Qui Hoạch Tuyến Tính

Qui Hoạch Tuyến Tính
Đề tài: Phương án Tây- Bắc, Voghel, min cước và một số bài tập
thực hành
Để tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán vận tải. Chúng ta cần biết thế
nào là bài toán vận tải và một số khái niệm của nó.
Định nghĩa bài toán vận tải
Xí nghiệp cần vận chuyển hàng hóa từ m kho (điểm phát) P
I
,i=1,2,…,m đến nơi
tiêu thụ (điểm thu) T
j,
j= 1,2,…,n. lượng hàng có ở mỗi kho P
i
, là a
i
, i=1,2,…,m.
lượng hàng cần ở mỗi nơi tiêu thụ T
j
là b
j
, j=1,2,…,n. chi phí vận chuyển một
đơn vị hàng từ kho P
I
đến nơi tiêu thụ T
j
là c
ij
, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. cho biết
tổng lượng hàng ở các kho bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ.
Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa sao cho chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo
yêu cầu thu phát

Mô hình toán học của bài toán
Tìm x = (x
11
,x
12
,…,x
mn
) sao cho
f(x) =
∑∑
c
ij
→ min
{
∑
x
ij
=a
i
, i=1,2, … , m .
∑
x
ij
=b
j
, j=1,2,… , n .
x
ij
≥ 0,i=1,2,… , m , j=1,2, … , n.
Trong đó

∑
a
i
=
∑
b
j
(điều kiện cân bằng thu phát)
Lưu ý: bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu và ta cũng có
thể giải bằng phương pháp đơn hình.
Ta trình bày dưới dạng bảng vận tải như sau:

Thu
Phát
b
1
b
2
… b
n
a
1
c
11
X
11
… c
1n
X
1n

1
a
2
c
21
X
21
c
22
X
22
… c
2n
X
2n
…
… … … …
a
m
C
m1
X
m1
c
m2
X
m2
… c
mn
X

mn
Một số khái niệm
Xét bảng vận tải m
×
n
+ ô chọn là ô (I,j) nằm trên dòng I, cột j mà lượng hàng x
ij
>0, ô loại là ô
(I,j) mà x
ij
= 0.
x x x
x
x x
+ Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho không có quá 2 ô liên tiếp
nằm trên cùng một dòng hoặc cột.
x x
x x
x x
dây chuyền không là dây chuyền
+ Chu trình là một dây chuyền khép kín. Số các ô trong một chu trình là số
chẵn. số các ô tối đa trong bảng không tạo thành chu trình là m + n – 1.
Với m + n – 1 không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô bất
kì để có ít nhất một chu trình.
x x x x x x
x x x x
2
x x x x x x
Một số chu trình thường gặp
+ Ma trận cước phí là ma trận (c

ij
) với c
ij
là cước phí vận chuyển một đơn vị
hàng từ P
i
đến T
j
.
+ Phương án cực biên là phương án có số ô chọn tối đa không tạo thành
chu trình là m + n – 1, nếu số ô này bằng đúng m + n – 1 ta có phương án
cực biên không suy biến, ngược lại ta có phương án cực biên suy biến.
Trường hợp suy biến ta có thể bổ sung thêm một số “ô chọn 0” để có m +
n – 1 ô không tạo thành chu trình.
CHƯƠNG 2 TÌM PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN BAN ĐẦU
Một số phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu
1 Phương pháp góc tây bắc
Quy trình:
• Xác định ô ở góc tây bắc (hướng tây bắc theo nghĩa bản đồ) trên bảng bài
toán vận tải.
• Ưu tiên phân phối lượng hành nhiều nhất vào ô ở góc tây bắc.
• Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng.
• Tiếp tục quá trình trên cho đến khi phân phối hết hàng.
2 Phương pháp “min” cước
Quy trình:
• Tìm ô có cước phí bé nhất.
• Phân phối lượng hành tối đa có thể vào ô đó.
• Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hành.
• Tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng.
3 Phương pháp Voghel

Quy trình:
3
• Tính số cước phí của hai ô có cước phí bé nhất trên các dòng và cột.
• Trên dòng hay cột có hiệu số lớn nhất tìm ô có cước phí bé nhất.
• Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng.
• Tính lại hệ số cước phí trên dòng hay cột.
• Tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng.
CHƯƠNG 3 BÀI TẬP THỰC HÀNH
3.1 Tìm phương án cực biên ban đầu bằng phương pháp Tây Bắc
Bai 1a
j
i
50 80 70
75 4(50) 7 12
65 5 8 15
60 6 7 3
j
i
80 70
25 7(25) 12
65 8 15
60 7 3
j
i
55 70
65 8(55) 15
60 7 3
j
i
70

10 15(10)
60 3
j 70
4
i
60 3(60)
j
i
50 80 70
75 4(50) 7(25) 12
65 5 8(55) 15(10)
60 6 7 3(60)
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
50 0 0
0 1 0
0 0 1
)
, f=1145
Bài 2a
j
i
50 20 30
60 6(50) 1 2
40 5 4 3
j
i
20 30
10 1(10) 2
40 4 3

j
i
10 30
40 4(10) 3
j
i
30
30 3(30)
j 50 20 30
5
i
60 6(50) 1(10) 2
40 5 4(10) 3(30)
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
50 10 0
0 10 30
)
, f= 440
Bài 3a

j
i
45 55 60
70 5(45) 2 3
90 2 1 4
j
i
55 60
25 2(25) 3

90 1 4
j
i
30 60
90 1(30) 4
j
i
60
60 4(60)
j
i
45 55 60
70 5(45) 2(25) 3
90 2 1(30) 4(60)
6
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
45 25 0
0 30 60
)
, f=545
Bài 4a
j
i
45 55 60 80 30
70 5(45) 2 3 6 10
90 2 1 4 9 4
50 6 5 5 8 6
60 1 12 13 7 7
j

i
55 60 80 30
25 2(25) 3 6 10
90 1 4 9 4
50 5 5 8 6
60 12 13 7 7
j
i
30 60 80 30
90 1(30) 4 9 4
50 5 5 8 6
60 12 13 7 7
j
i
60 80 30
60 4(60) 9 4
50 5 8 6
60 13 7 7
7
j
i
80 30
50 8(50) 6
60 7 7
j
i
30 30
60 7(30) 7
j
i

30
30 7(30)
j
i
45 55 60 80 30
70 5(45) 2(25) 3 6 10
90 2 1(30) 4(60) 9 4
50 6 5 5 8(50) 6
60 1 12 13 7(30) 7(30)
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
45 25 0 0 0
0 30 60 0 0
0 0 0 50 0
0 0 0 30 30
)
, f= 1365
Bài 5a
j
i
60 60 50 80
100 60
80
70
→
j
i
60 50 80
8
40 40

80
70
→
j
i
20 50 80
80 20
70
→
j
i
50 80
60 50
70
→
j
i
80
10 10
70 70
→ f = 1780
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
60 40
0 20
0 0
0 0
50 10
10 70
)

Bài 6a
j
i
120 144 156 180 150
225 120
175
230
120
→
j 144 156 180 150
9
i
105 105
175
230
120
→
j
i
39 156 180 150
175 39
230
120
→
j
i
156 180 150
136 136
230
120

→
j
i
20 180 150
230 20
120
→
j
i
180 150
210 180
120
→
j
i
150
30 30
120 120
→ f
= 16 813
10
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
120 0
39 105
0
136
0 0
0 0
0 0

120 0
20
0
180 30
0 120
)
Bai 7a phương pháp gốc tây bắc
130 140 120 160
180 20 18 22 25
170 15 25 30 15
200 45 30 40 35
Giải
j
i
130 140 120 160
180 20(130) 18 22 25
170 15 25 30 15
200 45 30 40 35
j
i
140 120 160
50 18(50) 22 25
170 25 30 15
200 30 40 35
11
j
i
90 120 160
170 25(90) 30 15
200 30 40 35

j
i
120 160
80 30(80) 15
200 40 35
j
i
40 160
200 40(40) 35
j
i
160
160 35(160)
Do đó ta có bảng sau:
12
j
i
130 140 120 160
180 20(130) 18(50) 22 25
170 15 25(90) 30(80) 15
200 45 30 40(40) 35(160)
Vậy phương án cực biên ban đầu là 130 50 0 0
0 90 80 0
0 0 40
160
Và f= 15350
Bài 8a phương pháp gốc tây bắc
50 70 60 80
110 7 11 8 13
100 21 17 12 10

50 8 18 13 16
Giải
j
i
50 70 60 80
110 7(50) 11 8 13
100 21 17 12 10
50 8 18 13 16
13
j
i
70 60 80
60 11(60) 8 13
100 17 12 10
50 18 13 16
j
i
70 60 80
100 17(10) 12 10
50 18 13 16
j
i
60 80
90 12(60) 10
50 13 16
j
i
80
30 10(30)
50 16

j
i
50
50 16(50)
14
Do đó ta có bảng sau:
j
i
50 70 60 80
110 7(50) 11(60) 8 13
100 21 17(10) 12(12) 10(30)
50 8 18 13 16(50)
Vậy phương án cực biên ban đầu là 50 60 0 0
0 10 60 30
0 0 0 50
Và f= 3000
Bài 9a phương pháp min cước
1 1 1 1
1 32 18 32 16
1 22 14 12 16
1 24 30 26 24
1 26 30 28 20
Giải
j
i
1 1 1 1
1 32(1) 18 32 16
1 22 14 12 16
1 24 30 26 24
15

1 26 30 28 20
j
i
1 1 1
1 14(1) 12 16
1 30 26 24
1 30 28 20
j
i
1 1
1 26(1) 24
1 28 20
j
i
1
1 20(1)
Do đó ta có bảng sau:
j
i
1 1 1 1
1 32(1) 18 32 16
1 22 14(1) 12 16
16
1 24 30 26(1) 24
1 26 30 28 20(1)
Vậy phương án cực biên ban đầu là 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Và f= 92

Bài 10a
j
i
30 60 50 40
45 30
80
55
→
j
i
60 50 40
15 15
80
55
→
j
i
45 50 40
80 45
55
→
j
i
50 40
35 35
55
17
→
j
i

15 40
55 15 40
→ f = 845
Vậy phương án cực biên ban đầu là
(
30 15
0 45
0 0
0 0
35 0
15 40
)
Bài 11a
j
i
50 80 70
75 50
65
60
→
j
i
80 70
25 25
65
60
→
j
i
55 70

65 55
60
→
j
i
70
10 10
60 60
18