Sơ đồ khảo sát hàm số

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (
a0
) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 1: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a > 0
Trường hợp 2: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a < 0
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c


1
2
12
2
' 0 3 2 0 ( )
xx
y ax bx c x x
xx

Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a)
x


1

x


2
x



y’

+
0
–
0
+

Hàm số đồng biến trên các khoảng
1
( ; )x
và
2
( ; )x

Hàm số nghịch biến trên khoảng
12
( ; )xx

– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = x
1

; y
CĐ
= y(x
1
)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
2
; y
CT
= y(x
2
)
– Giới hạn:
x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x


1
x


2
x

y’

+
0
–
0
+

y




y
CĐ




y
CT



 Đồ thị:
– Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0

32
ax bx cx d 0
x = ?
– Bảng giá trị:
x
4
x

1
x

3 1 2
x (x x ) / 2

2
x

5
x

y
y(x
4
)
y
CĐ

y(x
3
)

y
CT

y(x
5
)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
3
; y(x
3
)) làm tâm đối xứng)







 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c


1
2
12

2
' 0 3 2 0 ( )
xx
y ax bx c x x
xx

Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a)
x



1
x


2
x



y’

–
0
+
0
–

Hàm số đồng biến trên khoảng
12

( ; )xx

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
1
( ; )x
và
2
( ; )x

– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = x
2
; y
CĐ
= y(x
2
)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
1
; y
CT
= y(x
1
)
– Giới hạn:
x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x



1
x


2
x



y’

–
0
+
0
–

y




y
CT

y
CĐ






 Đồ thị:
– Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
32
ax bx cx d 0
x = ?
– Bảng giá trị:
x
4
x

1
x

3 1 2
x (x x ) / 2

2
x

5
x

y
y(x
4
)
y
CT

y(x
3
)
y
CĐ

y(x
5
)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
3
; y(x
3
)) làm tâm đối xứng)

O
x
y
x
2

y
CĐ

x
1

y
CT

I
.
O
x
y
x
2

y
CĐ

x
1

y

CT

I
.
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (
a0
) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 3: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a > 0
Trường hợp 4: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a < 0
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c


2
0
' 0 3 2 0y ax bx c x x
(nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

' 0,yx
(Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x
0
)

Hàm số đồng biến trên R
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị
– Giới hạn:

x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:

x




x
0





y’


+

0

+


y







y(x
0
)







 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
32
ax bx cx d 0

x = ?
– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x
0
)
x
x
1

x
2

x
0

x
3

x
4

y
y(x
1
)
y(x
2
)
y(x
0
)

y(x
3
)
y(x
4
)
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x
0
và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
0
; y(x
0
)) làm tâm đối xứng)









 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c

2
0
' 0 3 2 0y ax bx c x x
(nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

' 0,yx
(Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x
0
)
Hàm số nghịch biến trên R
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị
– Giới hạn:

x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:

x




x

0





y’


–

0

–


y





y(x
0
)

 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
32
ax bx cx d 0
x = ?
– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x
0
)
x
x
1

x
2

x
0

x
3

x
4

y
y(x
1
)
y(x
2
)
y(x
0
)
y(x
3
)
y(x
4
)
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x
0
và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
0
; y(x
0
)) làm tâm đối xứng)

I
O
x
y
y(x
0
)
)
x
0

.
O
x
y
y(x
0
)
)
x
0

.
I
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d (
a0
) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 5: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a > 0
Trường hợp 6: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a < 0
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c


2
' 0 3 2 0y ax bx c
(vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

' 0,yx
(Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x)
Hàm số đồng biến trên R
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị
– Giới hạn:

x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:

x









’




+




y

 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
32
ax bx cx d 0
x = ?
– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x
0
= –b/3a)
x
x
1

x
2

x
0
= –b/3a
x
3

x
4

y
y(x
1
)
y(x
2
)
y(x
0
)
y(x
3
)
y(x
4
)
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x
0
và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
0
; y(x
0
)) làm tâm đối xứng)

 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
' 3 2y ax bx c


2
' 0 3 2 0y ax bx c
(vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

' 0,yx
(Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x)
Hàm số nghịch biến trên R
– Cực trị:
Hàm số không có cực trị
– Giới hạn:

x
lim y
;
x

lim y

– Bảng biến thiên:

x









y’




–




y

 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y(0)
– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
32
ax bx cx d 0
x = ?
– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x
0
= –b/3a)
x
x
1

x
2

x
0
= –b/3a
x

3

x
4

y
y(x
1
)
y(x
2
)
y(x
0
)
y(x
3
)
y(x
4
)
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x
0
và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x
0
; y(x
0
)) làm tâm đối xứng)

I
O
x
y
y(x
0
)
)
x
0

.
I
O
x
y
y(x
0
)
)

x
0

.
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
4
+ bx
2
+ c (
a0
) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 1: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a > 0
Trường hợp 2: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a < 0
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

32
' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b


2
0
2
0
0
0
' 0 2 (2 ) 0 (x )
2
2

x
x
b
y x ax b
b
xx
a
x
a

Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a)
x


-
0
x


0

0
x



y’

–
0

+
0
–
0
+

Hàm số đồng biến trên các khoảng
0
( ;0)x
và
0
( ; )x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
0
( ; )x
và
0
(0; )x

– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0

; y
CĐ
= y(0)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
; y
CT

= y( x
0
)
– Giới hạn:
x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x


-
0
x


0

0
x



y’

–
0

+
0
–
0
+

y




y
CT


y
CĐ




y
CT




 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y

CĐ

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
42
ax bx c 0
x = ? (đặt
22
t x at bt c 0
)
– Bảng giá trị:
x
1
x

0
x

0
0
x

2
x

y
y(x
1
)
y

CT

y
CĐ

y
CT

y(x
2
)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt;lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)






 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

32
' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b


2
0
2

0
0
0
' 0 2 (2 ) 0 (x )
2
2
x
x
b
y x ax b
b
xx
a
x
a

Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a)
x


-
0
x


0

0
x

y’

+
0
–
0
+
0
–

Hàm số đồng biến trên các khoảng
0
( ; )x
và
0
(0; )x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
0
( ;0)x
và
0
( ; )x

– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
; y

CĐ
= y( x
0
)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

; y
CT
= y(0)
– Giới hạn:
x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x


-
0
x


0

0
x

y’

+
0
–
0
+
0
–

y




y
CĐ






y
CT


y

CĐ







 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y
CT

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
42
ax bx c 0
x = ? (đặt
22
t x at bt c 0
)
– Bảng giá trị:
x
1
x

0
x

0

0
x

2
x

y
y(x
1
)
y
CĐ

y
CT

y
CĐ

y(x
2
)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng)

O
x
y
y
CĐ

-x
0

y
CT

x
0

O
x
y
y
CĐ

-x
0

y
CT

x
0

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
4
+ bx
2
+ c (
a0
) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 3: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a > 0
Trường hợp 4: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a < 0
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

32
' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b


2
' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x
(lưu ý nên sử dụng MTBT)
Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a)
x




0

y’


–

0

+


Hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )

Hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;0)

– Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

; y
CT
= y(0)
– Giới hạn:

x
lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x




0




y’


–

0

+


y






y

CT






 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y
CT

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
42
ax bx c 0
x = ? (đặt
22
t x at bt c 0
)
– Bảng giá trị:
x
-2
-1
0
1
2
y
y(-2)
y(-1)

y
CT

y(1)
y(2)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực tiểu và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)






 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

32
' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b


2
' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x
(lưu ý nên sử dụng MTBT)
Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a)
x

0




y’


+

0

–


Hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)

Hàm số nghịch biến trên khoảng
(0; )

– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0

; y
CĐ
= y(0)
– Giới hạn:

x

lim y
;
x
lim y

– Bảng biến thiên:
x




0




y’


+

0

–


y

y
CĐ







 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = y
CĐ

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)
y = 0
42
ax bx c 0
x = ? (đặt
22
t x at bt c 0
)
– Bảng giá trị:
x
-2
-1
0

1
2
y
y(-2)
y(-1)
y
CT

y(1)
y(2)
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực đại và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị
như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)









y
CT

O
x
y
-1
1
y

CĐ

O
x
y
-1
1
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = (ax+b)/(cx+d) (GV: Lưu Công Hoàn)
Trường hợp 1: D = ad – bc > 0
Trường hợp 2: D = ad – bc < 0
 Tập xác định:
\
d
D
c

 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
-
' 0,
()
ad bc d
yx
cx d c

Hàm số đồng biến trên các khoảng
d
c

( ; )
và
d
c
( ; )

– Cực trị: Hàm số không có cực trị
– Tiệm cận:

lim
d
x
c
y
;
lim
d
x
c
y
đường thẳng
d
x
c
là tiệm cận đứng.

x
a
y
c

lim
;
x
a
y
c
lim
đường thẳng
a
y
c
là tiệm cận ngang.
– Bảng biến thiên:








 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = b/d
– Giao với trục Ox:
y = 0 x = –b/a
– Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm
mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần)

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

(Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị,
rồi lấy đối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như
hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp)
x


d
c


y’

+
+

y

a
c






a
c

 Tập xác định:
\

d
D
c

 Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên:

2
-
' 0,
()
ad bc d
yx
cx d c

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
d
c
( ; )
và
d
c
( ; )

– Cực trị: Hàm số không có cực trị
– Tiệm cận:

lim
d
x

c
y
;
lim
d
x
c
y
đường thẳng
d
x
c
là tiệm cận đứng.

x
a
y
c
lim
;
x
a
y
c
lim
đường thẳng
a
y
c
là tiệm cận ngang.

– Bảng biến thiên:








 Đồ thị:
– Giao với trục Oy:
x = 0 y = b/d
– Giao với trục Ox:
y = 0 x = –b/a
– Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm
mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần)

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
(Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị,
rồi lấyđối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như
hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp)
x


d
c


y’

–
–

y
a
c







a
c


“GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG HOÀN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ”
TCN
I
TCĐ
O
x
y
TCN
I
TCĐ
O
x
y