SỦ DỤNG PP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THƯC

sử dụng phơng pháp tham biến
để tìm cực tri của một biểu
thức
I.Phơng pháp
Giả sử cần tìm cực tri của một biểu thức Q
(x)
. Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức Q
(x)

luôn xác định trên tập hợp số thực, nghĩa là nếu Q
(x)
có mẫu thức thì mẫu thức luôn d-
ơng. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f
(x)
=Q
(x)
.- t. Nếu f
(x)


0
(hoặc f
(x)


0) với mọi x thuộc tập xác định của Q
(x)
và tồn tại giá trị t
0
để có f

(x)
=0
(tức là có Q
(x)
=t
0
) thì t
0
chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức
Q
(x)
.

II. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=
Lời giải:
Xét f
(x)
=Q
(x)
t = vì x
2
+1>0

x R nên dấu của f
(x)
chính là dấu của tử thức g
(x)
=
x

2
+8x+7- t(x
2
+1) hay g
(x)
= (1-t)x
2
+8x+7-t (1)
xét tam thức g
(x)
= ax
2
+bx+c=a(x+ )
2
+ với =b
2
-4ac (*)
Nếu a=0 thì g
(x)
= bx+c luôn cùng dấu với c khi b=0 và g
(x)
=0 khi c=0
Nếu a>0 thì g
(x)
0

x khi 0 và g
(x)
=0 =0
Nếu a<0 thì g

(x)
0

x khi 0 và g
(x)
=0 =0
áp dụng vào (1) ta có: =16 - (1- t)(7- t)=-t
2
+8t+9. =0 khi t=-1 hoặc t=9
Với t=-1 thì a=1-t=2>0 thì a=2>0 nên g
(x)
0 f
(x)
0 Q
(x)
có GTNN là-1 và
xẩy ra khi f
(x)
=0 g
(x)
=0 2(x+2)
2
=0 x=-2.
Với t=9 thì a=1-t=-8<0 nên g
(x)
0 f
(x)
0Q
(x)
có GTLN là 9 và xẩy ra khi

f
(x)
=0 g
(x)
=0 2(2x-1)
2
=0 x=
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q=
22
2
43
yx
xyy
+

với (x,y) 0
Lời giải:
Vì x
2
+y
2
luôn dơng với (x,y) 0 nên dấu của f
(x,y)
chính là dấu của tử thức
g
(x,y)
=3y
2
-4xy-t(x
2

+y
2
) hay g
(x,y)
= (3- t)y
2
- 4xy- tx
2
(2)
Nếu t=3 thì g
(x,y)
= -3x
2
-4yx. vì =4y
2
0 nên g
(x,y)
= 0 y=0 ,x=0 (đã loại trừ).
Xét (2) theo biến y ta có
y
=4x
2
+t(3-t)x
2
=(4+3t-t
2
)x
2
;
y

=0

x khi t=-1 hoặc t=4.
Với t=-1 thì a=3-t=4>0 nên g
(x,y)
0 f
(x,y)
0 Q
(x,y)
có GTNN là -1và xẩy ra
khi f
(x,y)
=0 g
(x,y)
=0 (2y-x)
2
=0 x=2y( 0).
Với t=4 thì a=3-t=-1<0 nên g
(x,y)
0 f
(x,y)
0 Q
(x,y)
có GTLN là 4 và xẩy ra
khi f
(x,y)
=0 g
(x,y)
=0 -(y+2x)
2

=0 y=2x ( 0)
Ví dụ 3. Tìm u,v đểbiểu thức Q= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Lời giải:
Đặt f
(X)
=Q
(X)
t = vì x
2
+1>0

x R nên dấu của f
(x)
chính là dấu của tử thức g
(x)
=
ux +v- t(x
2
+1) hay g
(x)
= -tx
2
+ux+v-t. Để GTLN Q
(X)
= 4 khi t
1
=4
(lúđó a
1
=-4<0) và GTNN Q

(X)
= -1 khi t
2
=-1 (lúc đó a
2
=1>0) xảy ra đồng thời thì dựa
vào (*) ta có



=
=
0
1
2
1
hay





=+
=+
0)1(4
0)4(16
2
2
vu
vu

=
=
16
3
2
u
v

Nghĩa là (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4,3)
Bài tập làm thêm Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q sau đây
1) Q= 2) Q=
3) Q= (x-2y+1)
2
+(2x+ay+5)
2
4) Q =
5) Q =

6)Q= 7) Q=