Bài giảng điều khiển số (Digital Control Systems) - Phần 3 pot

16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
55
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.1 Mô hình trạng thái liên tụcvàcáctínhchấtcủa đốItượng
Xét mô hình đãchoở mục 1.3.2c: với n biếntrạng thái, m biếnvàovà
r biếnra.
() () ()
ttt
•
=+qAqBu
a) Tính điềukhiển được
1
,,,
n
C
QBABAB
−
⎡
⎤
=
⎣
⎦
Hệ MIMO nói trên sẽ là điềukhiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận(n, nm) sau đây:
có hạng là n. Nghĩalà, ma trận điềukhiển
Q
C
phảichứa n vector cột độclậptuyến tính. Khi
đốitượng là SISO, ma trận điềukhiểncókíchcỡ (n, n) và công thức:
1

,,,
n
C
QbAbAb
−
⎡
⎤
=
⎣
⎦
và n vector cột A
i
b (i = 0, 1, 2, …) phải là các vector độclậptuyến tính.
b) Tính quan sát được
Hệ MIMO nói trên sẽ là quan
sát được hoàn toàn khi và chỉ
khi ma trận(nr, n) bên có
hạng là n. Nghĩalà, ma trận
quan sát
Q
O
phảichứa n
vector hàng độclậptuyếntính.
1
O
n
C
CA
Q
CA


−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Khi đốitượng là SISO, ma trận
quan sát bên vớikíchcỡ (n, n)
có hạng n và n vector hàng
c
T
A
i
(i = 0, 1, 2, …) phải là các
vector hàng độclậptuyến tính:
1
T
T
O

Tn
c
cA
Q
cA

−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
56
()
tq
•
(
)

0
tq
(
)
tq
(
)
tx
Đốitượng ĐK
Khâu ĐC
trạng thái
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.2 Cấutrúccơ sở củahệ ĐK trạng thái liên tục
(
)
(
)
()
[]
()
() ()
MIMO :
SISO :
T
tt
tt
tt
uRq
qABRq

qAbrq
•
•
=−
=−
⎡⎤
=−
⎣⎦
a) Thiếtkế theo phương pháp gán cực
Phương trình đặc tính của vòng ĐC khép kín có dạng:
()()
1
det
n
i
i
sssIABR
=
⎡⎤
−
−=−
⎣⎦
∏
Khi cho trước s
i
nhằm đạt đượcmột đặc tính động họcnhất định, nếu so sánh hệ số hai vế của
phương trình trên ta sẽ thu đượcmộthệ có n phương trình của(m
×n) phầntử thuộc R. Đólà
hệ phương trình phụcvụ tổng hợp khâu ĐC. Các thiếtkế có tên Ackermann (hệ SISO), modale
(hệ MIMO).

16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
57
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.2 Cấutrúccơ sở củahệ ĐK trạng thái liên tục
b) Thiếtkế theo tiêu chuẩnchấtlượng
Hàm mục tiêu (hàm chấtlượng) được định nghĩa:
() () () ()
0
TT
I
tt ttdtqQq uSu
∞
⎡
⎤
=+
⎣
⎦
∫
•Ma trận R cần đượcthiếtkế sao cho I đạt được giá trị bé nhất. Hai vector trạng thái q(t) và đầu
vào
u(t) tham gia vào tiêu chuẩnchấtlượng qua hai ma trậntrọng số Q và S. Đólàhaima trận
hằng, toàn phương và xác định dương (positive definite).
•Khi chọn t =
∞ ta thu được R là mộtma trậnhằng. Khi chọn t là mộtgiátrị hữuhạn, ta thu được
ma trận
R(t). Khi tìm R sao cho I đạtgiátrị tốithiểutasẽ phảigiảiphương trình Riccati.
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
a) Hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầuvào

()
[]
() ()
VF
tttqABRqBKw
•
=− +
Sau khi đãthiếtlập đặc tính động họccủahệ thông qua thiếtkế R, có thể bổ sung thêm khâu (ma
trận) lọc đầuvào
K
VF
để cảithiện đặc tính tĩnh (Ví dụ: xác lập điểmlàmviệc, phân kênh tĩnh).
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
58
()
tq
•
(
)
0
tq
(
)
tq
(
)
tx
Đốitượng ĐK
Khâu ĐC

trạng thái
Khâu lọc
đầuvào
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
a) Hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầuvào(tiếp)
•Khi vector chủđạo w là hằng, sau khi quá trình quá độ –với động họcdo R quyết định – đã qua,
vector trạng thái xác lậplà
q
∞
, với:
()
0tq
•
=
•Vậytađặt điềukiện: Điềukiện đóthỏa mãn khi chọn:
xCqw
∞∞
=
=
()
1
1
VF
KCBRAB
−
−
⎡
⎤

=−
⎣
⎦
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
59
()
tq
•
(
)
0
tq
(
)
tq
(
)
tx
() ()
tte
y
•
=
()
tw
y
khâu PI

3. ĐK có phảnhồitrạng thái

3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
b) Kếthợphệ ĐK trạng thái với ĐK có hồitiếpvector biếnra
Bằng khâu lọc đầuvàoK
VF
ta không thể cảithiện được
động học, không thể khửđược nhiễu. Có thể sử dụng
ĐC trạng thái ở vòng trong cùng, kếthợpvớihồitiếp
vector biếnravàdùngmột khâu PI (hình dưới) để khử
nhiễu, hay bù biến động tham số của đốitượng vv…
(
)
(
)
(
)
(
)
() () ()
(
)
(
)
(
)
PI
tt tt
ttt
tt t
uRqKCqKy

qAqBu
yxCq
•
•
=− − +
=+
=− =−
Khi w = 0, z = 0 ta có:
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
60
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
b) Kếthợphệ ĐK trạng thái với ĐK có hồitiếpvector biếnra(tiếp)
•Mô hình trạng thái mở rộng của đốitượng ĐK:
()
()
()
()
()
t
t
t
t
t
•
•
⎡⎤
⎡⎤

⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
q
q
A0 B
u
y
-C 0 0
y
()
[]
(
)
()
,
PI
t
t
t
⎡
⎤
=− +

⎢
⎥
⎣
⎦
q
uRKCK
y
•Hàm ĐK trạng thái mới:
•Ma trận ĐC mớicókíchcỡ (m, n+r) có thểđượcthiếtkế theo các phương pháp ở mục3.1.2, áp
dụng cho đốitượng mớivớimôhìnhtrạng thái mở rộng (
n+r, n+r).
•Điềukiện để tìm đượcthiếtkế là
tính ĐK đượccủamôhìnhmở rộng. Tính ĐK đượctồntại khi
mô hình ban đầulà ĐK được hoàn toàn và ma trận:
có hạng
n + r (có rang n + r).
•Trong cấutrúcmới, các thành phầntíchphân
I khử triệt để độ dư sai lệch ĐC. Vì vậycóthể bỏ
qua khâu lọc đầuvào
K
VF
.
() () ()
ttt
•
=+qAqBu
⎡
⎤
⎢
⎥

⎣
⎦
A0
-C 0
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
61
Khâu bù
nhiễu
Khâu ĐC
trạng thái
Đốitượng
ĐK bị nhiễu
()
tq
•
(
)
0
tq
(
)
tq
(
)
tx
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
c) Hệ ĐK trạng thái có bù nhiễu

•Điềukiện để có thể thựchiện
bù:
Phải đo đượcnhiễu.
Nhiễutácđộng vào đốitượng
qua ma trận
E (n, m). Việc
bù đượcthựchiệnbằng ma
trậnbù
K
Az
.
() () ()
(
)
(
)
R
z
tt t
tt
qAqBu
Bu Ez
•
=+
++
•Việcthiếtkế khâu ĐC trạng
thái không thay đổi. Nhiễu
bị triệt tiêu khi:
(
)

(
)
z
ttBu Ez 0+=
•Ma trậnbùK
Az
có dạng:
(
)
1
TT
Az
−
=−KBBBE
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
62
Đốitượng ĐK
Khâu QS trạng thái
Luenberger
()
tq
•
(
)
0
tq
(
)
tq

(
)
tx
()
t
•
q

(
)
0
tq

(
)
tq

(
)
tx

(
)
tx

(
)
tq

3. ĐK có phảnhồitrạng thái

3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái liên tục
d) Hệ ĐK trạng thái sử dụng
khâu quan sát (QS) trạng thái
Khi không thểđo các biếntrạng
thái, ta phảidùng
khâu QS
Luenberger
vớicấutrúcở hình
bên phải để tính các biến đó.
Điềukiện: đốitượng ĐK phải
bảo đảmtínhquansátđược.
() () ()
() () () ()
ttt
tttt
qAqBu
q AqBuKx


•
•
⎧
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
=++
⎪
⎪
⎩
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ttt
ttt t
qqq
qqq AKCq





•
•
•
⎧
⎪
=−
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=−=−
⎪
⎪
⎩
•Mô hình trạng thái của đối
tượng và củakhâuQS:
•Mô hình củasaisố QS:
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
63
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.1 Ôn lạicáckiếnthứccơ sở
3.1.3 Các cấutrúcmở rộng củahệ ĐK trạng thái
d) Hệ ĐK trạng thái sử dụng khâu
quan sát (QS) trạng thái (tiếp)
•Ma trận K đượcthiếtkế sao cho các giá trị riêng củama trận có thành phầnthựcâm.
Việc

thiếtkế theo phương pháp gán cựcchỉ có thể thựchiệnkhiđốitượng là QS được toàn phần.
•Khi sử dụng vector để ĐK ta có:
()
AKC−
(
)
(
)
()
[]
() ()
tt
ttt
•
=−
⇒=− +
uRq
qABRqBRq


(
)
tq

•Vớiphương trình đặc tính:
()
()
()
()
t

t
t
t
•
•
⎡⎤
⎡
⎤
−
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
q
q
ABR BR
0AKC
q
q



()
()
()
()
()
StateController:
Observer:
det 0
SC
O
Ns
G
Ns
s
Ns
s
⎡⎤
−− −
⎢⎥
⎢⎥
=
=
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎣⎦
I A BR BR
0IAKC



•Vậy:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
det det 0
GSCO
Ns N sNs s s
⎡⎤⎡⎤
=
=−−⋅−−=
⎣⎦⎣⎦
IABR IAKC
•Vậymôhìnhhệ thống tổng thể là:
Phương trình đặctínhmớichothấyrõ: ĐiểmcựccủavòngQS khônghề di chuyểnvị trí điểm
cựccủa vòng ĐC. Việcgánđiểmcực cho hai vòng ĐC và QS có thể thựchiệnhoàntoànđộc
lậpvới nhau (nguyên lý phân ly, Separation Principle).
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
64
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.2 Mô hình trạng thái gián đoạn
•Mục 1.3.2c) đãxâydựng mô hình trạng thái gián đoạn cho các đối

tượng ĐK vớibảnchấtliêntục (hình dưới: đốitượng MIMO) như
bên cạnh:
()
() () ()
()
1
0
1
;
kkk
kkk
T
T
Te
TdT
T
A
qqΗu
xCqDu
ΗΗ BH
AIB
Φ
ΦΦ
Φ
Φ
νν
+
−
⎧
=+

⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
==
==
⎡
⎤
=−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
•Khi đốitượng ĐK là hệ SISO:
() () ()
() ()
1
0
1
;
kkk
T
kkk
T
T
u

xdu
Te T d
TT
A
qqh
cq
hh b
hA Ib
Φ
ΦΦ Φ
Φ
νν
+
−
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
== ==
⎡
⎤
=−
⎢
⎥
⎣

⎦
∫
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
65
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.3 Tính điều khiển đượcvàtínhquansátđược
3.3.1 Tính điềukhiển được
3.3.2 Tính quan sát được
1kkk
qqΗuΦ
+
=+
1
,,,
n
C
−
⎡
⎤
=
⎣
⎦
Q ΗΗ ΗΦΦ
•Một đốitượng MIMO mô tả bởilàĐK được hoàn toàn khi và chỉ khi:
Có thểđưa đốitượng chuyểntừ trạng thái ban đầubấtkỳ
q(0) tớitrạng thái cuốicùngq(N)
sau đúng
N chu kỳ trích mẫu T.
•Để bảo đảm điều đó, ma trận ĐK (

n, n m) Q
C
phảicóhạng n. TứclàQ
C
phảichứa n vector
cột độclậptuyến tính. Với:
•Một đốitượng MIMO mô tả bởi và có vector biến
ra là
QS được hoàn toàn khi và chỉ khi: Có thể xác định được
trạng thái ban đầubấtkỳ
q(0) sau mộtlượng hữuhạnchukỳ trích mẫu T,
khi ở thời điểmthứ
k biết vector biếnvàou
k
và đo được vector biếnrax
k
.
•Để bảo đảm điều đó, ma trậnQS (
n r, n) Q
O
phảicóhạng n. TứclàQ
O
phảichứa n vector hàng độclậptuyến tính. Với:
1
O
n
−
⎡
⎤
⎢

⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
C
C
Q
C
Φ
Φ

1kkk
qqΗuΦ
+
=+
kk
xCq=
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
66
k
q

1k+
q
Φ
1
z
−
I
−
R
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.4 Cấutrúccơ bản trên không gian trạng thái
[]
1
1
MIMO :
SISO :
kk
kk
T
kk
+
+
=
−
=−
⎡⎤
=−
⎣⎦
uRq
qHRq

qhrq
Φ
Φ
()()
()
()
11
MIMO:det ; SISO:det
nn
T
ii
ii
zzzzzz
==
⎡⎤
⎡⎤
−− =− −− =−
⎣⎦
⎣⎦
∏∏
IHR IhrΦΦ
•Vòng ĐC khép kín sẽ có hàm ĐK và
phương trình chuyểntrạng thái như sau:
•Có thể tìm bộ tham số ĐC bằng phương
pháp gán cựctrêncơ sở phương trình
đặc tính sau:
•
Trường hợp đặcbiệt: Khi đặttấtcả các điểmcực z
i
tạigốctọa độ ta sẽ thu được đặc tính của

khâu ĐC kiểu Dead – Beat (xem mục 2.3.3).
•Khâu ĐC kiểu Dead – Beat trên không gian trạng thái thường có đặc điểmnhậythamsố. Đồng
thời, biên độ của đạilượng ĐK
u
k
khá lớn.
•Thông thường, không nên đặttấtcả mọi điểmcựctạigốctọa độ.
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
67
k
q
1k
+
q
k
x
k
y
1k
+
y
1
z
−
I
1
z
−
I

Φ
−
R
I
K
P
K
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.5 Mộtsố dạng mở rộng
3.5.1 Hệ ĐK trạng thái có lọc đầu vào
[
]
1kkVFk
kk
+
⎧
=− +
⎪
⎨
=
⎪
⎩
qHRqHKw
xCq
Φ
(
)
1
VF
kk

∞
+∞
∞∞
⎧
−+ =
⎪
== ⇒
⎨
=
⎪
⎩
IHRqHKw
qqq
xCq
Φ
()
1
1
VF
−
−
⎡
⎤
=+−
⎣
⎦
KCIHR H
Φ
•Mô hình hệ như sau: •Ở trạng thái xác lập, khi w = const:
3.5.2 Hệ ĐK trạng thái có ĐC đầuratheoluậtPI

•VậytacóK
VF
:
Bằng việckếthợp
ĐC trạng thái với
vòng ĐC ngoài sử
dụng khâu PI ta có
thể theo đuổi các
mục tiêu thiếtkế
nhưởmục 3.1.3b.
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
68
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.5 Mộtsố dạng mở rộng
3.5.2 Hệ ĐK trạng thái có ĐC đầuratheoluậtPI
•Vector đầuracủakhâuI đượcviếtnhư sau:
1111kk kk k k k k
−
+++
=
+− ⇒ =+ −yy wx y yw x
•Khi w
k
= v
k
= 0 ta có:
1kkkk+
=
−+−yCqyCΗuΦ

1
1
kk
k
kk
+
+
⎡⎤ ⎡⎤
⎡
⎤⎡⎤
=+
⎢⎥ ⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
−−
⎣
⎦⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
qq
0 Η
u
yy
CI CΗ
Φ
Φ
()
,
k
kPI
k

⎡
⎤
⎡⎤
=− +
⎢
⎥
⎣⎦
⎣
⎦
q
uRKCK
y
•Mô hình trạng thái mở rộng có dạng:
•Từđótathuđược vector ĐK:
3.5.3 Hệ ĐK trạng thái có bù nhiễu
1kkkk
kk
qqΗuEv
xCq
Φ
+
⎧
=++
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩

•Cho trướclàđốitượng có nhiễu đo đượcnhư sau:
•Tác động củanhiễu
v
k
tới q
k+1
sẽ bị triệttiêunếutabùbởimột vector sau đây:
với:
(
)
vAvk
k =uKv
(
)
1
TT
Av
−
=−KHHHE
16 June 2007 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
Electrical Engineering - Automatic Control
69
Đốitượng ĐK
Khâu QS
trạng thái
Luenberger
k
q
k
x

k
q

k
x

k
x

k
q

1k
+
q

1k
+
q
z
I
z
I
Φ
Φ
3. ĐK có phảnhồitrạng thái
3.5 Mộtsố dạng mở rộng
3.5.4 Hệ ĐK trạng thái sử dụng khâu QS trạng thái
(
)

1
1
1
kkk
k
k
kk
kk
kk
qqHu
qqHuKx
qKCqHuKx
Φ
Φ
Φ−



+
+
+
⎧
=+
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
=++
⎪

⎪
⎩
⇒= ++
(
)
1
11
k
kk k
qqq KCqΦ−


+
++
=−=
•Từ sơđồcấutrúcbênta
viếthệ phương trình sau:
•Mô hình củasailệch
trạng thái có dạng:
Phảithiếtkế K sao cho mọi điểm
cựccủa đềunằm trong
đường tròn đơnvị. Nguyên lý
Separation có hiệulựcgiống như
trường hợphệ liên tục.
(
)
KCΦ−