho bản
thân. Thông thường , khi gặp bài toán trên học sinh thường hoang mang, không
biết lựa chọn phương pháp phù hợp. Vì vậy, việc làm phong phú thêm các phương
pháp giải dạng toán trên là một việc làm cần thiết, góp phần rèn luyện tư duy, kỹ
năng và thay đổi thái độ của học sinh khi tiếp cận dạng toán trên, góp phần nâng
cao chất lượng giáo dục môn Toán THPT.
Xuất phát từ những suy nghĩ trên, tôi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm:
“Dạy học áp dụng phương pháp hàm số để giải bài toán cực trị”. Đó là những kinh
nghiệm của bản thân được đúc rút trong quá trình giảng dạy môn Toán ở các lớp
thuộc Ban Khoa học tự nhiên.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
1.1 GTLN, GTNN của hàm số.
-Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
3
+
0 0
( ),
max ( )
: ( )

D
M f x x D
M f x
x D M f x
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =

+
0 0
( ),
min ( )
: ( )
D
m f x x D
m f x
x D m f x
≤ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =

- Định lý: Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b

thì luôn tìm được
GTNN, GTLN của hàm số trên
[ ]
;a b
.
1.2 .Sử dụng khảo sát hàm số tìm GTLN,GTNN của hàm số
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN ( nếu có ) của hàm số y=f(x) với
x D∈ ⊂ ¡
Phương pháp:
Quy tắc 1:Trường hợp tổng quát ( Khi D không là một đoạn)Tiến hành theo các
bước
+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D.
+ Căn cứ vào bảng biền thiên để kết luận về GTLN,GTNN
Quy tắc 2: Trường hợp đặc biệt:
[ ]
;D a b=
, tiến hành theo các bước:
+Tính đạo hàm của hàm số,
+ Tìm các điểm tới hạn của hàm số thuộc
[ ]
;a b
( là các điểm thuộc
TXĐ mà tại đó, đạo hàm triệt tiêu hoặc không xác định)
+ Tính GT của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm a,b.
+ So sánh các GT tìm được để kết luận.
1.2 Các bất đẳng thức bổ trợ cho phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cô-si: Với a
1
;…a

n
là các số thực không âm, ta có:
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
; đẳmg thức khi
1 2

n
a a a= = =
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Với hai bộ số thực
1 2
, ,
n
a a a
và
1 2
, ,
n
b b b
, ta có
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + +
Đẳng thức có khi hai bộ số tương ứng tỷ lệ.
+ Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số
( )y f x=
với tập xác định D, tập giá
trị của hàm số là :
{ }
| : ( )T y x D y f x= ∈ ∃ ∈ =¡
4
Hay : T={
y ∈¡
: phương trình f(x)=y ẩn x có nghiệm.
2. Thực trạng của vấn đề:
Khi giải quyết bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng phương pháp sử
dụng sự biến thiên của hàm số, thực chất là đi xác định tập giá trị của biểu thức,
của hàm số với điều kiện cho trước. Căn cứ vào đặc trưng của biểu thức ( Tính
đối xứng của các biến, điều kiện của các biến có tính đẳng cấp với các biến…) để
tiến hành đổi biến, học sinh thường gặp các khó khăn và hay mắc các sai lầm sau:
Sai lầm:
- Lập BBT không chuẩn xác: Tính sai các giá trị tại các đầu mút D ( nhất là
khi D không phải là một đoạn, thường không thông qua giới hạn để xác
định miền GT của hàm số).
- Khi áp dụng quy tắc 2, học sinh thường tính thừa các giá trị hàm số tại các
điểm tới hạn, không loại đi các điểm tới hạn không thuộc
[ ]
;a b
,dẫn đến kết
quả sai.
Khó khăn :

- Không linh hoạt khi chuyển biểu thức cần tìm cực trị về dạng hàm một biến
qua phép đặt biến phụ.
- Khi đặt được biến phụ, thường không các định được miền GT của biến phụ
theo điều kiện ban đầu, dẫn đến sai kết quả.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết.
3.1 Hình thành phương pháp sử dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN.
- Yêu cầu học sinh hiểu thấu đáo định nghĩa, nhấn mạnh là GTLN, GTNN của
hàm số đạt được trên tập D phải là GT của hàm số tại ít nhất 1 điểm của tập D.
Do đó, khi tìm được GTLN, GTNN của hàm sô, nhất thiết phải chỉ ra giả trị đó
đạt tại điểm nào trên tập hợp D
- Hình thành cho học sinh quy tắc rõ ràng theo các bước, áp dụng từng TH cụ thể
khi tập D là hay không là một đoạn.
- Rèn luyện kỹ cho học sinh kỹ năng lập bảng BT của hàm số, xác định TGT của
hàm số dựa trên BBT.
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng vận dụng vào bài toán tìm cực trị của biểu thức
hai biến, ba biến:
5
+ K nng i bin s:
+ K nng tỡm iu kin ca bin mi thụng qua cỏc con ng: ỏnh giỏ
nh cỏc bt ng thc, phng phỏp min giỏ tr, phng phỏp dựng BBT
+ K nng s dng cụng c hm s xỏc nh tp giỏ tr ca hm.
- a ra cỏc vớ d mu in hỡnh cú phõn tớch li gii, h thng bi tp a dng
hỡnh thc, phong phỳ v ni dung, phự hp v mc , giỳp hc sinh c t rốn
luyn k nng t d n khú.
3.2 H thng vớ d v bi tp
a. Tìm cực trị hàm một biến
GV cần lu ý cho học sinh:
- Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN trên tập nào? ( Xác định D)
- Chọn cách giải phù hợp khi D là một đoạn, D không là một đoạn
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
1 3 6 9y x x x= + + + +
Lời giải: Điều kiện
[ ]
2
3 6 9 0 1;3x x x + +
( D là một đoạn)
Tính đạo hàm:
2
2
3 6 9 3 3
'
3 6 9
x x x
y
x x
+ + +
=
+ +
Tìm các điểm tới hạn thuộc
[ ]
1;3
:
2
' 0 3 6 9 3 3 2y x x x x= + + = =
Tính giá trị của hàm tại các điểm đầu mút, tại các điểm tới hạn:
( 1) 0; (3) 4; (2) 6f f f = = =
So sánh, kết luận:
max 6f =
khi x =2; min f = 0 khi x =-1

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y =
2
1
1
x
x
+
+
Li gii: TX: D = R
Ta cú : y=
(
)
3
2
1
1
x
x

+
; y= 0
1x
=
BBT:
thiên hàm số:
x

1
+
f + 0 -

f -1
2
1
Dựa vào BBT, GTLN của hm s bằng
2
đạt khi x=1.
Khụng cú giỏ tr nh nht ca hm s /D.
6
NHN XẫT:
Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: Tớnh sai cỏc giỏ tr ti cỏc u mỳt D
( nht l khi D khụng phi l mt on, thng khụng thụng qua gii hn
xỏc nh min GT ca hm s).
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y=
[ ]
2
3 2 / 10;10x x +

Li gii:
Cỏch 1: +) ỏnh giỏ y
0


x R

. Du bng xy ra khi x =1 hoc x =2 thuc
on
[ ]
10;10
. Vy GTNN ca hm s bng 0 khi x =1 hoc x =2.
+) Lp BBT ca hm s y =

[ ]
2
3 2 / 10;10x x +
. T ú kt lun
GTLN ca hm s bng 132 khi x =-10.
Cỏch 2: Lp BBT ca hm s y =
2
3 2x x +
/
[ ]
10;10


x -10 1
3
2
2 10
f - + 0 - +
f 132
0
1
4
0
72
Kt lun giỏ tr LN, NN nh cỏch 1.
NHN XẫT:
Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: im o hm khụng tn ti x =1, x =2.
Hoc kt lun giỏ tr nh nht sai.
b. Tìm cực trị của hàm một biến phức tạp hoặc biểu thức có nhiều hơn một biến
Giáo viên lu ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có đợc một hàm số với biến mới

ở dạng đơn giản hơn
Chú ý:
-Nếu biểu thức có dạng đối xứng với từng biến thì nó luôn đợc biểu diễn đợc qua
tổng hai biến và tích biến
-Nếu điều kiện là một biểu thức đẳng cấp theo từng vế ( Tốt nhất là chênh nhau
một bậc) Thì bằng phép đặt ẩn phụ x=ty ta luôn tính đợc x,y theot.
Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
3 2
2
2
1
x x x
y
x
+ +
=
+
7
Ta có:
( ) ( )
2
3 2 2 2
2 2
2 2
2 2
( 1)
1 1
1 1
x x x x x x x x

y
x x
x x
+ + + +

= = = +
ữ
+ +

+ +
Đặt
2
1
x
t
x
=
+
Để tìm điều kiện của t, có thể sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac phơng pháp
miền giá trị nh sau:
Cách1: Dùng BĐT Cô-si
+ Với x=0 thì t=0.
+ Với
0x

, xét
2
1 1 1 1 1 1 1
2 ;
2 2

x
x t x x t
t x x x x
+

= = + = + = +


Cách2: t là một GT của biểu thức

Phơng trình
2
1
x
t
x
=
+
ẩn x có nghiệm
2
0tx x t + =
có nghiệm
2
1 1
1 4 0
2 2
t t =
Bài toán trở thành: Tìm GTLN,GTNN của hàm
2
( ) ;g t t t= +

1 1
;
2 2
t




Hàm đạt cực tiểu tại:
1
2
t =

1 1 1 3 3 1
( ) ; ( ) ;
2 4 2 4 4 4
g g GTLN GTNN = = = =
Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2 2
2 2
2 1 1 1 3
1 1 1
x x x
y
x x
+ + + +
=
+ + +
Điều kiện:
1 1x

Đặt
2 2
1 1t x x= + +
Tìm điều kiện của t:
Cách1: Dùng BĐT
Theo Bunhia ta có:
( )
2 2 2 2 2
( 1 1 ) 2. 1 1 4 2x x x x t + + + + =
Cũng có:
2 2 2 2 4
( 1 1 ) 2 2 1 2 2t x x x t= + + = +
.Vậy
2;2t



Cách2: Khảo sát hàm
2 2
1 1t x x= + +
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
1
t t
y
t
+ +
=
+

, với
2;2t



Kết quả: Maxy=
7
3
tại x=0; Miny=
2 2 1
tại x=1
8
Vídụ6: Cho x,y là hai số thực dơng thoả mãn 4x+9y=6. Tìm GTLN của
1
2
2
P xy
xy
= +
+
.
Hng dn
Cỏch 1: Rỳt xy theo x ri th vo P, thu c hm mt bin s
Cỏch 2: Coi xy l bin s, vy phi tỡm iu kin cho xy :
- Cú th thụng qua ỏnh giỏ:
1 1
6 4 9 2 4 .9 12
2 4
x y x y xy xy xy= + =
. Vậy đk của xy là:

1
0
4
xy
- Cú th s dng phng phỏp min giỏ tr: Tỡm iu kin ca t h sau cú
2nghim dng :
4 6 6x y
xy t
+ =


=

cng tỡm c
1
0
4
xy
Khảo sát hàm số :
1
( ) 2 ;
2
P t t
t
= +
+
Với
1
0
4

t
Ví dụ 7:
Cho
cos2 cos2 1, ,x y x y+ = Ă
; Tìm GTNN của biểu thức
2 2
tan tanA x y= +
Lời giải:
Biến đổi biểu thức A để sử dụng đợc điều kiện:
2 2 2 2
2 2
1 1
tan tan (tan 1) (tan 1) 2 2
cos cos
A x y x y
x y
= + = + + + = +
1 1
2 1
1 cos2 1 cos2x y

= +
ữ
+ +

Điều kiện đã cho biến đổi thành:
1 cos2 1 cos2 3, ,x y x y+ + + = Ă
Đặt
1 cos2 1 cos2 3t x y t= + + =
,

điều kiện:
[ ]
cos2 1 cos2 2 (1 cos2 ) 2 1;1y x x t= = + =

1 3t< <
Xét hàm số :
1 1
( )
3
f t
t t
= +

với
1 3t
< <
.
2 2
2 2
1 1 3
'( ) 0 (3 )
(3 ) 2
f t t t t
t t
= = = =

Bảng biến thiên hàm số:
t 1
3
2

3
f - +
9
f
4
3
Dựa vào BBT, GTNN của A bằng
2
3
đạt khi
1
cos2
2
x =
Ví dụ 8: Cho a, b dơng t/m:a
2
+b
2
=1. Tìm GTLN của biểu thức
2
ab
M
a b
=
+ +
Cách1:
Theo Cô- si ta có:
2a b ab+
Dấu= Khi a=b. Do đó:
2

2 2
ab ab
M
a b
ab
=
+ +
+
Đặt
t ab=
. Ta có:
2 2
0; 0
1 1 2
0 0
2 2 2 2
a b
a b
ab ab t
> >
+
= < <
.
GTLN của M là GTLN của hàm
2 2
1
( ) .
2 2 2 1
t t
f t

t t
= =
+ +
với
2
0
2
t<
.
Khảo sát hàm số
2 2
1
( ) .
2 2 2 1
t t
f t
t t
= =
+ +
;
2
0
2
t<
. Là hàm luôn đồng biến và liên tục
trên
2
0;
2

( )
2 1
( ) ( )
2
2 2 2
f t f =
+
Đáp số:
( )
1
max
2 2 2
M =
+
Cách2:
Lại theo Bunhia:
( )
2
02 2
2( ) 2 0 2
a b
a b a b a b
+ >
+ + = < +
.
Đặt
(
0; 2t a b t

= +

1
( )
4
M g t
; Với :
2
( )
2
t
g t
t
=
+
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 ( 2) 4
'( )
2
2 2
t t t t t t
g t
t
t t
+ +
= = =
+

+ +
: g(t) luôn đồng biến trên
(
0; 2


Vậy
1 1
( 2)
4
2(2 2)
M g =
+
Ví dụ 9: Cho x;y là các số thực thoả :
2 2
3.x y xy+ + =
Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức
10
( )
2
2
1
2
2 2 4 2
a b
a b
ab
M
a b a b a b

+

ữ
+

= =
+ + + + + +

4 4 3 3
4M x y xy x y= + +
HD: Từ GT suy ra
2 2
3x y xy+ =
. Thế vào ta có
( )
2
2 2 2 2 3 3
2 4 .M x y x y xy x y= + +
=
( )
2
2 2 3 3
3 2 4 .xy x y xy x y +
=
3 3 2 2
2 9x y x y xy +
.
Đặt t=xy. Để tìm điều kiện của M ta có hai cách sau:
Cách1: Tìm t sao cho hệ sau đây có nghiệm :
2 2

3.x y xy
xy t

+ + =

=


Cách 2: Từ điều kiện đầu bài ta có:
2 2
3 2 3 3 1xy x y xy xy xy = +
.

2 2
( ) 2 3 ( ) 3 3x y xy xy xy x y+ + = = +
.
Vậy
[ ]
3;1t
.
Bài toán trở thành tìm GTLN; GTNN của hàm số:
[ ]
3 2
( ) 2 9; 3;1f t t t t t= +
Khảo sát hàm số
[ ]
3 2
( ) 2 9; 3;1f t t t t t= +
ta có kết quả.
Ví dụ 10( Khối D- 2009). Cho x,y là hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1. Tìm

GTLN, GTNN của biểu thức
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy= + + +
.
Ta có:
( )
2 3 3 2 3
16( ) 12( ) 34 16( ) 12 ( ) 3 ( ) 34S xy x y xy xy x y xy x y xy= + + + = + + + +
.
Thay x+y=1, Ta có
2 2
16( ) 12(1 3 ) 34 16( ) 2 12S xy xy xy xy xy= + + = +
.
Đặt t=xy. Dễ thấy
1
0;
4
t




.
Xét hàm số
2
( ) 16 2 12f t t t= +
với
1
0;
4

t




có kết quả GTNN bằng
191
16
; GTLN
bằng
25
12
Ví dụ 11 : Cho hai s thc x, y thay i sao cho : 2(x
2
+ y
2
) - xy = 1.
Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc :
4 4
x + y
P =
2xy + 1
Nhn xột : 1 = 2(x
2
+ y
2
) - xy 2.2xy - xy = 3xy xy
1
3

1 = 2(x
2
+ y
2
) - xy = 2.(x + y)
2
- 5xy -5xy xy
1
5


V :
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
xy + 1
- 2x y
x + y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + 1
2
P = = = =
2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4

ữ

11
 Khi đó, đặt : t = xy , đk :
1 1
t ;
5 3
 

∈ −
 
 
Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số :
2
-7t + 2t + 1
f(t) =
8t + 4
với
1 1
t ;
5 3
 
∈ −
 
 

2
' ' 2
2
t = -1 (loai)
56t - 56t
f (t) = ; f (t) = 0 56t - 56t = 0
t = 0
(8t + 4)

−
⇒ − ⇔



1 2 1 2 1
f(- ) = , f( ) = , f(0) =
5 15 3 15 4
 Vậy :
2 2
1 1
- ;
5 3
1
x + y =
1
Max P = Max f(t) = . . .
2
4
xy = 0
 
 
 


⇔ ⇔





2 2 2 2
1 1
- ;

5 3
2 2
x + y = x + y =
2
3 5
Min P = Min f(t) = . . .
1 1
15
xy = xy = -
3 5
 
 
 
 
 
 
⇔ ∨ ⇔
 
 
 
 

Ví dụ 12
Cho x
2
+ xy + y
2
= 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
S = x
2

− xy + y
2
Giải Xét y = 0 ⇒ x
2
= 3 ⇒ S = 3 là 1 giá trị của hàm số.
Xét y ≠ 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
( )
2
2 2
2
2 2 2 2
/ ( / ) 1
1
3
( / ) ( / ) 1 1
x y x y
x xy yS t t
u u
x xy y x y x y t t
− +
− + − +
= = = = =
+ + + + + +
với
x
t
y
=
⇔ u(t
2

+ t + 1) = t
2
− t + 1 ⇔ (u − 1)t
2
+ (u + 1)t + (u − 1) = 0 (*)
+ Nếu u = 1, thì t = 0 ⇒ x = 0, y =
3±
⇒ u = 1 là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu u ≠ 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t
⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ 0 ⇔
1
1 3
3
u≤ ≠ ≤
.
Vậy tập giá trị của u là
1
,3
3
 
 
 
⇒
1
Min
3
u =
; Max u = 3
12
Min S = 1

1
Min
3
u =
t = 1
2 2
1
3
x y
x y
x xy y
=


= =

+ + =



Max S = 9 Maxu = 3 t = 1
2 2
3, 3
3
3, 3
x y
x y
x xy y
x y

=

= =





+ + =

= =




Ví dụ13(ĐHA-2006). Cho x,y
*
Ă
thoả mãn
( )
2 2
x y xy x y xy+ = +
Tìm GTLN của
3 3
1 1
A
x y
= +
BG :
( )

( )
( )
2
2
2 2
3 3
3 3 3 3 2 2
1 1
x y x xy y
x y
x y
A
x y x y x y x y
+ +
+

+
= = = = +
ữ

Đặt x=ty, từ
( )
2 2
x y xy x y xy+ = +
, suy ra
( )
( )
3 2 2
1 1t ty t t y+ = +
Vậy

2 2
2
1 1
;
1
t t t t
y x ty
t t t
+ +
= = =
+ +
.
Thay vào A ta có:
2
2
2
2 1
1
t t
A
t t

+ +
=
ữ
+

Ví dụ 14
Cho x,y khỏc 0 v tho món:
2 2 2 2

2x y x y y x+ = +
. Tỡm GTLN,GTNN ca
2 1
S
x y
= +
Hng dn: t y=tx, T gi thit ta cú

2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
2
(1 ) (2 )
x t x x tx t x x
x t x t t
+ = +
+ = +
Suy ra:
2
2
1
2
t
x
t t
+
=
+
v
2 2
2

1 1
.
2
2
t t
y tx t
t
t t
+ +
= = =
+
+

Vy
2
5
( )
1
t
f t
t
=
+
.KSHS ,/s: MaxS=9/2; minS=-1/2.
Vớ d 15: Các số dơng x,y,z thoả mãn:
2 2 2
1 16
4
xyz
x y z

+ + =
. Tìm GTNN của:

4
1 4( )
x y z xyz
S
xy yz zx
+ + +
=
+ + +
13
Lời giải:
Từ BĐT:
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
ta có:
2 2 2
4
1 4( )
x y z xyz
S
x y z
+ + +

+ + +
Thay :
2 2 2
4( ) 1 16x y z xyz+ + =

và sử dụng Côsi ta có:
3
2 2 2
3 4
4
1 4( ) 2(1 8 )
xyz xyz
x y z xyz
S
x y z xyz
+
+ + +

+ + +
.
Đặt
3
t xyz=
. Dễ thấy t>0. Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t:
Ta có
2 2 2 2
3
1 16 4( ) 4.3 ( )xyz x y z xyz = + +
. Hay :
3 2 3 2
1 16 12 16 12 1 0t t t t +
Sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phơng pháp
KSHS ta có:
2
3 2

1 1 1
16 12 1 0 0 0
4 2 4
t t t t t

+ + <
ữ ữ

. Bài toán trở thành: Tìm GTNN ca
hàm số
3
3 4 1
( ) ; 0;
2(1 8 ) 4
t t
f t t
t
+

=




Đáp số: Min S=
13
18
. Đạt khi x=y=z=1/4.
BI TP T GII
B i 1

0
: 0 90 .Cho ABC A B C < <
CMR:
2cos3 4cos 2 1
2
cos
C C
C
+

.
HD: Vì
0
1
60 cos (0; ]
2
C C
. Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM.
Bài 2 (ĐH Lâm nghiệp) : Cho
7 7
0; ; : tan cot tan cot
2
x CMR x x x x


+ +
ữ

.
HD:

3 3 4 4
(tan cot )(tan cot ) 2(tan cot ) 0x x x x x x + + +
.
Đặt
tan cot ; / : 2t x x d k t= +
.
Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
HD: Cách1:
ln ln( 1)
1
n n
n n
+
>
+
; xét hàm f(x)=1/x.
Bài4(QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0. CMR
8 8 8 2 2 2
a b c a b c
+ + + +
HD :
( ) ( ) ( )
3 3 3
(2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 0
a a b b c c
+ +
.
Xet hàm f(x)=x
3
-x với

( )
0;x +
. Chứng minh hàm lõm
14
B i 5: CMR
( ) ( )
2 2
: 1 ln 2 2 1 ln 1a a a a + + < + +
:
HD :

( ) ( )
2
2 2
2
2 2
ln 2 2 ln( . 1 )
1
a a
a a e a e
a
+ +
+ + < + <
+
. KSHS có ĐPCM.
Bài 6: Cho x,y là các số thực thoả mãn :
2 2
1& 2 3 5.xy x y + =
Tìm GTLN, GTNN của
2

2 1
2
P xy
xy
= + +
+
HD :
( ) ( )
2 2
2 3
2 . 3
4
x y
x y

+
ữ

ữ
ữ

4 6 12 6 3xy xy
.
Vậy: ĐK là
1 3xy
. KSHS
2
2 1
2
P t

t
= + +
+
Với
1 3t
.
Bài7:Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x
2
+y
2
=2. Tìm
GTLN,GTNN của

( )
3 3
2 3P x y xy= +
( CĐ A-2008)
Bài 8: Cho
1 1
0; : 2 2
2 2
b a
a b
a b
a b CM

> + +
ữ ữ

( H khi D-2007).

Ta cú : (pcm)
( ) ( )
a b
b a
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)
4 + 1 4 + 1
a b

Xột hm s :
x
ln(1 + 4 )
f(x) =
x
vi x > 0

x x x x
'
2 x
4 .ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )
f (x) = < 0 , x (0; + )
x (1 + 4 )

f(x) l hm s luụn nghch bin trờn khong (0; + )
Khi ú : a b > 0 f(a) f(b)
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)

a b

Bài toán trở thành Tìm GTLN, GTNN của
2
1
( ) 16 2 12, 0;
4
f t t t t

= +


Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1. Tìm Min

2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2M a b c b a c ab bc ca a b c= + + + + + + + +
HD:
( )
2
2 2 2 2 2 2
3( )
bunhia
a b c b a c ab bc ca+ + + +
Đặt
t ab bc ca
= + +
. Có
( )
2
1
3( ) 1 0
3

ab bc ca a b c t+ + + + =
2
( ) 3 2 1 2M f t t t t = + +
. Với
1
0
3
t
. Min M=2
15
B à i10 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1.
Chứng minh rằng :
2 2
a .lnb - b .lna > lna - lnb

(TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009)
B à i11 : Cho a > b > 0. Chứng minh rằng :
a + b a - b
>
2 lna - lnb

Bµi12: Cho a.b lµ hai sè kh«ng ©m . Chøng ming r»ng
3 3 2
3 7 9a b ab+ ≥
B à i 13:
Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm GT nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2A x y x y y= − + + + + + −
HD: Xét
( 1; ), ( 1; )M x y N x y− − +

Từ BĐT
OM ON MN
+ ≥
, ta có
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4A x y x y y= − + + + + ≥ +
Do đó
2
4 4 2 ( )A y y f y≥ + + − =
Khảo sát hàm số f(y) ta sẽ có kết quả
Bai 14
Cho các số
; ;x y z
dương, thoả mãn
1x y z+ + ≤
.
Tìm GTNN của
1 1 1
A x y z
x y z
= + + + + +
Bµi 15 : a,b,c,d là các số nguyên thay đổi thoả
1 50a b c d≤ < < < ≤
, chúng minh
bất đẳng thức
2
50
50
a c b b
b d b

+ +
+ ≥
và tìm GTNN của
a c
S
b d
= +
16
4.Hiệu quả của SKKN
Trong quá trình dạy học kiến thức về bài toán cực trị cho học sinh lớp 12, bên
cạnh các phương pháp mà các em đã được biết ở các lớp dưới như: Sử dụng các
bất đẳng thức kinh điển ( Cô-si, Bunhiacôpxki ), phương pháp miền giá trị hàm
số ( đưa bài toán tìm cực trị về bài toán tìm điều kiện tham số để một phương
trình hoặc một hệ phương trình có nghiệm), tôi thường cố gẳng hướng các em đến
lời giải sử dụng phương pháp hàm số nếu có thể.
Việc giúp học sinh có cơ sở lý thuyết vững vàng, có kỹ năng trong việc đổi
biến, điều kiện của biến mới… thông qua một số ví dụ tiêu biểu và hệ thống bài
tập phù hợp đã giúp học sinh vận dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết tốt một
số bài toán cực trị. Giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của tư duy hàm
số, thấy được kiến thức hàm số các em học được áp dụng một cách hiệu quả vào
các dạng toán có liên quan, giúp học sinh thêm yêu môn toán. Học sinh các lớp tôi
dạy các khoá từ 2006-2009; 2009-2012: 2012-2013 đã có hứng thú hơn khi tiếp
cận các bài toán cực trị
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
Bài toán tìm cực trị của biểu thức là bài toán khó đối với đa số học sinh,
nên việc cung cấp thêm cho các em công cụ hàm số để giải quyết bài toán là một
việc làm cần thiết, giúp học sinh giải một số bài toán cự trị một cách dễ dàng, hơn
nữa là cho học sinh thấy được khả năng, phạm vi áp dụng của kiến thức hàm số
được học ở chương trình. Trong quá trình giảng dạy, nhờ vận dụng những kinh

nghiệm đã trình bày, một phần không nhỏ các em học sinh đã giải quyết bài toán
cực trị uyển chuyển hơn thông qua lựa chọn phương pháp phù hợp cho bài toán,
cũng giúp học sinh thấy đỡ “sợ” hơn khi gặp các dạng toán cực trị.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng sáng kiến kinh nghiệm còn nhiều hạn chế về nội
dung, thể loại ví dụ và bài tập chưa được phong phú, tôi rất mong được sự hợp tác
của các thầy cô cùng các em học sinh, với hy vọng sẽ mở rộng bài viết thành một
đề tài đầy đủ hơn, bao quát được toàn bộ phương pháp sử dụng hàm số vào các
bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Một số đề tuyển sinh đại học- cao đẳng từ năm 2006
2.Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao.
3.Giải toán đạo hàm và khảo sát hàm số ( T.s Nguyến Cam- NXB ĐHQG)
4.Phương pháp giải toán tìm GTLN,GTNN( Nguyễn Văn Nho-Lê Hoành Phò)
18
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
TT Viết tắt Đọc là
1 BBT Bảng biến thiên
2 HD Hướng dẫn
3 GT Giá trị
4 GTLN Giá trị lớn nhất
5 GTNN Giá trị nhỏ nhất
6 THPT Trung học phổ thông
19
20