Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TỐI ƯU HOÁ HỆ GIẢM CHẤN NHIỀU BẬC TỰ DO TRONG CHẾ ĐỘ CƯỠNG BỨC ỔN ĐỊNH" pps

TỐI ƯU HOÁ HỆ GIẢM CHẤN NHIỀU BẬC TỰ DO
TRONG CHẾ ĐỘ CƯỠNG BỨC ỔN ĐỊNH
OPTIMIZING A MULTI-DEGREE-OF-FREEDOM DAMPING SYSTEM IN
PERMANENT FORCED MODE


LÊ CUNG
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng


TÓM TẮT
Bài báo giới thiệu phương pháp và kết quả giải bài toán tối ưu cho hệ giảm chấn nhiều bậc tự
do, nhằm xác định các thông số động lực học của hệ phụ sao cho khả năng giảm chấn của hệ
là cao nhất trong miền tần số cho trước. Đồng thời, nghiên cứu ảnh hưởng của tỷ số giữa tổng
khối lượng hệ phụ và khối lượng hệ chính đến khả năng giảm chấn của toàn hệ.
ABSTRACT
This article presents the optimization of a multi-degree-of-freedom damping system to estimate
the optimal dynamic parameters of the secondary system to attain a minimum vibration
amplitude in a given frequency range. At the same time, it deals with the influence of the mass
ratio between the secondary and principal system on the damping capacity of the whole
system.


1. Tổng quan
Hệ giảm chấn động lực học được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật cách rung. Hệ giảm
chấn hai bậc tự do và bài toán tối ưu cho hệ đã được nhiều tác giả nghiên cứu khá chi tiết. Các
tác giả đã xác định được nghiệm giải tích cho bài toán [1], [2], [3]. Hệ giảm chấn nhiều bậc tự
do cũng được đề cập trong một số tài liệu [4], [5]. Tuy nhiên, chỉ mới nêu ra kết quả bài toán
tối ưu cho một dải hẹp tỷ số giữa tổng khối lượng hệ phụ và khối lượng hệ chính [4]. Ở đây,
chúng tôi tiến hành giải bài toán tối ưu đối với hệ nhiều bậc tự do ứng với một dải tỷ lệ khối
lượng rộng hơn, nhằm mở rộng khả năng lựa chọn cho người thiết kế. Đồng thời, cũng nghiên

cứu ảnh hưởng của số bậc tự do và tỷ số khối lượng nói trên đến khả năng giảm chấn của hệ.

2. Cơ sở lý thuyết của hệ giảm chấn nhiều bậc tự do
Hệ giảm chấn động lực
học bao gồm tập hợp các phần
tử dao động, gọi là hệ phụ, gắn
liền với một kết cấu dao động
gọi là hệ chính (Hình 1). Việc
giảm các dao động của hệ chính
dựa vào việc truyền dao động
cho hệ phụ. Hệ chính có khối
lượng
1
m
, độ cứng
1
k
cần được
giảm chấn. Hệ phụ gồm N khối
lượng
i
m
, N lò xo độ cứng
i
k
và
N bộ giảm chấn có hệ số giảm
Hình 1: Hệ giảm chấn nhiều bậc tự do
0
cos( )

F F t


1
m
1
2
k
1
2
k









Hệ phụ
HÖ phô



2
m
i
m
1

N
m

i
k
i
c
Hệ chính
chấn
i
c
với i = 2 N+1, nối với hệ chính.
Chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ ổn định gây ra bởi một lực kích thích điều hoà
0
cos( )
F F t


tác dụng lên khối lượng
1
m
của hệ chính.
Áp dụng phương trình Lagrange (loại II), chúng ta nhận được hệ phương trình vi phân
chuyển động viết dưới dạng ma trận:
















M x C x K x F
  
&& &
(1)
Trong đó:
   
1 2 1

T
N
x x x x

 mô tả dịch chuyển tuyệt đối thẳng đứng của các
khối lượng
i
m
, với i = 1 N+1; N: số bậc tự do của hệ phụ;


M
: ma trận khối lượng;



K
:
ma trận độ cứng;


C
: ma trận hệ số giảm chấn;


F
: véctơ các lực kích thích dao động:
   
0
cos( ) 0 0
T
F F t

 .
Các dịch chuyển
i
x
trong chế độ ổn định là các hàm điều hoà, có cùng tần số góc với
lực kích thích. Do đó, để giải bài toán được thuận lợi, chúng ta biến đổi hệ phương trình (1) về
dạng phức như sau:













2
0
M j C K X F
 
    (2)
Trong đó:
 


1 2 1

T
N
X X X X

 và
   
0 0
0 0
T
F F
Với:

i
X
là biên độ phức của dịch chuyển
i
x
của khối lượng
i
m
với i = 1 N+1 .
Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên như sau:






1
1/
m M

 : ma trận các tỷ số
khối lượng;






1
1/

k K

 : ma trận các tỷ số độ cứng;
1/2
0 1 1
( / )
K m

 : tần số riêng của hệ
chính khi chỉ xét riêng hệ này;
0 0 1
/
U F k
 : chuyển vị tĩnh của hệ chính do khối lượng
1
m
gây
khi chỉ xét riêng hệ này;
0



 : tần số kích thích tương đối;
   
1 0
1
2
D C
m



: ma trận các hệ
số giảm chấn thu gọn.
Phương trình (2) trở thành:
     
 
   
2
0
1
2 1 0 0
T
j D X
U
   
    (3)
Giải phương trình tuyến tính (3), suy được các biên độ phức
i
X
. Biên độ thực của dao
động của các khối lượng
i
m
được tính thông qua môđun của số phức
i
X
:
i i
X X


.

3. Bài toán tối ưu và phương pháp giải
Bài toán tối ưu được đặt ra như sau: Cho trước khối lượng
1
m
và độ cứng
1
k
của hệ
chính. Hãy xác định giá trị các tham số
i
m
,
i
c
,
i
k
của hệ phụ (i = 2 N+1) sao cho biên độ
dao động của khối lượng
1
m
, ứng với một dãi tần số

cho trước, đạt giá trị cực tiểu, tức là
phải xác định các tham số nói trên sao cho hàm mục tiêu
1
Max X


với
1
X
là biên độ dao động
của khối lượng
1
m
, đạt giá trị cực tiểu
opt
X
:
1
, ,
( )
i i i
opt
m k c
X Min Max X



Nếu dùng các biến số không thứ nguyên, bài toán tối ưu trở thành: Xác định ma trận
các tỷ số khối lượng



, ma trận các độ cứng




và ma trận các hệ số giảm chấn thu gọn


D
sao cho:
     
1
, ,
0 0
( )
opt
D
X
X
Min Max
U U
  


Ràng buộc của các biến số của bài toán tối ưu như sau: Tỷ số giữa tổng khối lượng của
hệ phụ và khối lượng hệ chính không vượt quá giới hạn

:
2
1
N
i
i
m
m


 

.
Bài toán tìm giá trị tối ưu
     
1
, ,
0 0
( )
opt
D
X
X
Min Max
U U
  
 nói trên có thể coi như là tổ hợp
của hai bài toán: Bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm một biến
1
0
X
f Max
U

 

 
 
và bài toán giá

trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
     
, ,
( )
D
Min f
 
.
Việc giải bài toán trên bằng phương pháp giải tích hầu như không thể thực hiện được
do tính phức tạp của tiêu chuẩn tối ưu và số lượng lớn các thông số cần tối ưu hoá. Ở đây
chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp số và các thuật toán có sẵn của công cụ toán học Matlab.
Bài toán được giải cho các trường hợp hệ phụ có một, hai và ba bậc tự do và ứng với giá trị
khác nhau của tỷ số

tổng khối lượng phụ và khối lượng của hệ chính.

4. Kết quả và bình luận
Trong thực tế kỹ thuật, giá trị thường dùng của  được đề cập ở một số tài liệu:
0,1
 

[4],
0,4
 
[2]. Để mở rộng khả năng lựa chọn khi thiết kế, chúng tôi sẽ giải bài toán tối ưu
ứng với các giá trị sau đây của :
0,1;0,2;0,4
 
.
4.1. Ảnh hưởng của số bậc tự do của hệ phụ đến khả năng giảm chấn của hệ

Kết quả giá trị tối ưu của các tham
số
, ,
D
 
 
 
 
 
 
 
cho ba trường hợp: hệ phụ
có một, hai và ba bậc tự do ứng với
0,1
 

trong dãi tần số kích thích tương đối
0
0,5 / 1,3
  
  
được cho ở bảng 1.
Hình 1 mô tả biên độ dao động
(tương đối)
1 0
/
X U
của hệ chính theo tần số
lực kích thích (tương đối)


, ứng với các
giá trị tối ưu của [], [], [D] nêu trên, khi
N = 1, N = 2 và N = 3. Các giá trị tối
ưu
0
/
opt
X U
lần lượt bằng: 4,589; 4,098 và
3,913. Chúng ta thấy rằng việc tăng số bậc
tự do của hệ phụ rõ ràng làm giảm một cách
có hiệu quả biên độ dao động của hệ chính. Tuy nhiên, tương ứng với việc giảm biên độ của
khối lượng chính, biên độ dao động của các khối lượng của hệ phụ sẽ tương đối lớn. Đây
chính là một nhược điểm của hệ giảm chấn động lực học các dao động.

1
0
X
U
Hình 1: Biên độ dao động của hệ
chính ứng với  = 0.1 và với
N = 1 ; N = 2 ; N =3
1
N

2
N

3
N


Bảng 1:

Hệ
phụ
Tỷ số mBBB
iBBB
/mBBB
1BBB
Tỷ số kBBB
iBBB
/kBBB
1BBB

Tỷ số
cBBB
iBBB
/(2mBBB
1BBB
BBB
0BBB
)
N =
1
0,1 - - 0,084 - - 0,017 - -
N =
2
4.74.10PPP
-
2PPP

5.26.10PPP
-
2PPP

-
4,84.10PPP
-
2PPP

3,75.10PPP
-
2PPP

-
6,35.10PPP
-
3PPP

5,25.10PPP
-
3PPP

-
N =
3
3,28.10PPP
-
2PPP

3,24.10PPP

-
2PPP

3,48.10PPP
-
2PPP

3,68.10PPP
-
2PPP

2,76.10PPP
-
2PPP

2,30.10PPP
-
2PPP

3.7.10PPP
-
3PPP

2,9.10PPP
-
3PPP

2,55.10PPP
-
3PPP

4.2. Ảnh hưởng của tỷ số giữa tổng khối lượng hệ phụ và khối lượng hệ chính đến
khả năng giảm chấn của hệ
Hình 2 và hình 3 cho ta biên độ dao động (tương đối)
1 0
/
X U
của hệ chính theo tần số
lực kích thích (tương đối), ứng với N = 1, N = 2 và ứng với các giá trị khác nhau của :
0,1
 
;
0,2
 
;
0,4
 
trong dãi tần số kích thích tương đối
0
0,5 / 1,3
  
   . Rõ ràng
việc tăng tỷ số giữa tổng khối lượng hệ phụ và khối hệ chính cải thiện rõ rệt khả năng giảm
chấn của hệ. Kết quả giá trị tối ưu của các tham số trong các trường hợp nêu trên cho trong
bảng 2 và 3. Các kết quả nêu ra có thể sử dụng vào việc thiết kế tối ưu các hệ giảm chấn động
lực học. Đối với hệ hai phụ có một bậc tự do (N = 1), kết quả tính toán tỏ ra phù hợp với
nghiệm tối ưu giải bằng phương pháp giải tích [2].

Bảng 2:
N
=1
Tỷ số
mBBB
2BBB
/mBBB
1BBB

Tỷ số
kBBB
2BBB
/kBBB
1BBB

Tỷ số
cBBB
2BBB
/(2mBBB
1BBB
BBB
0BBB
)
 =
0.1
0,1 0,084 0,017
 =
0.2
0.2 0.139 0.042

=
0.4 0.204 0.095
Hình 2: Biên độ dao động của hệ
chính, ứng với N = 1 và với
 = 0.1;  = 0.2;  = 0.4

1
0
X
U
0,1
 
0,2
 
0,4

 
Hình 3: Biên độ dao động của hệ chính,
ứng với N = 2 và với
 = 0.1;  = 0.2;  = 0.4

0,1
 
0,2
 

0,4
 
1
0
X
U
0.4
Bảng 3:

N
= 2
Tỷ số mBBB
2BBB
/mBBB
1
BBB
và mBBB
3BBB
/mBBB
1BBB

Tỷ số mBBB
2BBB
/mBBB
1
BBB
và mBBB
3BBB
/mBBB
1BBB

Tỷ số
cBBB
2BBB
/(2mBBB
1BBB
BBB
0BBB
)
và
cBBB
3BBB
/(2mBBB
1BBB
BBB
0BBB
)

=
0.1

4.74.10PPP
-
2PPP
5.26.10PPP
-
2PPP

4,84.10PPP
-
2PPP

3,75.10PPP
-
2PPP

6,35.10PPP
-3PPP
5,25.10PPP
-3PPP


=
0.2
3,78.10PPP
-
2PPP

16,22.10PPP
-
2PPP

4,02.10PPP
-
2PPP

10,05.10PPP
-
2PPP

4,95.10PPP
-3PPP
2,57. 10PPP
-2PPP


=
0.4
13,79.
10PPP
-2PPP

26,21.10PPP
-
2PPP

11,67.10PPP
-
2PPP

11,07.10PPP

-
2PPP

2,93. 10PPP
-2PPP
3,88. 10PPP
-2PPP



5. Kết luận
Kết quả nghiên cứu bài toán tối ưu hóa hệ nhiều bậc tự do cho thấy khi số bậc tự do và
tỷ số giữa tổng khối lượng hệ phụ và hệ chính tăng lên, khả năng giảm chấn của hệ tăng theo.
Các thông số tối ưu cho trên các bảng 1, 2 và 3 có thể sử dụng vào việc thiết kế hệ giảm chấn
sao cho hiệu quả giảm chấn là tối ưu nhất trong dãi tần đã cho. Trên cơ sở bài toán tối ưu nói
trên, có thể phát triển cho bài toán tối ưu hóa hệ giảm chấn nhiều bậc tự do trong chế độ cưỡng
bức không ổn định.


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J.C. Lecoufle, Isolation vibratoire: Rappels fondamentaux, Revue Francaise de
Mécanique, No. 1993-3.
[2] S.E. Randall, D.M. Halsted, D.L. Taylor, Optimum Vibration Absorbers for Linear
Damped Systems, Journal of Mechanical Design, October 1981, Vol 103, pp 908-913.
[3] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội
1998.
[4] R. Narsi, M. Ben Jaber, Amortisseurs de vibrations à plusieurs degrée de liberté,
Revue Francaise de Mécanique, No 2000-2, pp. 140 - 147.
[5] Domingos Alves Rade, Valder Steffen Jr., Optimisation of dynamic vibration

absorbers over a frequency bands, Mechanical Systems and Signal Processing,
2000,14 (5), pp 679-690.