skkn hướng dẫn hs tự học về phép chia trên tập số nguyên

PHẦN 1: PHẦN LÝ LỊCH
- Họ và tên tác giả: Bùi Đăng Thương
- Chức vụ: Hiệu trưởng
- Đơn vị công tác: Trường THCS Phù Cừ, huyện Phù Cừ, tỉnh Hưng Yên
- Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên
- 1 -
PHẦN 2: NỘI DUNG
A- MỞ ĐẦU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần
khuyến khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được
năng lực sáng tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về
một lĩnh vực khoa học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh
những tài liệu đó viết chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết
dưới dạng chuyên đề với cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập
áp dụng mà không trình bày được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định
hướng được lời giải như thế ? Lối viết này đòi hỏi người học phải có một trình độ
nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó đối với học sinh trung học cơ sở. Để
khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên đề Toán theo hướng chuyên
đề. Cùng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình. Với mỗi ví dụ điểm
hình tôi đều trình bày luận điểm “tại sao lại tư duy như thế?” để dẫn tới lời giải.
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về
hướng dẫn học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này
tôi đăng ký nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên
tập số nguyên”. Đề tài đã được triển khai tại trường THCS Phù Cừ và được Hội
đồng khoa học trường đánh giá cao trong năm học vừa qua.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tên đề tài: “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”
* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình
học tập môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học

“Phép chia trên tập số nguyên”. Tập trung chủ yếu nghiên cứu về bài toán chia hết
và chia có dư của biểu thức một biến và một số ứng dụng của phép chia trên tập
số nguyên.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở
trường THCS, các định hướng và quan điểm về ĐMPPDH, phương pháp và kỹ
thuật dạy học tích cực, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THCS Phù Cừ.
- 2 -
II- PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1- Cơ sở lý luận
Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 Dạy học tích cực là gì?
Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của người học."Tích cực" trong phương pháp dạy học - tích cực
được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ
động chứ không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực.
Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận
thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học
chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh được trao cơ hội thực hiện các tương tác
đề tài chính trong một giai đoạn giáo dục, được động viên để hình thành tri thức
hơn là việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trường
học tập tích cực, giáo viên là người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không
phải là người “đọc chính tả” cho học sinh chép!
1.2 Đặc trưng cơ bản của dạy- học tích cực.
a. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
b. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc.
c. Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi.
d. Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
e. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.

f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và
lợi ích của xã hội.
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc
trưng là “Khám phá và Khai phá”, có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
- 3 -
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong
chương trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ
thuật dạy học tích cực, đề tài tập trung giải pháp “làm thế nào đề thực hiện được
Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng
hướng dẫn tìm tòi”.
2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Phù Cừ- trường chất lượng
cao của huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn
toán. Đây là điều kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về
ĐMPPDH. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp
huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ
môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và triển khai các đề tài trong các tình huống
điển hình đó là “Phương pháp dạy học trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-
Học định lý, tính chất ở môn Toán” được xếp loại B cấp Tỉnh năm 2010, nghiên
cứu về “Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập
ở môn Toán” được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học 2011-2012 và
2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh tự học một số bất đẳng
thức quen thuộc” và “Hướng dẫn học sinh tự học bài toán cực trị hình học” đều

được xếp loại C cấp tỉnh. Năm học này, tôi tiếp tục hướng nghiên cứu về “hướng
dẫn học sinh tự học” một số chuyên đề khó trong toán số học cho đối tượng là học
sinh khá, giỏi. Các chuyên đề này giúp cho học sinh rất nhiều trong việc phát triển
tư duy Toán, có điều kiện để sáng tạo đồng thời giúp cho các em có điều kiện hoạt
động độc lập và xây dựng con đường học tập cho riêng mình.
Xác định được vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản
thân tôi luôn cố gắng tìm tòi “lời giải” của bài toán “Làm thế nào khuyến khích và
giúp đỡ học sinh của mình tự học?”. Một trong những “đáp án” của “bài toán”
- 4 -
trên là viết những tài liệu với “giọng văn” như những lời tâm sự hướng tới sự đồng
cảm với học trò của mình đó là “Tại sao Thầy lại nghĩ ra được cách giải ấy?” chứ
không phải “Thầy giải bài tập đó em có hiểu không?”. Tài liệu tôi viết dành tặng
cho học sinh của mình tôi thường chọn những vấn đề toán học gần gũi với các em,
đặc biệt là phù hợp với đối tượng học sinh. Trong phạm vi của kinh nghiệm dạy
học này tôi chuyển tải đề tài “Hướng dẫn học sinh tự học một số bài toán về chia
trên tập số nguyên” một chủ đề kiến thức toán học tương đối khó đối với học sinh
và cũng là tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài của năm học trước. Tôi viết dành cho
học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9.
3. Các biện pháp cơ bản tiến hành nghiên cứa đề tài
3.1 Phương pháp nghiên cứu:
1/ Phương pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phương pháp dạy học, đổi mới
PPDH môn toán, quản lý và chỉ đạo của người hiệu trưởng, các văn kiện của Đảng,
nhiệm vụ năm
học, hướng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận cho
đề tài.
2/ Nhóm phương pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để
rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ

Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá
3.2 Kế hoạch nghiên cứu
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình học
tập môn Toán” với trường THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Phù Cừ trong các năm
học từ năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Phù Cừ
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trường THCS Phù Cừ
- 5 -
B- NỘI DUNG
I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu “Dạy học chú trọng rèn luyện
phương pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi” đối với bộ
môn Toán.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
-Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đồng thời giúp
cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho
riêng mình.
II- GIẢI PHÁP
Chương I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC.
1. Quan điểm về tự học
Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được
năng lực sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục. Giáo dục phải coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên
cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực
hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và
học cần thực hiện theo ba định hướng:
- Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;

- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
- Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học là một trong những đặc trưng cơ
bản của dạy-học tích cực. Một trong những yêu cầu của dạy và học tích cực là
khuyến khích người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những
điều đã biết và đã qua trải nghiệm. GV nên đưa người học vào những tình huống
có vấn đề để các em trực tiếp quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm. Từ đó giúp HS
tìm ra những câu trả lời đúng, các đáp án chính xác nhất. Các em còn được khuyến
khích “khai phá” ra những cách giải quyết cho riêng mình và động viên trình bày
quan điểm theo từng cá nhân. Đó là nét riêng, nét mới có nhiều sáng tạo nhất. Có
như vậy bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học còn biết làm chủ cách xây
- 6 -
dựng kiến thức, tạo cơ hội tốt cho tính tự chủ và óc sáng tạo nảy nở, phát triển. Có
thể so sánh nếu quá trình giáo dục là một vòng tròn thì tâm của đường tròn đó phải
là cách tổ chức các hoạt động học tập cho đối tượng người học.
Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học. Nếu người học
có được phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen và ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ
lòng say mê học tập, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người học và kết quả học
tập sẽ tăng lên.
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí
óc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng
nhưng chính những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy sinh viên tư duy để thoát
khỏi “lúng túng”, nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những
dấu hỏi, phát hiện vấn đề và từ đó đi đến có đề tài nghiên cứu.
2.2. Nghiên cứu khoa học
Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển tự học
lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ giữa tư
duy độc lập và tư duy sáng tạo.
3. Phương pháp tự học bồi dưỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học làm cầu nối

giữa học tập và nghiên cứu khoa học của người học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động
rất cơ bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi,
khả năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các
hoạt động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác
trí tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- 7 -
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hướng dẫn học sinh tự học:
“ Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau:
1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không?
2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không?
3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không?
4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không?
5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không?
6- Học sinh có được tự đánh giá không ”
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch
thì không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế
hoạch học tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi người, tùy vào nhu
cầu của mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi

cần, nhưng điều quan trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian
Bất cứ ai cũng có 168 giờ mỗi tuần, nhưng có người sử dụng quỹ thời gian
đó có hiệu quả hơn người khác. Học sinh có rất nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê
tất cả công việc cho từng ngày sau đó, nếu ta thấy còn ít hơn 30 giờ mỗi tuần để tự
học thì ta hãy kiểm điểm lại xem tại sao mình phí thời gian như vậy.
4.1.3- Chọn địa điểm học
Ta có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc dù rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn
choviệc học. Quan trọng là nơi đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho
nên hãy làm cho việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen
học tập.
4.1.4- Chọn thời điểm học tập.
- 8 -
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh mẫn, vào đúng khoảng
thời gian đã lên kế hoạch để học.
4.1.5- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu học trước để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu, cần
đọc trước và ghi chú thích những điểm chưa hiểu. Nếu học sau giờ lên lớp, cần chú
ý xem lại những thông tin ghi chép được.
4.1.6- Học cho giờ thảo luận
Sử dụng khoảng thời gian ngay trước các giờ học này để luyện tập kỹ năng
phát biểu với các học viên khác (nếu cần). Điều này sẽ giúp hoàn thiện kỹ năng
phát biểu.
4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập.
Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự
tính sẽ dùng quỹ thời gian của mình như thế nào, cho nên một khi kế hoạch không
hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp có thói quen
học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuân theo đúng kế
hoạch học tập đã định là một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một
việc rất dễ !

4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng dẫn cụ thể
để đạt lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ
đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để
học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ
đơn giản là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc
xong bài mới các em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học
sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà
giáo viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi
để nếu học sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh
- 9 -
yếu có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không
nên ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này
vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài
giảng không bị nhàm chán
4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận
dụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT
để học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết)
để có thể tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp
học sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án
tương tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn.
4.2.3 Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để
hs có khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết

các tài liệu theo hướng các chuyên đề nhằm định hướng về Tư duy và Kỹ năng cho
học sinh đồng thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học.
Chương II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC
và GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY
I- Đánh giá chung
Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học
sinh vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất
thì việc kiểm tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp
phần tích cực làm chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phương pháp dạy học
hướng dẫn học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn
toán nói riêng còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh vẫn
- 10 -
đơn giản là cố gắng hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách
có thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì
chỉ quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng.
Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chương trình, trước
khi kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy
học nên chỉ quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội
dung SGK. Một số giáo viên chưa có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập
khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện,
liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn
đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phương
tiện dạy học nhất là các phương tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh
nghiên cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đường để chiếm lĩnh
kiến thức của học sinh.
Thực tế, giáo viên thường soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết
kế bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương
trình, hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến

lớn trong thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không
tổ chức hoạt động học tập cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt
động, không hướng dẫn được phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo
viên còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK.
Việc sử dụng các phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản
trong chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các
tiết học thông thường hầu như "dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng như việc hướng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không
được chú ý làm cho chất lượng giờ dạy không cao
- 11 -
II. Tổng hợp số liệu điều tra thưc tiễn.
1- Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức độ
Lớp
Tự đọc bài mới
SGK trước khi đến
lớp
Tự học STK sau
bài học trên lớp
Học theo tài
liệu của giáo
viên
9A (45hs) 1/45=2,2% 20/45=44,5% 24/45=53.3%
8A (44hs) 0/45=0% 23/44=52,3% 21/44=47,7%
8B (45hs) 1/45=2,2% 22/45=49% 22/45=48,8%
7A (48hs) 3/48=6,3% 31/48=64,6% 14/48=29,1%

7B (47hs) 2/47=4,3% 19/47=40,4% 26/47=55,3%
ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trước khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy
các em có chung câu trả lời là “khó, với lại hôm sau đã được Thầy dạy rồi!”. Có
nhiều em tự học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do
Thầy ra thêm bài tập về nhà ở tài liệu này.
2- Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học
sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh
2.1 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Em có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không?
nguyên nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em”
Mẫu phiếu:
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó
c) Do tài liệu có nhiều chỗ không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hướng dẫn giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
- 12 -
Có 55% phiếu có chọn “ không thích – trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn
lý do b) và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2 Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Em học được khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong
khoảng các mứ c dưới đây)”

a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15%
c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50%
e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100%
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương án a b c d e f
Số lượng 9 14 20 34 53 22
ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu gồm bài tập của thầy có hướng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên
chiếm phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, được các em
đón nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp “viết các
chuyên đề” trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học
2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Trong môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em
khó khăn khi học nhất?. Kết quả cụ thể:
Các cấp độ Dễ tìm
được
hướng
Đôi khi
gặp khó
khăn khi
Gặp rất
nhiều khó
khăn khi
Không

định
hướng
- 13 -
Các dạng toán điển hình
giải quyết tìm được
hướng
giải quyết
tìm hướng
giải quyết
được
1- Bài toán về số lũy thừa (số
chính phương, lập phương…)
22% 75% 3%
2- Bài toán về phần nguyên 17% 80% 3%
3- Bài toán về phép chia hết
và phép chia có dư
25% 65% 10%
4- Bài toán về số nguyên tố,
hợp số
28% 55% 17%
5- Phương trình nghiệm
nguyên
27% 42% 31%
2.3.2 (cùng với nội dung phiếu 2.2.1)
Một số ý kiến của em về phép chia hết và chia có dư trong các bài tập số học mà
em đã biết (về ứng dụng phép chia trên tập số nguyên trong việc giải bài toán số
học, về kỹ năng giải toán chia trên tập số nguyên…)
Đánh giá kết quả điều tra:
Đối với những kỹ năng cơ bản giải bài toán cơ bản số học thì hầu hết học
sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. Đối với các bài toán liên

quan đến phép chia trên tập số nguyên có nhiều học sinh biết hướng giải quyết. Có
thể do dạng toán này gần gũi với các em. Nhiều HS qua phỏng vấn cho biết mặc dù
tìm được hướng đi nhưng khi trình bày lại rất khó khăn. Nhiều HS cho rằng mình
làm được chẳng qua là đã từng được biết trước (do đọc sách hay do thầy chữa rồi).
Đối với câu hỏi 2.3.2 thì thu thập được khá nhiều ý kiến. Ý kiến tập trung nhất là
ứng dụng của chia hết, chia có dư trên tập số nguyên ở hầu hết các bài tập số mà
các em đã gặp.
CHƯƠNG III
VÍ DỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN.
AI- LÝ THUYẾT CHUNG.
I1- Phép chia trên tập số nguyên
- 14 -
1.1- nh ngha
Cho a,b là các số nguyên, b 0. Ta nói a chia cho b đ#ợc th#ơng là q và d# r khi a=bq+r
với q,r là các số nguyên và 0 r b . Khi r=0 ta nói a chia hết cho b.
Hệ quả: Khi chia a cho b 0 thì số d# có b 1 khả

<

{ }
năng nhận đ#ợc một trong các số của
tập hợp 0;1;2; ; b 1 .
Nh# vậy với mỗi số tự nhiên a thì tập số nguyên Z đ#ợc "phân hoạch" theo a "lớp".
Mỗi lớp gồm các số nguyên chia cho a có cùng số d#.

1.2- Mt s tớnh cht c bn vờ chia ht.
Cho a,b,c l cỏc s nguyờn. Ta cú mt s tớnh cht c bn sau:
n
TC 2.1 Nếu a b và b c thì a c

TC2.2 Nếu a b thì ac b
TC2.3 Nếu a b và c b thì a+c b
TC2.4 Nếu ab c mà (b,c)=1 thì a c
TC2.5 Nếu a b ; a c và (b,c)=1 thì a bc
TC2.6 Nếu a p và p nguyên tố thì a p (n N)
M M M
M M
M M M
M M
M M M
M M
2- S phõn tớch mụt sụ t nhiờn ra tha s nguyờn t
Mi s t nhiờn u c vit di dng tớch ca ly tha cỏc s nguyờn t. S
phõn tớch ny l duy nht.
1 2 3 k
1 2
n n n n
1 2 3 k 1 2 k 1 2 k
m m m
1 2 3
Ta có a=p .p .p p (với p ,p , p là các số nguyên tố và n ,n , n là
các số tự nhiên khác 0). Ta có một số tính chất cơ bản sau:
TC3.1 b là một #ớc của a khi b có dạng a=p .p .p
( ) ( ) ( )
3 k
m
k 1 2 k
1 1 2 2 k k
1 2 k
1 2 k

p (với m ,m , m là
các số tự nhiên và 0 m n ; 0 m n ; ;0 m n )
TC3.2 Số #ớc của a là n 1 n 1 n 1
TC3.3 Số a là một số lũy thừa bậc t khi t là #ớc chung của n ,n , n

+ + +
3- nh lý Fec-ma
p
p 1
Cho a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì a a p
Hệ quả: a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố và (a,p)=1 thì a 1 p



M
M
4- Hng ng thc hiờu hai luy tha cung bõc
- 15 -
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1
n n
m m
mn mn n n n n
2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
Ta có a b a b a a b a b a b ab b
Hệ quả: với a,b nguyên và m,n là các số tự nhiên, a b thì

5.1 a b a b
5.2 a b a b a b
5.3 a b a b a b a b

+
+ + +
= + + + + + +


=
+ = = +
M
M
M
BII- MễT Sễ BAI TOAN C BAN Vấ PHEP CHIA TRấN TP Sễ
NGUYấN
I1- Mt s k nng c bn gii bi toỏn v chia ht
Vớ d 1:
4 3 2
Chứng minh A(n)=3n 14n 21n 10n 24 + M
Ngh nh th no?
( )
Để chứng minh A(n) 24 ta cần chứng minh A(n) 3 và A(n) 8 (vì (3,8)=1)
A n có dạng là một đa thức bậc 3 đối với n. Để chứng minh A(n) 3 một cách thông
th#ờng nhất là ta phân hoạch n theo 3 rồi thay và
M M M
M
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A(n). Tuy nhiên để thuận lợi cho việc xét

ta đ#a A(n) về tích nếu có thể. Ta có lời giải sau:
A(n)=n n 1 n 2 3n 5 A(n) 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
Lại có A(n)=n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3 8
vì n n

+
M
M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 n n 1 n 2 4 8 và n n 1 n 2 n 3 8 do trong 4 số nguyên liên
tiếp có 2 số chẵn và có một số là bội 4 .
M M M

Vớ d 2:
3 2
Chứng minh A(n)=n 51n 481n 3 48 với mọi n lẻ + M
Ngh nh th no?
3 2
Ta thây so với ví dụ 1 thì biểu thức này cùng dạng. Tuy nhiên hệ số của đa thức A(n) lớn
Ta làm giảm hệ số bằng cách viết A(n)=B(48)+ F(n) và chứng minh F(n) 48
Ta có lời giải vắn tắt sau:
A(n)=n 51n
M
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2
481n 3 n 3n n 3 48n 480 48 F(n) n 3n n 3 48
Ta có F(n)= n 3 n 1 n 1
Với n=2k+1 (k Z) ta có F(n)= 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1

F(n) 16 vì k k 1 2. lại có F(n) 3 vì k 1 k k 1 3
F(n) 16 và F(n) 3 mà (16,3)=1 nên F(n)
+ = + + = +
+
+ = +
+ +
M M
M M M M
M M M48 A(n) 48 M

Vớ d 3:
- 16 -
2
Chøng minh A(n)=4n 3n 5 6 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 2 vµ cho 3+ + M
Nghĩ như thế nào?
Ta hiểu n không chia hết cho 2 và 3 có nghĩa là như thế nào? Một phép chia n cho
2 và 3 hay xét n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phân hoạch n theo 6 và thay vào A(n)
ta có được lời giải đơn giản. Tất nhiên cũng như 2 ví dụ trên, nếu ta viết A(n) theo
dạng tích sẽ thuận lợi hơn khi thay n. Ta có lời giải sau
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
A(n)=4n 3n 5 =4n 3n 1 6 4n 1 n 1 6
víi n kh«ng chia hÕt cho 2 vµ cho 3 khi n ph©n ho¹ch theo 6 th× chØ cã 2 d¹ng
n=6k+1; n=6k+5 (k lµ sè nguyªn)
*) Víi n=6k+1 th× A(n)= 24k 3 6k 2 6 8k 1 3k 1 6
*) Víi n
+ + + − + = − + +
+ + = + + M
( ) ( ) ( ) ( )

=6k+5 th× A(n)= 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6 6− + = − + M
Tiểu kết 1:
Qua 3 ví dụ trên, chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng đa thức khi
chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán “chứng minh A(n) chia hết
cho k” là
1) Viết k thành tích các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau (cẳng hạn k=a.b.c
với a,b,c nguyên tố sánh đôi)
2) Chứng minh A(n) chia hết cho các thừa số của k trong phân tích trên
3) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên a ta phân hoạch n theo a rồi thay
vào A(n)
4) Để thuận lợi cho việc thay n ta thường viết A(n) về dạng tích (bởi khi đó bậc
của biến n sẽ được giảm đi trong mỗi biểu thức cần thay thế)
Ví dụ 4:
n 2 2n 1
Chøng minh B(n)=11 12 133 víi n N
+ +
+ ∈M
Nghĩ như thế nào? Ta Ta thấy dạng của biểu thức B(n) là tổng các lũy thừa. Chia
cho số 133 là quá lớn việc phân hoạch n theo 133 là không thể. Với phép chia một
lũy thừa cho một số ta có hai tính chất quan trọng (định lý Fec-ma và Hằng đẳng
thức) đã nêu ở trên. Để sử dụng hằng đẳng thức (HĐT) ta cần làm xuất hiện hiệu
hai lũy thừa cùng số mũ. Ta có lời giải sau:
- 17 -
( )
n 2 2n 1 2 n 2n n n n n n
n n n n
B(n)=11 12 11 .11 12.12 121.11 12.144 12.144 12.11 133.11
B(n) 133 với n N vì 12.144 12.11 12 144 11 144 11 133
+ +
+ = + = + = +

= =M M
Vớ d 5:
( )
n 2 n 2n 1
n n n n n n n n
n n
Chứng minh B(n)=5 +26.5 +8 59 với n N
Lời giải: ta có B(n)=25.5 +26.5 +8.64 51.5 8.64 59.5 8 64 5 59
vì 64 5 64 5 59.
+ +

= + = +
=
M
M
M
Vớ d 6:
( )
n
2
Chứng minh B(n)= n 1 1 n với n N+ M
Ngh nh th no? Ta thy nu ch s dng HT nh hai vớ d trờn thỡ ch cú th
chng minh B(n) chia ht n. Tuy nhiờn viờc s dung HT cng gi ý cho ta khi
phõn tớch B(n) thnh nhõn t thỡ ngoi nhõn t n cũn nhõn t chia ht cho n. Ta cú
li gii sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
n n 1 n 2 n 3

n 1 n 2 n 3
n 1 n 2 n 3
k
B(n)= n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1
Ta có n 1 n 1 n 1 n 1 1 (biểu thức gồm n-1 ngoặc đơn)
n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n n
vì n 1 1 n 1 1 n với mọi k tự nhiê




+ = + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + =
= + + + + + + + + +
+ + =
M
M
2
n.
Vậy B(n) n với n NM

Vớ d 7:
2 n
2
Chứng minh B(n)=2 5 7 với n N.+ M
Ngh nh th no?
Ta cú th hiu
2 n
2

B(n)=2 5 7 với n N+ M
cú nga l B(n) chia 7 d 2. Bi toỏn tr v
tỡm d ca B(n) khi chia cho 7. S dng HT a
n
-b
n
l hp lý. trỏnh phc tp ta
chn b=1. Vi nh lý Fec-ma ta bit rng
6
2 1 7. M
Tuy nhiờn do
6 3 2 3
3 2k 2n
2n
2 1 chia hết cho 2 1 và 2 1 nên ta kiểm tra và chọn đ#ợc 2 1 7. Việc xét lũy thừa
bây giờ sẽ đơn giản hơn.
Vì 2 1 7 nên 2 1 7 với mọi k N. Do vậy ta cần phân hoạch 2 theo 3 (tìm d# của
2 khi


M
M M
( )
( )
2n n
2n n n n
3k 1 k k k
chia cho 3). Dễ thấy 2 4 3k 1 (k N). Ta có lời giải sau:
Ta có 2 4 4 1 1 =3k+1 (với k N) vì 4 1 4 1 3.
B(n) 2 5 2.8 5 2 8 1 7 7 vì 8 1 8 1 7

+
= = +
= = + =
= + = + = + =
M
M M

- 18 -
Tiu kt 2:
Qua 3 vớ d 4,5,6 trờn õy chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng
tng cỏc ly tha khi chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn
chng minh B(n) chia ht cho k trong dng ny.
1) Vit cỏc biu thc v dng hiu cỏc ly tha cựng s m
2) S dng HT vit biu thc v dng tớch nu cú th!
3) S dng nh lý Fec-ma chn bi nh nht ca mt s cú dng hiu hai ly
tha .
Vớ d 8:
n
Chứng minh S(n)=16 15n 1 225 với n N M
Ngh nh th no?
Biu thc S(n) cha c ly tha v a thc. Vic s dng cỏc k nng c bn
trờn s gp khú khn i vi dng ny. Nhn xột thy S(n+1) cú th truy hi v
S(n) c nờn ta s dng chng minh kiu qui np (ta cn chng minh S(n+1) v
S(n) chia cho 225 cú cựng s d, sau ú th vi n=0). Ta cú li gii sau:
( )
( ) ( )
( )
n n 1
n 1 n n n
n

0
S(n)=16 15n 1 S(n 1) 16 15 n 1 1
S(n 1) S(n) 16 15 n 1 1 16 15n 1 16 16 1 15 15 16 1 225
vì 16 1 15. Vậy S(n+1) và S(n) chia cho 225 có cùng số d#.
Mặt khác S(0)=16 15.0 1 0 225 nê n S(n) chia
+
+
+ = +
+ = + + + = =

=
M
M
M hết cho 225 với mọi giá trị n N
Vớ d 9:
n
k k k
3 n
n
2 k 3 k 3 k
k
Chứng minh S =2 1 3 với n N *
Lời giải: Ta chứng minh bằng qui nạp
Giả sử bài toán đúng với n=k N * tức là S 2 1 3 hay 2 1 q3 2 q3 1
+
= + + = =
M
M
( ) ( ) ( )
k 1 k k k k

3
3 3 3 2.3 3
k 1
Xét bài toán với n=k+1 ta có S 2 1 2 1 2 1 2 2 1
+
+
= + = + = + + =
( ) ( )
(
)
( )
( )
1
2
k k k k 2 k.2 k
k 2 k.2 1 k k 1
k k 1
k k 1
3 1 n
1 n
q.3 . q.3 1 q.3 1 1 q.3 q .3 3q.3 3
q.3 .3 q .3 q.3 1 3
Nh# vậy nếu S 3 thì S 3 .
Mặt khác ta có S 2 9 3 đúng nên S 3 với mọi n N *
+
+
+
= + = + =
= +
=

M
M M
M M
- 19 -
Tiu kt 3:
Qua cỏc vớ d 8,9 ta ó s dng phộp chng minh bng qui np. õy l phng
phỏp chng minh khỏ quen thuc. Ni dung ca bi toỏn qui np thng l Chng
minh biu thc S(n) tha món tớnh cht (T) vi cỏc giỏ tr ca n t nhiờn (n>k) sao
cho n chia cho q d r tc l n=m.q+r. Bi toỏn s cú c hi lm c bng qui np
nu nh ta vit c S(n+r) theo S(n).
II2- Mt s bi toỏn liờn quan n phộp chia trờn tp s nguyờn.
2.1- Tỡm s d khi chia mt ly tha cho mt s nguyờn
Vớ d 10:
100
Tìm số d# khi chia 3 cho 8? cho 7? cho 56
Ngh nh th no?
õy l phộp chia mt ly tha cho mt s t nhiờn. Mt s k nng c bn c
vn dng nh tiu kt 2.
Bi gii:
( )
2 100 50.2 2 100
6 100 6k
100 4 96 4 96 4
*) Ta có 3 1 8. áp dụng hệ quả 5.2 ta có 3 1 3 1 3 1 8. Vậy 3 chia 8 d# 1
Theo định lý Fec-ma ta có 3 1 7. Ta cần viết 3 theo 3 để sử dụng hệ quả 5.1
*) Ta có 3 3 .3 3 3 1 3 . V
=

= = +
M M M

M
96 6.16 6 4
100
100 100
100
ì 3 1 3 1 3 1 7 và 3 81 chia 7
có d# 4 nên 3 chia cho 7 d# 4.
*) Để tìm d# của 3 khi chia cho 56 ta xuất phát từ việc tìm d# 3 khi chia cho 7 và 8
(vì 56=7.8 và (7,8)=1)
Giả sử 3 56k
= =
= +
M M
100
100
r với 0 r 56 (k,r là các số tự nhiên). Vì 3 chia cho 7 d# 4 và chia
cho 8 d# 1 nên r chia cho 7 d# 4 và chia cho 8 d# 1. Với 0 r 56 và n N ta có r=25.
Vậy 3 chia cho 56 có d# là 25.
<
<
( ) ( )
( )
100
100
100
100
Cách khác. Theo kết quả 3 chia cho 7 d# 4 và chia cho 8 d# 1 ta có
3 =7x+4=8y+1 (x,y nguyên) 7x 21 8y 24 7 x 3 8 y 3 .
x 3 8m
Vì (7,8)=1 nên với m Z x 8m 3 3 7 8m 3 4 56m 25

y 3 7m
3 chia
= =
=

= + = + + = +

=

cho 56 có d# 25.
Vớ d 11:
- 20 -
102
102
7
n n 7
Tìm d# của 124 khi chia cho 11
Tr#ớc hết ta làm giảm cơ số của lũy thừa trong phép chia.
Ta có 124 3 124 3 121 11 với mọi n N. Do vậy để tìm d# 124 khi chia cho 11
ta tìm d#
= M M
Nghĩ nh thế nào?
102
7
của 3 khi chia cho 11.
102
10 10 5 2
5 2 5 7 5
102
Theo định lý Fec-ma thì 3 1 11. Vì 3 1 3 1 và 3 1 nên ta kiểm tra thêm

3 1 và 3 1 khi chia cho11. Ta đ#ợc 3 1 11 vì thế ta viết 3 theo 3 . muốn
thế ta phân hoạch 7 theo 5. T#ơng tự nh#


M M
M
trên ta có lời giải sau:
( ) ( )
102 2 100 4.25 4.25 4
Lời giải:
Ta có 7 7 .7 49 7 1 49 chia cho 5 d# 4 vì 7 1 7 1 5= = + M M
( ) ( )
102
102
102
7 5k 4 4 5k 4 5k 4 5k 5
4 7
7 5k 4 (k N).
Ta có 3 3 3 .3 3 3 1 3 chia cho 11 d# 4 vì 3 1 3 1 11
và 3 81 chia cho 11 d# 4. Vậy 124 khi chia cho 11 có d# 4.
+
= +
= = = +
=
M M
Tiu kt 4:
t
k
t
m

a
k
*) Để tìm d# của một lũy thừa tầng dạng x khi chia cho một số p nào đó ta sử dụng
một kỹ thuật tạm gọi là "hạ tầng". Bằng định lý Fec-ma ta tìm đ#ợc a để x 1 p nh#
vậy ta cần tìm d# của m theo a.
M
Tiếp tục kỹ thuật trên ta lần l#ợt hạ các tầng của
lũy thừa trở về bài toán cơ bản tìm d# của lũy thừa khi chia cho một số tự nhiên.
*) Bi toỏn tỡm ch s hng n v, hng chc, hng trm ca mt s chớnh l
tỡm d ca s ú khi chia cho 10 ( chia 2 v 5); chia cho 100 (chia 4 v 25); .
2.2- Chng minh mt biu thc khụng chia ht cho mt s nguyờn
Vớ d 12
( )
( )
( )
2
2
2
2
a) Chứng minh 3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N
b) Chứng minh n 3n 5 không chia hết cho 121với n N
Lời giải:
a) Nếu 3n+1 17 mà 17 nguyên tố nên 3n 1 289 mà 170 không chia hết cho 289
3n 1 170 k
+
+ +
+
+
M M
( )

( )
2
2
hông chia hết cho 289 với n N
Nếu 3n+1không chia hết cho 17 thì 3n 1 170 không chia hết cho 17
3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N

+
+
2
b) Vì (4,121)=1 nên n 3n 5 không chia hết cho 121với n N + +
( )
2
4 n 3n 5 không chia hết cho 121với n N + +
- 21 -
( )
( )
( )
2
2 2
2
Ta có 4 n 3n 5 4n 12n 20 2n 3 11
T#ơng tự câu a ta chứng minh đ#ợc 2n 3 11 không chia hết cho 121.
+ + = + + = + +
+ +
Tiu kt 5:
k
k k
Để chứng minh S không chia hết cho p (p là một số nguyên tố) ta viết S d#ới dạng
S=B Q trong đó Q p nh#ng Q không chia hết cho p . Nếu gặp khó khăn khi viết theo

một lũy thừa ta có thể chọn thêm một h
+ M
k
ệ số m với điều kiện (m,p)=1 và xét m.S khi
chia cho p .
2.3- Chng minh mt s l hp s
Vớ d 13:
n
n
Chứng minh S 19.8 17 là một hợp số với mọi n N= +
Ngh nh th no?
Suy ngh thụng thng nht l ta chng minh S
n
chia ht cho mt s no ú.
tỡm hiu ta s dng qui np khụng hon ton bng cỏch ln lt th n=0; 1;
2;3;4 tỡm ra qui lut.
n
n
0
1
2
3
4
Ta chỉ quan tâm đến #ớc nguyên tố của S 19.8 17
S 36 có #ớc nguyên tố 3, 2
S 169 có #ớc nguyên tố 13
S 1233 có các #ớc nguyên tố 3, 137
S 9745 có các #ớc nguyên tố 5
S 77841 có các #ớc nguy
= +

=
=
=
=
=
n
n
n
ên tố 3

Ta thử một qui luật n chia 4 d# 0 hoặc 2 thì S 3
n chia cho 4 d# 1 thì S 13
n chia 4 d# 3 thì S 5
M
M
M
Ta cú li gii sau:
( )
n
n
k k k
n
n n
S 19.8 17
*) Với n=2k (k N) ta có S 19.64 17 19 64 1 36 3 vì 64 1 64 1 3
mà S 3 nên S là hợp số với mọi n=2k (k N)
= +
= + = +
>
M M M

( ) ( )
4k 1 4k 1 4k
n
4k 1 4k 4 k 4
*) Với n=4k+1 (k N) ta có S 19.8 17 13.8 13 6.8.8 4
13.8 13 48 8 1 52 13 vì 8 1 8 1 13
+ +
+
= + = + + + =
= + + + M M M
- 22 -
( ) ( )
n n
4k 3 4k 3 4k 3
n
4k 3 3 3 4k 4k 4
mà S 13 nên S là hợp số với mọi n=4k +1(k N)
*) Với n=4k+3 (k N) ta có S 19.8 17 20.8 17 8
20.8 17 8 8 . 8 1 5 vì 8 1 8 1 5
+ + +
+
>
= + = + =
= + + M M M
n n n
mà S 5 nên S là hợp số với mọi n=4k+3 (k N). Vậy S là hợp số với mọi n N>
2.4- Chng minh mt s nguyờn khụng phi l mt s ly tha
Cú nhiu cỏch chng minh mt s t nhiờn x khụng phi l ly tha bc n ca
mt s t nhiờn b. Mt cỏch c s dng nhiu l cn c s phõn hoch ca b
n

theo mt s nguyờn no ú. Chng hn khụng cú s chớnh phng chia 3 d 2
vớ d s 4444 (cú 2003 ch s 4) khụng phi s chớnh phng vỡ s ny khi chia
cho 3 cú d 2 (tng cỏc ch s ca nú l 2003.4=3.2003+2003 chia 3 d 2). Thụng
thng tỡm c cn c phõn hoch ta chn phộp qui np khụng hon ton
qua cỏc vớ d c th tỡm ra qui lut.
Vớ d 14
n n
n
Chứng minh S 13 .2 7 .5 26 không thể là số chính ph#ơng với mọi n N= + +
Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton bng cỏch thay ln lt n=0, 1, 2, ta u thy S
n
chia ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 9. Ta cú 13
3
-1 v 7
3
-1 u chia ht cho 9
nờn ta phõn hoch theo 3.
Li gii:
{ }
( ) ( )
( ) ( )
n n 3k r 3k r
n
r 3k r 3k r r
3k 3 3k 3
r r
Giả sử n chia cho 3 d# r ta có n=3k+r với r 0;1;2 và k N
S 13 .2 7 .5 26 =13 .2 7 .5 26

2.13 13 1 5.7 7 1 2.13 5.7 26.
Ta có 13 1 13 1 9 và 7 1 7 1 9.
Xét Q 2.13 5.7 26. Lần l#ợt t
+ +

= + + + + =
= + + + +

= + +
M M M M
{ }
n
n
hay r 0;1;2 vào Q ta thấy Q 3 nh#ng Q không
chia hết cho 9 S chia hết cho 3 nh#ng không chia hết cho 9.
Do vậy S không thể là số chính ph#ơng với mọi n N.



M
2.5- S dng phộp chia trong viờc gii phng trỡnh nghim nguyờn
Nhõn xet:
Nguyờn tc c ban ờ giai phng trinh nghiờm nguyờn gụm 2 bc chn
- 23 -
va th (chn tõp nghiờm co thờ nhõn va th cac gia tri o vao phng trinh)
ờ chn c tõp hp cac gia tri co 2 ky nng c ban o la dung bõt ng thc va
chia hờt. c trng c ban ờ s dung chn bng bõt ng thc la hai vờ khụng
cung tng giam (vờ trai tng thi vờ phai giam) hoc nờu cung tng giam thi mụt vờ
tng chõm con vờ kia tng nhanh. Vi du phng trinh xyz=x+y+z vi x,y,z la
cac sụ dng. Mc du khi tng cac gia tri x,y,z thi 2 vờ cung tng nhng ro rang

tich 3 sụ nguyờn dng se tng nhanh hn rõt nhiờu so vi tụng 3 sụ nờn ờ xay ra
bng nhau thi tõp cac sụ x,y,z se bi chn lai mụt thi iờm nao o!
Vớ d 15
n
Tìm n để A= n.2 1 chia hết cho 3+
Nghi nh thờ nao? Vi nhõn xet trờn ta thõy bai toan khụng thờ chn c bng
bõt ng thc. S dung qui nap khụng hoan toan ta se tim c qui luõt phõn
hoach n.
( )
( )
( )
k k k
2k 1 k
Lời giải:
*) Với n=2k (k N) ta có A=n.4 1 2k 4 1 2k 1 3 2k 1 3 (vì 4 1 4 1 3)
3k k 1 3 k 3q 1 n 6q 2 với q N.
*) Với n=2k+1 (k N) ta có A=n.2 1 2n 4 1 2n 1 3 2n 1 3
2 2k 1 1 3 4k 3 3 k 3 n 6q 1 với
+
+ = + + + =
+ = + = +
+ = + + +
+ + + = +
M M M
M
M M
M M M q N
Vậy n 6q 1 hoặc n 6q 2 với q N.

= + = +

Vớ d 16:
Giải ph#ơng trình 7 1 2 .3 với x,y,z là các số tự nhiên+ =
z x y
Nghi nh thờ nao?
Bng nhõn xet trờn ta thõy khụng thờ chn c bng bõt ng thc.
Quan sat thõy vờ phai cua phng trinh la mụt sụ chia hờt cho 6 vi nhng
gia tri x,y nguyờn dng. Bai toan tr vờ tim d cua luy tha cua 7 khi chia cho 6.
Ta co li giai sau:
( )
7 1 7 1 2 chia cho 6 d# 2 2 .3 chia cho 6 d# 2.
Với x>0 và y>0 thì 2 .3 6 0 và y>0 không là nghiệm của ph#ơng trình
Thử vơí x=y=0 ta đ#ợc kết quả ph#ơng trình vô nghiệm
+ = +
>M
z z x y
x y
x
Vớ d 17:
x y
Tìm x,y là các số tự nhiên thỏa mãn 5 1 2= +
Nghi nh thờ nao?
S dung qui nap khụng hoan toan ta thõy ngoai nghiờm (x,y)=(1;2) ra kho co
thờ tim c nghiờm khac. iờu nay hng ta ti viờc chng minh phng trinh vụ
nghiờm khi x>1. Ta hiờu bai toan theo nghia nao?
- 24 -
x y
x
*1) 5 1 2 là biểu diễn lũy thừa của 5 theo lũy thừa của 2??
*2) 5 1 là một lũy thừa của 2?
= +

x
*3) 5 1 chia hết cho 2? 4? 8? 16?

Tới đây bằng qui nạp không hoàn toàn thì ta tìm đ#ợc qui luật về chia hết. Đây là cơ
sở để ta chứng minh ph#ơng trình vô nghiệm

( )
x 2q q y
x 2k 1 k y
Lời giải:
Nếu x 2 thì 5 1 5 1 25 1 25 1 3 2 3 vô lý
Nếu x=2k+1 5 1 5 1 5. 25 1 4 chia 8 d# 4 2 chia 8 d# 4
+
= =
= =
M M M M
y x 2
y 2 vì nếu y>2 thì 2 8. Ta có 5 1 2 x 1
Vậy ph#ơng trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;2)
= = =M
Vớ d 18:
x y
Giải ph#ơng trình sau trên tập số tự nhiên: 2 3 1 =
Nghi nh thờ nao:
Thoat nhin vi du 17 va vi du 18 giụng nhau! Nhng nờu ta thc hiờn theo cac nghi
cua vi du 17 thi khụng c bi ta luụn tim c iờu co ly! Tim hiờu bng qui
nap khụng hoan toan ta thõy ngoai nghiờm c biờt ra thi x la sụ le ln hn 1 se
khụng phai la mụt gia tri nghiờm. (Ta cung co thờ hiờu
x y x y

2 3 1 2 3 1 = = +
la
x y
2 chia 3 d# 1
). Cung co thờ s dng k nng phộp chia ly tha ca 2 cho 3 ta tỡm
c x chn. iu ny cho phộp ta a phng trỡnh v dng tớch- mt phng
phỏp quen thuc khi gii phng trỡnh nghim nguyờn.
( ) ( ) ( )
x y x
2
2q y q x q q x
q m m n
q n q n
Lời giải:
Nếu y=0 ta có x=1
Nếu y>0 ta có 2 3 1 2 chia cho 3 d# 1 x 2q (q N)
Ta có ph#ơng trình 2 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3
2 1 3 3 3 2 (*)
2 1 3 2 1 3
m n x (m,n N) m n x (m,n N)
Giả
= + =
= = + =

+ = =

= =


+ = + =

( )
( ) ( )
n
n m n
m n
y
3 1
i (*) 3 3 1 2 (theo sự phân tích 2 ra thừa số nguyên tố)
3 1 2
n 0
x m n 1. Thay vào ph#ơng trình ta có 2=3 1 y 0
m 1
Vậy ph#ơng trình có nghiệm duy nhất x;y 1;0



=

=

=


=

= + = + =

=

=
- 25 -