Báo cáo nghiên cứu khoa học: "PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG HƯỚNG Rd (d = 2, 3)" pot

PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ
ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG
HƯỚNG R
d
(d = 2, 3)
THE MUSIC METHOD TO FIND THE POINT SCATTERERS IN THE
HOMOGENEOUS, ISOTROPIC SPACE R
D
(D = 2, 3)


PHẠM QUÝ MƯỜI
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


TÓM TẮT
Mục tiêu của bài báo này là trình bày phương pháp MUSIC (viết tắt cho MUltiple-SIgnal-
Classification) xác định vị trí của vật tán xạ điểm trong môi trường không thuần nhất đẳng
hướng R
d
(d = 2, 3) và sử dụng hệ kỳ dị của toán tử tuyến tính để áp dụng phương pháp trong
việc giải số bài toán. Từ đó áp dụng giải số một số bài toán với dữ liệu giả định.
ABSTRACT
This paper presents MUSIC method (standing for MUltiple-SIgnal-Classification) to find the
point scatterers in the homogeneous, isotropic space R
d
(d = 2, 3). Then, using singular
system of the linear operator to apply in a numerical implementation by MUSIC method. Then,
we apply it to some numerical examples with synthetic data.

1. Đặt vấn đề
Trước hết, chúng ta phát biểu lại bài toán tán xạ điểm và một số kết quả được trình bày
trong [3]: cho một tập M vật tán xạ điểm có vị trí y
1
, y
2
, . . . , y
M


R
d
(d = 2, 3) trong môi
trường thuần nhất, đẳng hướng R
d
. Sóng phẳng tới u
inc
(x,


) :=
).exp(


ikx
, x

R
d

,
1


d
S

(mặt cầu đơn vị trong R
d
) bị tán xạ bởi các vật tán xạ tại y
i
. Bỏ qua sự tán xạ giữa các
mục tiêu, sóng tán xạ u
s
xác định bởi




M
i
i
inc
i
s
yxxutxu
1
),,(),()(


trong đó
*
Ct
i

là độ tán xạ của vật tán xạ thứ i(i = 1, . . . ,M) và Φ là nghiệm cơ bản của
phương trình Helmholtz trong không gian R
d
cho bởi












3
4
)exp(
2),(
4
),(
)1(
0
d

yx
yxik
dyxkH
i
yx

,
với
)1(
0
H
là hàm Hankel bậc không kiểu một. Ta có
,),
1
(),(
2/)1(
.
2/)1(





x
x
Oe
x
e
yx
d

yxik
d
xik
d


đều theo
x
x
x 

:
và y trong một tập compact, trong đó γ
2
= (1 +i)/(4

k
) và γ
3
= 1/(4π). Từ
đây, suy ra
.,)(),(),(
1
2/)1(
.
2/)1(










xxOeyut
x
e
xu
M
m
d
yxik
m
inc
m
d
xik
d
s
m


và nền trường xa của sóng tán xạ xác định bởi
.1,),(),(
1
.









xeyutxu
M
m
yxik
m
inc
md
m


Bài toán tán xạ ngược là xác định vị trí các vật tán xạ y
1
, y
2
, . . . , y
M
khi biết
1
,),,(




d
SxxU


hoặc từ một tập con hữu hạn
1
, ,1,










d
j
SNj

.
Phương pháp MUSIC(Viết tắt cho MUltiple-SIgnal-Classification) nổi tiếng trong các
ứng dụng xử lý tín hiệu. Như Devenay đã chỉ ra trong [1], phương pháp này cũng có thể được
dùng cho xử lý ảnh, nghĩa là nó là một phương pháp để xác định một hoặc nhiều mục tiêu
chưa biết (vật tán xạ điểm) từ một ma trận phản hồi đa tỉnh F, F là ma trận vuông cấp N trong
đó Fij là dữ liệu đo được ứng với ănten nhận i và ănten phát j. Trong trường hợp tổng quát, F là
một ma trận đối xứng nhưng không phải là ma trân Hermitean. Hơn nữa, với những giả thiết
về hình học của các vật tán xạ và với dữ liệu chính xác, hạng của ma trận F trùng với số M các
mục tiêu với điều kiện M ≤ N. Chính xác hơn, người ta có thể định nghĩa một vectơ
N
z
C



phụ thuộc vào điểm z tùy ý của không gian, sao cho
z

thuộc miền giá trị R(F) của F khi và
chỉ khi z trùng với một trong các mục tiêu. Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể xác định vị trí
các mục tiêu bằng cách kiểm tra điều kiện
z

 R(F).

Trong [1], [3] đã chỉ ra phương pháp MUSIC xác định vật tán xạ điểm đối với sóng
cầu và song phẳng. Trong 2, chúng ta sẽ trình bày lại phương pháp MUSIC đối với sóng
phẳng. Trong 3, chúng ta trình bày phương pháp sử dụng hệ kỳ dị để vào việc giải số bài toán
và áp dụng vào giải một số bài toán giả định.

2. Phương pháp MUSIC

Chúng ta xét bài toán ngược nêu ở trên trong trường hợp hữu hạn, chúng ta luôn giả sử
N > M và định nghĩa ma trận phản hồi đa tĩnh
NN
CF


xác định bởi
)., ,1,(,
),(),(:
1
).(

1
.
Nljet
eyutuF
M
m
yik
md
M
m
yik
l
m
inc
md
lj
jl
m
lj
m
j

















(1)
Định nghĩa ma trận
MN
CS


và
MM
CT


bởi
MmNjeS
m
j
yik
jm
, ,1;, ,1,:
.





và
).(:
md
tdiagT



Khi đó, dễ thấy
F = STS
*
(2)
với S
*
là ma trân liên hợp của S. Từ kết quả cơ bản của đại số tuyến tính, ta có nếu N > M và
nếu vị trí của các y
m
sao cho ma trân S có hạng lớn nhất bằng M thì miền giá trị R(F),R(S) của
F và S trùng nhau.

Với mỗi điểm z

R
d
, chúng ta định nghĩa một vectơ
N
z
C

xác định bởi
Tzik

zikzik
z
N
eee ), ,,(:
.

21









Chú ý rằng
1
y

,
2
y

, . . . ,
M
y

là các cột của ma trân S. Chúng ta có kết quả sau

Định lý 2.1. Cho
1
, ,1,










d
j
SNj

là một tập đếm được các hướng sao cho mọi hàm
giải tích xác định trên
1d
S
bằng không tại


n
n
,

N, thì đồng nhất bằng không. Khi đó, tồn
tại một số tự nhiên N

0

N sao cho với bất kỳ n > N
0
tính chất sau thỏa mãn
).(, ,,
21
SRyyyz
zM




Vì miền giá trị của F và S trùng nhau nên tính chất trên tương đương với
,0)(, ,,
21

zzM
PFRyyyz


trong đó
)()(:
*
FKerFRCP
N


là phép chiếu trực giao lên không gian con Ker(F
*

) của
F.

Chứng minh. Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính K : C
M
→ C(S) xác định như sau
.,,:))((
1
1
.
Md
M
m
yxik
m
CSxexK
m










Trước hết ta chứng minh K là đơn ánh. Thật vậy, cho λ

C

M
sao cho (Kλ)(

x
) = 0,



x

S
d-1
. Điều này có nghĩa là nền trường xa của hàm



M
m
mm
y
1
)(.,

đồng nhất bằng không
trên S
d-1
. Theo bổ đề Rellich, hàm




M
m
mm
yx
1
),(

= 0 với mọi x

R
d
\{y1, . . . , yM}. Cho x dần
đến ym ta suy ra λm = 0(m = 1, . . . ,M). Vậy K là đơn ánh.

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng, tồn tại N0

N sao cho
T
N
KKK ))(), ,(),((
0
21




từ C
M
vào
N

C
là đơn ánh với mọi N > N0. Giả sử không tồn tại N0 như thế. Khi đó, tồn tại dãy
 

l
N
N và
 
Ml
C
)(

sao cho
1
1
)(



M
m
l
m

và
0)(
)(


n

l
K

với mọi n = 1, 2, . . . ,
l
N
. Vì C
M

là một không gian Banach nên dãy
 
)(l

có một dãy con hội tụ. Không mất tính tổng quát, ta
giả sử
)(l

→ λ, l → ∞ với
1
1



M
m
m

. Với bất kỳ n

N và l sao cho N

l
> n, áp dụng bất đẳng
thức tam giác, ta có









M
m
l
M
m
yik
l
n
l
n
l
n
l
eKKK
mn
1
)(
1

.
)()()(
.,0
))(())(()(




Do đó Kλ(

n

) = 0,

n

N. Vì Kλ là hàm giải tích trên S
d-1
nên theo giả thiết ta có Kλ
= 0. Theo chứng minh phần trên ta có λ = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết
1
1



M
m
m

.

Từ định lý trên, ta thấy đồ thị của hàm
 z
P
zW
z
,
)(
1
:)(

R
d
,
sẽ cho giá trị kỳ dị tại các điểm y
1
, y
2
, . . . , y
M
.

3. Hệ kỳ dị và ứng dụng phương pháp MUSIC giải số bài toán.

Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và định lý cần thiết sau

Định nghĩa. Cho X,Y là các không gian Hilbert và K : X → Y là toán tử tuyến tính compact
với toán tử liên hợp K
*
: Y→ X. Gọi

j

, j

J là các giá trị riêng của toán tử K
*
K. Các căn
bậc hai
jj


, j

J được gọi là các giá trị kỳ dị của K. Ở đây J

N có thể là hữu hạn
hoặc J = N.

Định lý 3.2 (Định lý - định nghĩa). Cho K : X→ Y là toán tử tuyến tính compact, K
*
: Y→ X
là toán tử liên hợp của nó, và ν
1
> ν
2
> . . . > 0 là dãy các giá trị kỳ dị dương được sắp xếp
theo thứ tự giảm dần và được đếm với số bội tương ứng. Khi đó tồn tại hệ vectơ trực chuẩn
 

j

x
X và
 

j
y
Y thỏa mãn tính chất sau
jjj
yKx


và
jjj
xyK


*
, j

J.
Hệ
):,,( Jjyx
jjj


được gọi là hệ kỳ dị của toán tử K.
Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [2], Định lý A.50, tr. 241.

Định lý 3.3 (Picard). Cho K : X→ Y là toán tử tuyến tính compact với hệ kỳ dị
):,,( Jjyx

jjj


. Phương trình
Kx = y
giải được nếu và chỉ nếu
)(
*
KKery
và


Jj
j
j
yy
2
2
),(


Chứng minh. Xem tài liêu tham khảo [2], Định lý A51, tr.242.

Bây giờ ta quay lại toán tử phản hồi đa tỉnh F xác định bỡi (1). Gọi F1 là toán tử xấp xỉ
của F và (νj , xj , yj : j = 1, . . . ,N) là hệ kỳ dị của F1. Ta định nghĩa














z
yy
zW
N
j
j
j
,
),(
:)(
1
1
2
2

R
d
.
Từ định lý Picard và định lý 2.1, chúng ta thấy rằng giá trị của hàm W(z) với z

{y
1

, . .
. , y
M
} lớn hơn rất nhiều so những điểm z

{y
1
, . . . , y
M
}.

Dưới đây, chúng ta minh họa phương pháp qua hai bài toán giả định. Các chương trình
giải số viết trong môi trường maple. Trong hai ví dụ, chúng ta xét bài toán trong R
2
(d = 2) và
chọn một lưới điểm z. Ứng với mỗi điểm z, chúng ta tính
z

và W(z). Các đồ thị của W(z) ứng
với N = 10, k = 2π và các điểm chia đều

j

, j = 1, 2, . . . , N trên đường tròn đơn vị S. Ứng với
mỗi hình là hai đồ thị bên trái và bên phải tương ứng với đồ thị đường viền và đồ thị 3D của
W(z).

Hình 1

Hình 2

Hình 1 ứng với M = 2 và tm tương ứng là 1 + i, 1.5+I tại các điểm (−1, 1), (-0.5, -1). Hình 2
ứng với M = 3 và tm bằng 1, 1.5 + i và 2 tại các điểm (−1, 1), (0, 0), (1, 0.5).

4. Kết luận

Bài báo này đã trình bày một tiêu chuẩn để xác định ví trị của vật tán xạ điểm từ dữ
liệu trường xa của sóng tán xạ(trong thực tế nó được xác định thông qua một thiết bị đo và tác
giả chưa được biết về thiết bị này). Từ phương pháp MUSIC và lý thuyết về hệ kỳ dị, bài báo
đã nêu ra một tiêu chuẩn để giải số bài toán. Tuy nhiên, bài báo này chưa đề cập đến tính ổn
định của giải thuật. Tính ổn định của giải thuật sẽ được trình bày trong các bài báo sau.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A. J. Devaney, Super-resolution processing of multi-static data using time reversal
and MUSIC, IEEE Trans. Image Process. Submitted.
[2] A. Kirsch, Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, New York:
Springer, 1998.
[3] A. Kirsch, The MUSIC algorithm and the factorization method in inverse scattering
theory for inhomogeneous media, Inverse Problems 18: 1025–1040, 2002.