skkn hệ thống bài tập vuông pha trong chuyên đề dao động cơ và dòng điện xoay chiều

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM
- - - - - - - - -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HỆ THỐNG BÀI TẬP VUÔNG PHA
TRONG CHUYÊN ĐỀ DAO ĐỘNG CƠ
VÀ DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Lĩnh vực : Chuyên môn Vật lý
Người thực hiện : NGUYỄN THANH TUẤN
Chức vụ : Giáo viên môn Vật lý
Đơn vị: Trường THPT Dương Quảng Hàm





Năm học : 2013 – 2014
Trang 1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
BẢN CAM KẾT
I. TÁC GIẢ
Họ và tên: NGUYỄN THANH TUẤN
Ngày sinh: 26/10/1978
Giáo viên môn Vật Lý
Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm
II. TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên SKKN: Hệ thống bài tập vuông pha trong chuyên đề dao động cơ và
dòng điện xoay chiều

III. NỘI DUNG CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là của bản thân tôi viết, không
sao chép nội dung của người khác. Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng thành
công trong giảng dạy tại trường THPT Dương Quảng Hàm.
Văn Giang, ngày 2 tháng 4 năm 2014
Người cam kết
(Ký, ghi rõ họ tên)
Nguyễn Thanh Tuấn
Trang 2
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đọc lập - Tự do - Hạnh phúc
********************
SƠ YẾU LÍ LỊCH
Họ và tên : Nguyễn Thanh Tuấn
Năm sinh : 26/10/1978
Năm vào ngành : 2001
Năm vào Đảng : 2004
Dân Tộc : Kinh
Đơn vị công tác : Trường THPT Dương Quảng Hàm
Chức vụ : Tổ phó Tổ Lý – Hoá
Trình độ chuyên môn : Đại học Sư phạm
Bộ môn giang dạy : Vật lý
Trang 3
A MỞ ĐẦU
1 Đặt vấn đề
Trong quá trình giảng dạy môn Vật lý ở trường THPT, đặc biệt là quá
trình ôn luyện cho học sinh giỏi và các kì thi Đại học, chuyên đề bài tập vuông
pha là một chuyên đề hay và khá quan trọng nên các bài tập vuông pha thường
có mặt trong các kì thi quốc gia .
Với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay thì việc giải nhanh các bài tập Vật

lý là yêu cầu hàng đầu của người học, yêu cầu tìm ra được phương pháp giải
toán một cách nhanh nhất, đi bằng con đường ngắn nhất, không những giúp
người học tiết kiệm được thời gian làm bài mà còn rèn luyện được tư duy và
năng lực phát hiện vấn đề của người học.
Trong thực tế phần bài tập vuông pha nằm trải rộng ở ba chương là : dao
động cơ,dòng điện xoay chiều, dao động và sóng điện từ, tài liệu viết riêng cho
chuyên đề vuông pha còn rất ít,nguồn tư liệu để giáo viên nghiên cứu còn hạn
chế do đó nội dung kiến thức và kĩ năng giải các bài tập vuông pha cung cấp cho
học sinh chưa được nhiều .Vì vậy khi gặp bài toán vuông pha các em thường
lúng túng, mất nhiều thời gian trong việc tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu trong các năm tôi đã hệ thống hoá công
thức , xây dựng phương pháp giải dạng bài tập vuông pha cho học sinh một các
dễ hiểu,lô gic,tránh được lúng túng,cho kết quả nhanh và chính xác trong các kì
thi. Trên cơ sở đó ,tôi mạnh dạn chọn đề tài: Hệ thống bài tập vuông pha trong
chuyên đề dao động cơ và dòng điện xoay chiều
Giới hạn của đề tài : Nội dung ,kiến thức trong chương trình vật lí 12 với đề
tài này xét 2 chương
+ Dao động cơ
+ Dòng điện xoay chiều
2 Phương pháp tiến hành
a. Cơ sở lí luận
Trang 4
Bài tập vật lí có ý nghĩa quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học
vậ lí ở nhà trường phổ thông .Thông qua việc giải tốt các bài tập vật lí, các học
sinh sẽ có được những kĩ năng so sánh, phân tích tổng hợp ….Do đó sẽ góp
phần to lớn trong việc phát triển tư duy học sinh.Đặc biệt bài tập vật lí giúp học
sinh củng cố kiến thức có hệ thống cũng như vận dụng những kiến thức đã học
vào việc giải quyết tình huống cụ thể làm cho bộ môn trở nên hấp dẫn, lôi cuốn
các em hơn.
b Cơ sở thực tiễn

+ Hiện tại sách giáo khoa không trình bày chi tiết cụ thể về phần bài toán
vuông pha nên học sinh không thể tự tổng hợp được các bài toán định lượng
+ Trong các đề thi quốc gia bài tập vuông pha thường hay được lựa chọn
,học sinh xử lí bài tập mất nhiều thời gian
c Phương pháp tiến hành
+ Tìm hiểu, đọc,phân tích ,tổng hợp các tài liệu,các đề thi thử đại học các
trường trong và ngoài tỉnh, đề thi đại học các năm của Bộ Giáo dục và Đào tạo
+ Tổng hợp kinh nghiệm giảng dạy,ôn thi đại học cao đẳng trong các năm
học
+ Từ học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong các đợt tập huấn ,hội
thảo sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn
+ Tổng hợp kết quả bài thi đại học các năm môn Vật lí các lớp của học sinh
lớp 12 trường THPT Dương Quảng Hàm.
d Đối tượng và thời gian tiến hành nghiên cứu đề tài
+ Đối tượng : Đề tài được áp dụng với học sinh khối 12 Trường THPT Dương
Quảng Hàm
+ Thời gian : thực hiện đề tài từ năm học 2012 – 2013
Trang 5
B NỘI DUNG
I MỤC TIÊU
+ Nhận biết được dấu hiệu chung của bài toán vuông pha
+ Xây dựng công thức trọng tâm cụ thể trong các chương : dao động cơ
,dòng điện xoay chiều ,dao động điện từ
+ Chỉ ra mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý, vận dụng giải nhanh bài tập
vật lí,đặc biệt là bài tập trắc nghiệm
+ Xây dựng hệ thống bài tập minh hoạ
+ Thông qua đề tài rèn luyện kĩ năng ,kĩ xảo thực hành giải bài tập,phát triển
tư duy tính sáng tạo của học sinh
II MÔ TẢ NỘI DUNG GIẢI PHÁP MỚI
1. Cơ sở lí thuyết:

+ Dao động điều hoà ,các đại lượng đặc trưng
+ Các đại lượng đặc trưng ,mối quan hệ về pha : cùng pha ,ngược pha ,vuông
pha
+ Trong dao động điều hoà các cặp giá trị (v và x ) ,( a và v ) ,(F và v) vuông
pha nhau
+ Trong dòng diện xoay chiều (suất điện động e và từ thông
Φ
) vuông pha nhau
+ Trong các mạch điện xoay chiều chỉ có cuộn cảm thuần L , tụ điện C ,mạch
dao động LC thì cường độ dòng điện vuông pha so với điện áp hai đầu mạch.
+ Trong mạch xoay chiều có chứa RL hoặc RC thì u
R
vuông pha so u
L
hoặc u
C
+ Trong mạch xoay chiều RLC nối tiếp ,cuộn dây thuần cảm thì u
R
vuông pha
so u
LC
+ Sự tương tự giữa các đại lượng trong dao động cơ , dòng điện xoay chiều ,dao
động và sóng điện từ
+ Phương trình chính tắc của đường elip trong toán học
Trang 6
Như vậy lý thuyết về vuông pha rất phức tạp ,trải dài trong cả ba chương của
học kì I môn Vật lý lớp 12 . Sách giáo khoa Vật lý 12 không xây dựng công thức
chi tiết ,bài tập rất nghèo nàn ,không thể hiện được mối định lượng giữa các đại
lượng.
Sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mới ,xây dựng định lượng các

công thức vuông pha và hệ thống các bài tập minh hoạ.
2 Mô tả nội dung giải pháp mới
2.1 Dấu hiệu chung để nhận biết vuông pha
Hai thời điểm vuông pha : t
2
– t
1
=
( )
4
12
T
k +
⇒

22
2
2
1
Axx =+
Hai đại lượng x,y vuông pha :
1
2
max
2
max
=









+








y
y
x
x
2.2. Xây dựng các các công thức
2.2.1 Chương dao động cơ
a - Từ
2
2
2
A
v
x
=







+
ω
với v
max
= ωA =>
1
v
v
A
x
2
max
2
=








+







b – Từ a = - ω
2
x và a
max
= ω
2
A =>
1
v
v
a
a
2
max
2
max
=








+









c – Từ F = - kx và F
max
= kA =>
1
v
v
F
F
2
max
2
MAX
=








+









d–TừW
d
=
2
mv
2
1
vàW
dmax
=
2
max
mv
2
1
=>
1
W
w
F
F
maxd
d

2
MAX
=+









e – Từ động năng w
d
=
2
mv
2
1
và thế năng w
t
=
2
kx
2
1

Và định luật bảo toàn cơ năng w
d
+ w

t

= W
0
=>
1
W
w
W
w
0
d
0
t
=+
f – Từ a
max
= ω
2
A = ωv
max
và (1) =>
2
1
2
2
2
2
2
1

max
max
vv
aa
v
a
−
−
==
ω

g – Từ v
max
=ωA và (1) =>
2
1
2
2
2
2
2
1
max
xx
vv
A
v
−
−
==ω

Trang 7
h – Tổng hợp hai dao động x
1
= A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) vuông
pha với nhau => ∆ϕ = ϕ
2
- ϕ
1
= (2k +1)π/2
1
A
x
A
x
2
2
2
2
1
1

=








+








và A
12
=
2
2
2
1
AA
+
k – Tổng hợp 3 dao động điều hòa x
1
= A

1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
)
là hai động cùng pha hoặc ngược pha và x
1
; x
2
cùng vuông pha với x
3
thì
1
A
x
A
xx
2
3
3
2
12
21
=









+








+
và A
123
=
2
3
2
12
AA
+
2.2.2 Chương dòng điện xoay chiều
a – Đoạn mạch chỉ có L ; u
L
vuông pha với i

1
I
i
U
u
2
0
2
L0
L
=








+









với U

0L
= I
0
Z
L
=>
2
0
2
2
L
L
Ii
Z
u
=+








b – Đoạn mạch chỉ có tụ C ; u
C
vuông pha với i
1
I
i

U
u
2
0
2
C0
C
=








+








với U
0C
= I
0
Z

C
=>
2
0
2
2
C
Ii
Z
u
=+








=>
( )
2
0
2
2
CC
IiCu
C
1
Z =+=>= ω

ω
c- Đoạn mạch có LC ; u
LC
vuông pha với i
1
I
i
U
u
2
0
2
LC0
LC
=








+









d – Đoạn mạch có R và L ; u
R
vuông pha với u
L
1
U
u
U
u
2
R0
R
2
L0
L
=








+











1
cosU
u
sinU
u
2
0
R
2
0
L
=








+









φφ
e – Đoạn mạch có R và C ; u
R
vuông pha với u
C
1
U
u
U
u
2
R0
R
2
C0
C
=









+









Trang 8
U
0LC
U
0
U
0R
) ϕ

1
cosU
u
sinU
u
2
0
R
2
0

C
=








+








φφ
f – Đoạn mạch có RLC ; u
R
vuông pha với u
LC
1
U
u
U
u
2

R0
R
2
LC0
LC
=








+










1
I
i
U
u

2
0
2
LC0
LC
=








+








1
cosU
u
sinU
u
2
0

R
2
0
LC
=








+








φφ
=> U
0
2
= U
0R
2
+ U

0LC
2

với U
0LC
= U
0R
tanϕ =>
2
R0
2
R
2
LC
Uu
tan
u
=+








φ
g – Từ điều kiện để có hiện tượng cộng hưởng ω
0
2

LC = 1
Xét với ω thay đổi
+ :
R
L
R
C
LC
L
R
C
1
L
tan
2
0
2
0








−
=
−
=

−
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
φ

=>
φ
ω
ω
ω
tanL
R
2
0
−
=
= hằng số
+ : Z
L
= ωL và
C
1
Z

C
ω
=

= >
2
0
2
2
C
L
LC
Z
Z
ω
ω
ω ==
=>
0C
L
Z
Z
ω
ω
=

=> đoạn mạch có tính cảm kháng Z
L
> Z
C

=> ω
L
> ω
0

=> đoạn mạch có tính dung kháng Z
L
< Z
C
=> ω
C
< ω
0
=> khi cộng hưởng Z
L
= Z
C
=> ω = ω
0
+: I
1
= I
2
< I
max
=> ω
1
ω
2
= ω

0
2
Nhân thêm hai vế LC => ω
1
ω
2
LC = ω
0
2
LC = 1
 Z
L1
= ω
1
L và Z
C2
= 1/ ω
2
C
 Z
L1
= Z
C2
và Z
L2
= Z
C1
Trang 9
U
L

U
RLC
+ : Cosϕ
1
= cosϕ
2
=> ω
1
ω
2
LC = 1 thêm điều kiện L = CR
2

2
1C1L
2
1
)ZZ(R
R
cos
−+
=
φ

=>
2
1
2
2
1

1
2
1
1
cos








−+
=
ω
ω
ω
ω
φ
h – Khi L thay đổi ; điện áp hai đầu cuộn cảm thuần L => U
RC
⊥U
RLC
=> từ
GĐVT
U
Lmax
<=>

tanϕ
RC
. tanϕ
RLC
= – 1
=>
C
2
C
2
L
Z
ZR
Z
+
=
=> Z
L
2
= Z
2
+ Z
C
Z
L

=>
2
C
2

LMAX
ZR
R
U
U +=
và
C
2
C
2
R
LMAX
U
UU
U
+
=
=> U
2

Lmax
= U
2
+ U
2
R
+ U
2
C

=>
LMAXC
22
LMAX
UUUU
+=

=>
1
U
U
U
U
LMAX
C
2
LMAX
=








+









=>
1
Z
Z
Z
Z
L
C
2
L
=








+









k – Khi C thay đổi ; điện áp hai đầu tụ C => U
RL
⊥U
RLC

=> U
Cmax
<=>

tanϕ
RL
. tanϕ
RLC
= – 1
=>
L
2
L
2
C
Z
ZR
Z
+
=
=> Z
C

2
= Z
2
+ Z
C
Z
L

=>
2
L
2
CMAX
ZR
R
U
U
+=
và
L
2
L
2
R
CMAX
U
UU
U
+
=

=> U
2

Cmax
= U
2
+ U
2
R
+ U
2
L

=>
CMAXL
22
CMAX
UUUU
+=

=>
1
U
U
U
U
CMAX
L
2
CMAX

=








+








Trang 10
O U
R
U
C
U
RC
)ϕ
RC
)ϕ
RLC
=>

1
Z
Z
Z
Z
C
L
2
C
=








+








m – Khi U
RL
⊥ U

RC

=> Z
L
Z
C
= R
2

=>
2
RC
2
RL
RCRL
R
UU
UU
U
+
=

=> tanϕ
RL
. tanϕ
RC
= – 1
n – Điện áp cực đại ở hai đầu tụ điện C khi ω thay đổi
Với ω
C

=
2
2
2
2
L
R
C
L
−
(1) => ω
2
= ω
C
2
= ω
0
2
–
2
2
L2
R
(2) => cách viết kiểu (2)
mới dễ nhớ hơn (1)
với Z
L
= ω
C
L và Z

C
= 1/ ω
C
C =>
2
0
2
C
2
C
C
L
LC
Z
Z
ω
ω
ω ==
=> từ
22
CMAC
CRLC4R
LU2
U
−
=
(3) => từ (2) và (3) suy công thức mới
2
C
L

maxC
Z
Z
1
U
U








−
=

=>
1
Z
Z
U
U
2
C
L
2
CMAX
=









+









=>
1
Z
Z
Z
Z
2
C
L
2
C
=









+








=>
2
L
22
C
ZZZ
+=

=> 2tanϕ
RL.
tanϕ
RLC
= – 1
=>

1
U
U
2
2
0
2
C
2
CMAX
=








+








ω
ω

p – Điện áp ở đầu cuộn dây thuần cảm L cực đại khi ω thay đổi
Trang 11
Từ
22
CRLC2
2
−
=
ω
(1) =>
2
CR11
22
2
0
2
L
−=
ωω
(2) => cách viết kiểu (2) mới dễ
nhớ hơn (1)
; Z
L
= ω
L
L và Z
C
= 1/ ω
L
C

=>
2
L
2
0
2
L
L
C
LC
1
Z
Z
ω
ω
ω
==
Từ
22
LMAX
CRLC4R
LU2
U
−
=
(3) = > dạng công thức mới
=>
2
L
C

maxL
Z
Z
1
U
U








−
=

=>
1
Z
Z
U
U
2
L
C
2
LMAX
=









+









=>
1
Z
Z
Z
Z
2
L
C
2
L
=









+









=>
2
C
22
L
ZZZ
+=

=> 2tanϕ
RC.
tanϕ
RLC
= – 1

=>
1
U
U
2
2
L
2
0
2
LMAX
=








+








ω

ω
q – Máy phát điện xoay chiều một pha
Từ thông
)tcos(
0
φω +Φ=Φ
Suất điện động cảm ứng
)tsin(
dt
d
e
0
φωω
+Φ=
Φ
−=
= E
0
sin ((ωt + ϕ )
=>
1
E
e
2
0
2
0
=









+








Φ
Φ
2.2.3 Chương dao động và sóng điện từ
a -
1
I
i
U
u
2
0
2
0
=









+








với
C
Q
U;
C
q
u
0
0
==

b -
1
I

i
Q
q
2
0
2
0
=








+








với I
0
= ωQ
0
Trang 12

c –
1
Q
i
Q
q
2
0
2
0
=








+








ω
d-

1
W
w
W
w
0
L
0
C
=+
với w
C
= Cu
2
/2 ; w
L
= Li
2
/2 ; W
0
= CU
0
2
/2 = LI
0
2
/2
e- ω
0
2

LC = 1
3. Chứng minh tính khả thi của giải pháp mới
Sau đây là chứng minh để thấy rõ các ưu điểm của phương pháp,có thể áp dụng
giải nhanh các dạng toán của phần dao động cơ ,dòng điện xoay chiều .
3.1. Bài tập dao động cơ
Bài 1: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t
1
vật có li độ x
1
= 1cm, và có vận
tốc v
1
= 20cm/s. Đến thời điểm t
2
vật có li độ x
2
= 2cm và có vận tốc v
2
= 10cm/s.
Hãy xác định biên độ, chu kỳ, tần số, vận tốc cực đại của vật?
Giải:
Tại thời điểm t ta có :
os( )x Ac t
ω ϕ
= +

' sin ( t+ )v x A
ω ω ϕ
= = −
Suy ra:

2
2 2
2
v
A x
ω
= +
- Khi t = t
1
thì:
2
2 2
1
1
2
v
A x
ω
= +
(1)
- Khi t = t
2
thì :
2
2 2
2
2
2
v
A x

ω
= +
(2)
- Từ (1) và (2)
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
v v
x x
ω ω
⇒ + = +
2 2
2
2 1
2 2
1 2
100 10( / )
v v
Rad s
x x
ω ω
−
⇒ = = ⇒ =
−
Chu kỳ: T =
2
0,628
π

ω
=
(s)
Tần số:
1,59
2
f
ω
π
= =
Hz
Biên độ:
2
20
1 5
10
A
 
= + =
 ÷
 
(cm)
Vận tốc cực đại: V
max
=
10 5A
ω
=
(cm/s)
Trang 13

Bài toán phụ : Tại thời điểm x
3
= 1,5 cm

thì có v
3
bằng bao nhiêu ?
Bài 2: Một lò xo có độ cứng K = 40N/m, mang vật nặng m thực hiện dao động
điều hòa. Khi vận tốc của vật bằng v
1
= 6,28 cm/s thì có gia tốc a
1
= 0,693 m/s
2
.
Còn khi vận tốc của vật bằng v
2
= 8,88 cm/s thì gia tốc của vật bằng a
2
= 0,566
m/s
2
. Tính chu kỳ, tần số, biên độ dao động và năng lượng toàn phần của vật.
Giải:
Tại thời điểm t vật có vận tốc v và gia tốc a thì ta có:
2
2 2 2
2
a
A v

ω
ω
= +
Vậy khi t = t
1
thì :
2
2 2 2
1
1
2
a
A v
ω
ω
= +
(1)
Khi t = t
2
thì:
2
2 2 2
2
2
2
a
A v
ω
ω
= +

(2)
Từ (1) và (2)
2 2
2
1 2
2 2
2 1
40 2
a a
v v
ω ω π
−
= = ⇒ =
−
(Rad/s)
Chu kì:
2
1T s
π
ω
= =
Tần số:
1
1f Hz
T
= =
Biên độ:
2 2
1 1
2 4

2
v a
A
ω ω
= + =
(cm)
Năng lượng :
2 3
1
8.10
2
E KA
−
= =
(J)
Bài toán tương tự : Lập công thức chu kì T và biên độ A theo v
1
,v
2
,a
1,
a
2
?
Bài 3 (Đề thi thử trường THPT Dương Quảng Hàm năm 2013)
Một vật dao động điều hoà vào thời điểm vật qua li độ x
1
= 8 cm với vận tốc v
1
=

30 (cm/s) . Đến thời điểm t = T/4 ( T là chu kì dao động của vật ) thì vật đạt vận
tốc v
2
=40 (cm/s) .Tính biên độ dao động ?
Giải
Áp dụng công thức:
2
max
2
1
v
v
+
2
max
2
2
v
v
=1
⇒
v
max
= 50 (cm/s)
Mà :
2
2
1
A
x

+
2
2
1
)( A
v
ω
= 1
⇒

2
2
1
A
x
+
22
max
2
1
)(v
v
= 1
Thay số ta có : A = 10 cm
Trang 14
Bài tập tương tự : Viết phương trình dao động khi thời điểm đó là thời
điêm ban đầu
Bài 4 : Một con lắc lò xo dao động điều hòa dọc theo trục lò xo nằm ngang, vật
nặng có khối lượng m = 100g và năng lượng dao động là 125mJ. Tại thời điểm
vật có vận tốc 40π(cm/s) thì độ lớn lực kéo về là 1,5N. Lấy

2
10
π
=
. Lực kéo về
có độ lớn cực đại là ?

Giải:
Ta có W =
2
1
mv
max

⇒
v
m
ax
=
m
W2
=
1,0
10.25,1.2
3−
= 50π (cm/s)
Từ F = - kx và F
max
= kA =>
1

v
v
F
F
2
max
2
MAX
=








+








Thay số ta được : F
max
= 2,5 N
Bài 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa, vào thời điểm ban đầu t

0
vật nặng có
li độ s = 2cm và có vận tốc
40 2
cm/s đang dao động theo chiều dương của quỹ
đạo. Đến thời điểm t
1
vật có li độ s
1
=
2 2
cm và có vận tốc v
1
= 40cm/s.
a. Viết phương trình dao động?
b. Tính chu kỳ dao động và chiều dài dây treo con lắc?
Giải:
a. Tại thời điểm t ta có :
0
os( )s S c t
ω ϕ
= +

0
sin( )v S t
ω ω ϕ
= − +
Suy ra :
2
2 2

0
2
v
S s
ω
= +
Khi t = t
0

2
2 2
0
0
2
v
S s
ω
= +
(1)
Khi t = t
1

2
2 2
1
0 1
2
v
S s
ω

= +
(2)
Từ (1) và (2)
2 2
2 2
1 0
2 2
1
20 20
v v
s s
ω ω
−
= = ⇒ =
−
(Rad/s)
Trang 15
2
2
0
40 2
2 2 3
20
S
 
= + =
 ÷
 ÷
 
(cm)

Khi t = 0 ta có s = 2 cm
V > 0
1
os
2
0,3
3
0
sin 0
c
s cm
v
ϕ
ϕ π
ϕ

=
=


⇒ ⇒ = −
 
>


<

(rad)
Vậy phương trình dao động có dạng:
2 3 os(20 0,3 )s c t

π
= −
(cm)
b. Chu kỳ dao động :
2
0,314T
π
ω
= =
(s)
Chiều dài dây treo:
Từ công thức:
2
0,025 2,5
g g
l m cm
l
ω
ω
= ⇒ = = =
Bài 6. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có
phương trình lần lượt là: x
1
= A
1
cos(2
π
t +
2
3

π
) cm; x
2
= A
2
cos(2
π
t)cm; x
3
=
A
3
cos(2
π
t -
2
3
π
)cm.Tại thời điểm t
1
các giá trị ly độ x
1
= - 20cm, x
2
= 80cm, x
3
= -40cm, thời điểm t
2
= t
1

+ T/4 các giá trị ly độ x
1
= - 20
3
cm, x
2
= 0cm,x
3
=
40
3
cm. Tìm phương trình của dao động tổng hợp.
Giải:
Vì t
2
= t
1
+ T/4 nên dđ ở thời điểm t
2
lệch pha so với dđ ở thời điểm t
1
là π/2. Do đó ta
có :
( )
( )
1
32020
1
2
1

2
2
1
2
2
1
2
12
2
1
2
11
=
−
+
−
⇒=+
AAA
x
A
x
=> A
1
= 40cm
( )
1
080
1
2
2

2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
21
=+⇒=+
AAA
x
A
x
=> A
2
= 80cm
( )
( )
1
34040
1
2
3
2
2
3
2

2
3
2
32
2
3
2
31
=
−
+
−
⇒=+
AAA
x
A
x
=> A
3
= 80cm
Dđ tổng hợp : x = x
1
+ x
2
+ x
3
= x
1
+ x
23

= 40cos(2
π
t - π/3
Trang 16
2
A
23
A
1
A
3
A
3.2. Bài tập dòng điện xoay chiều
Bài 7 : Một khung dây dẫn quay đều quanh trục xx
,
với tốc độ 150 vòng/phút
trong một từ trường đều có cảm ứng từ
B
r
vuông góc với trục quay xx
,
của
khung. Ở một thời điểm nào đó từ thông gửi qua khung dây là 4Wb thì suất điện
động cảm ứng trong khung dây là
15 ( )V
π
. Từ thông cực đại gửi qua khung đây
bằng
Giải:
Từ thông

)tcos(
0
φω +Φ=Φ
Suất điện động cảm ứng
)tsin(
dt
d
e
0
φωω
+Φ=
Φ
−=
= E
0
sin ((ωt + ϕ )
=>
1
E
e
2
0
2
0
=









+








Φ
Φ
=>
1
2
0
2
0
=








Φ

+








Φ
Φ
ω
e
=>
2
0
Φ
=
2
Φ
+
2
2
ω
e
Thay số ta có
0
Φ
= 5 (Wb)
Bài 8 : Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L. Đặt vào hai đầu cuộn dây điện áp

xoay chiều
0
os100u U c t
π
=
(v). Tại thời điểm t = t
1
điện áp tức thời và cường độ
dòng điện tức thời có giá trị lần lượt
1
50u
=
V;
1
2i
=
A. Đến thời điểm t
2
thì
2
50 2u
=
V;
2
1i =
A. Tìm L và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây?
Giải:
Vì dòng điện qua cuộn dây dao động điều hòa trễ pha 90
0
so với hiệu điện thế

Nên ta có:
0
osu U c t
ω
=
thì
0 0
os( ) sin t
2
i I c t I
π
ω ω
= − = −
2
2
2
2 2
0
2 2
2
0 0
2
2
0
os
1
i
sin t =
u
c t

U
i u
I U
I
ω
ω

=


⇒ ⇒ + =




(1)
Trang 17
Tại thời điểm t
1

2 2
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2

2 2
0 0
1
1
i u
I U
i u i u
I U I U
i u
I U

+ =


⇒ + = +


+ =


2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) ( )
L L
i u i u
I I Z I I Z
⇒ + = +
2 2 2 2 2 2

2
1 2 2 1 2 1
2 2 2 2 2
0 0 1 2
2500 50
L L
L
i i u u u u
Z Z
I I Z i i
− − −
= ⇒ = = ⇒ = Ω
−
L =
1
2
L
Z
ω π
=
(H)
Thay Z
L
vào (1) suy ra:
2 2 2 2 2 2 2
0 1 1
50 2.50 3.50
L
U u i Z
= + = + =

0
50 3U
⇒ =
(V)
0
25 6
2
U
U⇒ = =
(V)
Bài 9: Đặt điện áp u = 100cos (ωt + π /12 )(V) vào hai đầu mạch AB gồm hai
đoạn mạch AM và MB mác nối tiếp . Đoạn AM ggồm tụ điện có điện dung C
nối tiếp với điện trở R và đoạn MB chỉ có cuộn cảm có điện trở r và có độ tự
cảm L.Biết L=rRC.Vào thời điểm t , điện áp trên MB bằng 64 V thì điện áp trên
AM là 36V .Tìm điện áp hiệu dụng trên đoạn AM ?
Giải :
Vì L=rRC
1−=
−
⇒
R
Z
r
Z
C
L
⇒
MBAM
uu ⊥

⇒
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
1
UUU
U
u
U
u
MBAM
MB
MB
AM
AM
=+
=









+








⇒
22
0
2
0
2
0
2
0
100
1
6436
=+
=









+








MBAM
MB
AM
UU
U
U

⇒
( )
( )



=
=
VU
VU
MB

AM
80
60
0
0
⇒

( )
VU
AM
230=
Bài 10: Đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp một điện áp xoay chiều có giá
trị hiệu dụng và tần số không đổi. Tại thời điểm t
1
các giá trị tức thời u
L
(t
1
) = -10
3
V, u
C
(t
1
) = 30
3
V, u
R
(t
1

) = 15V. Tại thời điểm t
2
các giá trị tức thời u
L
(t
2
) =
20V, u
C
(t
2
) = - 60V, u
R
(t
2
) = 0V. Tính biên độ điện áp đặt vào 2 đầu mạch?
A. 60 V. B. 50V. C. 40 V. D.
40 3
V.
Trang 18
Giải :
Trong mạch R, L,C nối tiếp u
R
vng pha với u
L
và u
C
nên
)1(1
)1(1

2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
b
U
u
U
u
a
U
u
U
u
R
R
C
C
R
R
L
L

=+
=+
Tại thời điểm t
2






==
==
→=
)2)((60
)2)((20
0
0
0
bVuU
aVuU
u
CC
LL
R
Tại thời điểm t
1
sử dụng (2a) thay vào (1a)
)(30
0
VU

R
=→
Áp dụng cơng thức : U
o
=
( )
2
00
2
0 CLR
UUU −+
= 50(V)
Bài 11 : (Đề thi ĐH năm 2013)
Đặt điện áp
u 120 2 cos(2 f.t)V
= π
(f thay đởi được) vào hai đầu đoạn mạch nới
tiếp gờm c̣n cảm th̀n, R, tụ C, với CR
2
< 2L. Khi f = f
1
thì điện áp hiệu dụng
hai đầu tụ đạt cực đại. Khi f = f
2
= f
1
2
thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện
trở cực đại. Khi f = f
3

thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu c̣n cảm cực đại U
Lmax
.
Giá trị của U
Lmax
gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 85V B. 173V C. 57V D. 145V
Giải
p dụng công thức
2








LMAX
U
U
+
2









L
C
ω
ω
= 1 hay
2
2
lMax
U
U
+
2
2
L
C
f
f
=1
Với f
3
.f
1
= f
2
2
nên f
3
= 2 f
1

hay f
L
= 2f
C
từ đó tính được :U
LMAX
= 138,56 V
Bài 12
Cho mạch điện xoay chiều R,L,C mắc nối tiếp theo thứ tự đó (cuộn dây thuần
cảm ). Điện dung C có thể thay đổi . Điều chỉnh C để điện áp ở hai đầu tụ C là
lớn nhất .Khi đó điện áp hiệu dụng ở hai đầu điện trở R là
2100
V .Khi điện áp
tức thời ở hai đầu đoạn mạch là
2100
V thì điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn
mạch chứa điện trở và cuộn cảm là -
6100
V .Tính giá trị hiệu dụng của điện áp
ở hai đầu đoạn mạch?
Trang 19
Giải
Vì U
Cmax
⇒
U
U
RL
→
→

⊥

⇒
222
2
2
111
1
22
RRL
RL
RL
UUU
U
u
U
u
=+
=






+










⇒
2.100
111
1
2
21006100
222
22
2
RL
=+
=








+









−
UU
U
U
RL
⇒
( )
VU 200=
3.3. Bài tập dao động và sóng điện từ
Bài 13 : Mạch dao động LC lí tưởng, C = 2pF, đang hoạt động. Tại thời điểm t
1
thấy điện áp hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây có giá trị lần lượt:
u
1
= 1mV và i
1
= 1,41
µ
A; Đến thời điểm t
2
thì các giá trị trên lần lượt: u
2
= 1,41
mV và i
2
= 1

µ
A. Tính tần số dao động riêng, năng lượng toàn phần của mạch
Giải
Tại thời điểm t ta có: điện tích trên tụ và cường độ dòng điện qua cuộn dây có
giá trị:
0
sinq Q t
ω
=
(1) và
0
' osi q Q c t
ω ω
= =
(2). Từ (1) và (2) suy ra :
2
2 2
0
2
i
Q q
ω
= +
Khi t = t
1
thì:
2
2 2
1
0 1

2
i
Q q
ω
= +
(3)
Khi t = t
2
thì:
2
2 2
2
0 2
2
i
Q q
ω
= +
(4)
Từ (3) và (4) ta có:
2 2 2 2 2 2
2 9
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
0,5.10
( )
i i i i i i
q q C u u C u u

ω ω
− − −
= = ⇒ = =
− − −
Rad/s
9
10
2 4
f
ω
π π
⇒ = =
(Hz)
Thay vào (3) ta tính được Q
0
= 2,83.10
-15
C.
Năng lượng của mạch : W =
2
18
0
2.10
2
Q
C
−
=
(J)
Bài 14 (Đề thi Đại học năm 2010)

Xét hai mạch dao động điện từ lí tưởng. Chu kì dao động riêng của mạch thứ
nhất là T
1
, của mạch thứ hai là T
2
= 2T
1
. Ban đầu điện tích trên mỗi bản tụ điện
có độ lớn cực đại Q
0
. Sau đó mỗi tụ điện phóng điện qua cuộn cảm của mạch.
Khi điện tích trên mỗi bản tụ của hai mạch đều có độ lớn bằng q (0 < q < Q
0
) thì
Trang 20
tỉ số độ lớn cường độ dòng điện trong mạch thứ nhất và độ lớn cường độ dòng
điện trong mạch thứ hai là
Giải
Với mạch 1:
1
2
01
1
2
0
1
=









+








I
i
Q
q
và với mạch 2 :
1
2
02
2
2
0
2
=









+








I
i
Q
q
Do
1
q
=
2
q
=
q
> 0
⇒
2
01

1








I
i
=
2
02
2








I
i
⇒
2
1
i
i

=
02
01
I
I
=
02
01
Q
Q
ω
ω
=
1
2
T
T
= 2
4 Phần dành cho học sinh vận dụng,tính toán trả lời
Câu1 Chất điểm dao động điều hoà với tần số góc ω = 10 rad/s .Tại thời điểm t
có vận tốc và gia tốc lần lượt là 20cm/s và
32
m/s
2
.Tìm biên độ dao động của
vật?
A 2 cm B 4 cm C 5 cm D 4
2
cm
Câu 2 Chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox .Khi qua VTCB có vận

tốc 20cm/s .Khi vật có vận tốc 10cm/s thì gia tốc của vật là 40
3
cm/s
2
.Biên độ
dao động của vật là ?
A 5 cm B 8 cm C 4cm D 4
3
cm
Câu 3 Chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox .Khi vật qua vị trí cân
bằng có vận tốc 2m/s .Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc là 1m/s và gia tốc là
-5
3
m/s
2
.Viết phương trình dao động của chất điểm?
A x = 4 cos (5πt – π/6) cm B x = 40 cos (5πt +π/6) cm
C x = 40 cos (5t – π/6) cm D x = 4 cos (5t + π/6) cm
Câu 4 Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 100(g) dao động điều
hoà theo phương ngang với biên độ 2
7
cm .Lúc m cách VTCB 2cm ,một vật có
khối lượng 300(g) nó đang chuyển động cùng vận tốc tức thời như m đến dính
chặt vào m và cùng dao động điều hoà .Biên độ dao động lúc này là
A 15cm B 3cm C 10 cm D 12cm
Câu 5 Một vật dao động điều hoà với biên độ 10 .Biết trong một chu kì khoảng
thờ gian để tốc độ dao động không nhỏ hơn π (m/s) là 1/15 (s) .Tìm tần số góc
của dao động?
A 6,48 rad/s B 43,91 rad/s C 6,36 rad/s D 39,95 rad/s
Trang 21

Câu 6 Con lắc lò xo thẳng đứng ,gồm lò có độ cứng 100N/m và vật nặng khối
lượng 100 g .Giữ vật theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 3 cm rồi truyền cho
vận tốc 20
3
cm/s hướng lên thì vật dao động điều hoà. Lấy g =10 m/s
2
,
π
2
=10 .Tìm độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí thấp nhất ?
A 1 cm B 4 cm C 5 cm D 5,5 cm
Câu 7 Con lắc lò xo thẳng đứng có m = 100 g ,k = 100N/m .Kéo vật theo
phương thẳng đứng hướng xuống làm lò xo dãn 3 cm rồi truyền cho vận tốc 20π
3
cm/s ,hướng lên .Lấy g =10 m/s
2
, π
2
=10.Trong khoảng thời gian1/4 T
,quãng đường vật đi được kể từ lúc vật bắt đầu dao động là ?
A 4cm B 5,46 cm C 4,65 cm D 8cm
Câu 8 Một con lắc lò xo dao động điều hoà trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang với
chu kì T = 2 s ,quả cầu nhỏ có khối lượng M .Khi lõ xo có độ dài cực đại và vật
M có gia tốc – 2cm/s
2
thì một vật có khối lượng m (M= 2m) chuyển động dọc
theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với M,có xu hướng làm cho
lò xo nén lại.Biết tốc độ chuyển động của vật m ngay trước lúc va chạm là 3
3

cm/s .Thời gian vât M đi từ lúc va chạm đến khi vật M đổi chiều dao động là :
A 2π (s) B π (s) C 2π/3 (s) D 1,5π (s)
Câu 9 Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc 0,1 rad ở nơi có gia
tốc tọng trường g= 10m/s
2
.Vào thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ dài
8cm và có vận tốc 20
3
cm/s .Tốc độ cực đai của vật là :
A 0,8 m/s B 0,2 m/s C 0,4 m/s D 1m/s
Câu 10 Hai điểm M,N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau
4/
λ
,sóng có biên độ là A và chu kì sòng là T .Sóng truyền từ N đến M .Tại thời
điểm t có li độ sóng tại M,N lần lượt là:u
M
= +3
2
cm và u
N
= -3
2
cm .Tính
biên độ sóng A?
A 6 cm B 6
2
cm C 6
3
cm D 12 cm
Câu 11 :Cho đoạn mạch xoay chiều u = U

0
cosωt ổn định ,có R,L,C ( L thuần
cảm ) mắc nối tiếp với R thay đổi .Khi R = 20 Ω thì công suất trên điện trở R
Trang 22
cực đại và đồng thời khi đó điều chỉnh tụ C thì điện áp hai đầu tụ C sẽ giảm .
Dung kháng của tụ sẽ là :
A. 20 Ω B . 30 Ω C . 40 Ω D . 10 Ω
Câu 12 :Đoạn mạch xoay chiều với điện áp hai đầu đoạn mạch ổn định , có
RLC ( L thuần cảm ) mắc nối tiếp .Biết : điện áp hiệu dụng hai đầu đoạn mạch
lệch pha là ϕ so với cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch . Ở thời điểm t ,
điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch chứa LC là u
LC
và điện áp tức thời hai đầu
điện trở R là u
R
.Biểu thức điện áp cực đại hai đầu điện trở R là :
A. U
0R
= u
LC
cosϕ + u
R
sinϕ B. U
0R
= u
LC
sinϕ + u
R
cosϕ
C.

( )
2
2
2
0
tan
R
LC R
u
u U
ϕ
 
+ =
 ÷
 
D.
2
2 2
R 0
tan
LC
R
u
u U
ϕ
 
+ =
 ÷
 
Câu13 : Đoạn mạch xoay chiều với điện áp hai đầu đoạn mạch ổn định , có

RLC ( L thuần cảm ) mắc nối tiếp. Biết : điện áp hiệu dụng hai đầu đoạn mạch
lệch pha là ϕ = π / 6 so với cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch . Ở thời
điểm t , điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch chứa LC là u
LC
= 100
3
V và điện
áp tức thời hai đầu điện trở R là u
R
= 100 V .Điện áp cực đại hai đầu điện trở R:
A. 200 V B. 173,2 V C. 321,5 V D. 316,2 V
Câu14 : Đoạn mạch xoay chiều AB chứa 3 linh kiện R, L, C. Đoạn AM chứa
L, MN chứa R và NB chứa C.
50R
= Ω
,
50 3
L
Z
=
Ω,
50 3
3
C
Z =
Ω. Khi giá trị
điện áp tức thời
80 3
AN
u

=
V thì
60
MB
u V=
. Giá trị tức thời
AB
u
có giá trị cực đại:
A. 150V. B. 100V. C.
50 7
V. D.
100 3
V.
Câu 15 :Đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC ( L thuần cảm ) nối tiếp một điện áp
xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Tại thời điểm t
1
các giá trị
tức thời u
L
(t
1
) = -20
2
V, u
C
(t
1
) = 10
2

V, u
R
(t
1
) = 0V. Tại thời điểm t
2
các giá
trị tức thời u
L
(t
2
) = -10
2
V, u
C
(t
2
) = 5
2
V, u
R
(t
2
) = 15
2
V. Tính biên độ điện
áp đặt vào 2 đầu mạch?
A. 50 V. B. 20V. C. 30
2
V. D.20

2
V.
Trang 23
Câu 16 : Đoạn mạch xoay chiều với điện áp hai đầu đoạn mạch AB ổn định , có
R, LC ( L thuần cảm )mắc nối tiếp .Biết : thời điểm t
1
, điện áp tức thời ở hai đầu
đoạn mạch chứa LC là u
LC
= 7,5
7
( V ) và điện áp tức thời hai đầu điện trở R
là u
R
= 30 V ; ở thời điểm t
2
điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch chứa LC là u
LC
= 15 ( V ) và điện áp tức thời hai đầu điện trở R là u
R
= 20
3
V . Điện áp hiệu
dụng hai đầu đoạn mạch AB là :
A. 45 V B. 50 V C. 25
2
V D. 60 V
Câu 17 (ĐH khối A 2009) Đặt điện áp xoay chiều u = U
0
cos(100πt + π/3) (V)

vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1/ 2π (H). Ở thời điểm
điện áp giữa hai đầu cuộn cảm là 100
2
V thì cường độ dòng điện qua cuộn
cảm là 2A. Biểu thức của cường độ dòng điện qua cuộn cảm là
A i = 2
3
cos( 100πt - π/6) (A) B i = 2
3
cos( 100πt + π/6) (A)
C i = 2
2
cos( 100πt + π/6) (A) D i = 2
2
cos( 100πt - π/6) (A)
Câu 18( Cao đẳng khối A 2010) Đặt điện áp xoay chiều u = U
0
cosωt vào hai
đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần. Gọi U là điện áp hiệu dụng giữa hai đầu
đoạn mạch; i, I
0
và I lần lượt là giá trị tức thời, giá trị cực đại và giá trị hiệu dụng
của cường độ dòng điện trong đoạn mạch. Hệ thức nào sau đây sai?
A U/U
0
– I/I
0
= 0 B U/U
0
+ I/I

0
=
2
C u/U
0
– i/I
0
= 0 D u
2
/
2
0
U
– i
2
/
2
0
I
= 1
Câu 19 Cho mạch điện xoay chiều chỉ chứa tụ điện. Hiệu điện thế hai đầu đoạn
mạch có dạng u = U
0
sin2πft (V). Tại thời điểm t
1
giá trị tức thời của cường độ
dòng điện qua tụ và hiệu điện thế 2 đầu đoạn mạch là ( 2
2
A, 60
6

V). Tại
thời điểm t
2
giá trị tức thời của cường độ dòng điện qua tụ và hiệu điện thế 2 đầu
đoạn mạch là ( 2
6
A, 60
2
V). Dung kháng của tụ điện bằng
A 20
3
Ω B 20
2
Ω C 30Ω D 40Ω
Câu 20 ( Cao đẳng 2010) Đặt điện áp u = U
0
cosωt vào hai đầu cuộn cảm thuần
có độ tự cảm L. Tại thời điểm điện áp giữa hai đầu cuộn cảm có độ lớn cực đại
thì cường độ dòng điện qua cuộn cảm bằng
A U
0
/
2
ωL B U
0
/2ωL C U
0
/ωL D 0
Trang 24
Đáp án

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ĐA A B C C D C D C C A
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ĐA C D D C D C A D C D
5 .Kết quả thực hiện
Kết quả khảo sát ở hai nhóm lớp 12 trường THPT Dương Quảng Hàm năm học
2012-2013 như sau:
Nhóm Giỏi Khá Trung bình Yếu
Được hệ thống
(Lớp
12A1,12A3,12A4)
45% 50% 5% 0%
Không được hệ
thống
(Lớp 12A7,12A8)
4% 22% 55% 19%
Bảng tính điểm bình quân môn Vật lý năm học 2011-2012 (theo thống kê của
văn phòng trường THPT Dương Quảng Hàm )
Lớp 12A1 12A2 12A4
Sĩ số 45 44 40
Điểm thi 6,9 6,0 5,8
Bảng tính điểm bình quân môn Vật lý năm học 2012-2013 (theo thống kê của
văn phòng trường THPT Dương Quảng Hàm )
Lớp 12A1 12A3 12A4
Sĩ số 46 43 42
Điểm thi 7,1 6,5 6,4
Như vậy,hệ thống kiến thức trên thực sự có tác dụng đối với học sinh, tỉ lệ đỗ
đại học của học sinh lớp 12 trường Trung học phổ thông Dương Quảng Hàm
Trang 25