luận văn một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình toán thpt

5

mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự
phát triển nh vũ bo của các ngành khoa học kỹ thuật vì vậy sự nghiệp giáo
dục cần phải đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ.
Đóng góp cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của toán học.
Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng ri trong thực tiễn nhất
là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống
kê. Nó đợc bắt đầu từ những th từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại
ngời pháp là Pa-xcan(1623-1662) và Phec-ma(1601-1665) xung quanh cách
giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý
tộc pháp Đờmê-rê đặt ra cho Pa-xcan. Năm 1812 nhà toán học pháp La-
plaxơ đ dự báo rằng: Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi
may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tợng quan trọng nhất của tri thức
loài ngời. Đặc biệt là vào năm 1933 Kolmogrov đ đa ra một hệ tiên đề
để xây dựng xác suất thống kê thành một khoa học chính xác và trừu tợng.
Kể từ đó xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều
sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng. Ngày nay lí thuyết xác suất đ trở thành
ngành toán học đợc ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự
nhiên, khoa học x hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, Không những
thế nó còn đóng góp cho sự hình thành và phát triển thế giới quan khoa học
vì vậy xác suất thống kê đ đợc đa vào dạy cho học sinh THPT ở lớp 10,
lớp 11.
Việc hiểu và vận dụng những kiến thức đợc trang bị trong trờng Đại
học vào công tác giảng dạy sau khi ra trờng là một trong những yêu cầu và
là nhiệm vụ của ngời sinh viên khi đang ngồi trên ghế trờng đại học.
Ngoài việc đợc học những kiến thức do giảng viên cung cấp, bản thân mỗi
sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy đợc mối liên hệ giữa
kiến thức ở bậc học đại học và những kiến thức đợc giảng dạy sau này ở

trờng phổ thông. Từ các tính chất, định lý đợc học trong trờng phổ thông
tổng quát lên còn đúng hay không? hay các tính chất, định lý đợc học ở
trờng đại học đặc biệt hoá sẽ cho ta cái gì? Việc liên hệ giữa kiến thức ở
trờng THPT với kiến thức ở trờng đại học để phục vụ cho công tác giảng
6

dạy sau này là việc làm cần thiết của mỗi sinh viên. Do đó tôi quyết định
chọn đề tài Một số nội dung của lí thuyết xác suất trong chơng trình
Toán THPT".
2. Mục đích nghiên cứu
- Mục tiêu khoa học công nghệ:
+ Hệ thống hoá một số nội dung của lý thuyết xác suất thống kê ở
trờng đại học.
+ Xây dựng, chọn lọc và tìm mối liên hệ giữa nội dung xác suất thống
kê trong trờng đại học với trờng THPT.
- Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho
học sinh, giáo viên toán trờng THPT và sinh viên toán trờng Đại học
Hùng Vơng .
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu một số nội dung lí thuyết của xác suất thống kê và sự thể
hiện của nó trong chơng trình toán THPT.
- Nghiên cứu một số bài tập cơ bản và nâng cao .
4. Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận:
Đọc các tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo về xác suất
thống kê .
- Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia:
Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy của giáo viên hớng dẫn và các giảng
viên bộ môn toán khoa Toán - Công nghệ.
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán THPT nhất
là với sinh viên s phạm toán thấy đợc mối liên hệ giữa kiến thức ở
chơng trình Đại học với kiến thức ở trờng Phổ thông phục vụ cho công
tác giảng dạy sau này. Với bản thân việc nghiên cứu giúp em bổ sung hoàn
thiện những kiến thức đ học về xác suất thống kê đ học đồng thời nâng
cao khả năng kiến thức nghiệp vụ s phạm trong quá trình học tập.


7

6. Bố cục của khoá luận
Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài
gồm có 3 chơng:
Chơng I:
Biến cố và xác suất của biến cố
1.1. Biến cố
1.1.1. Một số khái niệm mở đầu
1.1.2. Các phép toán về biến cố
1.2. Xác suất của biến cố
1.2.1. Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp
1.2.2. Các định nghĩa về xác suất
1.2.3. Tính chất của xác suất
1.2.4. Xác suất có điều kiện
1.2.5. Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố
1.2.6. Các quy tắc tính xác suất
Chơng II: Biến ngẫu nhiên
2.1. Biến ngẫu nhiên
2.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên
2.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

2.2. Các số đặc trng của biến ngẫu nhiên
2.2.1. Kỳ vọng
2.2.2. Phơng sai
2.2.3. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng và phơng sai
2.2.4. Một số số đặc trng khác
2.3. Các bất đẳng thức moment
2.3.1 Định nghĩa moment
2.3.2. Các bất đẳng thức moment
Chơng III: Bài tập
3.1. Xác suất cơ bản
3.
2.Các qui tắc tính xác suất
3.3. Đánh giá xác suất, số lần
3.4. Xác suất điều kiện
3.5. Xác suất mở rộng
3.6. Bất đẳng thức xác suất
3.7. Biến ngẫu nhiên rời rạc

8

Chơng I
biến cố và xác suất của biến cố

1.1. biến cố
1.1.1. Một số khái niệm mở đầu
1.1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên đợc hiểu là thực hiện một nhóm điều kiện nào đó
để quan sát một hiện tợng nào đó có thể xảy ra hay không xảy ra. Các kết
quả của phép thử đợc gọi là các kết quả có thể. Tập hợp tất cả các kết quả
có thể trong phép thử ngẫu nhiên là không gian các biến cố sơ cấp ứng với

mỗi phép thử ngẫu nhiên đó. Mỗi kết quả có thể gọi là một biến cố sơ cấp.
Nhận xét: ở trờng THPT, không gian các biến cố sơ cấp chính là không
gian mẫu, kí hiệu là: .
1.1.1.2. Biến cố
a, Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có
thể không xảy ra khi phép thử ngẫu nhiên đợc thực hiện. Kí hiệu: A, B,
C
b, Biến cố chắc chắn: Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép
thử đợc thực hiện. Kí hiệu: .
c, Biến cố không thể có: Biến cố không thể có là biến cố nhất định không
xảy ra khi phép thử đợc thực hiện. Kí hiệu: ỉ.
d, Mối quan hệ giữa các biến cố:
- Biến cố thuận lợi: Biến cố A đợc gọi là thuận lợi (thích hợp) đối với biến
cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu: A

B.
- Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B đợc gọi là bằng nhau nếu biến cố
A là thuận lợi đối với biến cố B và biến cố B là thuận lợi đối với biến cố A:
A = B

A B
B A

9

1.1.2. Các phép toán về biến cố
1.1.2.1. Các phép toán về biến cố
a, Phép giao: Giao của n biến cố A
1
, A
2
, , A
n
là một biến cố nó xảy ra khi
1 2 n
A , A , , A
đồng thời xảy ra. Kí hiệu:
n
i
i 1
A
=


Đặc biệt: Khi n = 2, giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi
A và B cùng xảy ra. Kí hiệu: AB hoặc A

B
b, Phép hợp: Hợp của n biến cố A
1
, A
2

, , A
n
là một biến cố nó xảy ra khi ít
nhất một trong n biến cố A
1
, A
2
, , A
n
xảy ra. Kí hiệu:
n
i
i 1
A
=


Đặc biệt: Khi n=2, hợp của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A
hoặc B xảy ra. Kí hiệu: A

B
c, Hiệu của hai biến cố: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra
khi A xảy ra và B không xảy ra. Kí hiệu: A \ B
d, Biến cố xung khắc: Hai biến cố A, B đợc gọi là xung khắc nếu A, B
không cùng xảy ra khi phép thử đợc thực hiện. Hay A

B = ỉ
e, Biến cố đối lập: A, B là hai biến cố xung khắc và hợp của hai biến cố A
và B là biến cố chắc chắn thì A đợc gọi là biến cố đối lập của biến cố B.
A, B đối lập

A B
A B
=



=


Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A
c
hoặc
A


1.1.2.2. Một số tính chất của phép toán về biến cố
a, (A
c
)
c
= A.
b, A

A
c
= ỉ.

c, A

B = B

A.
d, (A

B)

C = A

(B

C).
e, A

B = B

A.
f, ( A

B)

C = A

(B

C).
g, A

A
c
=

.
h, A

(B

C) = (A

B)

(A

C).
10

i, A

(B

C) = (A

B)

(A

C).
j, A

B

B
c


A
c
.
k, A

B = A

(B

A
c
).
l, (
n
i
i 1
A
=

)
c
=
n
i 1
=

( A
i
)
c
.
m, (
n
i
i 1
A
=

)
c
=
1
n
i=

(A
i
)
c
.
Đặc biệt Khi n = 2 ta có :
(A

B)
c
= A

c

B
c
.
(A

B)
c
= A
c


B
c
.
1.2. Xác suất của biến cố
1.2.1. Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp
1.2.1.1. Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Một dy tất cả n phần tử
của X sắp xếp theo một thứ tự nhất định, gọi là một hoán vị của X.
Số các hoán vị của X là : P
n
= n!.
1. 2.1.2. Chỉnh hợp lặp : Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi dy có độ dài k
các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp
theo một thứ tự nhất định, gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử
của X. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là :
k
n
F

= n
k
.
1.2.1.3. Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi dy gồm
k phần tử khác nhau của X ( k n ) sắp xếp theo một thứ tự nhất định gọi
là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử của X. (Ta qui ớc gọi
chỉnh hợp không lặp là chỉnh hợp).
Số chỉnh hợp (không lặp ) chập k của n phần tử là:
k
n
A
=
n!
(n k)!

.
1.2.1.4. Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử và số tự nhiên k ( k n ). Ta
gọi mỗi tập con gồm k phần tử của X là một tổ hợp chập k của n phần tử
của X. Số tổ hợp chập k của n phần tử của X là:
k
n
C
=
n!
k!(n k)!

.


11

1.2.2. Các định nghĩa về xác suất
1.2.2.1. Định nghĩa 1: Xác suất là một con số không âm biểu thị khả năng
xuất hiện khách quan của biến cố đó. Kí hiệu: P(A).
1.2.2.2. Định nghĩa 2 (theo quan điểm thống kê): Giả sử A là biến cố liên
quan tới phép thử ngẫu nhiên đang xét. Khi đó nếu ta tiến hành n lần phép
thử, biến cố A xuất hiện m lần thì ngời ta gọi tỉ số
m
n
là tần suất xuất
hiện biến cố A. Với mỗi biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi là xác suất của
biến cố A khi và chỉ khi các tần suất xuất hiện biến cố A sai khác p không
đáng kể, nó càng gần p khi số lần thử nghiệm càng lớn.
1.2.2.3. Định nghĩa 3 (theo quan điểm hình học): Giả sử một điểm rơi ngẫu
nhiên vào một miền D, A là miền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi
vào miền A là:

Số đo đợc hiểu: D là đoạn thẳng thì số đo là độ dài
D là hình phẳng thì số đo là diện tích
D là hình không gian thì số đo là thể tích
1.2.2.4. Định nghĩa 4 (theo quan điểm cổ điển): Nếu A là biến cố có n(A)
biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm
n(

) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số P(A) =
n(A)
n( )

đợc gọi là
xác suất của A.

Nhận xét
- Trong chơng trình THPT không gian biến cố sơ cấp chính là không gian
mẫu

, n(

) =

và n(A) =
A

. Khi đó xác suất của A đợc xác
định bởi: P(A) =
A




P(A) =

số đo A

số đo D

12

- Định nghĩa cổ điển về xác suất có u điểm cho phép ta tìm đợc một cách
chính xác giá trị của xác suất.
- Định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng đợc khi số kết cục
trong phép thử là hữu hạn.

- Định nghĩa hình học về xác suất có thể xem sự mở rộng tơng ứng của
định nghĩa cổ điển về xác suất, khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển về
xác suất.
- Định nghĩa thống kê về xác suất có u điểm lớn nó không đòi hỏi những
điều kiện áp dụng nh đối với định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên
các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến
cố.
- Định nghĩa thống kê về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng đợc đối với các
hiện tợng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định và ta phải tiến
hành trên thực tế một số đủ lớn các phép thử . Song trong thực tế nhiều bài
toán rất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phép thử để dựa vào đó mà
tính xác suất của một biến cố.
Để khắc phục hạn chế của các định nghĩa về xác suất ngời ta sử dụng
định nghĩa xác suất theo tiên đề của Kolmogorov.
1.2.2.5. Định nghĩa 5: Định nghĩa theo hệ tiên đề của Kolmogorov.
a, Hệ tiên đề
* Có tập

ỉ gọi là không gian biến cố sơ cấp. Mỗi



đợc gọi là
biến cố sơ cấp.
* Có một - đại số A
A A
A các tập con của . Mỗi A

A
A A

A đợc gọi là một biến cố
ngẫu nhiên.
* Với mỗi A

A
A A
A có một số thực P(A) 0 gọi là xác suất của A.
* P() = 1.
* Nếu
{
}
i
A ;i 1

là họ vô hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một xung
khắc thì: P (
i
i 1
A

=

) =
i
i 1
P(A )

=

(tiên đề - cộng tính)

Bộ ba (, A
AA
A , P) đợc gọi là không gian xác suất Kolmogorov.

13

b, Mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất
Giả sử = (

1
,

2
, ,

n
) là tập hợp bất kỳ có không quá đếm đợc các
phần tử, lấy A
A A
A là tập gồm mọi tập con của
Lấy một dy số không âm p
1
, p
2
, , p
n
thoả mn: p
1
+ p
2

+ + p
n
= 1
Đặt P(A )=
i
i I
p


(1)
Khi đó (, A
AA
A , P) thoả mn các tiên đề của hệ tiên đề Kolmogorov
Không xác suất đó đợc gọi là mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất
c, Mối liên quan giữa định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa tiên đề
của xác suất
Đặc biệt, giả sử = (

1
,

2
, ,

n
) là tập hữu hạn
Lấy A
A A
A là tập gồm mọi tập con của , A

A
A A
A đợc gọi là biến cố
Đặt p
1
= p
2
= = p
n
=
1
n
(2)
Khi đó theo (1), P(A) =
i
i I
p


= n(A)
1
n
=
n(A)
n
(3)
Đây chính là định nghĩa cổ điển của xác suất
Hơn nữa từ (2) và (3) suy ra :
P(

1
) = P(

2
) = = P(

n
) =
1
n

Điều đó nói rằng các kết quả của phép thử là đồng khả năng xuất hiện.
Nh vậy định nghĩa cổ điển của xác suất là trờng hợp riêng của định
nghĩa tiên đề của xác suất
1.2.3. Tính chất của xác suất
1.2.3.1. Mệnh đề 1
Cho không gian xác suất (, A
AA
A , P) ta có:
i, P(
ỉ
) = 0.
ii, Nếu A
1
, A
2
, , A
n
là họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên đôi một
xung khắc thì:

P (
n
i
i 1
A
=

) =
n
i
i 1
P(A )
=



14

Đặc biệt Khi n = 2: A, B là hai biến cố xung khắc thì:
P(A

B) = P(A) + P(B)
Khi n = 3: A, B, C là ba biến cố đôi một xung khắc thì:
P(A

B

C) = P(A) + P(B) + P(C)
Đây chính là qui tắc cộng xác suất trong chơng trình THPT

1.2.3.2. Mệnh đề 2
Cho không gian xác suất (, A
AA
A , P):
i, A
i
là họ biến cố bất kì thì:
P (
n
i
i 1
A
=

) =
n
i
i 1
P(A )
=

-
i j
1 i,j n
P(A A )



+ + (-1)
n-1

P(
n
i
i 1
A
=

).
ii, Nếu A

B thì P(A) P(B).
iii, 0 P(A) 1,

A

A
A A
A ; P() = 1, P(ỉ) = 0, và P(

) = 1 - P(A)
Trong tính chất i, với n = 2 ta có :
P(A

B) = P(A) + P(B) - P(AB). (*)
Ta có thể chứng minh trực tiếp tính chất (*)
Thật vậy với A,B

A
A A
A

A

B

A
A A
A

A

B = A

B


Suy ra: P(A

B) = P(A) + P(B

).
Mà: B = B

= B

( A


) = BA

B

.
Suy ra: P(B) = P(BA) + P(B

)

P(B

) = P(B) - P(AB)




P(A

B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Đặc biệt Khi A, B xung khắc, tức AB = ỉ

P(AB) = 0.
Suy ra: P(A

B) = P(A) + P(B).
1.2.3.3. Mệnh đề 3
Trong không gian xác suất (, A
AA
A , P) cho họ biến cố ngẫu nhiên
{
}
n

A ;n 1


thoả mn điều kiện:
i,
1 2 n
A A A


ii,
k
k 1
A

=

= ỉ
Khi
đó: P(A
n
) 0 ( n

), ( tính liên tục của xác suất).


15


1.2.4. Xác suất có điều kiện
1.2.4.1. Định nghĩa

- Xét không gian xác suất (, A
AA
A , P). Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có
P(B)> 0, A

A
A A
A.
. .
.

Đại lợng: P(A/B) =
P(A B)
P(B)



đợc gọi là xác suất của A
với điều kiện B
- Nhóm đầy đủ các biến cố: Tập các biến cố: A
1
, A
2
, , A
n
đợc gọi là
nhóm (hệ) đầy đủ các biến cố nếu chúng thoả mn đồng thời hai điều kiện:
+) A
i

A
j
= ỉ ( ij, i, j =
1,n
)
+)
n
i
i 1
A
=

= ( Từ định nghĩa ta luôn có A,
A
là nhóm đầy đủ các biến cố).
1.2.4.2. Nhận xét
- Trong định nghĩa cổ điển, ta có: P(A/B) =
n(A B)
n(B)

nghĩa là xác suất
điều kiện P(A/B) có thể xem nh xác suất của A xét trong không gian B.
Đặc biệt + A

B

P(A/B) =
P(A B)
P(B)

=
P(A)
P(B)
.
+ B

A

P(A/B) =
P(A B)
P(B)

=
P(B)
P(B)
= 1.
Mệnh đề 1 ( Công thức nhân xác suất )
Giả sử {A
1
, A
2
, , A
n
}là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho:
P(A
1
A
2
A

n
) > 0, khi đó:
P(A
1
A
2
A
n
) = P(A
1
) P(A
2
/A
1
) P(A
3
/A
1
A
2
) P(A
n
/ A
1
A
2
A
n-1
).
Mệnh đề 2 ( Công thức xác suất toàn phần )

Giả sử {B
1
, B
2
, , B
n
} là họ đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên có xác suất
dơng. Khi đó: Với mọi A

A
A A
A , ta có:
P(A) =
n
i i
i 1
P(B )P(A/ B )
=



16


Mệnh đề 3 ( Công thức Bayes )
Nếu A là biến cố có xác suất dơng, { B
i
, i =
1,n
} là hệ đầy đủ các biến

cố có xác suất dơng thì với mỗi j (j =
1,n
), ta có:
P(Bj /A) =
j j
n
i i
i 1
P(B )P(A/ B )
P(B )P(A/B )
=


1.2.5. Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố
1.2.5.1. Định nghĩa: Xét không gian xác suất (, A
AA
A , P). Giả sử B
B B
B là lớp
nào đó các biến cố ngẫu nhiên (B
B B
B

A
A A
A). Ta nói lớp B
B B
B độc lập nếu xác suất
của một giao hữu hạn bất kỳ các biến cố trong B
B B

B bằng tích các xác suất
của các biến cố đó.
1.2.5.2. Nhận xét
- Các biến cố A
1
, A
2
, , A
n
đợc gọi là độc lập từng đôi nếu:
P(A
i
A
j
) = P(A
i
)P(A
j
) ,

i,j =
1,n
; i

j
- Để xét tính độc lập của các biến cố nhiều khi ngời ta không căn cứ vào
biểu thức định nghĩa mà căn cứ vào điều kiện thực tế của bài toán.
- Trong chơng trình THPT sự độc lập của hai biến cố đợc định nghĩa: Hai
biến cố A và B đợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố
này không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Thực chất nội dung chính là A, B là hai biến cố độc lập với nhau nếu:

P(A/B) P(A)
P(B/A) P(B)
=


=


Mệnh đề 1: Nếu {A
1
, A
2
, , A
n
} là họ biến cố độc lập, {j
1
, j
2
, , j
n
} là một
hoán vị bất kỳ của (1, 2, , n). Khi đó họ {A

j1
, A

j 2
, , A

jn
} ở đây A

ji
=
A
ji
hoặc A
c
ji
cũng là họ độc lập.




17

Đặc biệt: Khi n=2 nếu {A, B} độc lập thì {A,
B
}; {
A
, B}; {
A
,
B
} cũng
độc lập
Khi n=3 nếu {A, B, C} độc lập thì {
A

, B, C};

{A,
B
,

C}; {A,

B,


C
}; {
A
,
B
,

C};

{A,


B
,


C
}; {
A

,



B,


C
}cũng độc lập
Mệnh đề 2: Giả sử {
i
, i=
1,n
} là họ các đại số con độc lập của A ,
A , A ,
A ,

B =
B = B =
B = (
i
),
i=
1,n
là họ các - đại số cảm sinh tơng ứng, khi đó họ {B
B B
B
i
,
, ,

, i =
1,n
} là
độc lập.
1.2.6. Các quy tắc tính xác suất
1.2.6.1. Quy tắc cộng (Định lý cộng xác suất):
Xác suất của hợp các biến cố xung khắc từng đôi A
1
, A
2
, , A
n
bằng tổng
xác suất của các biến cố đó: P (
n
i
i 1
A
=

) =
n
i
i 1
P(A )
=

.
Đặc biệt: Khi n=2
A, B là hai biến cố xung khắc (

A



B
= ỉ) thì: P(A

B) = P(A) + P(B).
Khi n=3
A, B, C là ba biến cố độc lập toàn phần thì:
P(A

B

C) = P(A) + P(B) +P(C)
Ta luôn có: A,
A
xung khắc nên: P() = P(A

A
) = P(A) + P(
A
)


P(
A
) = 1 - P(A)
1.2.6.2. Quy tắc nhân ( Định lý nhân xác suất)
Xác suất của giao n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành

phần: P(
n
i
i 1
P
=

) =
n
i
i 1
P(A )
=

.
Đặc biệt: Khi n=2 A, B là hai biến cố độc lập thì: P(A

B) = P(A)P(B).
Khi n=3: A, B, C là ba biến cố độc lập thì : P(A

B

C) = P(A)P(B)P(C).
Đây chính là qui tắc nhân xác suất trong chơng trình THPT
18

1.2.6.3. Hệ quả của định lý cộng và nhân xác suất
a, Hệ quả 1: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc đợc xác định
bằng công thức:
P (

n
i
i 1
A
=

) =
n
i
i
P(A )

-
i j
i j
P(A A )


+ + (-1)
n-1
P(A
1
A
2
A
n
).
b, Hệ quả 2: Xác suất của giao n biến cố đợc xác định bằng công thức:
P(
n

i
i 1
A
=

) =
n
i
i 1
P(A )
=

-
i j
i j
P(A A )



+ + (-1)
n-1
P(A
1

A
2

A
n
)
c, Hệ quả 3: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc và độc lập toàn
phần với nhau bằng một trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập với các
biến cố đó: P (
n
i
i 1
A
=

) = 1 -
n
i
i 1
P(A )
=

.
Đặc biệt: Khi n = 2:
+) A, B là hai biến cố không xung khắc khi đó xác suất của hợp hai biến cố
bằng tổng xác suất của hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố:
P(A

B) = P(A) + P(B) - P(AB).
+) A, B là hai biến cố, xác suất của biến cố giao đợc xác định:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(A

B).

+) A, B là hai biến cố độc lập toàn phần với nhau. Khi đó:
P(A

B) = 1 - P(
A
)P(
B
).
Khi n =3:
+) A, B, C là ba biến cố không xung khắc khi đó xác suất của hợp ba biến cố
đợc xác định:
P(A

B

C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

19

+) A, B, C là ba biến cố, xác suất của biến cố giao đợc xác định:
P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A

B) - P(B

C) - P(A

C) + P(A

B

C)
+) A, B, C là ba biến cố độc lập toàn phần với nhau. Khi đó:
P(A

B

C) = 1 - P(
A
)P(
B
)P(
C
)

Kết luận chơng I
Chơng 1 bao gồm các khái niệm mở đầu khái niệm về biến cố, các
dạng định nghĩa khác nhau về xác suất của biến cố các phép toán về biến
cố, tính chất của xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện, các qui tắc
tính xác suất. Bên cạnh đó, tác giả cũng đ đặc biệt hoá ra các kết quả ở
phổ thông để ngời đọc thấy đợc mối liên hệ giữa nội dung của xác suất
ở chơng trình Đại học với chơng trình ở Phổ thông. Từ đó có cách nhìn
tổng quan hơn về kiến thức, đồng thời giúp cho ngời đọc thấy đợc
những kiến thức thiết thực liên quan tới việc nghiên cứu giảng dạy ở THPT
sau này, góp phần nâng cao kiến thức nghiệp vụ s phạm trong qua trình
học tập môn xác suất thống kê.

20

chơng ii
Biến ngẫu nhiên
2.1. biến ngẫu nhiên
2.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên
2.1.1.1. Định nghĩa
Giả sử (, A
AA
A , P )
) )
) là một không gian xác suất

= (-

; +

) là đờng
thẳng số thực với

-đại số các tập borel B
BB
B, ta có không gian đo (

,

B
BB
B).
Khi đó: Một ánh xạ X:


đo đợc theo (A,
A,A,
A, B
BB
B) đợc gọi là một biến
ngẫu nhiên ( Hay đại lợng ngẫu nhiên) trên (, A
AA
A , P). ở đây ta hiểu X
đo đợc theo (A,
A,A,
A, B
BB
B) nếu

B

B
B B
B thì X
-1
(B)

A
A A
A


2.1.1.2. Mệnh đề
Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên xác định trên lấy giá trị trong

;
a,b


. Khi đó :
aX+bY là biến ngẫu nhiên
XY là biến ngẫu nhiên

X
Y
là biến ngẫu nhiên (Y

0)
Min(X, Y) là biến ngẫu nhiên
Max(X, Y) là biến ngẫu nhiên
2.1.1.3. Phân loại
a, Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ
nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm đợc các giá trị.
b, Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên
nhận mọi giá trị trong khoảng (a; b) nào đó ( a có thể là -

; b có thể là

+

).
21

Đặc biệt ở trờng THPT khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc đợc định
nghĩa: Đại lợng X đợc gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận
giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên
không dự đoán trớc đợc
2.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Ta có thể nghĩ rằng chỉ cần xác định các giá trị có thể có của một biến
ngẫu nhiên là đủ để xác định biến ngẫu nhiên ấy. Tuy nhiên điều này cha
đủ, trong thực tế có những đại lợng rất khác nhau mà các giá trị có thể có
của chúng lại giống nhau. Hơn nữa việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá
trị nào đó trong kết quả của phép thử chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó
nếu mới chỉ biết đợc các giá trị có thể có của nó thì ta mới nắm đợc rất
ít thông tin về biến ngẫu nhiên ấy. Vì vậy ta còn phải xác định các xác suất
tơng ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để hoàn toàn xác
định nó. Từ đó ta có định nghĩa sau đây:
2.1.2.1. Định nghĩa
Trong không gian xác suất (, A
AA
A , P) cho biến ngẫu nhiên X. Ta gọi hàm
thực F(x) đợc xác định bởi hệ thức: F(x) = F
X
(x) = P[X<x]

x

là hàm phân phối của X
2.1.2.2. Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: Hàm phân phối xác suất luôn nhận giá trị trong đoạn [0;1]
0

F(x)

1
Đặc biệt Từ định nghĩa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X:
[
]
F(x) = P X<x , x


. Gọi
{
}
A = : X( ) < x , x


suy ra F(x) =
P(A). Tính chất này đợc thể hiện ở THPT là
0 P(A) 1


Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm tức là với x
1
> x
2

thì: F(x
1
)

F(x
2
)
22

Hệ quả 1: Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong nửa khoảng [a;b)
bằng hiệu số của hàm phân phối tại hai đầu khoảng đó:
P(a

X<b) = F(b) - F(a)
Hệ quả 2: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục ta có đẳng thức sau:
P(a

X

b) = P(a

X<b) = P(a<X

b) = P(a<X<b) =
b
a
f(x)dx

Tính chất 3: Ta có biểu thức giới hạn

lim ( )
x
F x
= 0
lim ( )
+x
F x
= 1
Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì:
Với x

a , F(x) = 0
Với x

b , F(x) = 1
Đặc biệt ở trờng THPT hệ quả này thể hiện
P( ) = 0

và
P( ) = 1


Thật vậy với x

a thì P(X<x) = F(x), (X<x) =

, P(

) = 0 nên F(x) = 0
Với x

b thì P(X<x) = F(x), (X<x) =

, P(

) = 1 nên F(x) = 1
2.1.2.3. Phân phối rời rạc
a, Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X đợc gọi là có phân phối rời rạc nếu miền
giá trị của X là một tập hữu hạn hay đếm đợc
f(x) = f
X
(x) = P[X=x] =
[
]
i i
i
P X x khi x x
0 khi x x

= =







i

đợc gọi là mật độ rời rạc của X. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên X tại mỗi điểm cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó
b, Các tính chất
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ rời rạc f
X
(x) = f(x) miền giá
trị {x
i
, i


} ta có:
23

i,
i
i
f(x ) 1

=



ii, F(x) =
i
i
i ,x x

f(x )
<




x



iii, P[a

X<b] =
i
i
i ,a x b
f(x )
<




a, b


; a < b
c, Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X với
{
}
1 2 n

ImX x , x , , x ,
=
và p
i
= P(X =x
i
), i =1, 2,

Đặc biệt trong trờng hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị
{
}
1 2 n
x , x , , x
ta có bảng phân phối xác suất thể hiện trong sách giáo
khoa THPT:


Nhận xét: Tính chất i,
i
i
f(x ) 1

=


đợc thể hiện ở trong chơng trình THPT:
Vì hợp của các biến cố X=x
i
(i = 1, 2, , n) là biến cố chắc chắn và các
biến cố ấy đôi một xung khắc nên theo qui tắc cộng ta có:

1 =
[ ]
n
i
i 1
P X x
=
=

=
n
i
i 1
p
=

= p
1
+p
2
+ +p
n

2.2. Các số đặc trng của biến ngẫu nhiên
2.2.1. Kỳ vọng
2.2.2.1. Định nghĩa: Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị
{
}
i
x , i I

nếu
[ ]
i i
i I
x P X x

=

hội tụ thì đại lợng
[ ]
i i
i I
E(X) x P X x

= =

đợc gọi là kỳ vọng toán của X.
X x
1
x
2


x
k


P p
1

p
2
p
k

X x
1
x
2


x
n
P p
1
p
2
p
n
24

- Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f
X
(x),
nếu:
X
xf (x)dx
+

<

thì đại lợng
X
E(X) xf (x)dx
+

=

đợc gọi là kỳ
vọng toán của X
- Đặc biệt khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị hữu hạn ta có định
nghĩa ở THPT: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x
1
, x
2
,
, x
n
}kỳ vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số đợc tính theo công thức:
E(X) =
1 1 2 2 n n
x p x p x p
+ + +
=
n
i i
i 1
x p
=

Trong đó p
i
= P(X=x
i
) i =1, 2, , n
2.2.1.2. Các tính chất của kỳ vọng toán
Tính chất 1: Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó:
E(C) = C
Tính chất 2: Kỳ vọng toán của của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu
nhiên bằng tích giữa hằng số đó và kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên ấy:
E(CX) = CE(X)
Tính chất 3: Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ
vọng toán thành phần:
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Mở rộng: Kỳ vọng toán của tổng n biến X
1
, X
2
, , X
n
bằng tổng kỳ vọng
toán thành phần: E(
n
i
i 1
X
=

) =

n
i
i 1
E(X )
=


Tính chất 4: Kỳ vọng toán của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích
các kỳ vọng toán thành phần: E(XY) = E(X)E(Y)
Mở rộng: Kỳ vọng toán của tích n biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, , X
n
độc lập
bằng tích các kỳ vọng toán thành phần:
n
i
i 1
E X
=




=
n
i
i 1

E(X )
=


25

2.2.2. Phơng sai
2.2.2.1. Định nghĩa
Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng EX, nếu tồn tại E(X-EX)
2
thì ta nói
đó là phơng sai của X, kí hiệu là V(X): V(X) = E(X-E(X))
2

- Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị
{
}
i
x , i


, P(X = x
i
) = p
i

thì: V(X) =
2
i i
i I

(x EX) p




- Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì:

2
V(X) (x EX) f(x)dx
+

=


Đặc biệt khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị
{
}
1 2 n
x , x , , x
,
và
i i
p = P(X=x ), i = 1, 2, ,n
thì khái niệm này ở phổ thông đợc định
nghĩa:
V(X) = E[X-E(X)]
2
= (x
1
-

à
)
2
p
1
+(x
2
-
à
)
2
p
2
+ + (x
n
-
à
)
2
p
n
=
n
2
i i
i 1
(x ) p
=
à

Với
à
= EX
2.2.2.2. Các tính chất của phơng sai
Tính chất 1: Phơng sai của biến ngẫu nhiên X bằng hiệu của kỳ vọng biến
ngẫu nhiên bình phơng và bình phơng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
V(X) = EX
2
- (EX)
2

Đặc biệt ở trờng THPT khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hữu hạn giá trị
có thể có
{
}
1 2 n
x , x , , x
,
i i
p = P(X=x ), i = 1, 2, ,n
khi đó
n
2 2
i i
i 1
EX x p
=
=

và
n
i i
i 1
EX x p
=
=

nên
2
n n
2
i i i i
i 1 i 1
V(X) = x p - x p
= =





Tính chất 2: Phong sai của một hằng số bằng 0: V(C) = 0
26

Tính chất 3: Phơng sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên
bằng tích giữa bình phơng hằng số đó và phơng sai của biến ngẫu nhiên
ấy: V(CX) = C
2
V(X)

Tính chất 4: Phơng sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập tổng các
phơng sai thành phần: V(X+Y) = V(X) + V(Y)
Hệ quả 1: Phơng sai của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập với nhau X
1
, X
2
, , X
n
bằng tổng các phơng sai thành phần: V(
n
i
i 1
X
=

) =
n
i
i 1
V(X )
=


Hệ quả 2: Phơng sai của tổng một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng
phơng sai của chính biến ngẫu nhiên đó : V(C+X) = V(X)
Hệ quả 3: Phơng sai của hiệu hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các
phơng sai thành phần: V(X-Y) = V(X) + V(Y)
2.2.3. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng và phơng sai
2.2.3.1. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng
Giả sử đối với biến ngẫu nhiên X tiến hành n phép thử trong đó có n

1
lần
nhận giá trị x
1
, n
2
lần nhận giá trị x
2
, , n
k
lần nhận giá trị x
k
(
n
i
i 1
n
=

= n).
Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử này là:

x
=
1 1 2 2 k k
x n x n x n
n
+ + +
= x
1

1
n
n
+

x
2
2
n
n

+ + x
k
k
n
n

Ta có chú ý rằng
1
n
n
,
2
n
n
, ,
k
n
n
chính là tần suất xuất hiện các giá trị x

1
, x
2
, , x
k
trong n phép thử trên . Do đó:
x

x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ + x
k
p
k
= E(X)
Nh vậy ta thu đợc kết quả: E(X)


x

Do đó kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình số học
của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm
của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
27

- Đặc biệt trong chơng trình THPT phát biểu: E(X) là một số cho ta một ý
niệm về độ lớn trung bình của X. Vì thế kỳ vọng E(X) còn đợc gọi là giá
trị trung bình của X. Tuy nhiên trung bình ở đây nói chung không đợc hiểu
là trung bình số học, chẳng hạn cho X là đại lợng ngẫu nhiên có bảng phân
phối xác suất là:


Khi đó trung bìnhsố học của các giá trị -1, 1 là 0 còn E(X)=-1
1
4
+1
3
4
=
1
2
.
Khi P(X=1) = P(X= -1) =
1
2
thì EX = 0 chính là trung bình số học
2.2.3.2. Bản chất và ý nghĩa của phơng sai
Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên thì
cha đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó. Ta còn phải xác định mức độ phân
tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó
nữa. Ta có thể nghĩ rằng để đặc trng cho mức độ phân tán thì đơn giản nhất
là tìm tất cả các sai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng
toán của nó và lấy trung bình số học của các sai lệch đó, song cách làm này
không mang lại kết quả vì E(X-EX) = 0. Để khắc phục điều đó ngời ta

không tính trực tiếp trung bình của các sai lệch mà tính trung bình của bình
phơng các sai lệch. Đó chính là phơng sai.
Từ định nghĩa của phơng sai, ta thấy phơng sai chính là trung bình số
học của bình phơng các sai lệch giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu
nhiên với giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán.
Đặc biệt do V(X) = E(X-EX)
2
, mà (X-EX)
2
là một biến ngẫu nhiên không
âm nên V(X)

0 nên trong chơng trình THPT phát biểu: Phơng sai là
một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị
của X xung quanh giá trị trung bình. Phơng sai càng lớn thì độ phân tán
này càng lớn
X -1

1
P
1
4

3
4

28

2.2.4. Một số số đặc trng khác
2.2.4.1. Độ lệch chuẩn

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là căn bậc hai của
phơng sai, kí hiệu là:

X



X
=
V(X)

Ta thấy rằng đơn vị đo của phơng sai bằng bình phơng đơn vị đo của
biến ngẫu nhiên. Vì vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán cuả biến
ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó ngời ta thờng tính độ lệch chuẩn có
cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên cần nghiên cứu.
2.2.4.2. Trung vị
Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến
ngẫu nhiên. Nói cách khác đó là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên
thành hai phần bằng nhau. Kí hiệu là m
d


Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị X
i
sẽ là trung vị m
d
nếu thoả
mn điều kiện: F(X
i
)

0,5 < F(X
i+1
)
2.2.4.3. Mode
Giả sử X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ f
X
(x), ta gọi điểm cực đại của
f
X
(x) là mode của X, kí hiệu mod(X)
2.2.4.4. Hệ số biến thiên
Để đo mức độ quan trọng tơng đối của sự phân tán của một phân phối
ngời ta thờng dùng hệ số biến thiên. Kí hiệu là CV và đợc xác định
bởi: CV =
X
E(X)

100% nếu E(X)

0
Hệ số biến thiên thờng đợc dùng để đo mức độ thuần nhất của một phân
phối. Giá trị của nó càng nhỏ mức độ thuần nhất càng lớn. Ngoài ra nó còn
dùng để so sánh mức độ phân tán của hai phân phối mà kỳ vọng toán và độ
lệch chuẩn của chúng không nhất thiết phải nh nhau.
29

2.2.4.5. Hệ số bất đối xứng
Nếu X là biến ngẫu nhiên có moment bậc 3 hữu hạn thì tỉ số
(

)
( )
3
3
1
3
3
E X EX
X

à
= =




đợc gọi là hệ số bất đối xứng của X

1
< 0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên trái nhiều hơn

1
> 0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên phải nhiều hơn

1
= 0 thì phân phối là đối xứng
2.2.4.6. Hệ số nhọn
Để biểu thị độ nhọn của các đờng cong mật độ quanh kỳ vọng ta dùng đại
lợng

2
đợc xác định bởi:
4
2
4
3
à
=

và đợc gọi là hệ số nhọn của X
với phân phối chuẩn
(
)
2
N a,

, ta tính đợc
(
)
4
4
4
E X a 3
à = =
, do đó

2
(X) = 0 (hệ số nhọn bằng 0)
- Nếu

2
> 0 thì có nghĩa phân bố đó có đỉnh nhọn hơn đờng cong chuẩn
- Nếu

2
< 0 thì có nghĩa phân bố đó có đỉnh phẳng hơn đờng cong
chuẩn
2.3. Các bất đẳng thức moment
2.3.1. Định nghĩa moment
Giả sử (, A
AA
A , P) là không gian xác suất, X là biến ngẫu nhiên xác định
trên lấy giá trị trong

, với p


, trong điều kiện tồn tại ta gọi E(X
p
)
là moment bậc p của X
Với 0 <p <+

kí hiệu L
LL
L
p
là tập tất cả các biến ngẫu nhiên có moment cấp p
3.2 Các bất đẳng thức moment
2.3.2.1. Bất đẳng thức Chebyshev

{ } { }
n 1 n 1
P X n E X 1 P X n

= =
+