các dạng bài tập đại số 9 thi vào lớp 10 và các lưu ý khi giải phần 2 ppsx

14
d. (d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3 v cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại
điểm có honh độ l 1
(d) song song với đờng thẳng y = 2x + 3


m12 m1
3n 6 3 n 1






(d) cắt đờng thẳng y= 3x + 2 tại điểm có honh độ l 1


m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 .
Thay m = 1 vo ta có 1 3n = - 2

n = 1( không thỏa mãn )
Vậy không có giá trị no của m v n thỏa mãn điều kiện đề bi.
Chú ý :

Ta thờng quên so sánh với điều kiện
n1

nên dẫn đến kết luận
sai

e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
(d) đi qua diểm ( -3 ; -3 )




3m1.33n6 mn2
(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3
33n6n1


Thay vo phơng trình m + n = 2 ta đợc m + 1 = 2

m = 1
Vậy m = 1 , n = 1

f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3
(d) đi qua diểm ( 2 ; -5 )


5m1.23n6 2m3n 13

(d) có tung độ gốc l -3
33n6n3
Thay vo phơng trình 2m - 3n = -13 ta đợc 2m 3.3 = -13
m = -2
Vậy m = -2 , n = 3

g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )
(d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 )

m0
3m1.13n6
m3n2 2m 0
2
3m 3n 2 3m 3n 2
n
1m1.33n6
3















Vậy m = 0 , m =
2
3

Đề bi 3:

Cho hai hm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 v y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị tơng ứng
l (d
1
) v (d
2
)
Tìm m để :
a. (d
1
) v (d
2
) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau
b. (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
c. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh
d. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung

e. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên dới trục honh
f. (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )
g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,
đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.

Giải :

Để các hm số đã cho l các hm số bậc nhất ta phải có :


m30 m 3
2m 0 m 0

Chú ý :

Điều kiện trên luôn đợc dùng so sánh trớc khi đa ra một kết luận
về m

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
15

a. (d
1
) v (d
2
) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau
(d
1
) v (d
2
) song song với nhau


m32m m3
m3
2m 1 3m 4 m 1




(d
1

) v (d
2
) cắt nhau m32m m 3
(d
1
) v (d
2
) trùng nhau


m32m m3
2m 1 3m 4 m 1



( vô nghiệm )
Kết hợp với các điều kiện ta có:
Với m = 3 thì (d
1
) v (d
2
) song song với nhau

m3 , m0 , m3 thì (d
1
) v (d
2
) cắt nhau
Không có giá trị no của m để (d
1

) v (d
2
) trùng nhau

b. (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m3
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung khi
2m + 1 = - 3m - 4 m 1
Kết hợp với các điều kiện ta có với m = -1 thì (d
1
) v (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên
trục tung.

Chú ý :

Giao điểm của ( d

1
) v ( d
2
) với trục tung lần lợt l ( 0 ; 2m + 1) v ( 0 ;
-3m -4 ) nên chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi hai điểm đó trùng
nhau, tức l 2m+1 = -3m

4. Do đó lời giải trên nhanh m không phải lm tắt.

c. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m 3
Thay y = 0 vo phơng trình đờng thẳng (d
1
) v (d
2
) ta có


2m 1
x
m3x2m10
m3

3m 4
2mx 3m 4 0
x
2m













( Vì m3

, m0

)
Giao điểm của (d
1
) v (d
2
) với trục honh lần lợt l
2m 1 3m 4
;0 v ;0
m3 2m

(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục honh khi

22 2
2m 1 3m 4
2m 2m 1 m 3 3m 4 4m 2m 3m 13m 12 m 11m 12 0
m3 2m




Phơng trình trên l phơng trình bậc hai có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm m
1
= -1 ; m
2

= 12
Kết hợp với các điều kiện ta có m = -1 hoặc m = 12 thì d
1
) cắt (d
2

) tại một điểm trên trục
honh

Chú ý :

Phải kết hợp với cả ba điều kiện l
m3

, m0 , m3
rồi mới kết
luận
.
d. (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau m32m m 3
Honh độ giao điểm của (d
1
) v (d
2
) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau :

5m 5
m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x

m3



( vì m 3 )
(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi honh độ giao điểm dơng
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
16

5m 5
05m5m30m1hoặcm3
m3




Kết hợp với các điều kiện ta có
m3,m1hoặcm3



e. (d
1
) cắt (d
2

) tại một điểm nằm bên dới trục honh
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau
m32m m 3

Honh độ giao điểm của (d
1
) v (d
2
) l nghiệm của phơng trình ẩn x sau :

5m 5
m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x
m3



( vì m 3 )
Thay
5m 5
x
m3



vo phơng trình đờng thẳng ( d
1

) ta có

222
5m 5 5m 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12
ym3. 2m1
m3 m3 m3




* (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm nằm bên dới trục honh khi tung độ giao điểm âm
2
7m 15m 12
0(*)
m3





2
2
222
95 3 15
Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0
44 2 4

Nên (*) tơng đơng với m-3<0
m3
Kết hợp với các điều kiện ta có :
m3,m 3,m0

l giá trị cần tìm

f. (d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )
(d
1
) v (d
2
) cắt nhau
m32m m 3

(d
1
) cắt (d
2
) tại điểm ( 1 ; -2 )

2m32m1
m2
m2
m2
22m3m4







Kết hợp với các điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm.

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định ,
đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua một điểm cố định.
Giả sử khi m thay đổi các đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm ( x
0
; y
0

) , tức l :


00 000
00
00 0
y
m3x 2m1vớimọim x 2m3x
y
10vớimọim
x20 x 2
3x y 1 0 y 5





Vậy khi ma thay đổi thì các đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định
Chú ý :

Với đờng thẳng ( d
2
) ta lm tơng tự , điểm cố định l
3
;4
2

Đề bi 4:

Cho hai đờng thẳng d
1
v d
2
lần lợt có phơng trình y = -2x + 4 v y = 2x - 2
a. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên.
b. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1
v d
2

c. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d
1
v d
2
với trục honh; D v E lần lợt l
giao điểm của d
1
v d
2
với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE , ABE.

d. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh.
Giải :

e. Tìm tọa độ giao điểm A của hai đờng thẳng trên.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
17
Giao điểm của hai đờng thẳng l nghiệm của hệ phơng trình sau :

4
y
41 3
y2x4
xx
222
y2x2
2y 2 y 1

Vậy giao điểm A của hai đờng thẳng l A
3
;1
2




f. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đờng thẳng d
1
v d
2

Xét đờng thẳng (d
1
) : y = -2x + 4
Với x = 0
y = 4 ; y = 0 x = 2. Đờng thẳng (d
1
) đi qua hai điểm ( 0 ; 4 ) v ( 2 ; 0
)
Xét đờng thẳng (d
2
) : y = 2x - 2
Với x = 0
y = -2 ; y = 0 x = 1. Đờng thẳng (d
1

) đi qua hai điểm ( 0 ; -2 ) v ( 1 ;
0 )



















g. Gọi B v C lần lợt l giao điểm của d
1
v d
2
với trục honh; D v E lần lợt
l giao điểm của d
1
v d
2

với trục tung.Tính diện tích các tam giác ABC , ADE
, ABE.
Ta có : A
3
;1
2



, B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) v E( 0 ; -2 )
Do đó : BC = | 2 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 0 | = 2
Gọi AH l đờng cao của
ABC , AK l đờng cao của

ADE AH = 1 , AK =
3
2

Gọi
ABC
S ,
ADE
S ,
BDE
S ,
ABE
S lần lợt l diện tích của các tam giác ABC , ADE , BDE
, ABE.
Ta có :

ABC
111
S AH.BC .1.1
222

( đơn vị diện tích )

ADE
1139
SAK.DE 6
2222

( đơn vị diện tích )

BDE
11
S BO.DE .2.6 6
22

( đơn vị diện tích )
-4 -3
-2
-1
O
1
2 3
1
2
3
4

-1
-2
-3
x
y
A
E
CB
D
d
1
d
2
H
K
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
18

ABE BDE ADE
93
SSS6
22

( đơn vị diện tích )
h. Tính các góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh.

Góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh lần lợt l


DBx v ACx
Tam giác OBD vuông tại O có :

0
OD 4
T
g
OBD 2 OBD 63,4
OB 2


00 0
BDx 180 63,4 116,6

Tam giác OCE vuông tại O có :

0
OE 2
T
g
OCE 2 OCE 63,4
OC 1

0
ACx 63, 4
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d
1
v d
2
với trục honh cùng l 63,4
0
.

II. chú ý :
Khi đề bi không cho điều kiện của tham số m m nói l cho hm số
bậc nhất thì khi lm bi ta vẫn phải tìm điều kiện để có phơng trình bậc nhất
v dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi kết luận


D. Hệ phơng trình

Đề bi 1:
Giải các hệ phơng trình sau :
a)





234
925

yx
yx
b)





522
52
22
xyyx
yx
c)







2
77
22
33
yxyx
yyxx

d)
13

2
x2y
21
1
x2y











( Đặt ẩn phụ ) e)
22
7
3316
x
yxy
xy xy






( đối xứng loại 1 )

f)
22
22
232
232
xy y
yx x







( đối xứng loại 2 ) g)
22
22
32 11
2525
xxyy
xxyy

( đẳng cấp bậc hai )

Giải :

a)



x1
x1
5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23
24
413y2
4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2
y
2
3

Vậy hệ có một nghiệm l : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 )








2
2
22 22 2
2
2
x52y
x2y5 x52y
b)
52y 2y 252yy 5
x2
y
2x
y
52520
y
4
y
2
y
10
y

4
y
5
x52y 1
x52y
10y 30y 20 0
y3y202

















Phơng trình (2) l phơng trình bậc hai có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l
12
c
y
1;
y

2
a

Với y = y
1
= 1 thay vo (1) ta có x = 5 2.1 = 3
Với y = y
2
= 2 thay vo (1) ta có x = 5 2.2 = 1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm ( x ; y ) l ( 3 ; 1 ) v ( 1 ; 2 )

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
19









22
33 33
22 22
22
22
22
x

y
xx
yy
7x
y
0
x7xy7y xy7x7y0
c)
xyxy2 xyxy2
xyxy2
xyx xyy 7 01
xyxy2 2

Từ (1) => x - y = 0 hoặc x
2
+ xy + y
2
+ 7 = 0
Nếu x y = 0

x = y thay vo (2) ta có :
22 2
xxxx2 xx10



2
14.1.150 . Phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
12
15 15
x;x
22



Hệ có nghiệm
15 15
xy v xy
22

Nếu x
2
+ xy + y
2
+ 7 = 0 kết hợp với (2 ta có hệ :


22
2
22
22
xyxy90
xy2xy70
xyxy70
x
y
2x
y
x
y
2
xyxy2
xyxy2

Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ



2
2
2
PS9
SP90
PS9
S2S9S2
S2PS2
SS160*

Phơng trình (*) l phơng trình bậc hai có
2
1 4.1.16 63 0

nên (*) vô nghiệm. Hệ
vô nghiệm
Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm l
15 15
xy v xy
22




d)
13
2
x2y
21
1
x2y

. Điều kiện x0,y2


Đặt
11
a, b
x2y


ta có hệ phơng trình :

1
a
a3b2 a3b2 5a1
5
2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3
b2a12. 1
55

Do đó
11
x5
x5
511
13
y2
33
2y 5

( thỏa mãn các điều kiện )
Vậy hệ phơng trình có nghiệm l

11
x;
y
5;
3





e)

2
22
7
7
3316
23 16
xyxy
xyxy
xy xy
xy xy xy

Đặt x+y = S , xy = P ta có hệ



2
2 2
P7S
SP 7 P 7S
S27S3S16
S2P3S16 SS20

Phơng trình S
2
S 2 = 0 có dạng a - b + c = 0 nên có hai nghiệm l S
1
= -1 , S
2
= 2
Với S = S
1
= -1 ta có P = -7 + 1 = -6

x
y
1
x
y
6




.
x v y l nghiệm của phơng trình bậc hai sau : A
2
+ A - 6 = 0

2
14.1.6250 5 . Phơng trình có hai nghiệm :
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
20
12
15 15
A2;A 3
22


=> Hệ phơng trình có nghiệm ( 2 ; -3 ) v ( -3 ; 2 )
Với S = S
2
= 2 ta có P = -7 - 2 = -9 . => Tự lm tiếp.
Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm l :
( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) ,



110;110,110;110

f)

22
22
2321
2322
xy y
yx x

Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta có :










22 22
2(x -
y
)-(x-
y
) = 3(
y
-x ) 2 x
y
x
y
x

y
3x
y
x
y
0
x-y=0
x-y2x2y13x3y 0 xy5x5y1 0
5x 5
y
10








Nếu x - y = 0 x = y thay vo (1) ta có 2x
2
+ x = 3x
2
- 2 x
2
- x - 2 = 0
Phơng trình có dạng a b + c = 0 nên có hai nghiệm l x
1
= -1 , x
2

= 2
Hệ phơng trình có hai nghiệm x = y = -1 v x = y = 2
Nếu 5x + 5y 1 = 0
15x
y
5

thay vo (1) ta có :


2
2222
2
15x 15x
2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0
55
5 4.25. 52 5225 0







Phơng trình có hai nghiệm
12
5 5225 1 209 5 5225 1 209
x;x
50 10 50 10

Với x = x
1
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =
1 209
10


Với x = x
2
=
1 209
10

ta có y = (1 5.
1 209
10

) : 5 =
1 209
10

Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l :

1 209 1 209 1 209 1 209
1; 1 , 2; 2 , ; , ;
10 10 10 10







Chú ý :

Nếu hệ đối xứng bậc 3 thì cách lm vẫn thế nhng lời giải di v khó
hơn rất nhiều cần quan sát kĩ xem ở bớc thứ hai có cách no đơn giản không

22
22
22
22 22
22
22222222
25. 3 2 25.11
32 111
75 50 25 275
)
25252 112255275
11. 2 5 11.25
75 50 25 11 22 55 64 28 30 0 32 14 15 0 *
xxyy
xxyy
xxyy
g

xxyy x xyy
xxyy
x xyy x xyy x xyy x xyy

Với y = 0 thay vo hệ phơng trình ta có :
2
2
3x 11
x25





( hệ vô nghiệm)
Với y
0 chia hai vế của (*) cho y
2
ta đợc phơng trình :
2
2
2
32x 14x x x
15 0 32. 14. 15 0
yyy
y

Đặt t =
x
y
ta có phơng trình : 32t
2
+ 14t 15 = 0
Phơng trình trên có


2
' 7 32. 15 529 0 ' 23
Phơng trình có hai nghiệm :
12
723 15 723 1
t;t
32 16 32 2





www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
21
Với t = t
1
=
15
16

x15 15
x
y
y
16 16

. Thay vo phơng trình (2) ta có :
hoặc





2
2222
22
15 15
2. 5 25 225 480 1280 6400
16 16
256 16 16
1025 6400
41
41 41
yyyy yyy
yyy y

Với

16 15 16 15
.
16
41 41 41
yx
Với




16 15 16 15
.
16
41 41 41
yx
Với t = t
2
=
1
2

x1 1
x
y
y
22

. Thay vo phơng trình (2) ta có :

2
2222 2 2
2
11
2. 5 25 4 20 100 25 100 4
2
22
y
yyyyyyy y y
y

Với y = 2
1
x.21
2


Với y = -2

1
x.2 1
2

Tóm lai hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) l :





15 16 15 16
; , ; , 1; 2 , 1; 2
41 41 41 41


Chú ý :

Nếu trong hệ có các biểu thức cần điều kiện thì trớc khi giải ta phải
tìm điều kiện của biến trớc, sau đó dùng điều kiện ny để so sánh trớc khi
kết luận về nghiệm của hệ



Đề bi 2:
Cho hệ phơng trình:



3x m 1
y
12
m1x12
y

24







a. Giải hệ phơng trình với m = 2
b. Giải v biện luân hệ phơng trình.
c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.
d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.
e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
g. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất l nghiệm nguyên
h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ .Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y không
phụ thuộc vo m.
Giải :

a. Giải hệ phơng trình với m = 2 ( tự lm )
b. Giải v biện luân hệ phơng trình.





2
36x 12 m 1 y 144
3x m 1 y 12 1
m1x12y 24 2

m1x12m1
y
24 m 1











Trừ từng vế của hai phơng trình trên ta có :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
22


22
m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144
m 7 m 5 x 24m 168 3





Nếu m = 7 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6y 12 x 2y 4
x2
y
4x42
y
6x 12y 24 x 2y 4




Hệ vô số nghiệm dạng ( 4 2t ; t ) với t

R
Nếu m = -5 thay vo hệ phơng trình ban đầu ta có :

3x 6
y
12 x 2
y
4
6x 12
y
24 x 2
y
4



Hệ vô nghiệm
Nếu

m5v m7
từ (3) ta có :



24 m 7
24m 168 24
x
m7m5 m7m5 m5






Thay vo (2) ta có:





24 m 1 2 m 1
24 12
m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y
m5 m5 m5 m5

Tóm lại :
Nếu m = -5 hệ phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vô số nghiệm x = 4 2t , y = t với t

R
Nếu
m5v m7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất:
24 12
x,y
m5 m5



Chú ý :

Khi tìm đợc
24
x
m5


ta không nên thay vo (1) để tìm y vì khi đó hệ
số của y vẫn còn m v ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng v khác 0 để
tìm y

c. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .

Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5






24 12
x
y
1
m5 m5



Với
m5v m7 ta có (x + 5)
2
>0 . Nhân hai vế của (1) với (x + 5)
2
>0 ta đợc bất
phơng trình

24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5
Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
23

Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một biểu thức ta
phải chú ý xem biểu thức đó dơng hay âm để đổi chiều hay không đổi
chiều bất đẳng thức

Nếu đề bi cho lm câu c ( hoặc d, e, f, g ) m không cho câu b thì khi
lm, bớc 1 ta phải tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, khi đó ta
trình by nh câu b tới (3) v lập luận hệ có nghiệm duy nhất khi (3) có
nghiệm duy nhất
m5v m7


d. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất âm.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5




Hệ có một nghiệm duy nhất âm khi

24

0
m50
m5
m50 m 5
12 m 5 0
0
m5













Kết hợp với các điều kiện ta có m < -5 l giá trị cần tìm
Chú ý :

Nghiệm ( x ; y ) của hệ đợc gọi l âm nếu x < 0 v y < 0. Nghiệm
dơng, không âm, không dơng của hệ cũng tơng tự.
e. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12

x,y
m5 m5




Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 1
24 12 36 m 5 31 m
100
m5m5 m5 m5











31 m 0 m 31
m50 m 5
m31
5m31
m5
31 m 0 m 31
vô nghiệm
m50 m 5

Kết hợp với các điều kiện ta có
5m31 v m7

l giá trị cần tìm
f. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = -1.
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5




Hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y = -1

24 12 36 2m 10 46 2m
200462m0dom5m23
m5m5 m5 m5




Kết hợp các điều kiện ta có m = - 23 l giá trị cần tìm
g. Tìm m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên
Theo câu trên, phơng trình có một nghiệm duy nhất khi
m5v m7 .
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
24
Khi đó nghiệm của hệ l :
24 12
x,y
m5 m5




Hệ có nghiêm duy nhất l nghiệm nguyên khi
24 12
v
m5 m5


l các số nguyên
Vì m nguyên nên m + 5 l ớc của 24 v 12

m 5 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12



m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1;7
Kết hợp điều kiện ta có


m 17;11;9;8;7;6; 4; 3; 2; 1;1 l các giá trị cần tìm
h. Với ( x ; y ) l nghiệm duy nhất của hệ. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x v y
không phụ thuộc vo m.
Ta có





3x m 1 y 12
3x my y 12 my y 3x 12
I
mx x 12y 24 mx x 12y 24
m1x12y 24

Thay y = 0 vo hệ ta có :



3x 12
x4
m1x 24
m7






Thay m = 7 vo hệ ta đợc


3x 6y 12 x 2y 4
x2
y
4
6x 12y 24 x 2y 4




( hệ vô số nghiệm )

Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) thì
y
0



222
y3x12
y3x12
m
I .x x 12 24
y
y
mx x 12 24
x
y
3x 12x x
y
12
y
24
y
3x 12x 12
y
0x4x4
y
0

Vậy biểu thức cần tìm l x
2
4x + 4y = 0

Bi tập tự lm


Bi 1
Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau :
1)





2
4
22
yxxy
yxyx
2)

22
7
3316
x
yxy
xy xy





3)





30
11
22
xyyx
yxxy
4)





092)(3
13

22
xyyx
yx

5)







35
30
33
22
yx
xyyx
6)







20
6
22
xyyx

xyyx
7)







4
4
xyyx
yx
8)





2
34
44
yx
yx

Đáp án

1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3)
(1;5),(5;1),(2;3),(3;2)

4)
10 10 10 10
(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
22 22

5) (2;3);(3;2) 6)
(1; 4),(4;1)
Bi 2
Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau ( đẳng cấp bậc hai ):
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
25
1)
22
22
32 11
2525
xxyy
xxyy







2)

495
5626
22
22
yxyx
yxyx
3)
32
32
23 5
67
xxy
yxy








Bi 3.
Cho hệ phơng trình:
x2y3m
2x
y

3(m 2)






a) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình l (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bi 4.
Cho hệ phơng trình

a1x
y
4
ax y 2a







(a l tham số).
a) Giải hệ khi a = 1.

b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y
2.

Bi 5
Tìm các giá trị của m v n để các hệ phơng trình
a)



21726
12
2
66
mxn y
mn
xy








có nghiệm (x ; y) = (1 ; 2)
b)

41 8 2 11
32 51 4
mxn y
mxny







có nghiệm (x ; y) = (
1; 3

)

Bi 6
Giải các hệ phơng trình sau :

a)
22
2
21
23
1
21
xy
xy

b)
22
22
35
31
xy
xy







c)
313
124
5329
1212
yx
yx

d)
112
3
111
3
xyxy
xyxy

e)
1
1
8
xy
yz
zx








f)
3
6
1
xy
yz
zx

g)


22
22
129
325
x
xy
y
yx








h)


22
22
756
264
uuv
vvu

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com