các dạng bài tập đại số 9 thi vào lớp 10 và các lưu ý khi giải phần 1 ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (250.51 KB, 13 trang )
1
Các chú ý v lời giảI cho một số bi toán cơ bản
A. toán rút gọn biểu thức
I. Ví dụ : Rút gọn biểu thức
2x x 3x 3 2x 4
P:1
x9
x3 x3 x3
( với x
0,x 1,x 9)
Giải : Với x
0,x 1,x 9 ta có
2x x 3 x x 3 3x 3 2x 4 x 3
P:
x3
x3 x3
2x6xx3x3x32x4 x3 3x3 x1
::
x3 x3
x3 x3 x3 x3
3x1 x3
3
x3
x3 x3 x1
II. Chú ý :
Khi rút gọn các biểu thức l các phép tính giữa các phân thức ta thờng
tìm cách đa biểu thức thnh một phân thức sau đó phân tích tử v mẫu
thnh nhân tử rồi giản ớc những thừa số chung của cả tử v mẫu.
Trờng hợp đề bi không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm
điều kiện cho biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng v các thừa
số đã đợc giản ớc để tìm điều kiện.
Ví dụ với bi ny : + Biểu thức cuối cùng cần
x0
+ Các thừa số đợc giản ớc l :
x1v x3 cầnx1v x9
Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa l x
0,x 1,x 9
B. phơng trình bậc hai v định lí viét
I. Ví dụ
Đề bi 1:
Cho phơng trình x
2
(2m-1)x + m 1 = 0
a. Giải phơng trình với
5
m
3
b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2
= -1
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
22
12
xx1
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
v x
2
của phơng trình
l. Tìm GTNN của
12
xx
m. Tìm GTLN của
222 2
122 1
x1x x14x
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
v x
2
, chứng minh biểu thức sau không phụ
thuộc vo m
12
22
12 21
x1x1
xx xx
B
Giải :
a. Giải phơng trình với
5
m
3
Với
5
m
3
ta có phơng trình :
22
72
xx 03x7x20
33
2
7 4.3.2 49 24 25 0; 5 phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
75 1 75
x;x2
63 6
Vậy với
5
m
3
phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt l
1
v 2
3
b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0vớimọi m 2m 1 1 1 0vớimọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1
Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi
2
2m 2 1 0( luôn dúng)
0
m10 m 1
ac 0 m 1 0
Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi
2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b2m10
2
0
a
Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng.
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 vô n
g
hiệm
2m 1
m
b2m10
2
0
a
Vậy không có giá trị no của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.
g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau :
Phơng trình có một nghiệm dơng v một nghiệm bằng 0
Thay x = 0 vo phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vo phơng trình
ta đợc
x
2
- x = 0
xx 1 0 x 0hoặcx 1 ( thỏa mãn )
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện l :
2
0
2m 2 1 0
m1
m1
1
ac 0 m 1 0 m 1
2m 1
m
b2m10
2
0
a
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện l :
ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1
Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
c
m1
a
Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau khi x
1
.x
2
= 1
m11 m 2
Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau.
i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 5x
2
= -1
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet v đề bi ta có :
12
12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
2x 5x 1 (3)
Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc :
5x
1
+ 5x
2
2 x
1
5x
2
= 10m 5 + 1
11
10m 4
3x 10m 4 x
3
(4)
Thay (4) vo (1) ta có :
22
10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m
x 2m1 x 2m1
3333
(5)
Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
4
2
2
2
12
10m 4 1 4m
. m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16m 9m 9
33
40m 17m 5 0
17 4.40. 5 1089 0; 33
17 33 1 17 33 5
m;m
80 5 80 8
Vậy với
15
mhoặcm
58
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
bi.
j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
22
12
xx1
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
Theo đề bi :
2
22 22
12 12 12 12 12 12
xx1xx2xx2xx1 xx 2xx1(3)
Thay (1) v (2) vo (3) ta có (2m 1)
2
2(m 1) = 1
22 22
(2m - 1) - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 6m 2 0 2m 3m 1 0
Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l m
1
= 1 ; m
2
=
c1
a2
Vậy với
1
m1hoặcm
2
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề
bi.
k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
v x
2
của phơng trình
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :
12
12
12
12
xx1
xx 2m1
m
2
x.x m 1
mx.x 1
12
12 1 2 12
xx1
x.x 1 x x 2x.x 1
2
Vậy hệ thức cần tìm l
12 12
xx2x.x 1
l. Tìm GTNN của
12
xx
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
Đặt A =
22 2
222
12 12 12 1 122 12 12
xx 0 A xx xx x2xxx xx 4xx
Thay (1) v (2) vo ta có
2 2
222
A2m14m14m4m14m44m8m412m211 với mọi m
(3)
M
A0nêntừ(3) A1vớimọim
Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)
2
= 0 m1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
5
Vậy GTNN của
12
Axx l 1 xảy ra khi m = 1
m. Tìm GTLN của
222 2
122 1
x1x x14x
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
Ta có
2
2
222 22222
122 1121212 1212
Ax1x x14x x x 5xx x x 2xx 5xx
(3)
Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc :
22
22 2
2
2
A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2
2m4m42m2
Vì
22
m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m
Dấu bằng xảy ra khi (m 2)
2
= 0 hay m = 2
Vậy GTLN của
222 2
122 1
Ax1x x14x l 2 khi m = 2
n. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
v x
2
,
chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m :
12
22
12 21
x1x1
xx xx
B
Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
2
2
2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4
2
2
4m 8m 4 1 2m 2 1
Vì
22
2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m
nên phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
v x
2
với mọi m. Theo định lí Viet ta có :
12
12
xx 2m1(1)
x.x m 1 (2)
22
12 12
112 2
12
2 2 22 22
12 21 1 2 1 2
22
12 12 12
22 2
12
2
22
222
xx xx
x1.x x1.x
x1x1
Ta có:
xx xx xx xx
xx xx 2xx 2m1 2m12m1
xx
m1
4m 1
4m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4
4
m1 m1 m1
B
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vo giá trị của m.
Đề bi 2.
Cho phơng trình (m+1)x
2
- 2(m+2)x + m + 5 = 0
a. Giải phơng trình với m = -5
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của
22
12
Ax x
j. Tìm m để A = 6
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
6
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
. Khi đó
hãy lập phơng trình có hai nghiệm l
12
21
6x 1 6x 1
v
3x 3x
Giải :
a. Giải phơng trình với m = -5
Thay m = -5 vo phơng trình ta có : -4x
2
+ 6x = 0
x0
2x 0
3
2x 2x 3 0
2x 3 0
x
2
Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm l 0 v
3
2
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. Phơng trình có một
nghiệm x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có nghiệm khi
1
2m 1 0 m
2
Tóm lại phơng trình có nghiệm khi
1
m
2
c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
2m 1 0 m
2
( thỏa mãn )
Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
m1hoặcm
2
Chú ý :
Trờng hợp phơng trình bậc hai có
0
cũng đợc coi l có
nghiệm duy nhất
d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
2m 1 0 m
2
Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi
1
mv m1
2
e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
7
Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0
m10 m 1
(vô nghiệm)
m50 m 5
m1m5 0 5m 1
m10 m 1
m50 m 5
Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Chú ý :
Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau :
Để (1) xảy ra thì m + 1 v m + 5 l hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5
nên (1) xảy ra khi
m + 1 <0 m<-1
5m 1
m + 5 >0 m>-5
Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ
ngoi cùng trong khác
v dịch nh sau : ngoi khoảng hai nghiệm thì vế
trái cùng dấu với hệ số a
, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với
hệ số a ( hệ số a l hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở
đây l nghiệm của đa thức vế trái )
Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm l -1 v -5 , dạng khai triển l m
2
+ 6m + 5 nên hệ số a l 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức l khác dấu với hệ số a
nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức l -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )(
m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức
l m < -5 hoặc m > -1
Một số ví dụ minh họa :
m3m7 0 m 7hoặcm3; 2m43m9 0 3m2
2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4hoặcm 5
f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi
11
mm1
2m 1 0
0
22
ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I
b
2m 2 m 2 m 1 0 m 2hoặcm 13
0
0
a
m1
1
m5hoặc1m
2
Chú ý :
Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền
các số mốc lên đó v lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng
nghiệm chung v kết luận. Việc lm đó diễn tả nh sau :
5
2
1
1
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
8
ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt l các đờng lấy nghiệm của các bất
phơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m <
1
2
l
các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó l tập
nghiệm của hệ bất phơng trình (I)
g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 3x
2
= 4
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có
0
Tức l
m1
m1
1
2m 1 0
m
2
Khi đó theo đề bi v định lí Viet ta có
12
12
12
2m 2
b
xx 1
am1
cm5
x.x 2
am1
x3x 4 3
Từ (1) v (3) ta có hệ phơng trình
12 1 2 1
12
12
22 2
2m 4 2m 4 2m 4 m m 4
2m 4
xx x x x
xx
m1 m1 m1 m1 m1
m1
2m 4 m m
x3x 4
2x 4 x x
m1 m1 m1
Thay vo (2) ta có phơng trình :
22
m4 m m5
.m4.mm5m1dom1
m1m1 m1
5
m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn
2
Vậy
5
m
2
l giá trị cần tìm.
h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
9
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l
m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2
Khi đó theo định lí Viet ta có x
1
.x
2
=
m5
m1
Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải
thỏa mãn điều kiện (1) v
m5
1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn
m1
Vậy m = -3 l giá trị cần tìm.
i. Khi phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.Tính theo m giá trị của
22
12
Ax x
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l
m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2
Khi đó theo định lí Viet :
12
12
2m 2
b
xx 1
am1
cm5
x.x 2
am1
2
2
22 2 2
1 2 1 12 2 12 1 2 12
2
22 2
222
2m 5
2m 4
Tacó A x x x 2x x x 2x x x x 2x x
m1 m1
2m 4 2 m 5 m 1
4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6
m1 m1 m1
2
2
2m 4m 6 1
Vậy A với m 1v m
2
m1
j. Tìm m để A = 6
2
2
2m 4m 6 1
Ta có A với m 1v m
2
m1
2
2
2
2
22 2
12m4m6
Với m 1v m tacó A 6 6 2m 4m 6 6 m 1
2
m1
2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0hoặcm 2
Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.
k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
.
Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm l
12
21
6x 1 6x 1
v
3x 3x
Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0
x2
. P.trình có một nghiệm duy
nhất x = 2
Với m
-1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c =
m+5
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
10
2
'22
m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1
Phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi nó l phơng trình bậc hai có 0
Tức l
m1
m1
1
1
2m 1 0
m
2
Thay x =
1
2
vo phơng trình đã cho ta có
(m+1).(
1
2
)
2
- 2(m+2).
1
2
+ m + 5 = 0
m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa
mãn (1))
Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
trong đó có một nghiệm l
1
2
.
Thay m = -13 phơng trình trở thnh -12x
2
+ 22x - 8 = 0 6x
2
- 11x + 4 = 0
Theo định lí Viet :
12 12
11 4 2
xx :xx
663
. Khi đó :
2
2
22
12 12 12
1 2 11 22
2 1 12 12
11 2 11
6. 12.
6x x 12xx x x
6x 1 6x 1 6x x 6x x
14
636
7
2
3x 3x 3x x 3x x 2
3.
3
12 1 2
12
21 12
211
36. 6. 1
36x x 6 x x 1
6x 1 6x 1
36
36
.6
2
3x 3x 9x x 6
9.
3
Do đó phơng trình cần tìm có dạng y
2
- 7y + 6 = 0 (2)
Chú ý :
Phơng trình (2) không nên lấy ẩn l x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình
của đề bi
II. Chú ý :
Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng l m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa
bậc hai)ta cần xét riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp ny có
thỏa mãn yêu cầu của đề bi hay không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng
định đó l phơng trình bậc hai rồi mới đợc tính
.
C. hm số v đồ thị
I. Ví dụ
Đề bi 1:
Cho hm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m
5
2
có đồ thị l đờng
thẳng d
Tìm giá trị của m để
a. Góc tạo bởi (d) v v trục Ox l góc nhọn, góc tù ( hoặc hm số đồng biến, nghịch
biến)
b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4
d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2
g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm)
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
11
i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục
honh)
j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung
Giải :
Hm số có a = 2m 5 ; b = 3
a. Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn, góc tù
Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn khi đờng thẳng d có hệ số a > 0
2m 5 >0 m >
5
2
( thỏa mãn)
Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi đờng thẳng d có hệ số a < 0
2m 5 <0 m <
5
2
( thỏa mãn )
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn khi m >
5
2
góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi m <
5
2
b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d ta có
-1 = 2. ( 2m - 5) + 3
4m 10 + 3 = -1
m =
3
2
( thỏa mãn)
Vậy với m =
3
2
thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1)
Chú ý :
Phải viết l
Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d
,
không đợc viết l
Thay x = 2 ; y = -1 vo đờng thẳng d
c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4
(d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4
2m 5 3 m 4
m4
34 34
( thỏa mãn)
Vậy m = 4 l giá trị cần tìm
d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
Ta có 3x + 2y = 1
31
yx
22
(d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
(d) song song với đờng thẳng
31
yx
22
37
2m 5 m
7
24
m
11
4
33
22
( thỏa mãn) . Vậy
7
m
4
l giá trị cần tìm
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0
Ta có 2x - 4y - 3 = 0
13
yx
24
(d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0
(d) luôn cắt đờng thẳng
13
yx
24
111
2m 5 m
24
. Kết hợp với điều kiên ta có m
5
2
v
11
m
4
l giá trị cần tìm.
f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2
Thay x = -2 vo phơng trình đờng thẳng
2x + y = -3 ta đợc 2. (-2) + y = -3
y = 1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
12
(d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vo phơng trình
đờng thẳng d ta có 1 = ( 2m 5 ). (-2) + 3
-4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa mãn).
Vậy m = 3 l giá trị cần tìm.
g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm)
Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3
x =
3
2m 5
(d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung
35
02m50m
2m 5 2
( thỏa
mãn).
Vậy
5
m
2
l giá trị cần tìm.
h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục
tung)
(d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1
2m 5
3
m
4
Honh độ giao điểm của (d) v đờng thẳng y = 3x + 1 l nghiệm của phơng trình ẩn x
sau :
( 2m 5 )x + 3 = 3x + 1
( 2m - 8)x = -2
2
x
2m 8
( vì m 4 )
(d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm
2
02m80m4
2m 8
( thỏa mãn các điều kiện m
5
2
v m 4 )
Vậy m > 4 l giá trị cần tìm.
i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục
honh)
* (d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3
2m 5
5
m
5
* Honh độ giao điểm của (d) v đờng thẳng y = 5x - 3 l nghiệm của phơng trình ẩn x
sau :
( 2m 5 )x + 3 = 5x - 3
( 2m - 10)x = -6
63
x
2m 10 m 5
( vì m 5 )
Thay
3
x
m5
vo phơng trình đờng thẳng y = 5x - 3 ta có y =
3153m153m
5. 3
m5 m5 m5
(d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dơng
3m
03mm50mm500m5
m5
Kết hợp với các điều kiện ta có 0 < m < 5 v m
5
2
l giá trị cần tìm
j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung
Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ ( x
0
; y
0
). Khi đó :
y
0
= ( 2m 5 )x
0
+ 3 với mọi m 2x
0
m 5x
0
y
0
+ 3 = 0 với mọi m
00
00 0
2x 0 x 0
5x
y
30
y
3
Vậy (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung có tọa độ l ( 0 ; 3 )
Chú ý đề bi 1:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
13
* Ta luôn so sánh m tìm đợc với điều kiện của đề bi l
m
5
2
( điều ny rất
rất hay quên)
* Nếu đề bi chỉ
Cho phơng trình bậc nhất
m không cho điều kiện ta vẫn
phải đặt điều kiện để phơng trình l phơng trình bậc nhất ( tức l phải có a
0 v lấy điều kiện đó để so sánh trớc khi kết luận)
Đề bi 2:
Cho đờng thẳng d có phơng trình y = ( m + 1)x 3n + 6 . Tìm m v n để :
a. (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1)
b. (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh độ l
-1
c. (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2
v cắt trục tung tại điểm có tung độ l
1
d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có
honh độ l 1
e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3
g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )
Giải :
a. (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1)
(d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5
m3
m1 2
1
3n 6 5
n
3
(d) đi qua điểm ( 2 ; -1)
-1 = ( m + 1).2 3n +6
2m - 3n = -9
Thay m = -3 vo ta có 2. (-3) 3n = -9
n = 1 ( thỏa mãn )
Vậy m = -3 , n = 1
b. (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh
độ l -1
(d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1
m2
m13
5
3n 6 1
n
3
(d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l -1
0 = ( m + 1 ). (-1) 3n + 6
m
+ 3n = 5
Thay m = 2 vo ta đợc 2 + 3n = 5
n = 1 ( thỏa mãn ) .Vậy m = 2 , n = 1
c. (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2
v cắt trục tung tại điểm có
tung độ l 1
(d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l
3
2
0 = ( m + 1 ).
3
2
3n + 6
m -
2n = -5
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 1
1 = -3n + 6
n =
5
3
.
Thay vo phơng trình m - 2n = -5 ta có m - 2.
5
3
= -5
m = -
5
3
Vậy n =
5
3
, m = -
5
3
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
