skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức là một trong những bài toán khó.
Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các
đề thi là khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là
khó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiều
yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy
nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có
thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong
muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ
môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói
chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về
“Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương
pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường
phổ thông

Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại trường THPT Văn
Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013.
6. Giả thuyết khoa học
Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số hạn chế (tài liệu
tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN của tác
giả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao
hơn.
7. Phương pháp nghiên cứu
2
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
Nội dung chính
Kết luận
Tài liệu tham khảo.
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng một số kiến thức:

định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất
đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng
cách….
1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.
3
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
ax ; 0f x bx c a= + + ≠
. Có
2
4b ac∆ = −
.
Nếu
0
∆ <
thì
( )
. 0a f x x R> ∀ ∈
Nếu
0
∆ =
thì
( )
. 0

2
b
a f x x
a
> ∀ ≠ −
Nếu
0
∆ >
thì
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
. 0 ; ;
. 0 ;
a f x x x x
a f x x x x
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞


< ∀ ∈


(
1 2
x x<
là hai
nghiệm của tam thức bậc hai).
2. Các tính chất của Bất đẳng thức.
Điều kiện Nội dung

a b a c b c
< ⇔ + < +
0c
>
a b ac bc
< ⇔ <
0c
<
a b ac bc
< ⇔ >
a b
a c b d
c d
<

⇒ + < +

<

0
0
a b
ac bd
c d
< <

⇒ <

< <


2 1 2 1 *
2 2 *
;
0 ;
n n
n n
a b a b n N
a b a b n N
+ +
< ⇔ < ∈
< < ⇒ < ∈
3 3
0 a b a b
a b a b
< < ⇔ <
< ⇔ <

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (AM-GM)

; , 0.
2
a b
ab a b
+
≥ ∀ ≥
4
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên tập D.
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu
( )
(
)
( )
;
ax f x
:
0 0
f x M x D
M
M
D
x D f x M






≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu
( )
(
)
( )
;
min f x
:
0 0
f x m x D
m
D
x D f x m





≥ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định
nghĩa tương tự.

II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất.
1. Phương pháp phương trình bậc hai.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức
( )
A f x=
; trên tập D.
Lời giải
Gọi
0
A
là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải
tồn tại
0
x D∈
sao cho
( )
0 0
f x A=
; điều đó chứng tỏ phương
5
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
trình
( )
0
0f x A− =
có nghiệm trên D. Ta đi tìm điều kiện để

phương trình
( )
0
0f x A− =
có nghiệm trên D; từ đó tìm
được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất. Trong nhiều bài toán
phương trình
( )
0
0f x A− =
có dạng là phương trình bậc 2.
Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương
trình
( )
0
0f x A− =
có dạng phương trình bậc 2. Ta xét một
số ví dụ sau:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức
2
1
x
y
x
=
+
Lời giải
Tập xác định
D R
=

Gọi
0
y
là một giá trị của biểu thức
Chứng tỏ phương trình
( )
2
0 0
0, 1y x x y− + =
có nghiệm.
Nhận xét: Đối với phương trình
2
ax 0bx c+ + =
có điều kiện
2 2
0a b+ ≠
thì phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi
2
4 0b ac− ≥
Phương trình
( )
1
có nghiệm
2
0 0
1 1
1 4 0
2 2
y y⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Nhận thấy khi

1 1
1 ; 1
2 2
x y x y= ⇒ = = − ⇒ = −
6
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Vậy
1 1
min ; axy
2 2
y M= − =
Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một
số bài sau; học sinh có thể tự ra đề cho chính mình và
các bạn trong lớp.
Bài 2. Tìm min; max
( )
2
2
2 2
min 3 2 2; axy 3 2 2
2 2
x x
y y m
x x
− +
= = − = +
+ +
Bài 3. Tìm min; max

( )
2
2
8 7
min 1; axy 9
1
x x
y y m
x
− +
= = − =
+
2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 –
2006) có đề toán:
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
2 2
x y x y xy+ − − −
.
Lời giải 1
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2 2
x y x y xy m⇒ + − − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
2 2
( 1) 0x y x y y m⇒ − + + − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:

2 2
( 1) 0x y x y y m− + + − − ≥

x R∀ ∈
7
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Suy ra:
2
3 6 1 4 0
x
y y m∆ = − + + + ≤
với
y R∀ ∈
Suy ra:
'
12 12 0
y
m∆ = + ≤
1m
⇔ ≤ −
Nếu m < -1 thì:
'
0
y
∆ <

Do đó
0

x
∆ <
Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A
Nếu m = -1 thì A
1≥ −
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =
y = 1.
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có
thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích biểu thức A = B
+ (-1)? Trong đó B
0
≥
và B = 0 khi x = y = 1
Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:
3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc
trừ một hằng số.
Lời giải 2
A =
2 2
2 1 2 1 1 1x x y y x y xy− + + − + + + − − −
.
A = (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(x-1) –y(x-1) -1
8
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
A = (x-1)
2
+ (y-1)
2
– (x-1)(y-1) – 1
A =
2
2
1 3( 1)
1 1 1
2 4
y y
x
− −
 
− − + − ≥ −
 ÷
 
Đẳng thức xảy ra
1x y⇔ = =
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm
bài tập sau
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =
2 2
x y xy x y+ + − −
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

Cách 2: Xét biểu thức
( )
2
3 1 3
2
9 3 1 3 1 3 3
2 4
y
B x y
−
 
= − + + − − ≥ −
 
 
Khi đó:
min
1
3
B =−
khi
1
3
x y= =
Bình luận : Bất đẳng thức
2
0a a R≥ ∀ ∈
được vận dụng
khá nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm max

( )
2 2
2 5 4 2 ; axP 3P x y xy x m= − − − + =
Bài 7. Tìm min
2 2
9
2 6 12 45; min
5
P x xy y x P
 
= − + − + =
 ÷
 
9
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và
đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của các biểu thức dạng :
ax + by;f
=
trong đó
;x y
thoả mãn điều kiện cho trước
;a b
là các hằng số.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2F x y= −
với điều kiện

2 2
5x y+ =
.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có
tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là
5
. Ký hiệu hình tròn
là
( )
C
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
có dạng phương trình đường thẳng.
Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;x y
thoả mãn:
2 2
5x y+ =
Khi đó giữa đường thẳng
∆
có phương trình
0
2 0x y F− − =
và đường tròn
( )
C
phải có điểm chung.

Điều kiện đó tương đương với:
( )
; 5d O ∆ ≤
0
0
0
5
5
5
5 5
F
F
F
−
⇔ ≤
⇔ ≤
⇔ − ≤ ≤
10
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Nhận thấy khi
0 0
5; 5F F= − =
ứng với hai tiếp tuyến của
đường tròn lần lượt tại các tiếp điểm
( ) ( )
2;1 ; 2; 1− −
.
Vậy

min 5; axF = 5F M= −
.
Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng
F=a.x+b.y
và điều kiện là
2 2 2
x y R+ =
; ta có thể khái quát cách giải. Điều kiện của
bài toán có thể điều chỉnh là:
2 2 2
x y R+ ≤
khi đó cách giải
vẫn tương tự.
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4F x y= +
với điều kiện
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
.
Lời giải

Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;x y
thoả mãn
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
Khi đó giữa đường thẳng có phương trình
0
3 4 0x y F+ − =
và
hình tròn
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 

− + − ≤
 ÷
 
phải có điểm chung.
Điều đó tương đương với:
0
10
5
5
F−
≤
11
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
0
0
0
0
10 25
25 10 25
35 15
15 35
F
F
F
F
⇔ − ≤
⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ − ≤

⇔ − ≤ ≤
Vậy
min 15; axF=35F M= −
Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra
các đề toán để luyện tập; tập dượt khả năng sáng tạo ở
một khía cạnh nào đó. Khi đó bản thân giáo viên và học
sinh sẽ có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy
được cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo được
phương pháp tự học cho các em.
Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của
đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn điều kiện của biến
thoả mãn phương trình của một Elip. Như vậy ta lại có
một loạt bài toán tương tự.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 3F x y= +
trong đó
;x y
thoả mãn:
2 2
4 9 1x y+ =
.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương
trình của một Elip. Tuy nhiên trong trường hợp này và
các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể đưa điều
12
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phương
trình đường tròn bằng các phép đổi biến.
Ta có phương trình của Elip :
2 2
1
1 1
4 9
x y
+ =
Đặt
9 3
.
4 2
x z z= =
. Khi đó Elip biến thành đường tròn
có phương trình:
2 2
1
9
z y+ =
và
3 3F z y= +
.
Gọi Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;z y
thoả
mãn:

2 2
1
9
z y+ =
Chứng tỏ đường thẳng có phương trình
0
3 3 0z y F+ − =
và
đường tròn có phương trình
2 2
1
9
z y+ =
phải có điểm
chung.
Điều đó tương đương :
0
1
3
18
F−
≤
0
0
2
2 2
F
F
⇔ − ≤
⇔ − ≤ ≤

Vậy
min 2; axF= 2F M= −

13
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho
là :
( )
2 2
; , , 0mx ny r m n r+ = >
thì ta có cách đổi biến :
n
x z
m
=

và khi đó sẽ biến Elip về đường tròn có phương trình
2 2
;
r n
y z F a z by
n m
+ = = +
Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với
những số liệu khác nhau.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
F x y= −

biết rằng
2 2
1
4 9
x y
+ =
.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3
2
F x y= +
biết rằng
2 2
3 2 1x y+ =
.
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
F x y= +
biết rằng
( ) ( )
2 2
2 8 3 8x y− + + =
.
Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ
2 2
3 4
9
x y m
x y

+ =


+ =

có
nghiệm?
Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất có dạng
2 2
F x y= +
và điều kiện
;x y
thoả mãn:
14
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
. Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho
đường tròn
( ; )O R
và điểm P không trùng với tâm của
đường tròn đó. Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai
điểm A; B. Với mọi điểm M trên đường tròn ta có:
( ) ( )
min ; max ;PA PB PM PA PB≤ ≤

Chứng minh :
Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có :
PM OM OP OA OP PA
PM OM OP OB OP PB
≥ − = − =
≤ + = + =
Vì
( ) ( )
min ; ; max ;PA PB PA PB PA PB≤ ≤
Vậy
( ) ( )
min ; max ;PA PB PM PA PB≤ ≤
.
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2
F x y= +
biết
;x y
thoả mãn
( ) ( )
2 2
2 1 4x y− + − =
.
Lời giải
Đặt
( )
C
là đường tròn có tâm

( )
2;1 ; 2I R =
.
Đường thẳng OI có phương trình là:
2 0x y− =
Gọi
;A B
là giao điểm của đường tròn
( )
C
với đường
thẳng OI
( ) ( )
10 4 5;5 2 5 ; 10 4 5;5 2 5A B⇒ − − + +
15
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Xét
( ) ( )
;M x y C∈
khi đó
2 2 2
F x y OM= + =
. Sử dụng mệnh
đề đã chứng minh ta có
( ) ( )
2 2 2 2
min ; max ;OA OB F OA OB
≤ ≤

2
2
225 100 5
225 100 5
OA
OB
= −
= +
Vậy

( )
( )
min 225 100 5; 10 4 5; 5 2 5
max 225 100 5; 10 4 5; 5 2 5
F x y
F x y
= − = − = −
= + = + = +
Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường tròn
khác thì sẽ có những bài toán khác nhau. Việc giải các
bài toán đó là tương tự.
5.Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (AM-GM).
Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được
giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp này tôi
xin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa
trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn
nhất; giá trị nhỏ nhất.
Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.

16
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM
việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết sức
linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người
làm toán.
Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

1
.
r r
a m n m
a a t t b a a a a
b n n
−
−
= + − = = + = =
Bài 16. Cho
0; 0x y> >
và
1x y+ ≤
.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
4P xy
x y xy
= + +

+
Lời giải
Ta viết lại biểu thức

( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2
1 1 1 1
4
2 4 4
1 1 1
2 2 4 ;
4
2
4 1 5
2 2 2 5 7
P xy
x y xy xy xy
xy AM GM
xy
x y
x y xy
x y x y x y
   
= + + + +

 ÷  ÷
+
   
≥ + + −
+
+
≥ + + = + ≥ + =
+ + +
Ví dụ với
1
2
x y= =
thì
7P =
Vậy
min 7P =
17
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Bài 17. Cho
0x >
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3 16x
A
x
+
=

Lời giải
Ta có
3
16
3A x
x
= +
4
3 3
16 16
4 . . . 8A x x x x x x
x x
⇔ = + + + ≥ =
Dấu bằng xảy ra
2x⇔ =
Vậy
min 8A =
Bài 18. Cho
3
; ; 0;
2
x y z x y z> + + ≤
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức sau:
1 1 1
P x y z
x y z
= + + + + +
Lời giải
Ta viết lại biểu thức:

( )
1 1 1
4 4 4 3P x y z x y z
x y z
 
   
= + + + + + − + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
1 1 1 3 9 15
2 4 2 4 2 4 3. 4 4 4
2 2 2
x y z
x y z
≥ + + − = + + − =
18
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Ví dụ với
1 15
;
2 2
x y z P= = = =
. Vậy
15
min
2

P =
Bình luận: Tại sao ta không sử dụng luôn việc ghép
cặp:
1 1 1
6P x y z
x y z
 
   
= + + + + + ≥
 ÷  ÷
 ÷
   
 
?
Khi đó dấu bằng xảy ra
1x y z⇔ = = =
không thỏa mãn điều
kiện của đầu bài ! Do vậy phép biến đổi như vậy không
thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú
ý trường hợp dấu bằng xảy ra.
Bài 19. Cho
; ; 0; 2.a b c a b c> + + =
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +

Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:
2
2
2
4
4
4
a b c
a
b c
b c a
b
c a
c a b
c
a b
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
Cộng vế với vế ta được:
19
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
1 2
1
P a b c
P
+ ≥ + + =
⇒ ≥

Giả sử với
2
1
3
a b c P= = = ⇒ =
Vậy
min 1P
=
Bài 20. Cho
, , 0; 1x y z x y z> + + ≥
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
5 5 5
4 4 4
x y z
P
y z x
= + +
Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:
5
5

5
4
5
5
5
4
5
5
5
4
5 5
5 5
5 5
x
y y y y x x
y
y
z z z z y y
z
z
x x x x z z
x
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
Cộng vế với vế ta được:
1P x y z≥ + + ≥
Ví dụ khi
1
1

3
x y z P= = = ⇒ =
. Vậy
min 1P
=
Một số bài tập vận dụng:
Bài 21. Cho
, 0; 1x y x y> + ≤
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
1 1
P
x y xy
= +
+
20
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Bài 22. Cho
, 0; 1x y x y> + =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
3 2
4P xy
x y xy
= + +
+

Bài 23. Cho
2 2 2
, , 0; 1a b c a b c> + + =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
osA osB osC
P
c c c
= + +
Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)
Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn
nhất và số nhỏ nhất.
Bài 25. Cho
[ ]
, , 0;1a b c∈
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
a b c

P a b c
b c c a a b
= + + + − − −
+ + + + + +
Lời giải.
Giả sử
{ }
ax a;b;ca m=
. Khi đó ta có các đánh giá sau:
( ) ( )
b
; 1 ; 2
a+c+1 1 1 1
b c c
b c a b b c
≤ ≤
+ + + + + +
Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì:
21
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1 1
1 1 1 1
3
1

1 1
1
1 0
1
1 1 1 ; 3
1
b c b c
b c b c
b c
b c
Do a
a
a b c
b c
− + − + + +
 
− − + + ≤ =
 ÷
 
⇒ − − ≤
+ +
− ≥
−
⇒ − − − ≤
+ +
Từ (1); (2) và (3) ta có:
1
1
1
a b c a

P
b c
+ + + −
≤ =
+ +
Dấu bằng xảy ra ví dụ với
1a b c= = =
Một số bài tập vận dụng:
Bài 26. Cho
[ ]
; ; 0;2 ; 3.a b c a b c∈ + + =
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:

2 2 2
3 3 3
P a b c
Q a b c
= + +
= + +
Bài 27. Cho
[ ]
; ; 1;3 ; 6.a b c a b c∈ + + =
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:

2 2 2
P a b c= + +
6. Phương pháp hình học, vector, toạ độ.
Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học,

vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau:
;u v u v+ ≤ +
r r r r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai
vector cùng hướng.
22
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
. .u v u v≤
r r r r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector
cùng phương.
2
0u ≥
r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0u =
r r
Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có:
AB BC AC+ ≥
. Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B
nằm giữa A và C.
Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có
AB AC BC− ≤
. Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B
nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.
Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của

( )
2 2
4 5 10 50f x x x x x= − + − − +
Lời giải.
Tập xác định
D R
=
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 1 5 25f x x x= − + − − +
Đặt
( ) ( ) ( )
;0 ; 2;1 ; 5;5M x A B
Suy ra
( )
5f x MA MB AB= − ≤ =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4
5
x =
.
Vậy
( )
ax f x 5M =
.
23
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-

Bài 29. Cho
2 2
, , 0: 4x y z x xz z> + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
2 2 2 2
; min 2P x xy y y yz z P
= − + + − + =

Bài 30. Cho
2 2 2 2
, , , 0: 5a b c d a b c d> + = + =
Tìm giá trị lớn nhất của
5 2 5 2 5P a b c d ac bd= − − + − − + − −
7. Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất đã được tác giả sử dụng trong giảng dạy chuyên
đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M trường
THPT Văn Giang năm học 2012-2013.
Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài
kiểm tra các em, qua phỏng vấn. Đa số các em được
hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp
giải toán cực trị.
Điểm
Lớp
4 5 6 7 8 9 10
Tổng số
bài
10A 6 6 5 10 12 5 0 44

11M 8 5 5 9 10 0 0 37
24
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
25