TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C Ơ BẢN pdf

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫

2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫

4.

2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫

6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.
2
3

1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫

10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫

12.

3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x

− −
∫
15.
x 2
5
2
dx

x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
∫
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx

x
.
cos
π
∫
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫
21.

2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
∫
22.
2
0
dx
1 xsin
π
+
∫
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3

sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2

0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫

10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.

1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.

1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

18.
2
1

2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx

π
π
∫

22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫

25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx

π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +

∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x

dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x

dx
x x
+
∫

40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +

∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫

46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1

e
x
e
dx
x
+
∫
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫

52.
1
2 3
0
5+
∫
x x dx
53.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
54.
4
2
0
4 x dx−
∫
55.
4
2
0
4 x dx−
∫
56.
1

2
0
1
dx
x+
∫

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 

 
∫

( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
 
 
   
 
⇒
 
   
= =
 
   
 
   
   
 
∫
@ Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
β

α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=


⇒
 
=


=

∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 

 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α

Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +
∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x


=


=

+

b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx
x −
∫
đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x

=



=

−

c/
1 1 1 1
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
=
+
∫

bằng phương pháp đổi biến số
Tính I
2
=
1
2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=



=

+

Bài tập
1.
3

3
1
ln
e
x
dx
x
∫
2.
1
ln
e
x xdx
∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
4.
2
1
ln
e
x xdx
∫
5.
3

3
1
ln
e
x
dx
x
∫
6.
1
ln
e
x xdx
∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
8.
2
1
ln
e
x xdx
∫
9.
2

0
( osx)sinxx c dx
π
+
∫
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫
11.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
12.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
13.

2
5
1
ln x
dx
x
∫
14.
2
0
cosx xdx
π
∫

15.
1
0
x
xe dx
∫
16.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.

∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x

xx
4.
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
5.
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
∫
++
1
0

22
)3()2(
1
dx
xx
7.
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx

xx
xxx
9.
∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
∫
++

−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13.
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x

14.
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
16.
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x

17.
∫
+−
4
2
23
2
1
dx
xxx
18.
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19.
∫
+
−
2
1
4

2
1
1
dx
x
x
20.
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
21.
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.

∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
23.
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
24.
1
2
0
4 11

5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
25.
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2

cossin
∫
π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3.
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
4.
∫
+
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫

+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
6.
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7.
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
8.
∫
−+
2

0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
9.
∫
−
2
0
cos2
π
x
dx
10.
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
11.
∫
+
2
0
2

3
cos1
sin
π
dx
x
x
12.
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
13.
∫
−+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
14.
∫
+

2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
15.
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x
16.
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x

17.
∫
+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
18.
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
19.
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos

π
π
x
xdx
20.
∫
−
++
+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
21.
∫
4
0
3
π
xdxtg
22.
dxxg
∫
4
6

3
cot
π
π
23.
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
24.
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
25.
∫
+
4
0
)
4
cos(cos

π
π
xx
dx
26.
∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
27.
∫
+
π
2
0
sin1 dxx
28.
∫
++
4
0
13cos3sin2
π

xx
dx
29.
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
30.
∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
31.
∫
+

2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x
32.
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
33.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x

34.
∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
35.
∫
π
0
sincos dxxx
36.
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
37.
∫

++
2
0
cossin1
π
xx
dx
38.
∫
+
2
0
1sin2
π
x
dx
39.
∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx
40.
∫
+
4
0

2
cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
2.
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx
43.
∫
+
3
6

)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
4.
∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
45.
∫
3
4
6
2
cos
sin
π

π
x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+
47.
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
48.
∫
−
+
0

2
2
)sin2(
2sin
π
x
x
49.
∫
2
0
3
sin
π
dxx
50.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
51.
∫
+
2
0
12
.2sin

π
dxex
x
52.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
53.
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
54.
∫

+−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
55.
∫
2
1
)cos(ln dxx
56.
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
57.
dxxx
∫
−

2
0
2
cos)12(
π
58.
∫
π
0
2
cossin xdxxx
59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg
60.
∫
π
0
22
sin xdxe
x
61.
∫
2
0
3sin

cossin
2
π
xdxxe
x
62.
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
63.
∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
64.
∫
−+
−
2
0
2

)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7
−
∫
x xdx
π
π
66.
2
4 4
0
cos (sin cos )
+
∫
x x x dx
π
67.
2
3
0
4sin
1 cos

+
∫
x
dx
x
π
68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈

+) R(x,
22
xa −
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) §Æt t =
n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)

Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax −
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2

{\];0[
π
π
∈
+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ; n
i
)
§Æt x = t
k

1.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−

2
3
2
2
1xx
dx
3.
∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2
1
3
1xx
dx
5.
∫
+
2
1

2
2008dxx
6.
∫
+
2
1
2
2008x
dx
7.
∫
+
1
0
22
1 dxxx
8.
∫
−
1
0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1

22
2
1
1
dx
xx
x
10.
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
12.
∫
−

2
2
0
32
)1( x
dx
13.
∫
+
1
0
2
1 dxx
14.
∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos

π
x
xdx
16.
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.
∫
+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx
18.
∫
+
+
2
0
cos31

sin2sin
π
dx
x
xx
19.
∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
20.
∫
−
3
0
23
10 dxxx
21.
∫
+
1
0
12x
xdx
22.
∫

++
1
0
2
3
1xx
dxx
23.
∫
++
7
2
112x
dx
24.
dxxx
∫
+
1
0
815
31

25.
∫
−
2
0
5
6

3
cossincos1
π
xdxxx
26.
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
27.
∫
−
+++
1
1
2
11 xx
dx
28.
∫
+
2ln
0
2
1
x

x
e
dxe
29.
∫
−−
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx

x
xx
32.
dxxxx
∫
+−
4
0
23
2
33.


++
0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.

+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx

x
35.

+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x
tgx
x
x
36.

+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.

+
3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.

+
2
0
2
cos1
cos

x
xdx
39.
dx
x
x

+
+
7
0
3

3
2
40.

+
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=

aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22
,

Tính:


2
3
2
3
)(


dxxf
+) Tính


+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a

dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:


++
1
1
2
)1ln( dxxx


++
2
2
2
)1ln(cos


dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf

0
)(
Ví dụ: Tính


+
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin

+


x x
dx
x


Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

=
+

aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(

(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:


+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x

+
2
2
1
5cos3sinsin


dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2

], thì

=
2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf
Ví dụ: Tính

+
2

0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x

+
2
0
cossin
sin

dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:

=


00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính

+

0
sin1
dx
x
x

+

0
cos2
sin
dx
x
xx
Bài toán 6:

=+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(


=
bb
dxxfdxxbf
00

)()(
Ví dụ: Tính

+

0
2
cos1
sin
dx
x
xx

+
4
0
)1ln(4sin

dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:


=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(

=
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
Ví dụ: Tính



2008
0
2cos1 dxx
Các bài tập áp dụng:
1.


+

1
1
2
21
1
dx
x
x
2.


++

4
4
4
357
cos
1


dx
x
xxxx
3.


++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.



+
2
2
2
sin4

cos


dx
x
xx
5.


+

2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0

+

7.

+
2
2
5
cos1
sin


dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+

ga
e
tga
e

xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I:
1.



3
3
2
1dxx
2.

+
2
0
2
34 dxxx
3.


2
0
2
dxxx

1
0
dxmxx
4.


2
2
sin


dxx
5.





dxxsin1
6.

+
3
6
22
2cot


dxxgxtg
7.

∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
8.
∫
+
π
2
0
cos1 dxx
9.
∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx
10.
∫
−
3
0
42 dx
x
11.

∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
12.
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x

-1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
π
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY