Sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài toán cực trị” pps

I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong phần động học, nghiên cứu về chuyển
động của các vật, thường có những dạng bài tập
xác định khoảng cách lớn nhất hay nhỏ nhất giữa
hai vật trong quá trình chuyển động, để giải quyết
các bài tập này hầu như học sinh và giáo viên
thường vận dụng phương pháp lập phương trình
chuyển động
Tuy nhiên trong một số bài toán cụ thể cần khả
năng tư duy cao, nếu dùng dùng phương pháp lập
phương trình chuyển động thì bài toán dài dòng,
phức tạp. Thực tế qua một số giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh khá giỏi ở lớp 10, ôn luyện học
sinh không chuyên lí thuộc ban KHTN tôi nhận
thấy có thể giúp học sinh sử dụng cộng thức cộng
vận tốc vào trong bài toán cực trị của phần động
học.
Trong đề tài này tôi xin đề xuất một phương pháp
“Vận dụng phương pháp cộng vận tốc vào bài
toán cực trị”
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. Kiến thức cơ bản
1.Tính tương đối của toạ độ: Đối với các hệ quy
chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau

2. Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng
một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác
nhau

Công thức cộng vận tốc

231213
vvv





13
v

: vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

12
v

: vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

23
v

: vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)

3223
2112
3113
vv
vv
vv










* Hệ quả:
1. Nếu
1312
,vv


cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn

231213
vvv 
2. Nếu
1312
,vv


cùng phương, ngược chiều thì độ
lớn
231213
vvv 
3. Nếu
1312
,vv



vuông góc với nhau thì độ lớn

2
23
2
1213
vvv 
4 Nếu
1312
,vv


tạo với nhau một góc

thì độ lớn


cos2
2312
2
23
2
1213
vvvvv 


B.Nội dung các bài tập
Bài 1:(Bài tập lí thuyết)
Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng

Ax và By vuông góc với nhau, tốc độ lần lượt là v
1

và v
2
( Hình vẽ)
a/ Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với chất
điểm 2
b/ Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng cách
ngắn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình
chuyển động.










Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv







Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ
vận tốc
12
v

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa
hai chất điểm.

Bài 2: Hai xe chuyển động trên hai đường vuông
góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ
50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ
30km/h. Vào một thời điểm nào đó xe A và B còn
cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và
4km và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng
cách ngắn nhất giũa hai xe.

Giải
1
v


2
v


A
B
x

y

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv






Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ
vận tốc
12
v

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa
hai xe.

d
min
= BH
tan
5
3
1
2

v
v



00
31,59 



d
min
=BH= BI sin

= (B0-0I) sin

=
(B0-0A.tan

).sin

= 1,166km

Bài 3.( đề thi HSG Nghệ An 2005-2006, bảng B )
Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng
vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị
lần lượt v
1
= 30km/h, v
2
= 20km/h. Tại thời điểm
khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách
giao điểm s

1
=500m. Hỏi lúc đó vật 2 cách giao
điểm trên đoạn s
2
bằng bao nhiêu.

Giải




Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv






-Tại A cách O đoạn s
1
=500m dựng véc tơ
1
v

và
véc tơ -
2
v


, và
12
v

. Kẻ đường AB vuông góc với
đường thẳng chứa véc tơ
12
v

( Theo đề bài đây là
khoảng cách ngắn nhất d
min
= AB)
tan

=
3
2
2
1

v
v


B0= )(750
tan
0
m

A




Bài 4
Hai tàu chuyển động đều với tốc độ như nhau trên
hai đường hợpvới nhau một góc
0
60

và đang
tiến về phía giao điểm O. Xác định khoảng cách
nhỏ nhất giữa hai tàu. Cho biết lúc đầu hai tàu
cách giao điểm O những khoảng l
1
=20km,
l
2
=30km.

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv








d
min
= BH,
OAK

là tam giác đều (vì tốc độ hai
tàu như nhau)

d
min
=KB.sin


KB= l
2
-l
1


d
min
=5 3 km



Bài 5
Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường

thẳng tạo với nhau một góc

=30
0
với tốc độ
3
1
2
v
v  và đang hướng về phía giao điểm, tại thời
điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1
cách giao điểm một đoạn d
1
=30 3 m. Hỏi vật 2
cách giao điểm một đoạn bao nhiêu.

S
1
Giải


Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv







BA
12
v

 , d
min
=AB
Vì
3
1
2
v
v  nên chứng minh được
0
30


Hạ đường AH
BO


AH=AO.sin30
0
= d
1
.sin30
0
=15 3 m
HO= d
1

.cos30
0
= 45 m
BH= m
AH
45
30
tan
0


BO=d
2
= 90m


Bài 6
Có hai vật M
1
và M
2
lúc đầu cách nhau một
khoảng l=2m(Hình vẽ), cùng lúc hai vật chuyển
động thẳng đều M
1
chạy về B với tốc độ
v
1
=10m/s, M
2

chạy về C với tốc độ v
2
=5m/s . Tính
khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để
đạt được khoảng cách này.Biết góc tạo bởi hai
đường
0
45




Giải








Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
212112
)( vvvvv







d
min
= AH = AB.sin


v
21
=  )180cos(2
0
21
2
2
2
1

vvvv

cos2
21
2
2
2
1
vvvv 
Áp dụng định lí hàm sin ta có

sin)180sin(sin
0
BNBNBM




12
2122
sin
sinsin v
vvv









cos2
sin
21
2
2
2
1
2
min
vvvv
lv
d 0,5( m)

BH=v

12
.t 


12
2
min
2
12
v
dl
v
BH
t 0,138(s)

Bài 7
Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chãy với vận
tốc v
o
, một người từ vị trí A ở bờ sông bên này
muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia
Cho AC; CB=a. Tính vận tốc nhỏ nhất của
thuyền so với nước mà người này phải chèo để có
thể tới B





Giải

Ta có
121
vvv
o



 . Ta biểu diễn các véc tơ vận
tốc trên hình vẽ
Vì v
o
không đổi nên v
12
nhỏ nhất khi
112
vv





V
12
= v
o
.sin

=
2

2
0
ba
bv


Nhận xét:
Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách
thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo
hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải
khá dài hơn!
Bài 8.
Từ một khí cầu cách mặt đất một khoảng 15m
đang hạ thấp với tốc độ đều v
1
=2m/s, từ trong khí
cầu người ta phóng một vật nhỏ theo phương
thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu v
o2
= 18m/s
đối với mặt đất. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa
khí cầu và vật.Bỏ qua ảnh hưởng không khí lấy
g=10m/s
2

Giải
Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương trên
xuống
Phương trình chuyển đông của khí cầu và vật
x

1
= 2t
Phương trình chuyển động của vật
x
2
= -18t +5t
2
Phương trình vận tốc của khí cầu 1: v
1
= 2m/s (đ/k
t

7,5s)
Phương trình vận tốc của vật 2: v
2
=-18+10t (đ/k
t

3s)
Khi vật đang đi lên thì khoảng cách giữa vật và khí
cầu ngày càng tăng, khi vật lên đên điểm cao nhất
nó đổi chiều chuyển đông nhanh dần đều đi xuống,
khoảng cách giũa vật và khí cầu vẩn tiếp tục tăng
cho đến khi vận tốc của vật đạt giá trị bằng vận tốc
khí cầu 2m/s. Ta có
v
2
=-18+10t = 2

t=2s

Khoảng cách: d
max
=x
1
-x
2
=2t-(-18t + 5t
2
) = 20m
*Nếu bài toán này ta dùng hàm bậc hai để xét về
mặt toán học thì khá đơn giản hơn, tuy nhiên ý
nghĩa vật lí chưa được tường minh so với cách lí
luận ở trên.

Bài 9
Từ cùng một độ cao,hai vật đồng thời được ném
theo phương ngang với các vận tốc đầu ngược
chiều nhau v
o1
= 10m/s, v
o2
= 16m/s, gia tốc trọng
trường g= 10m/s
2
( bỏ qua sức cản không khí). Sau
khoảng thời gian nào kể từ lúc bắt đầu ném thì hai
véc tơ vận tốc vuông góc với nhau.

Giải
vận tốc vật 1: tgvv





0101

vận tốc vật 2: tgvv




022

Ta có 
0201
.vv


( tgv



01
)( tgv



02
)= 0
vì

0201
vv



0)(.
2
0201
 gtvv



Vi
0201
,vv


đều vuông góc với g

, và lúc đầu hai
vật chuyển động ngược chiều nhau nên ta có
0201
2
.)( vvgt  s
g
vv
t 4
.
0201


Bài 10: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa
độ vuông góc Ox, Oy và qua O cùng một lúc. Vật
thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều
dương với gia tốc 1m/s
2
và vận tốc khi qua O là
6m/s. Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo
chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s
2
và vận tốc
khi qua O là 8m/s. Xác định vận tốc nhỏ nhất của
vật thứ nhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời
gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại.

Giải:

Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O
- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục
Ox:
v
1
= v
01
+ a
1
t = 6 + t
O
y
x
1
v
2
v
12
v
- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục
Oy:
v
2
= v

02
+ a
2
t = - 8 + 2t
- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v
2
= 0 =>
t = 4s
- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:

2112
vvv  . Do
1
v vuông góc với
2
v .
=> v
12
=
2
2
2
1
vv  =
22
)28()6( tt 
=> v
12
= 100205
2

 tt .
Biểu thức trong căn của v
12
đạt giá trị nhỏ nhất
khi
t = 


5
.
2
)20(
2 (s) < 4 (s).
Vậy v
12
có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s.
=> (v
12
)
min
=  1002.202.5
2
8,94 (m/s)
Khi đó v
1
= 8m/s,

),(
121
vv . với Cos


= v
1
/v
12

= 8/8,94

0,895
=>

= 26,5
0

- Vậy v
12
đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời
điểm t = 2s và hợp với Ox góc 26,5
0


Bài 11
Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v
1
=
54km/h. Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m
và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô. Hỏi
người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc
nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô?

Giải


Xét chuyển động tương đối của vật 2 so 1 ta có
121221
)( vvvvv






Để 2 gặp được 1 thì
21
v

phải luôn có hướng AB
Véc tơ vận tốc
2
v

có ngọn luôn nằm trên đường
xy// với AB.


2
v


khi
2
v


xy tức là
2
v


AB
Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD
ta có
hkm
a
d
vv
a
v
d
v
/8,10
12
12

Bài 12:
Hai xe chuyển động thẳng đều cùng chiều với
các vận tốc v
1
và v

2
( v
2
< v
1,
xe 2 đuổi theo xe 1)
Khi khoảng cách giũa hai xe bằng d thì người lái
xe 2 hãm phanh chuyển động chậm dần đều với
gia tốc là a. Tìm điều kiện cho a để hai xe không
đụng vào nhau.
Giải
Chọn gốc toạ độ O là vị trí xe 2 bắt đầu hãm
phanh, chiều chuyển động là chiều dương, gốc
thời gian lúc xe 2 hãm phanh.
Phương trình chuyển động xe 1
x
1
= d+ v
1
t
Phương trình chuyển động xe 2
x
2
=
2
2
2
at
tv 
Để xe 2 không đụng vào xe 1 thì x

1
> x
2



d+v
1
t>
2
2
2
at
tv 

0)(
2
12
2
 dvvt
at

Để bất phương trình luôn đúng thì
0



d
vv
aadvv

2
)(
02)(
2
12
2
12


Củng có thể lí luận như sau
Phương trình vận tốc của hai vật:
V
1
= v
1

V
2
= v
2
+at
Vận tốc vật 2 sẽ giảm cho đến lúc V
2
=V
1
khi đó ta
có : t=
a
vv
21



Với thời gian thoả mãn điều kiện trên thì điều kiện
để hai xe không đụng vào nhau: x
1
>x
2

0)(
2
12
2
 dvvt
at
thay t vào ta có được

d
vv
a
2
)(
2
12


Bài 13
Xe 1 xuất phát từ A chuyển động nhanh dần đều
với gia tốc a, không vận tốc đầu đi về B, cùng lúc
đó xe 2 chuyển động thẳng đều qua A đi về B với
vận tốc v

o
. Biết rằng hai xe về B cùng lúc. Xác
định khoảng cách lớn nhất giữa hai xe trên đoạn
AB.
Giải
Chọn gốc toạ độ tại A, gốc thời gian khi xe A xuất
phát, chiều chuyển động là chiều dương.
Phương trình vận tốc của hai xe là:
V
1
= at
V
2
= v
o
Phương trình chuyển động của hai xe là
X
1
=
2
2
at

X
2
= v
o
t
Khi qua A thì xe 2 sẽ vượt xe 1 (vì xe 1 không
vận tốc đầu), khoảng cách hai xe ngày càng tăng

cho đến khi vận tốc của xe 1 bằng vận tốc của xe
hai thì kể từ thời điểm đó khoảng cách giũa hai xe
lại giảm và bằng không khi đến B.
Vậy khoảng cách lớn nhất khi V
1
=V
2


t=
a
v
0

d
max
= X
2
-X
1
=
a
v
at
tv
2
2
2
0
2

0


Bài 14
Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l.
Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc
có độ lớn lần lượt là v
1
, v
2
. Tàu A chuyển động
theo hướng AC tạo với AB góc

(hình vẽ).
a. Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể
gặp tàu A. Sau bao lâu kể từ lúc chúng ở
các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
b. Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc
với
1
v ) thì các độ lớn vận tốc v
1,
v
2
phải
thỏa mản điều kiện gì?

Giải:



















a. Tàu B chuyển động với vận tốc
2

v hợp với
BA

góc

.
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v
1.
t, BM =
v
2.
t
- Trong tam giác ABM:
+

sinsin
BMAM





sinsin
21
tvtv




sin


=

sin
2
1
v
v
(1)
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với
BA
một góc

thỏa mản (1)
- Cos

= cos[180
0
– ( )



] = - cos( )



=





cos.cossin.sin


- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là
21
v . Tại
thời điểm ban đầu
21
v cùng phương chiều với
BA
.
Theo công thức cộng vận tốc:

12132321
vvvvv 
=>

cos2
12
2
1
2
2
2
21
vvvvv 

=>
)cos.cossin.(sin2

)cos(sin)cos(sin
21
222
1
222
2
2
21




vv
vvv

=(
2
1
2
21
2
2
2
.sin.sinsin2.sin vvvv

 )
+(
2
1
2

21
2
2
2
.cos.coscos2.cos vvvv

 )
=(
2
12
).sin.sin vv

 +(
2
12
).cos.cos vv


= (
2
12
).cos.cos vv




( theo (1) )
=> v
21
=


coscos.
21
vv 
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A
là:
t =

coscos
2121
vv
l
v
AB


A
C
B
H
1
v






A
M

B
H
1
v
1
v
2
v
21
v
-
1
v
b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì


cos)90sin(sin
9090
0
00



Theo (1) ta có:
1
2
2
1
tansincos
v

v
v
v



Bài 15
Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông
và phải đạt tới điểm B ở bờ bên kia nằm đối diện
với điểm A. Muốn vậy, người thứ nhất bơi để
chuyển động được theo đúng đường thẳng AB,
còn người thứ hai luôn bơi theo hướng vuông góc
với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó
chạy ngược tới A với vận tốc u. Tính giá trị u để
hai người tới A cùng lúc. Biết vận tốc nước chảy
v
o
=2km/h, vận tốc của mỗi người bơi đối với nước
là v’=2,5km/h
Giải
*Xét người thứ nhất

-Vận tốc của người đối với bờ
01
' vvv



 , do
2

0
2'2
101
vvvvv 



Thời gian người thứ nhất đến B là
t
1
=
2
0
2
1
1
vv
AB
v
AB


*Xét người thứ hai

Vận tốc của người thứ hai đối với bờ
02
' vvv




 , do
2
0
22
20
'' vvvvv 



thời gian đến C là t
20
=

cos
22
v
AB
v
AC
 =
'
v
AB

thời gian chạy trên bờ
t’
20
=
u
v

ABv
u
tv
u
BC
'.

0200

Theo đề bài t
1
= t
20
+t’
20

uv
ABv
v
AB
vv
AB
'.'
'
0
2
0
2




hkm
vvv
vvv
u /3
25,25,2
25,22
''
'
22
22
2
0
2
2
0
2
0







III.Kết luận
Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có
nhiều cách giải khác, tuy nhiên khi áp dụng công
thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn
gọn, đơn giản hơn. Tất nhiên trong một số bài cụ

thể thì cần kết hợp các phương pháp khác.
Đề tài này tôi đả tiến hành thử nghiệm trong quá
trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ở lớp 10, đối
tượng là học sinh không chuyên lí, ban khoa học
tự nhiên, kết quả cho thấy tương đối khả quan, hầu
như các bài tập dạng này các em đều vận đụng giải
và thu được kết quả nhanh. Vì vậy đề tài này theo
tôi là có tính khả thi.
Chắc chắn trong quá trình thực hiện còn có nhiều
thiếu sót, chưa chính xác, mong các thầy cô giáo
cho ý kiến.
Xin chân thành cảm ơn!



Quỳ Châu 25/5/2009
Đặng Phúc Long