Xác định tối ưu vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trường

Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Lời nói đầu
Trong những năm qua, việc bảo vệ môi trờng đã trở thành một vấn đề rất
quan trọng và đó là một vấn đề bức xúc trên phạm vi nớc ta nói riêng và trên
phạm vi toàn thế giới nói chung. Sự phát triển mạnh mẽ của các ngành công
nghiệp đã làm cho mức độ ô nhiễm môi trờng tăng lên và nó không chỉ ảnh h-
ởng tới một khu vực nào đó mà còn ảnh hởng tới cả các vùng lân cận trên một
diện rộng. Trong khi đó, các ngành công nghiệp tiếp tục phát triển không ngừng
và một vấn đề đặt ra là đặt các nhà máy công nghiệp đó ở đâu để mức độ ô
nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trờng xung quanh.
Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đã đặt ra một
bài toán cho toàn bộ loài ngời đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy công
nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hởng trực tiếp đến con ngời. Hiện
nay nhiều thành phố trên thế giới đã ở trong tình trạng báo động về mức độ ô
nhiễm. Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không khí bị
ô nhiễm và sức khoẻ của con ngời bị ảnh hởng nghiêm trọng. Rất nhiều nhà
khoa học đã nghiên cứu vấn đề này và đã tìm rất nhiều các phơng pháp tối u để
đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công nghiệp
đó gây ra cho con ngời là nhỏ nhất. Đây là một bài toán rất phức tạp và khó giải
quyết. Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài toán đó là
dùng phơng trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phơng trình liên hợp của
nó. Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của máy
tính đã hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đã giảm đợc rất nhiều khối lợng tính
toán và có độ chính xác cao hơn. Kết quả chính trong luận án là cách xác định
tối u vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trờng.
Luận án bao gồm các phần chính nh sau:
Tối u hoá - 1 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Chơng I. Cơ sở toán học
Mục đích chính của chơng này là nêu nên cơ sở toán học thuần tuý, cụ
thể là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất trong không khí, đồng thời

cũng đa ra dạng phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật
chất và cách giải bài toán đó.
Chơng II. Mô hình xác định vị trí tối u đặt nhà máy công nghiệp
Trong chơng này nêu nên cách xác định vị trí đặt nhà máy sao cho tối u
nhất theo nghĩa là mức độ ảnh hởng do nhà máy đó gây ra cho các vùng xung
quanh là thoả mãn yêu cầu về độ ô nhiễm môi trờng cho trớc.
Chơng III. Chơng trình và kết quả thử nghiệm
Chơng này đa ra một chơng trình minh hoạ phơng pháp giải bài toán
truyền tải và khuyếch tán, chơng trình đợc viết bằng ngôn ngữ Pascal, chơng
trình tính đợc nồng độ tạp chất trong một miền G cho trớc.
Chơng IV. Kết luận.
Cuối cùng là phần phụ lục có đa ra một số cơ sở toán để áp dụng trong quá trình
tính toán và mô hình tổng quát.
Em xin cảm ơn PGS.TS Bùi Minh Trí, TS Nguyễn Lơng Bách cùng các
bạn trong nhóm đã giúp đỡ, góp ý để em có thể hoàn thành tốt đồ án tốt nghiệp
này.
Hà nội 2003
Tối u hoá - 2 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Mục lục
Lời nói đầu.........................................................................................................1
Mục lục..............................................................................................................3
Chơng I
Cơ sở toán học...................................................................................................5
I.1. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất...............................5
I.1.1. Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không
khí. Tính duy nhất của nghiệm.....................................................5
I.1.2. Sự xấp xỉ khuyếch tán và tính duy nhất của nghiệm của bài
toán truyền tải và khuyếch tán vật chất...................................................8
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản...................................15

I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều..............20
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật
chất........................................................................................................22
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
đơn giản ..........................................................................................22
I.2.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
hai chiều..........................................................................................29
I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp......................32
I.3. Thuật toán giải phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và
khuyếch tán vật chất trong trờng hợp hai chiều...................................34
I.4. Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài
toán........................................................................................................36
I.4.1. Tính ổn định của lợc đồ sai phân.....................................36
I.4.2. Tính không âm của nghiệm bài toán ................................38
Chơng II
Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp ..................................................40
II.1. Phát biểu bài toán .........................................................................40
II.2. Trờng hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G ................42
Tối u hoá - 3 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
II.1.1. Đặt bài toán .....................................................................42
II.2.1 Chuyển bài toán tối u về dạng liên hợp ..........................46
II.3. Các mở rộng khác..........................................................................49
II.3.1. Trờng hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền
G...................................................................................................49
II.3.2. Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của
chất thải công nghiệp.............................................................................56
Chơng III
Chơng trình và Kết quả thử nghiệm...............................................................60
III.1. Chơng trình minh họa phơng pháp giải bài toán truyền tải và

khuyếch tán vật chất..............................................................................60
III.2. Kết quả thử nghiệm .....................................................................64
Chơng IV. Kết luận........................................................................................71
Phụ lục.............................................................................................................72
Tài liệu tham khảo ..........................................................................................77
Tối u hoá - 4 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
CHơng I. Cơ sở toán học
I.1. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất
Sự ô nhiễm vật chất đang lan trong không gian theo sức gió bao gồm một
số sự thay đổi nhất định. Sự thay đổi trung bình của vật chất đã làm cho dòng
đối lu thay đổi, và sự thay đổi trung bình của nó có thể đợc xét nh là sự khuyếch
tán trở lại mặt đất của dòng khí. Vấn đề của chúng ta là xét đến những mô hình
tham biến cho sự truyền tải và khuyếch tán vật chất. Cơ sở toán học mô tả quá
trình này là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất.
I.1.1. Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí.
Tính duy nhất của nghiệm.
Cho (x,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong không khí. Xét bài toán trong
một miền hình trụ G với biên S có tiết diện mặt bên hình trụ là , tiết diện đáy
là
0
(tại z=0), và tiết diện mặt trên là
H
(tại z=H). Chúng ta viết vectơ dòng
chảy theo một hớng nhất định, đây là một hàm của x,y,z,t, là

++=
kwjviuu

(với

i
,

j
,

k
là vectơ đơn vị của các trục x,y,z tơng ứng). Sự truyền tải vật chất
đợc mô tả bởi phơng trình sau:
t


=0
Dạng khai triển của phơng trình này là:
0
=


+


+


+


z
w

y
v
x
u
t

(1.1.1)
Phơng trình để đảm bảo tính trơn sau:
0
=


+


+


zyx

(1.1.2)
Từ đó chúng ta có phơng trình:
t


+div

u
=0 (1.1.3)
Dới đây chúng ta xét div

u
=0, sau đó giả sử rằng:
Tối u hoá - 5 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
w=0, tại z=0, z=H (1.1.4)
Từ (1.1.3) sử dụng đồng nhất thức sẽ đợc:

=


+


+


udivudiv
z
w
y
v
x
u


(1.1.5)
điều này là hợp lý nếu hàm và

u

là khác nhau. Với các giả thiết trên ta có thể
đa (1.1.5) trở thành:



=


+


+


udiv
z
w
y
v
x
u
(1.1.5)
Đây là một mối tơng quan rất quan trọng và nó sẽ đợc sử dụng thờng xuyên
trong các phần sau.
Phơng trình (1.1.3) thoả mãn điều kiện đầu là:
=
0
tại t=0 (1.1.6)
và điều kiện trên biên S của miền G là:
=

S
trên S với u
n
<0 (1.1.7)
với
0
và
S
là hàm đã cho và u
n
là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên
vectơ pháp tuyến ngoài của biên S. Điều kiện (1.1.7) định nghĩa mức độ ô
nhiễm trong miền G. Nghiệm chính xác của bài toán đợc cho bởi phơng trình
(1.1.3) là xác định đợc nếu hàm u,v,w là biết đợc trong không gian và thời gian.
Phơng trình (1.1.3) có thể đợc tổng quát hoá. Ví dụ, nếu hệ số phân huỷ,
lắng đọng 0 trong miền G, khi đó phơng trình sẽ trở thành:
t


+div

u
+=0 (1.1.8)
Nghiệm này sẽ đợc cụ thể nếu u=v=w=0 trong phơng trình (1.1.8). Bây
giờ ta xét phơng trình
t


+=0, và nghiệm của nó là
=

0
exp(-t)
nghiệm có dạng hàm mũ, còn
0
là giá trị ban đầu.
Nếu miền nghiệm chứa nguồn thải đợc mô tả bởi hàm f(x,y,z,t), khi đó
phơng trình (1.1.8) trở thành:
t


+div

u
+=f (1.1.9)
Tối u hoá - 6 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Bây giờ chúng ta trở lại nghiên cứu bài toán đã phát biểu ở trên và điều
kiện để dẫn tới (1.1.9). Bằng cách nhân (1.1.9) với và lấy tích phân trên toàn
miền xác định [0,T] và G ta đợc:
dGfdtdGdtdG
u
divdtdGdG
G
T
G
T
G
T
t
G

Tt
G

=++
==


0
2
0
2
0
0
22
2
|
2
|
2
(1.1.10)
áp dụng công thức Ostrogradsky-Gauss nh sau:

=
S
n
G
dS
u
dG
u

div
22
2
2


(1.1.11)
Với tính chất (1.1.4) u
n
sẽ triệt tiêu khi z=0, z=H, do đó tích phân trên S trong
(1.1.11) có thể đợc thay thế bởi tích phân trên bề mặt hình trụ , có để ý đến
điều kiện (1.1.4). Điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán bây giờ trở
thành:
=
0
tại t=0
=
S
trên S cho u
n
<0 (1.1.12)
trong đó
0
và
S
là cho trớc, từ phơng trình (1.1.10) chúng ta có đợc
dGfdtdS
u
dtdGdGdtdS
u

dtdG
G
T
G G
Sn
T
G
T
G
Sn
T
G
T

+=++
+





0
2
0
2
0
2
0
2
0

2
2222
(1.1.13)
với
+
n
u
={u
n
,nếu u
n
>0, hoặc 0 nếu u
n
<0}

n
u
=u
n
-
+
n
u
Đẳng thức (1.1.13) là cơ sở để chứng minh tính duy nhất của nghiệm bài
toán đợc mô tả bởi phơng trình (1.1.9) và (1.1.12). Thực vậy, giả sử chúng ta có
hai nghiệm khác nhau gọi là
1
và
2
thoả mãn phơng trình (1.1.9) và điều kiện

(1.1.12). Khi đó bài toán cho độ lệch =
1
-
2
là:
t



+div

u
+=0
(1.1.14)
=0 tại t=0,
Tối u hoá - 7 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
=0 trên S nếu u
n
<0 (1.1.15)
Phơng trình (1.1.13) cho hàm sẽ có dạng
0
22
2
0
2
0
2
=++

+
dGdtdS
u
dtdG
G
T
G
Sn
T
G
T



(1.1.16)
Nếu 0, thì tất cả các tích phân bên vế trái đều dơng, do đó đẳng thức
này xảy ra khi và chỉ khi =0, tức là
1
=
2
. Vì vậy bài toán có nghiệm duy nhất.
Trong trờng hợp các thành phần của vectơ hớng gió là các hàm khác
nhau thì chúng ta cũng chứng minh tơng tự đợc nó có duy nhất nghiệm và
nghiệm đó luôn luôn tồn tại.
Từ đó ta đi tới bài toán nh sau:
t


+div

u
+=f (1.1.17)
=
0
tại t=0
=
S
trên biên S với u
n
<0 (1.1.18)
bài toán này cũng nó có nghiệm duy nhất.
I.1.2. Xấp xỉ sự khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền
tải và khuyếch tán vật chất
Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không gian
từ nguồn chất thải đợc xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động bên
ngoài nh sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài..., các mô hình đó chỉ mới xét
đến trờng hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn.
Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành:
t


+=f (1.2.1)
=
0
tại t=0
Nếu f không phụ thuộc vào t, nghiệm sẽ là
=
0
e
-

t
+
)1(
t
e
f




(1.2.2)
Tối u hoá - 8 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
nếu t đủ lớn thì bài toán sẽ đợc xấp xỉ thành =f, tức là =f/. Đây cũng là
nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.2.1).
Mô hình đơn giản này không mô tả đợc tính chất chính của sự truyền tải
vật chất trong không gian của hàm nguồn f. Trên thực tế, chúng ta chỉ biết đợc
sự ô nhiễm trong không khí nếu nó đang phân tán trong phạm vi lân cận của
nguồn thải f.
Xét trờng hợp đơn giản nh sau:
Giả định rằng chúng ta chia hàm a thành tổng của hai thành phần là giá
trị trung bình

a
và thành phần sai số a, tức là a=

a
+a, với
a<<

a
(1.2.3)
điều này có nghĩa rằng sự sai số của a là rất nhỏ. Ta lại giả sử rằng giá trị trung
bình của a đợc tính theo công thức sau

a
=

+
Tt
t
adt
T
1
(1.2.4)
và
0'
1
'
==

+

Tt
t
dta
T
a
(1.2.5)

Nếu nh quá trình xử lý thoả mãn điều kiện (1.2.3)-(1.2.5), chúng ta có
thể áp dụng phơng pháp dới đây để xác định đợc sự truyền tải vật chất trong
không gian trong các trờng hợp khác nhau.
Lấy tích phân của phơng trình (1.1.8) trên khoảng tt+T

++

++
+
Tt
t
Tt
t
dtdtudiv
T
tTt


)()(
=0 (1.2.6)
Giả sử rằng =
'

+
và
'

+=
uuu
, nh trong phơng trình (1.2.4), chúng ta nhận

đợc từ (1.2.6) nh sau
0''
)()(
=+++
+



udivudiv
T
tTt
(1.2.7)
hoặc tơng đơng với
T
tTt
udivudiv
T
tTt )(')('
''
)()(



+
=+++
+

(1.2.8)
Tối u hoá - 9 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43

Tiếp theo ta viết các hàm nồng độ nh sau:

=
, =a. Với giả sử
rằng

, thế thì a<< và có a/=<<1. Do đó phơng trình (1.2.8) đợc viết lại
là
)1(''
)()(
o
T
udivudiv
T
tTt



=+++
+

(1.2.9)
với o(1) sai phân bậc một của . Khi đó vế phải của (1.2.9) là nhỏ bởi vì có
tham biến /T, và có thể bỏ qua. Kết quả sẽ thu đợc là
0''
)()(
=+++
+

udivudiv
T
tTt
(1.2.10)
Nếu hàm

(t) biến thiên nhỏ trong khoảng thời gian T, chúng ta có thể
thay
T
tTt )()(

+
bằng vi phân
t



từ đó đi tới phơng trình cho các thành phần
trung bình nh sau
0''
=+++





udivudiv
t
(1.2.11)

phơng trình này khác với (1.1.8) là có sự xuất hiện của
''


udiv
.
Nếu các thành phần của vectơ dòng chảy có dạng sau thì nghiệm của bài
toán đợc xác định:
x
u


=

à
''
,
y
v


=

à
''
,
z
w

=


''
(1.2.12)
ở đây à0 và 0 là hệ số khuyếch tán theo chiều ngang và chiều đứng tơng
ứng, các hệ số này là xác định.
Thế (1.2.12) vào (1.2.11), chúng ta có thể xấp xỉ sự khuyếch tán của các
chất gây ô nhiễm trong không khí là


Dudiv
t
=++


(1.2.13)
với
zzyyxx
D




+




+

=



à

à
(1.2.14)
Tối u hoá - 10 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Tất nhiên phơng trình (1.2.13) cần phải có điều kiện trơn sau
div

u
=0 (1.2.15)
và điều kiện ban đầu sau
0

=
tại t=0 (1.2.16)
với những điều kiện biên cho trớc thì bài toán trên có nghiệm duy nhất.
Chúng ta nhân (1.3.13) với hàm rồi lấy tích phân trong khoảng 0tT
và miền G:

+


+
+

+


















+

=++



0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
222
d
z
d
z
d

n
dG
zyx
dtdGdtdS
u
dtdGdG
H
G
T
G
T
S
n
T
GG
T





à



à


T
0

dt

(1.2.17)
ở đây
T
=(T),
0
=(0),
n


là đạo hàm riêng theo hớng vectơ pháp tuyến của
bề mặt . Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, là bề mặt hình trụ,
H
là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H,
0
là phần mặt cắt ngang của hình trụ
khi z=0. Phơng trình (1.2.17) đợc viết thành:

+


+
+=+
+

+


















+

++





+
0
22
22
2
0
2
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
d
z
d
z
d

n
dS
u
dtdGdGdt
dG
zyx
dtdS
u
dtdG
H
S
n
T
GG
T
T
GS
n
T
G
T





à

à


T
0
dt


(1.2.18)
Xét điều kiện biên dới đây:
=
S
trên khi u
n
<0
Tối u hoá - 11 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
n


=0 trên khi u
n
0 (1.2.19)


=

z
trên
0
,
0
=


z

trên
H
ở đây 0 là hàm định nghĩa sự tác động của chất ô nhiễm dới lớp bề mặt.
Ngoài ra ta còn có:
w=0 tại z=0, z=H (1.2.20)
Sử dụng các điều kiện (1.2.19), (1.2.20) và điều kiện đầu (1.2.16) ta thu đợc
mối tơng quan sau:








+



+

+=++
+


















+

+








++
d
n
d
u
dtdGddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
Sn

T
GG
T
T
G
n
T
G
T

à





à


T
0
T
0
dt
dt
22
22
2
0
2

0
22
0
0
2
2
2
2
0
2
0
(1.2.21)
ở đây S đợc thay bằng .
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng nghiệm của nó là duy nhất. Bằng ph-
ơng pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm
1
và
2
khác nhau thoả mãn
(1.2.13), điều kiện ban đầu (1.2.16), điều kiện biên (1.2.19) và các điều kiện
khác. Do đó hàm độ lệch =
1
-
2
đợc viết dới dạng phơng trình nh sau:
t



+div

u
+=D (1.2.22)
với điều kiện ban đầu
=0 tại t=0 (1.2.23)
và điều kiện biên
=0 trên khi u
n
<0,
0
=


n

trên khi u
n
0 (1.2.24)


=


z
trên
0
Tối u hoá - 12 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
0
=

z

trên
H
Với bài toán này thì (1.2.21) đợc viết lại thành
0dt
22
0
2
T
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
=++
+

+

+








++




+
ddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
G
T
T
G
n
T
G
T

à



(1.2.25)
Vì các giá trị
+
n
u
, à, , , trong phơng trình (1.2.25) là không âm, nên
chỉ có trờng hợp =0 tức là
1
=
2
thì đẳng thức trên mới xảy ra. Do đó nghiệm
của bài toán là duy nhất. Để cho đơn giản, có thể giả sử rằng ở đây hàm f=0.
Khi đó sự ảnh hởng của một nguồn thải sẽ đợc tính nh trong phần trên.
Khi công xuất nguồn thải khác 0, bài toán đợc xét cũng có nghiệm duy
nhất trong sự xấp xỉ khuyếch tán, miễn là các dữ liệu đầu vào phải thoả mãn các
điều kiện đủ trơn. Khi đó bài toán có dạng nh sau:
fDudiv
t
+=++

=
0
tại t=0
=
S
trên khi u
n
<0
n


=0 trên khi u
n
0 (1.2.26)


=


z
trên
0
,
0
=


z

trên
H
Giả sử rằng vectơ vận tốc không thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định
tức là
div

u
=0 và w=0 tại z=0, z=H
Tối u hoá - 13 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Trong trờng hợp nh vậy thì bài toán (1.2.26) có dạng đơn giản hơn, và bài
toán này đôi khi đợc sử dụng để tính toán, bài toán này cũng có nghiệm duy
nhất. Dạng toán học nh sau:
fDudiv
t
+=++





(1.2.27)
=
0
tại t=0
=
S
trên

=


z
trên
0
,
0
=


z

trên
H
Để làm rõ hơn chúng ta biểu diễn toán tử D (đã đợc định nghĩa trong phơng
trình (1.2.14)) thành hai thành phần nh sau
D=
zzzz
yx




+=

+








+


àà
2
2
2
2
Để dễ dàng cho việc phân tích và tính toán, chúng ta giả sử rằng hệ số
khuyếch tán à không phụ thuộc vào cả không gian và thời gian.
Bây giờ ta có thể xét bài toán ba chiều tổng quát, nhng có nhiều trờng
hợp mà hai chiều (x,y) đợc xấp xỉ phù hợp với phơng trình (1.2.26) hoặc
(1.2.27). Ví dụ, đối với phơng trình (1.2.27) khi ta lấy tích phân dọc theo chiều
cao, ta có

++




=++

HHHHHH
fdzdzdz
zz
dzdzudivdz
t
000000
à


(1.2.28)
Giả sử các thành phần theo chiều ngang u, v của vectơ dòng chảy không
phụ thuộc vào độ cao đối với sự truyền tải và khuyếch tán vật chất, chúng ta có
Hz
z
HHH
wdzv
y
dzu
x
dzudiv
=
=

+

+










=

0
000
|

(1.2.29)
Vì w triệt tiêu tại z=0 và z=H, nên
Tối u hoá - 14 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43

+










=


HHH
dzv
y
dzu
x
dzudiv
000

(1.2.30)
Khi đó chúng ta đi tới phơng trình cân bằng nh sau
00
0
||
=
=
=


=


=





z
Hz
z
H
zz
dz
zz

(1.2.31)
Khi sử dụng điều kiện biên


=


z
tại z=0 thì phơng trình trên có thể viết gọn
lại thành
0
0
|
=
=





z
H
dz
zz



Nếu xấp xỉ nồng độ tạp chất tại z=0 bằng

=
=
H
z
dz
H
0
0
1
|

Thì sẽ thu đợc kết quả cuối cùng nh sau

=




HH
dz
H
dz
zz
00
1



(1.2.32)

Biểu diễn độ ô nhiễm không khí và hàm nguồn qua tích phân mang tính
phân phối nh sau

=
H
dz
0

,

=
H
fdzf
0
Khi đó thay vào phơng trình (1.2.28) ta thu đợc
f
dy
v
dx
u
dt
+=+

+

+

à

(1.2.33)

với
H


+=
. ở đây


là tổng độ lắng đọng của chất gây ô nhiễm trong
không khí, còn (
H


) là độ lắng đọng trên bề mặt trái đất.
Tối u hoá - 15 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản
Ta xét bài toán đơn giản nhất của phơng trình truyền tải và khuyếch tán
vật chất đó là bài toán một chiều đợc mô tả toán học nh sau
)(
0
2
2
xxQ
dx
d
+=


à

(1.3.1)
với -<x<+, Q là cờng độ phun thải tại nguồn. Điều kiện biên trong trờng hợp
này là đợc giảm bớt đi để thoả mãn yêu cầu là bài toán có nghiệm trong toàn bộ
miền đang xét. Chú ý rằng hàm nguồn f trong phơng trình (3.1) có dạng đặc
biệt, nó là tích của cờng độ phun thải Q với một hàm dirac (x-x
0
). Hàm dirac
đợc định nghĩa nh sau
(x-x
0
)=




=
0
0
xx nếu
xx nếu
0
1
Chúng ta lấy tích phân phơng trình (1.3.1) trong lân cận của điểm x
0
ta đợc
Q
x
d
x
d

dx
xx
x
x
+



=
+
+


2/2/
2/
2/
00
0
0
||




à

à
Cho tiến dần đến 0, ta có
0||
00

=+



+
Q
x
d
x
d
xx

à

à
(1.3.2)
Chúng ta hãy xét hai khoảng nghiệm -<xx
0
và x
0
x<+; các ngiệm t-
ơng ứng ký hiệu là
-
và
+
, khi đó các bài toán cần giải tơng ứng là
0
2
2
=

+
+


à
dx
d
(1.3.3)

+
=0 khi x+
và
0
2
2
=




à
dx
d
(1.3.4)

-
=0 khi x-
Tổng hợp các nghiệm lại sẽ cho điều kiện biên tại x=x
0
Tối u hoá - 16 -

Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
0
=+



+
Q
x
d
x
d

à

à
tại x=x
0
(1.3.5)
điều kiện dới đây thể hiện tính liên tục của bài toán tại mọi điểm kể cả x=x
0

+
=
-
tại x=x
0
(1.3.6)
Ta có thể dễ dàng thấy nghiệm của bài toán (1.3.3) và (1.3.4) là

+
=C
+
exp(
))(/
0
xx

à
,

-
= C
-
exp(
))(/
0
xx

à
(1.3.7)
Thế vào phơng trình (1.3.5) và (1.3.6) ta thu đợc hai phơng trình tuyến tính và
thu đợc kết quả sau
C
+
= C
-
=
à
2

Q
Do đó nghiệm của bài toán (1.3.1) đợc biểu diễn dới dạng sau







=
00
00
x xcho ))(/exp(
x xcho ))(/exp(
2
)(
xx
xx
Q
x
à
à
à

(1.3.8)
và đồ thị của nó đợc minh hoạ trong hình 1 dới đây
Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng


Q

dxx
=



)(
Bây giờ chúng ta xét trờng hợp mà vectơ vận tốc dòng chảy là khác 0 và
có thể coi làhằng số và dơng. Khi đó ta sẽ có phơng trình sau
Tối u hoá - 17 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 1. Đồ thị mô tả nghiệm của phương trình truyền tải và
khuyếch tán khi vận tốc dòng chảy bằng không
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
)(
0
2
2
xxQ
dx
d
dx
d
u
+=+

à

(1.3.9)
với x chạy trong khoảng -<x<+. Bài toán (1.3.9) có thể chuyển tơng đơng
với việc giải hai bài toán có điều kiện sau
=
=
+
+
++
x khi 0
0
2
2



à
dx
d
u
dx
d
(1.3.10)
và
=
=

x khi 0
0
2
2



à
dx
d
u
dx
d
(1.3.11)
Tổ hợp hai phơng trình này lại ta đợc
0
xx tại
==
=
+
+


à

à
0Q
dx
d
dx

d
(1.3.12)
Nghiệm của bài toán (1.3.10) và (1.3.11) lần lợt là
00
2
2
00
2
2
,)(
2
4
exp
,)(
2
4
exp
xx
xx

++=

+=

++
xx
uu
C
xx
uu
C
à
à
à


à
à
à


(1.3.13)
Thế vào phơng trình (1.3.12), chúng ta đợc C
+
=C
-
=C và
C
+
=C
-
=C=

2
4 u
Q
+
à
Nghiệm cuối cùng có dạng

++




















+
+
=
00

2
2
00
2
2
2
,)(
2
4
exp
,)(
2
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x
à
à
à

à

à
à

à

(1.3.14)
đồ thị của nó có dạng sau
Tối u hoá - 18 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 2. Đồ thị mô tả dáng điệu của nghiệm bài toán truyền tải
và khuyếch tán khi vectơ vận tốc dòng chảy khác không
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Bây giờ chúng ta xét một bài toán phức tạp hơn đó là khi hớng gió thay
đổi sau một khoảng thời gian nào đó ví dụ trong một khoảng thời gian dài với
giá trị dơng của x (u
1
>0) và đổi hớng ngợc lại với giá trị âm u
2
<0. Khi đó ta sẽ
có hai nghiệm sau

++

+
+
=
00
1
2
2
1
00
1
2
2
1
2
1
1

,)(
2
||
4
exp
,)(
2
||
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x
à
à
à

à
à
à

à

(1.3.15)

+




















++
+
=
00
2
2
2
2

00
2
2
2
2
2
2
2
,)(
2
||
4
exp
,)(
2
||
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x
à

à
à

à
à
à

à

(1.3.16)
Nếu chu kì dơng là t
1
ngày, còn chu kì âm là t
2
ngày, khi đó nồng độ
đợc tính theo công thức
Tối u hoá - 19 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
)()()(
2
21
2
1
21
1
x
tt
t
x
tt

t
x

+

+
+

=
(1.3.17)
Nghiệm (1.3.17) đợc minh hoạ trên hình dới đây
Cuối cùng xét mô hình thống kê trong đó vectơ vận tốc dòng chảy đợc
xác định bằng phơng pháp thống kê. Cho vectơ vận tốc dòng chảy là
u()=
)(

pu
(1.3.18)
với là đại lợng ngẫu nhiên trong khoảng [0,1], và p() là mật độ phân phối
chuẩn, tức là
1)(
1
0
=


dp
. Nếu dòng chảy không khí chịu ảnh hởng của hớng
gió thì nghiệm của bài toán (1.3.9) với điều kiện (1.3.18) đợc biểu diễn dới
dạng tích phân của các biến ngẫu nhiên sau

+

=
1
0
2
0
4
)(
))(,(
2
)(

à

à


à

d
u
uxxw
Q
x
(1.3.19)
với

++

+
=
00
2
2
00
2
2
0
,)(
2
|)(|

4
)(
exp
,)(
2
|)(|
4
)(
exp
))(,(
xx
xx
xx
u
u
xx
u
u
uxxw
à

à

à

à

à

à

(1.3.20)
Tối u hoá - 20 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 3. Đồ thị mô tả nghiệm trong trường hợp vectơ
hướng gió thay đổi ngược chiều nhau trong một khoảng
thời gian nhất định
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Cho mỗi giá trị cố định của x, ta sẽ tính đợc tích phân trong phơng trình
(1.3.19) đợc tính bằng phơng pháp Monte-Carlo.[2]
I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều
Trong phần này chúng ta hãy xét trờng hợp riêng của bài toán tổng quát.
Ta chỉ xét bài toán trong trờng hợp hai chiều, đó là ta chỉ xét trên bề mặt trái đất
mà ta không để ý đến sự thay đổi theo chiều thẳng lên trên. Miền đợc xét bây
giờ là một miền phẳng G có biên . Khi đó phơng trình vi phân mô tả quá trình
truyền tải và khuyếch tán vật chất có dạng sau:
à

+=+


+


+

f
y
v
x
u
t
(1.4.1)
trong đó : nồng độ tạp chất


u
=(u,v): vectơ vận tốc dòng chảy thoả mãn điều kiện:
x
u


+
y
v


=0 (1.4.2)
0 : hệ số phân huỷ, lắng đọng
=
2
2
x

+
2
2
y


(1.4.3)
f: hàm nguồn
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
(x,y,0)=
0
(x,y)

=


|
(1.4.4)
0|
=


+

r

trong đó:

-

: đoạn biên mà trên đó u
n
< 0

+
: đoạn biên mà trên đó u
n
0
u
n
là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy lên vectơ pháp tuyến của biên .
Nghiệm của bài toán (1.4.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên
(1.4.4) có thể tìm dới dạng: =
1
+
2
, trong đó
1
,
2
là nghiệm của bài toán sau:
Tối u hoá - 21 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
11
111
f
y
v
x
u

t
à+=+


+


+


(1.4.5)
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
0|
0t1
=
=
;
0|
1
=



;
0|
1
=


+

n

và
22
222
à

=+


+


+


y
v
x
u
t
(1.4.6)
với điều kiện
)y,x(|
*
0t2
=
=
;

=


|
2
;
0|
2
=


+

n

Khi ứng dụng vào quá trình tính toán xác định nồng độ của chất ô nhiễm
thì chúng ta không dùng trực tiếp phơng trình truyền tải và khuyếch tán vì có
thể rất phức tạp và không chính xác. Do đó chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên
hợp của nó vì nó cho ta trực tiếp giá trị nồng độ ô nhiễm và đối với bài toán liên
hợp thì việc tính phiếm hàm nồng độ sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Điều này đã đ-
ợc chứng minh.[2]
Dới đây chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của phơng trình truyền
tải và khuyếch tán vật chất.
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn giản
Xét phơng trình khuyếch tán đơn giản sau
)(
0
2

2
xxQ
x
t
=


+




à

(2.1.1)
với điều kiện
=
0
khi t=0 (2.1.2)

0
là hàm của x cho trớc và đợc giả sử rằng nghiệm là tìm đợc trong khoảng
-<x<.
Đầu tiên ta định nghĩa không gian của hàm , với không gian đó thì bài
toán sẽ có nghiệm. Giả định rằng không gian này đợc xét theo hai chiều là theo
Tối u hoá - 22 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
thời gian t và theo trục x. Giả sử rằng các hàm này đợc giới hạn trong khoảng
-<x< và hội tụ khi x, do đó bảo đảm tổng bình phơng là khả tích, tức là

<
dxdt
T
2
0

Chúng ta viết phơng trình (2.1.1) dới dạng
L=f (2.1.3)
với
L=
2
2
x
t


+


à
, f=Q(x-x
0
)
Xét trong không gian Hilbert với tích vô hớng đợc định nghĩa
(g,h)=

ghdxdt
T
0
Bây giờ ta đi tìm phơng trình liên hợp của phơng trình khuyếch tán này.
Bằng cách nhân (2.1.1) với một hàm
*
nào đó, sau đó lấy tích phân trên toàn bộ
miền không gian và theo thời gian





=


+


dxxxdtQdx
x
t
dt
TT
)()(
0
*
0
2
2

*
0


à


(2.1.4)
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta đợc
dx
t
dtdxdx
t
dt
T
Tt
t
T



=
=






=

*
0
0
**
0
|




(2.1.5)



=
=




+





=

dx
t
dtdt
xx
dx
x
dt
TT
x
x
T
*2
00
*
*
2
*
0
|)(








(2.1.6)
Thế (2.1.5) và (2.1.6) vào (2.1.4) thu đợc nh sau

=





à+


à+




=


=
=


T
0
0
*
T
0
x
*

*Tt
0t
*
2
*2
*
*
T
0
dt)t,x(Q|dt)
xx
(|dxdx)
x
t
(dt
(2.1.7)
Giả sử rằng

*
=0 khi x (2.1.8)
khi đó (2.1.7) đợc rút gọn lại thành
Tối u hoá - 23 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43

=+


à+

T
0
0
**
00
*
TT
2
*2
*
*
T
0
dt)t,x(Qdx)(dx)
x
t
(dt
(2.1.9)
Giả sử rằng
*
thoả mãn phơng trình
2
*2
*
*

x
t


à+



=p (2.1.10)
với điều kiện đầu

*
=0 khi t=T (2.1.11)
và điều kiện biên (2.1.8), ở đây p là hàm của x và t, đợc cho trớc, khi đó bài
toán này sẽ là bài toán liên hợp của phơng trình đã cho. Ta có thể viết gọn ph-
ơng trình (2.1.9) lại nh sau





+=
dx)0,x()0,x(dt)t,x(Qdxpdt
*
T
0
0
*
T
0

(2.1.12)
Đặt
J=



dxpdt
T

0
(2.1.13)
là phiếm hàm tuyến tính của và đợc tính từ nghiệm của bài toán (2.1.1) và
(2.1.2). Từ (2.1.12) ta có thể tính phiếm hàm này theo nghiệm của bài toán liên
hợp nh sau
J=



+
dx)0,x()0,x(dt)t,x(Q
*
T
0
0
*
(2.1.14)
Điều này đúng với nguyên tắc đối ngẫu.
Xét bài toán của những phiếm hàm. Phiếm hàm (2.1.13) có ý nghĩa vật lý
là phiếm hàm cho biết nồng độ của chất ô nhiễm đợc phân bố nh thế nào trong
toàn bộ miền G. Trong trờng hợp hàm p nh sau

p(x,t)=
)t()x(

(2.1.15)
Thế nó vào (2.1.13) ta đợc
J=(,) (2.1.16)
Tối u hoá - 24 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Thì đây là giá trị của nghiệm tại x=, t=. Điều này cũng có thể đợc tính bằng
công thức (2.1.14) nếu p trong bài toán liên hợp (2.1.10) và (2.1.11) đợc cho bởi
công thức (2.1.15).
Xét trờng hợp khác, chúng ta cần tìm tổng số lợng vật chất trong khoảng
axb. Trong trờng hợp này hàm p(x,t) sẽ có dạng
p(x,t)=





b][a,x 0,
b][a,x ,1
(2.1.17)
Thế vào (2.1.13) ta đợc

=
b
a
T
0
dxdtJ

(2.1.18)
phiếm hàm tơng tự có thể đợc tìm bằng cách sử dụng (2.1.14).
Sau đó, giả sử rằng ta đo đợc tổng của nồng độ tạp chất trên [a,b] trong
khoảng thời gian [
1
,
2
]. Cũng giả thiết thêm rằng nghiệm phụ thuộc vào x và t,
tức là ta có thể biểu diễn bởi hàm x=V(t)X(x). Điều này là rất cần thiết để so
sánh giá trị đo đạc đợc và giá trị tính toán của phiếm hàm. Do đó ta chọn hàm
p(x,t) có dạng
p(x,t)=





],,0
],),x(X)t(V
2
2
1
1
[t và b][a,x
[t và b][a,x
(2.1.19)
với giá trị hàm p nh vậy thì ta đi tới phiếm hàm sau

=
b
a
dx)x(X)t(VdtJ
2
1
(2.1.20)
Tập hợp các phiếm hàm thoả mãn đã đợc mở rộng. Điều này rất quan
trọng để chú ý rằng trong cách này chúng ta có thể tính bất cứ một phiếm hàm
tuyến tính nào của nghiệm và do đó đi tới xây dựng bài toán liên hợp của nó.
Tối u hoá - 25 -