giáo trình cơ sơ hóa tinh thể phần 2 pdf

Cơ sở hóa học tinh thể
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 22 – 40.


Từ khoá: Hình thái tinh thể, hình dạng tinh thể, nhóm điểm đối xứng.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.


Mục lục

Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ 2
2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. 2
2.1.1 Yếu tố đối xứng 2
2.1.2 2.1.2. Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng 6
2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng 8
2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng 8
2.2.2 Hạng, hệ tinh thể 12
2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm 12
2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể 15

Chương 2. Hình thái tinh thể


Trịnh Hân
Ngụy Tuyết Nhung

2
Chương 2
HÌNH THÁI TINH THỂ
Như đã nói, tinh thể là vật rắn dị hướng, đồng nhất. Các hạt tạo nên tinh thể sắp đặt thẳng
đều trong không gian. Bắt nguồn từ bản chất đó, một trong những thuộc tính của tinh thể là
khả năng tự tạo hình đều đặn riêng tuỳ đối xứng bên trong của mỗi pha rắn. Trên đa diện tinh
thể, các đỉnh, cạnh và mặt hay nói chung các phần bằng nhau của nó có thể l
ặp lại nhau hoặc
trùng nhau nhờ những thao tác đối xứng. Nhờ vậy, trong tinh thể nào đó vốn dĩ dị hướng đối
với một tính chất, tính chất ấy có thể bộc lộ giống nhau theo những phương khác nhau (nếu
chúng là các phương cân đối [13]).
2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng.
Hai thao tác đối xứng là phép phản chiếu qua mặt gương hay qua điểm và phép quay
quanh trục; chúng cụ thể hoá bằng yếu tố đối xứng các loại.
2.1.1 Yếu tố đối xứng
Tính đối xứng bộc lộ rõ trên bề mặt tinh thể; sự lặp lại được xác lập nhờ các thao tác
chính sau:
- Phép phản chiếu: các phần bằng nhau của tinh
thể có thể lặp lại nhau, sau khi phản chiếu trong
mặt phẳng (mặt gương) tưởng tượng đi qua trọng
tâm của đa diện.
- Phép quay: các phần bằng nhau của đa diện
trùng lại nhau, sau khi quay quanh đường thẳng

t
ưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện.
Tương ứng với hai thao tác ấy là hai yếu tố đối xứng
đặc trưng cho hình thái tinh thể là mặt đối xứng hay mặt
gương và trục đối xứng hay trục xoay.
Ngoài hai yếu tố đối xứng này còn có tâm đối xứng hay
tâm nghịch đảo. Đây là phép phản chiếu qua điểm trọng
tâm. Đa di
ện có tâm nghịch đảo thì từng đôi mặt đối của nó
phải bằng nhau và song song ngược nhau (hình 2.1). Trong
trường hợp này, các đôi mặt đối này phải lặp lại nhau sau khi phản chiếu qua một điểm tưởng
tượng nằm trùng với trọng tâm của đa diện.
Mặt đối xứng hay mặt gương: Hãy bổ đôi tinh thể muối ăn dạng khối lập phương, nó sẽ
v
ỡ ra thành hai nửa bằng nhau. Đa diện lập phương bất kì luôn có ba mặt gương trực giao,
song song với các mặt vuông của đa diện (hình 2.2,a). Ngoài ra, mặt phẳng chia đôi khối đa
diện có thể đi qua đôi đường chéo song song của đôi mặt đối (hình 2.2,b). Khối lập phương có
6 mặt gương loại này và cả thảy nó có 9 mặt gương. Tinh thể các chất có một, hai, ba, bốn,
Hình 2.1. Đa diện chứa yếu tố
đối xứng duy nhất: tâm đối xứng
3
năm, bảy, chín mặt gương. Ví dụ, tinh thể thạch cao CaSO
4
.4H
2
O chỉ có một mặt gương (hình
2.3 và 2.4).

Hình 2.2
Khối lập phương với ba mặt gương dọc các cạnh (a) và sáu mặt gương dọc các đường chéo (b)

Trục đối xứng: Trong tinh thể thạch cao
có yếu tố đối xứng thứ hai là trục đối xứng.
Đây là đường thẳng đi qua trọng tâm của
hình và vuông góc với mặt gương (hình 2.4).
Nếu quay tinh thể 360
o
quanh trục đối
xứng này thì đa diện tinh thể sẽ trùng với
chính nó hai lần. Mỗi lần ứng với góc
quay180
o
. Đó là trục xoay (đối xứng) bậc
hai hay trục hai. Trong tinh thể khối lập
phương của muối ăn, trục bậc hai nối trung
điểm từng đôi cạnh đối; do đó nó có 6 trục
hai. Ngoài ra, khối lập phương còn có ba
trục bậc bốn đi qua trung điểm của từng đôi
mặt đối và bốn trục ba nối các đỉnh xuyên
tâm đối (hình 2.5).
Trục bậ
c bốn có góc quay cơ sở 90
o
, trục bậc ba 120
o
. Vậy, bậc n của trục
360
n
°
=
α

với
α
là góc quay cơ sở, tức là góc quay nhỏ nhất cho phép hình trùng với nó một lần khi
xoay quanh trục.
Khi α = 180
o
, n = 2, ta có trục xoay bậc hai; khi α = 120
o
, n = 3, trục xoay bậc ba; khi α
= 90
o
, n = 4, trục xoay bậc bốn; khi α = 60
o
, n = 6, trục xoay bậc sáu.

Hình 2.3
Tinh thể thạch cao với mặt gương và trục bậc
hai vuông góc Trục bậc hai song song mặt hình
(a) và vuông góc mặt hình (b)
4




Hình 2.4
Các yếu tố đối xứng của tinh thể thạch cao thể
hiện trên biểu đồ hình chiếu nổi (chưa kể tâm
nghịch đảo tại giao điểm, xem sau)
Hình 2.5

Các trục bậc hai, ba và bốn của khối lập phương
Trục đối xứng phức (trục phức).Trên đây đã xét các trục đối xứng đơn (trục đơn). Ngoài
phép xoay (180
o
,120
o
, 90
o
, 60
o
), trục phức chứa phép nghịch đảo gọi là trục nghịch đảo, chứa
phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc gọi là trục gương.
Hình 2.6,a giới thiệu trục nghịch đảo bậc một. Điểm xoay một vòng quanh trục thì trở về
điểm xuất phát. Sau phép nghịch đảo điểm a tới vị trí điểm a
1
. Đó là tác dụng của trục nghịch
đảo bậc một. Nếu không nghịch đảo qua tâm, mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc với
trục thì điểm a sẽ tới trùng với
'
1
a
. Đó là tác dụng của trục gương bậc một.

Hình 2.6
Trục nghịch đảo và trục gương bậc một (a) và bậc hai (b)
Sơ đồ cho thấy, trục nghịch đảo bậc một tương đương tâm đối xứng, còn trục gương bậc
một tương đương mặt đối xứng gương.
Các bước chuyển hình học của trục nghịch đảo bậc hai thể hiện trên hình 2.6.b. Trên sơ
đồ, điểm a xoay 180
o

quanh trục thì tới a’, rồi nghịch đảo qua tâm của tinh thể thì tới a
1
. Đó là
tác dụng của trục nghịch đảo bậc hai. Bây giờ cho a’

phản chiếu qua mặt gương vuông góc thì
nó sẽ về vị trí
'
1
a
. Như vậy, nhờ tác dụng của trục gương bậc hai, điểm a tới trùng với
'
1
a
.

Trục nghịch đảo bậc hai tương đương trục gương bậc một hay mặt gương (hình b: từ
điểm a sang a
1
), còn trục gương bậc hai tương đương trục nghịch đảo bậc một hay tâm đối
xứng (hình a: từ điểm a sang a
1
).
5
Những thao tác thực hiện bằng trục nghịch đảo bậc ba thể hiện trên hình 2.7,a. Mỗi điểm
a
1
, a
2
hay a

3
thuộc phần trên của tinh thể có thể lần lượt trùng với mỗi điểm a
4
, a
5
hay a
6
của
phần dưới bằng phép quay 120
o
quanh trục và phản chiếu qua tâm. Điểm a
1
xoay 120
o
quanh
trục tới vị trí a
2
rồi nghịch đảo qua tâm để tới trùng với a
4
; điểm a
2
xoay quanh trục để tới a
3
,
rồi phản chiếu qua tâm sẽ trùng với a
5
; cũng như thế, a
3
sang a
1

rồi tới a
6.
Đây là tác dụng của
trục nghịch đảo bậc ba.

Hình 2.7
Trục nghịch đảo bậc ba (a) và bậc sáu (b)
Nếu các điểm phần trên tinh thể sau khi xoay quanh trục, không nghịch đảo qua tâm mà
phản chiếu qua mặt gương vuông góc, thì chúng sẽ lần lượt tới trùng với các điểm phần dưới
(xem hình 2.7,b). Đây là tác dụng của trục gương bậc ba. Trong trường hợp này, mỗi điểm ở
phần trên nằm ngay bên trên điểm phần dưới. Bây giờ, nếu cho mỗi điểm phần trên xoay 60°
quanh trục (a
1
tới
'
1
a
, a
2
tới
'
1
a
v.v ) và lần lượt nghịch đảo qua tâm tinh thể thì chúng sẽ tới
các điểm phần dưới. Đây là trường hợp của trục nghịch đảo bậc sáu.
Quay lại sơ đồ hình 2.7,a, có thể đưa các điểm phần trên tới trùng các điểm phần dưới
bằng phép xoay 60
o
và phép phản chiếu tiếp theo qua mặt gương vuông góc: thao tác của trục
gương bậc sáu.

Như vậy, trục nghịch đảo bậc ba tương đương trục gương bậc sáu và trục nghịch đảo
bậc sáu tương đương trục gương bậc ba.
Mặt khác, trục nghịch đảo bậc ba là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và tâm đối xứng;
còn trục nghịch đảo bậ
c sáu (trục gương bậc ba) là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và mặt
gương vuông góc.
Hình 2.8 giới thiệu thao tác của trục nghịch đảo bậc bốn. Để dẫn các điểm a
1
và a
2
phía
trên tinh thể đến các vị trí a
3
và a
4
ở phía dưới, hãy cho chúng xoay 90° quanh trục rồi phản
chiếu qua tâm điểm. Sơ đồ các điểm cho thấy có thể thay phép nghịch đảo qua tâm bằng phép
phản chiếu qua mặt gương vuông góc, mà kết quả không khác.

6

Hình 2.8
Trục nghịch đảo bậc bốn (a) thể hiện trên tinh thể (b) và trên biểu đồ hình chiếu nổi (c)
Như vậy, trục nghịch đảo bậc bốn và trục gương bậc bốn là những yếu tố đối xứng tương
đồng.
Nhận xét:
- Các trục bậc chẵn chứa góc quay cơ sở của trục hai, riêng trục bậc sáu còn chứa cả
góc quay cơ sở của trục bậc ba.
- Trục nghịch đảo bậc bốn chứa góc quay cơ sở của trụ
c bậc hai.

- Tinh thể không chứa trục bậc năm và trục bậc cao hơn sáu [13].
Tuy vậy, trong thực tế chỉ một dạng trục phức được sử dụng: trục nghịch đảo. Hơn nữa
trong đối xứng hình thái chúng hầu hết được thay bằng các yếu tố đối xứng đơn: trục nghịch
đảo bậc một thay bằng tâm đối xứng, trục nghị
ch đảo bậc hai thay bằng mặt gương, trục
nghịch đảo bậc ba thay bằng trục xoay bậc ba cộng tâm đối xứng và cuối cùng trục nghịch
đảo bậc sáu thay bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc.
Duy trục nghịch đảo bậc bốn hay trục gương bậc bốn là không thể thay thế bằng bất kì yếu
tố đối xứng nào. Vì vậy, tinh thể học hình thái có bảy yếu t
ố đối xứng thông dụng:
1) Tâm đối xứng, hay tâm nghịch đảo, hay trục (đối xứng) nghịch đảo bậc một, kí
hiệu
1
, hay C.
2) Trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai, kí hiệu 2, hay L2.
3) Trục xoay (đối xứng) bậc ba hay trục ba, kí hiệu 3, hay L3.
4) Trục xoay (đối xứng) bậc bốn hay trục bốn, kí hiệu 4, hay L4.
5) Trục (đối xứng) nghịch đảo bậc bốn, kí hiệu
4
, hay Li4.
6) Trục xoay (đối xứng) bậc sáu hay trục sáu, kí hiệu 6, hay L6.
7) Mặt đối xứng hay mặt gương, kí hiệu m, hay P.
2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng
Mỗi đa diện tinh thể chỉ có một tổ hợp yếu tố đối xứng để biểu thị tính đối xứng của nó.
Nhiều tinh thể, tuy khác nhau về hình dạng, nhưng lại có chung những yếu tố đối xứng.
Chẳng hạn, khối lập phương là đa diện tinh thể của muối ăn/halit NaCl và khối bát diện đều là
đa diện tinh thể của khoáng vật magnetit Fe
3
O
4

; các đa diện này có chung một tổ hợp yếu tố
đối xứng, một nhóm điểm: chúng thuộc một lớp tinh thể. Số lượng đa diện tinh thể thì hàng
7
vạn và tăng lên không ngừng theo thời gian. Chúng tập hợp lại trong 32 lớp tinh thể với mỗi
lớp một nhóm điểm đặc trưng cho đối xứng mọi cá thể của lớp.
Như đã kể trên, trong tinh thể học hình thái có 7 yếu tố đối xứng. Thoạt nhìn, theo cách
tổ hợp thông thường, từ 7 yếu tố có thể suy ra số nhóm điểm nhiều hơn 32. Thực ra, tinh thể
học có nh
ững quy tắc nghiêm ngặt áp dụng cho sự tổ hợp này.
9 Quy tắc một
Hai trục bậc hai giao nhau dưới góc 180
°
: n làm xuất hiện trục bậc n vuông góc với
chúng. Nếu các trục hai cùng tên, trục n mới sinh sẽ là trục xoay; nếu chúng khác tên thì trục
bậc n mới sinh sẽ là trục nghịch đảo. Nhờ sự tương tác của trục bậc n, các trục hai vuông góc
với nó sẽ tăng số lượng tổng bằng n, nếu trục bậc n là trục nghịch đảo thì vuông góc sẽ là các
trục bậc hai khác tên xen kẽ nhau. Quy tắc này cụ thể hoá bằng các trườ
ng hợp sau.
Ví dụ một, vuông góc với hai trục xoay bậc hai dưới góc 45
o
là trục xoay bậc bốn, ngoài
ra các trục xoay bậc hai vuông góc sẽ đạt số tổng là 4. Trong ví dụ hai, giao nhau dưới góc
45° là trục xoay bậc hai và trục bậc hai nghịch đảo (hình 2.9,a). Trục bậc n mới sinh là trục
nghịch đảo bậc bốn. Dưới tác dụng của trục bậc hai trong nó, số lượng trục xoay bậc hai
vuông góc với nó sẽ là 2, chúng vuông góc với nhau. Xen giữa chúng là 2 trục bậc hai nghịch
đảo; trên hình, chúng thay bằng 2
mặt gương thẳng góc (yế
u tố đối
xứng tương đương). Chúng vuông
góc nhau và nhận trục bậc bốn

nghịch đảo làm giao tuyến. Trên
hình 2.9,b là sơ đồ của ví dụ thứ
ba, các trục hai khác tên cắt nhau
dưới góc 30°. Trục đối xứng sinh
ra là trục nghịch đảo bậc sáu; nó
biểu thị bằng trục xoay bậc ba cộng
mặt gương vuông góc.
9 Quy tắc hai
Mặt đối xứng phân bố trong đa
diệ
n tinh thể theo những cách sau :
- Vuông góc với trục đối xứng;
- Đi qua trục đối xứng, cắt nhau dưới góc bằng một nửa góc quay cơ sở của trục xoay,
hay bằng góc quay cơ sở của trục nghịch đảo và nhận trục làm giao tuyến;
- Phân đôi góc giữa 2 trục cùng tên (xem hình 2.9).
9 Quy tắc ba
Trục cùng tên có thể cắt nhau dưới những góc hoàn toàn xác định:
- Trục bậc hai cắt nhau dướ
i góc 60°, 90°, 120° và 180°;
- Trục bậc ba cắt nhau dưới góc 70°31′44″ và 180°;
- Trục bậc bốn cắt nhau dưới góc 90° và 180°;
- Trục bậc sáu cắt nhau dưới góc 180°.

Hình 2.9
Các trục hai khác tên (trục xoay và trục nghịch đảo) cắt nhau
sinh trục bậc n nghịch đảo vuông góc a) dưới 45
o
cho trục
bốn và b) dưới 30
o

cho trục sáu
8
Ví dụ, trong đa diện lập phương, các trục bậc bốn đều cắt nhau dưới góc vuông, còn các
trục bậc ba thì dưới góc 70°31′44″ (xem hình 2.5) các trục cùng tên này cũng cắt nhau dưới
góc 180°.
Dưới ánh sáng của quy tắc này, có thể đưa ra khái niệm trục phân cực; trục nối hai phần
khác nhau của tinh thể. Các trục còn lại nối hai đầu giống nhau của tinh thể; nói cách khác,
chúng là hai trục cắt nhau dưới góc 180°, do tác độ
ng của ít nhất một trong ba yếu tố đối xứng
mà chúng chứa: tâm đối xứng, mặt gương/trục bậc hai vuông góc.
9 Quy tắc bốn
Nếu tinh thể có phương đơn (là phương không chịu tác dụng của yếu tố đối xứng), mọi
yếu tố đối xứng có thể trùng với nó và không thể cắt nó dưới góc bất kì. Riêng trục bậc hai có
thể cắt nó dưới góc vuông [13].
Các trục nghịch đảo bậc bốn (a) hay bậc sáu (b) trên hình 2.9 đều trùng với phương đơn;
sơ đồ trên hình không cho thấy yếu tố đối xứng nào cắt chúng, trừ các trục bậc hai.
2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng
Đa diện tinh thể dù phong phú, chúng đều quy về 47 hình đơn. Tuỳ tính đối xứng của
chúng, số hình đơn này được suy đoán bằng các thao tác đối xứng của 32 nhóm điểm.
2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng
Như trên đã nói, về mặt hình thái tinh thể chia ra làm 32 lớp; đặc trưng cho đối xứng của
mỗi lớp là dạng đối xứng, còn gọi nhóm điểm đối xứng hay nhóm điểm (tất cả các yếu tố đối
xứng của nhóm điểm đều nhận trọng tâm của tinh thể làm giao điểm, điểm bất biến).
Dưới đây, sẽ suy
đoán 32 nhóm điểm bằng việc sử dụng 5 dạng đối xứng đơn giản nhất
(hình 2.10). Tương ứng với chúng là 5 hình đơn (tập hợp các mặt liên quan với nhau nhờ các
yếu tố đối xứng của nhóm điểm). Tham khảo các chương tương ứng [13,14] để biết thêm các
cách suy đoán nhóm điểm và hình đơn.
a) Tinh thể dạng này không có yếu tố đối xứ
ng (chỉ có trục bậc một). Hết thảy các

mặt trên đa diện tinh thể đều khác nhau, nên không trùng lặp nhau. Mỗi mặt cho
một hình đơn. Đó là hình đơn một mặt (hình 2.10,a).

9
b) Tinh thể chứa tâm đối xứng. Mỗi mặt trên đa diện đều có một mặt đối bằng nó,
song song ngược chiều với nó. Hai mặt đối này tạo hình đơn gọi là đôi mặt (hình
2.10,b).
c) Đối xứng của tinh thể thể hiện bằng trục bậc hai (phân cực). Mỗi mặt đều có thể
trùng với mặt khác bằng phép xoay 180° quanh trục. Hai mặt ở vị trí tổng quát
này kéo dài s
ẽ cắt nhau như hai mái nhà (hình 2.10,c) tạo nên hình đơn hai mặt
(trục).
d) Từng cặp mặt dạng mái nhà đối xứng nhau qua mặt gương duy nhất, cho hình đơn
hai mặt (hình 2.10,d). Hình đơn hai mặt này sinh ra do tác động của mặt gương,
khác với hai mặt (trục) do trục hai sinh ra. Nhiều tác giả phân biệt hai hình đơn:
hai mặt và hai mặt trục, nên số hình đơn sẽ là 48 thay cho 47.
e) Đối xứng của đa diện biểu thị bằng t
ổ hợp 2 yếu tố đối xứng trực giao: trục xoay
bậc hai và mặt gương. Nhờ những thao tác đối xứng này, mặt ở vị trí tổng quát
này (hình 2.10,e) sẽ sinh ra hình đơn lăng trụ (trực thoi).
Dưới tác dụng của mỗi trục đối xứng bậc cao, 5 dạng đối xứng đơn giản kèm hình đơn
này sẽ cho 5 dạng đối xứng/hình đơn cao hơn.
Hình 2.11 giới thiệu 5 dạng đối x
ứng/hình đơn khác nhau, hình thành nhờ tác dụng của
trục bậc ba đối với 5 dạng đối xứng/hình đơn chính đã kể trên. Chẳng hạn, hình đơn một mặt
xoay quanh trục bậc ba phân cực cho hình đơn tháp ba phương (hình 2.11,a). Sau ba lần quay
quanh trục bậc ba này, hình đơn đôi mặt tạo hình đơn mặt thoi với các yếu tố đối xứng là trục
bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậ
c hai vuông góc với nó (mỗi trục hai
còn vuông góc với một mặt gương) và tâm nghịch đảo (hình 2.11,b). Bằng cách tương tự,

hình đơn hai mặt (trục) cho hình đơn mặt thang ba phương với trục đối xứng bậc ba và ba
trục xoay bậc hai phân cực vuông góc (hình 2.11,c).

Hình 2.11
Năm dạng đối xứng suy ra từ sự kết hợp giữa trục ba với mỗi dạng đối xứng đơn giản
Hình đơn hai mặt cho hình đơn tháp ba phương kép với trục bậc ba phân cực và ba mặt
gương nhận nó làm giao tuyến (hình 2.11,d). Hình lăng trụ trực thoi cho hình đơn mặt tam
giác lệch ba phương với trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai và
tâm đối xứng (hình 2.11,e).
10
Lần lượt thay trục đối xứng bậc ba bằng các trục đối xứng cao hơn và xử lí như trên sẽ
nhận được tất cả các tổ hợp đặc trưng của 32 nhóm điểm (mỗi nhóm lấy tên của hình đơn tổng
quát của nó, xem thêm bảng 2.1) như liệt kê dưới đây [13,14].
Không có yếu tố đối xứng:
1) Nhóm điểm một mặt
Ch
ỉ có trục đối xứng:
2) Nhóm điểm hai mặt (trục) với trục xoay bậc hai.
3) Nhóm điểm tháp ba phương với trục bậc ba.
4) Nhóm điểm tháp bốn phương với trục bậc bốn.
5) Nhóm điểm tháp sáu phương với trục bậc sáu.
6) Nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác) với 4 trục bậc ba định hướng như 4 đường chéo
của khối lập phương và 3 trục xoay bậc hai trực giao chạy dọc các cạnh của nó.
7) Nhóm điểm bốn mặt trực thoi với 3 trục xoay bậc hai vuông góc.
8) Nhóm điểm mặt thang ba phương với trục xoay bậc ba và 3 trục xoay bậc hai vuông
góc.
9) Nhóm điểm mặt thang bốn phương với trục xoay bậc bốn và 4 trục xoay bậc hai
vuông góc.
10) Nhóm điểm mặt thang sáu phương v
ới trục xoay bậc sáu và 6 trục xoay bậc hai vuông

góc.
11) Nhóm điểm tám mặt ba (ngũ giác) với bốn trục bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo
của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn dọc các cạnh và 6 trục xoay bậc hai nối
trung điểm các cạnh đối của nó.
Chỉ có trục nghịch đảo:
12) Nhóm điểm đôi mặt với trục nghịch đả
o bậc một (tâm đối xứng).
13) Nhóm điểm hai mặt với trục nghịch đảo bậc hai (mặt gương).
14) Nhóm điểm mặt thoi với trục bậc ba nghịch đảo (trục xoay bậc ba cộng tâm nghịch
đảo).
15) Nhóm điểm bốn mặt bốn phương với trục nghịch đảo bậc bốn.
Có trục và mặt gương vuông góc (trường hợp trụ
c chính mang bậc chẵn sẽ có thêm tâm
đối xứng):
16) Nhóm điểm lăng trụ (trực thoi) với trục xoay bậc hai, mặt gương vuông góc và tâm
đối xứng.
17) Nhóm điểm tháp đôi ba phương với trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Tổ
hợp này tương ứng trục nghịch đảo bậc sáu.
18) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương với trục xoay bậc bốn, mặt gương vuông góc.
19) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương với trục xoay bậc sáu, mặt gương vuông góc.
11
20) Nhóm điểm mười hai mặt kép với 3 trục bậc hai song song với các cạnh của khối lập
phương, 3 mặt gương vuông góc với chúng, và 4 trục bậc ba dọc 4 chéo của khối lập
phương.
Có trục và các mặt gương đi qua (song song):
21) Nhóm điểm tháp trực thoi với trục xoay đối xứng bậc hai và hai mặt đối xứng gương
trực giao nhận nó làm giao tuyến.
22) Nhóm điểm tháp ba ph
ương kép với trục xoay đối xứng bậc ba và ba mặt gương giao
nhau dưới góc 120°.

23) Nhóm điểm tháp bốn phương kép với trục xoay đối xứng bậc bốn và bốn mặt đối
xứng gương giao nhau dưới góc 45°.
24) Nhóm điểm tháp sáu phương kép với trục xoay đối xứng bậc sáu và sáu mặt gương
giao nhau dưới góc 30°.
25) Nhóm điểm bốn mặt sáu (tam giác) với bố
n trục đối xứng bậc ba định hướng dọc 4
đường chéo của khối lập phương, ba trục bậc bốn nghịch đảo chạy dọc các cạnh của
nó và sáu mặt gương chạy dọc các trục bậc ba.
Có trục nghịch đảo và mặt gương đi qua (song song):
26) Nhóm điểm mặt tam giác lệch bốn phương với trục bậc bốn nghịch đảo, hai mặt
gương nh
ận nó làm giao tuyến và hai trục xoay bậc hai vuông góc với trục nghịch
đảo, phân đôi góc giữa các mặt gương.
27) Nhóm điểm mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba nghịch đảo, ba mặt gương
nhận nó làm giao tuyến và ba trục bậc hai vuông góc.
Có trục và các mặt gương:
28) Nhóm điểm tháp đôi trực thoi với ba trục bậc hai trực giao, ba mặt gương vuông góc
với chúng và tâm đối xứng.
29) Nhóm đ
iểm tháp đôi ba phương kép với trục bậc ba, ba trục hai vuông góc với nó và
bốn mặt gương (1 mặt vuông góc với trục ba và đi qua các trục bậc hai, còn lại mỗi
mặt chứa một trục bậc ba và một trục bậc hai).
30) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương kép với trục xoay bậc sáu, sáu trục xoay bậc hai, bảy
mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc sáu + 6 mặt đi qua tất cả các trục) và tâm
đối xứng.
31) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương kép với trục xoay bậc bốn, bốn trục xoay bậc hai
vuông góc với nó, năm mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc bốn + 4 mặt đi qua
tất cả các trục) và tâm đối xứng.
32) Nhóm điểm tám mặt sáu (tam giác) với bốn trục bậc ba nghịch đảo định hướng như 4
chéo của khối lập ph

ương, ba trục xoay bậc bốn chạy dọc các cạnh của nó, sáu trục
xoay bậc hai phân đôi góc giữa các trục bậc bốn, chín mặt gương vuông góc với các
trục bậc chẵn và tâm đối xứng.
Trên đây là tất cả các tổ hợp có thể có của các yếu tố đối xứng.
Thời gian đầu từ khi được chứng minh, không phải hết thảy 32 dạng đối xứng đều có ví
dụ thực t
ế như hiện tại. Cho tới nay, trong số hàng vạn chất bao gồm các tinh thể tự nhiên
(khoáng vật) và nhân tạo chưa có trường hợp nào nằm ngoài 32 lớp tinh thể.
12
2.2.2 Hạng, hệ tinh thể
Căn cứ trên đặc điểm các tổ hợp yếu tố đối xứng có thể chia 32 dạng đối xứng thành ba
hạng:
- Hạng thấp; tinh thể hạng này không chứa trục bậc ba, bậc bốn, bậc sáu.
- Hạng trung; tinh thể chứa trục chính thẳng đứng; trục bậc ba, trục bậc bốn và trục
bậc sáu.
- Hạng cao; tinh thể chứa 3 trục tr
ực giao: bậc bốn (xoay hay nghịch đảo) hoặc bậc
hai và luôn chứa bốn trục bậc ba.
Hạng thấp có 8 lớp, hạng trung 19 lớp, hạng cao 5 lớp. Các lớp tinh thể còn phân chia
thành các hệ sau:
a) Hệ ba nghiêng không có mặt và trục đối xứng, có thể có tâm đối xứng.
b) Hệ một nghiêng chỉ chứa một trục hai và (hay) một mặt gương.
c) Hệ trực thoi chỉ chứa trục hai và m
ặt gương; có thể có đến ba trục hai hay ba mặt
gương trong hệ.
d) Hệ bốn phương nhận trục bậc bậc bốn (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) làm trục
chính.
e) Hệ sáu phương với hai phụ hệ đều nhận các trục đối xứng (trục xoay hay trục
nghịch đảo) làm trục chính: trục bậc ba của phụ hệ ba phương và trục bậc sáu của
phụ hệ sáu phương.

f) Hệ lập phương thuộc hạng cao với 4 trục bậc ba.
2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm
Như đã nói trên, mỗi lớp đặc trưng bằng một tổ hợp nhất định yếu tố đối xứng (một nhóm
điểm). Mỗi nhóm điểm biểu thị bằng một công thức tinh thể học tương ứng. Ví dụ lớp tám
mặt sáu có công thức: 3L
4
4L
3
6L
2
9PC (xem nhóm điểm 32), lớp tháp đôi trực thoi: 3L
2
3PC
(nhóm điểm 28), hay L
2
L’
2
L’’
2
PP’P’’C, với các trục hai (và các mặt gương) không tương
đương. Lớp tháp đôi sáu phương kép L
6
6L
2
7PC, ở đây các trục bậc hai (cũng như các mặt
gương) gồm hai loại. Để tiện lợi hơn, thay vào công thức kiểu Bravais này, một số cách kí
hiệu khác đã ra đời.
Kí hiệu Schoenflies
Những nhóm chỉ chứa trục thì kí hiệu của chúng đều có chữ C, bậc của trục biểu diễn
bằng chỉ số dưới. Chẳng hạn, C

1
C
2
C
3
C
4
C
6
là những nhóm với một trục duy nhất cho mỗi
lớp. Những nhóm chứa thêm mặt gương (nằm ngang) vuông góc có thêm kí hiệu dưới h ngay
sau chỉ số chỉ bậc của trục. Do đó, kí hiệu C
2h
C
3h
C
4h
và C
6h
đặc trưng lần lượt cho các nhóm
lăng trụ (trực thoi), tháp đôi ba phương, tháp đôi bốn phương và tháp đôi sáu phương. Trục
chứa thêm mặt gương (thẳng đứng) thì sẽ có kí hiệu dưới v đặt ngay sau chỉ số, chỉ số này
cũng cho thấy số mặt gương thẳng đứng tương ứng: C
2v
C
3v
C
4v
và C
6v

.
Lớp hai mặt (số 13) có kí hiệu C
S
với trục hai nghịch đảo thay bằng mặt gương tương
đương.
13
Những nhóm với trục chính và trục bậc hai thẳng góc, mà số lượng của chúng cũng chỉ
bậc của trục chính, thì biểu thị bằng chữ D. Đó là các lớp bốn mặt trực thoi D
2
, mặt thang ba
phương D
3
, mặt thang bốn phương D
4
và mặt thang sáu phương D
6
.
Các kí hiệu này chứa thêm kí hiệu dưới h, như D
2h
D
3h
D
4h
và D
6h
dùng biểu thị lần lượt
các nhóm điểm sau: tháp đôi trực thoi, tháp đôi ba phương kép, tháp đôi bốn phương kép và
tháp đôi sáu phương kép.
Các nhóm mặt tam giác lệch bốn phương và mặt tam giác lệch ba phương kí hiệu bằng
D

2d
(hay V
d
) và D
3d
. Chữ d cho thấy mặt gương nằm chéo, ở vị trí phân đôi góc của các trục
bậc hai. Những lớp chứa trục gương duy nhất, bậc bốn và bậc sáu, có kí hiệu S
4
và S
6.
Như đã
biết, trục gương bậc sáu tương đương trục nghịch đảo bậc ba, nên S
6
có thể viết thành C
3i
.
Cũng vì vậy, lớp đôi mặt kí hiệu C
i
.
Các lớp của hệ lập phương thường bắt đầu bằng T và O (tetrahedral: thuộc tứ diện và
octahedral: thuộc bát diện); T là nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác), O tám mặt ba (ngũ giác),
điền thêm kí hiệu dưới h và d tuỳ trường hợp:
T
h
mười hai mặt kép,
O
h
tám mặt sáu (tam giác),
T
d

bốn mặt sáu (tam giác).
Bảng 2.1
Hệ thống tinh thể theo hệ và lớp
Kí hiệu lớp*
Hệ/phụ hệ Lớp tinh thể
1) 2) 3)
Ba nghiêng Một mặt
Đ
ôi m
ặ
t
L
1
C
C
1
Ci = S
2
1
1
Một nghiêng Hai mặt trục
Hai mặt
Lăng trụ (trực thoi)
L
2
P
L
2
PC
C

2
C
S

C
2h
2
m
2/m
Trực thoi Bốn mặt trực thoi
Tháp trực thoi
Tháp đôi trực thoi
3L
2
L
2
2P
3L
2
3PC
D
2

C
2v
D
2h
222
mm2
Mmm

Bốn phương Tháp bốn phương
Tháp đôi bốn phương
Mặt thang bốn phương
Tháp bốn phương kép
Tháp đôi bốn phương kép
Bốn mặt bốn phương
Mặt tam giác lệch bốn phương
L
4

L
4
PC
L
4
4L2
L
4
4P
L
4
4L
2
5PC
Li
4
Li
4
2L
2

2P
C
4

C
4h

D
4

C
4v
D
4h

S
4

D
2d
4
4/m
422
4mm
4/mmm
4

4
2m
Ba phương Tháp ba phương

Mặt thoi
Mặt thang ba phương
Tháp ba phương kép
M
ặ
t tam
g
iác l
ệ
ch ba
p
hươn
g

L
3
L
3
C
L
3
3L2
L
3
3P
L
3
3L
2
3PC

C
3
C
3i

D
3
C
3v
D
3d
3
3

32
3m
Sáu phương Tháp sáu phương
Tháp đôi sáu phương
Mặt thang sáu phương
Tháp sáu phương kép
Tháp đôi sáu phương kép
Tháp đôi ba phương
Thá
p
đôi ba
p
hươn
g
ké
p

L
6
L
6
PC
L
6
6L
2

P
6
6P
L
6
6L
2
7PC

L
3
P
L
3
3L
2
4P
C
6

C
6h

D
6

C
6v
D
6h

C
3h

D
3h
6
6/m
622
6mm
6/mmm
6

6
14
Lập phương Bốn mặt ba (ngũ giác)
Mười hai mặt kép
Tám mặt ba (ngũ giác)
Bốn mặt sáu (tam giác)
Tám mặt sáu (tam giác)

4L
3
3L
2
3L
3
3L
2
3PC
3L
4
4L
3
6L
2
3Li
4
4L
3
6P
3L
4
4L
3
6L
2
9PC
T
T
h

O
T
d

O
h

23
m3
432
4
3m
m3m
Chú thích: * kí hiệu theo 1) Bravais, 2) Schoenflies, 3) Hermann-Mauguin
Kí hiệu Hermann-Mauguin
Trục đối xứng kí hiệu bằng số chỉ bậc của nó, mặt gương bằng chữ m. Trục xoay bậc hai,
ba, bốn và sáu kí hiệu lần lượt 2, 3, 4 và 6. Vạch ngang đặt phía trên chữ số là trục nghịch
đảo;
4
là trục nghịch đảo bậc bốn (xem 2.1.1).
Các nhóm điểm khác kí hiệu bằng những kết hợp khác nhau của các chữ số và chữ m.
Mặt gương vuông góc với trục đối xứng thì giữa nó và trục có gạch ngang hay chéo dạng
phân số. Ví dụ : 2/m là nhóm với trục bậc hai vuông góc với mặt gương (tâm nghịch đảo là
kết quả đương nhiên). Nếu 2 kí tự này viết liền nhau thì đó là vì chúng song song nhau (mặt
chứa trục). 222 là nhóm đ
iểm có 3 trục xoay bậc hai trực giao;
222
mmm
là nhóm tháp đôi trực

thoi. Kí hiệu này rút gọn thành mmm: 3 mặt gương trực giao sinh ra trên giao tuyến 3 trục
xoay đối xứng bậc hai, tâm đối xứng nằm trên giao điểm. Những yếu tố đối xứng sinh ra là
kết quả đương nhiên thì không chỉ ra trên phép kí hiệu. Như vậy, nhóm tám mặt sáu (tam
giác) biểu hiện bằng kí hiệu
42
3
mm
, hay viết tắt thành m3m.
Trục chính sẽ đứng đầu trong kí hiệu nhóm điểm tinh thể các hệ hạng trung. Mặt gương
thẳng góc nếu có, sẽ làm với nó một vị trí, dưới dạng phân số. Vị trí thứ hai dành cho yếu tố
đối xứng dọc trục toạ độ OX (OU) và OY. Vị trí thứ ba (thường bỏ trống trong phụ hệ ba
phương) là các yếu tố đối xứng dọc hướng phân giác của các góc giữ
a các trục tọa độ ngang.
Ví dụ: nhóm điểm 4/mmm.
Hệ trục toạ độ tinh thể học
Tinh thể hệ 3 nghiêng có hệ trục toạ độ tổng quát nhất. Các đoạn a, b, c trên 3 trục OX,
OY, OZ không bằng nhau, tức là các trục không tương đương. Các góc
α
giữa OY và OZ,
β

giữa OX và OZ,
γ
giữa OX và OY cũng khác nhau. Mỗi tinh thể 3 nghiêng có những giá trị
xác định của các góc và cạnh ấy.
Trong tinh thể 1 nghiêng có 2 giá trị góc bằng góc vuông, đó là góc giữa OY và OX, giữa
OY và OZ; góc
β
giữa OX và OZ là góc nghiêng, quy ước lấy giá trị lớn hơn góc vuông. Các
giá trị a, b, c khác nhau. Trong hệ, trục bậc 2 và tia pháp của mặt gương được chọn để đặt trục

OY. Còn 2 trục kia, cũng như cả 3 trục của tinh thể 3 nghiêng, đều đặt theo các cạnh thường
gặp nhất (theo trục của đới phát triển nhất), ưu tiên OZ hơn.
Tinh thể trực thoi có hệ trục toạ độ trực giao, chạy dọc các tr
ục bậc hai hay/và pháp tuyến
của mặt gương và không tương đương, giống 2 hệ trên: a, b, c khác nhau.
Tinh thể 4 phương cũng có hệ trục vuông góc và a và b bằng nhau. Trục thứ 3 là c thẳng
đứng luôn trùng với trục đối xứng bậc 4 (trục xoay hay trục nghịch đảo). Các trục ngang đặt
dọc trục bậc 2, hoặc dọc tia pháp mặt gương, hoặc dọc theo các đới phát triển nhất. Đặc số
củ
a hệ 4 phương là tỉ số a : c.
Tinh thể hệ sáu phương có góc
γ
giữa OX và OY bằng 120° và hai góc vuông, a =
b. Trục OZ đứng trùng với trục bậc ba và trục bậc sáu. Riêng phụ hệ ba phương có mạng mặt
15
thoi với a = b = c và góc giữa các trục tinh thể học bằng
α
(khi góc này 90° mạng chuyển
sang hệ lập phương). Thực ra, mạng này chỉ là trường hợp đặc biệt của hệ sáu phương [14].
Tinh thể hệ lập phương có các trục toạ độ vuông góc và tương đương do tác động của 4
trục bậc 3. Chúng song song với 3 trục bậc 4 (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) hoặc 3 trục
xoay bậc 2. Như vậy thông số a là đặc số duy nh
ất của tinh thể hệ này.
Đối xứng toàn mặt, phân nửa mặt, phân tư mặt.
Mỗi hệ tinh thể đều có một lớp đối xứng cao nhất và với hình đơn nhiều mặt nhất; đó là
số mặt của hình đơn tổng quát của nhóm điểm và là đặc số của đối xứng cao nhất ấy. Đó là
lớp đối xứng toàn mặt:
 Hệ ba nghiêng có lớ
p đôi mặt.
 Hệ một nghiêng có lớp lăng trụ (trực thoi).

 Hệ trực thoi có lớp tháp đôi trực thoi.
 Hệ bốn phương có lớp tháp đôi bốn phương kép.
 Phụ hệ ba phương có lớp mặt tam giác lệch ba phương.
 Phụ hệ sáu phương có lớp tháp đôi sáu phương kép.
 Hệ lập phương có lớp tám mặt sáu (tam giác).
Từ lớp đố
i xứng toàn mặt có thể suy ra những lớp còn lại của hệ bằng cách hạ cấp độ đối
xứng để có hình đơn tổng quát (hđtq) tương ứng: phân nửa mặt và hình đơn phân tư mặt. Sơ
đồ triển khai có thể diễn đạt đối với hệ lập phương làm ví dụ như sau.
Bảng 2.2
Các cấp độ đối xứng của hệ lập phương
Dạng đối xứng Cấp độ đối xứng Đại lượng đối xứng*
O
h
Dạng đối xứng toàn mặt 48
T
d
O T
h
Dạng đối xứng phân nửa mặt 24
T Dạng đối xứng phân tư mặt 12
* Đại lượng đối xứng của dạng đối xứng tính bằng số mặt của hình đơn tổng quát của
nó.
2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể
Đa diện tinh thể biểu hiện dưới dạng hình ghép của các hình đơn. Hình đơn của tinh thể
hoàn thiện có các mặt với mọi tính chất giống nhau. Hình đơn là tập hợp các mặt liên quan
với nhau bằng các yếu tố của một nhóm điểm. Nó được suy ra từ các thao tác đối xứng của
một nhóm điểm; hãy đặt một mặt cho trước tại vị trí nào đó so với các y
ếu tố đối xứng, dưới
tác dụng của các thao tác này mặt cho trước sẽ cho một tập hợp các mặt, đây là một hình đơn

hoàn chỉnh.
Vậy, hình đơn gắn liền với đa diện tinh thể thông qua nhóm điểm của nó. Về mặt lí
thuyết, mỗi nhóm điểm có thể có một số hữu hạn các hình đơn. Trong số đó có các hình đơn
đặc biệt và một hình đơn tổ
ng quát duy nhất với số mặt lớn nhất. Mặt của hình đơn đặc biệt
thì hoặc vuông góc với yếu tố đối xứng hoặc song song với chúng, hoặc cắt xiên các yếu tố
đối xứng tương đương dưới cùng một góc (các yếu tố đối xứng cùng tên của nhóm điểm có
thể không tương đương nếu chúng không trùng nhau nhờ các yếu tố đối xứng khác trong
16
nhóm điểm). Hình đơn gọi là tổng quát nếu mặt của nó nằm tại vị trí bất kì so với các yếu tố
đối xứng của đa diện tinh thể. Nó đóng vai trò tinh thể học rất quan trọng; tên của nó được lấy
để đặt cho nhóm điểm (tham khảo bảng 2.1), còn số mặt lớn nhất của nó là đại lượng đối
xứng của nhóm điểm, định l
ượng cho mức độ đối xứng của tinh thể (bảng 2.2).
Tất cả có 47 hình đơn [13,14] và chúng phân bổ trên các hệ như trên bảng 2.3. Ngoài
hình đơn hai mặt, nhiều tác giả còn kể thêm hai mặt trục, nâng số hình đơn lên 48; tên của
chúng cũng là tên của các nhóm điểm m (P) và 2 (L
2
).
Bảng 2.3
Sự phân bổ hình đơn tại các hạng, hệ
Hạng tinh thể Hệ Số hình đơn
Thấp 7 (hoặc 8)
Trung Bốn phương
Sáu phương
9
16
Cao Lập phương 15
Một số hình đơn của hạng thấp cũng có mặt ở hạng trung. Hình đơn đặc biệt của một lớp
có thể là tổng quát của lớp khác; chẳng hạn, lăng trụ trực thoi là hình đơn đặc biệt thuộc hệ

trực thoi, lại là hình đơn tổng quát của lớp toàn mặt thuộc hệ một nghiêng. Nhiều hình đơn
của phụ hệ ba phương cũng có mặt trong phụ
hệ sáu phương. Đó là các lăng trụ như lăng trụ
ba phương, lăng trụ ba phương kép và các tháp đôi như tháp đôi ba phương, tháp đôi ba
phương kép. Một loạt hình đơn của phụ hệ sáu phương như tháp, tháp đôi và các lăng trụ cũng
có mặt trên tinh thể các lớp ba phương.
Bảng thống kê cho thấy mối tương quan phụ thuộc giữa số hình đơn và đối xứng của hệ.
Cụ thể, đối xứng của hệ càng cao thì số hình đơn của nó càng lớn. Mọi hình đơn đều có thể
suy ra từ 5 hình đơn chính (hình 2.10) bằng cách đặt chúng vào tác dụng của các trục đối
xứng với bậc khác nhau (hình 2.11).
Hãy quan sát trên hình 2.12, các hình đơn thay đổi lần lượt trên các hệ trục khác nhau từ
trái sang phải; từ hình đơn đối xứng thấp nhất sang hình đơn đối xứng cao nhất. Hàng giữa là
hình chiếu của chúng trên mặt nằ
m ngang.
Trong hệ ba nghiêng, trục toạ độ không tương đương và cắt nhau thành những góc bất kì.
Hình đơn tổng quát với đối xứng cao nhất là hình đôi mặt với kí hiệu {hkl}. Sang hệ một
nghiêng với
α
=
γ
= 90°, từ một mặt ở vị trí tổng quát xuất hiện một hình đơn khác hẳn và đối
xứng cao hơn: 2/m. Đó là hình lăng trụ trực thoi {hkl}. Trong hệ trực thoi, cả góc β cũng
vuông, nhưng 3 thông số trên 3 trục toạ độ vẫn khác nhau, thì mặt cho trước tại vị trí tổng
quát sẽ cho hình đơn phát triển cao hơn nữa với đối xứng mmm. Đó là hình đơn tổng quát
tháp
đôi trực thoi {hkl}. Trong hệ 4 phương với các thông số ở trục ngang bằng nhau (a = b);
trục thẳng đứng là trục bậc bốn thay cho trục bậc hai của hệ trực thoi. Hai hình đơn sẽ xuất
hiện với các mặt đều cắt cả 3 trục và với đối xứng 4/mmm:
∗ Hình đơn đặc biệt tháp đôi bốn phương {hhl}.
∗ Hình đơn tổng quát

tháp đôi bốn phương kép {hkl}với mặt cắt ngang tứ giác kép đều
đặn (đường đứt, hàng giữa, hình 2.12).

17

Hình 2.12
Hình đơn đôi mặt và tháp đôi phát triển trong tinh thể thuộc các hệ với ba trục toạ độ
Trong hệ lập phương 4 trục bậc ba đã làm xuất hiện hình tám mặt sáu {hkl}, tổng quát
với 48 mặt, mặt cắt ngang của nó (đường đứt) giống hình trên. Cùng lớp đối xứng còn có hình
đơn đặc biệt {111} tám mặt, với đối xứng cao hơn tháp đôi bốn phương. Ngoài ra, có thể còn
2 hình trung gian gồm 24 mặt {hhl}: tám mặt ba tứ giác với h < l và tám mặt ba tam giác v
ới
h > l (xem thêm ở cuối mục).
Hình 2.12 (hàng dưới) giới thiệu loạt hình đơn sinh ra từ mặt cho trước, chỉ cắt một trong
ba trục toạ độ. Tinh thể hạng thấp có ba hình đôi mặt {100}, {010} và {001}. Hình đơn {100}
của hệ bốn phương là lăng trụ, trong hệ lập phương là hình lập phương (sáu mặt).
Những hình đơn hệ lập ph
ương và những tháp đôi vừa kể đều là những hình đơn kín và
có thể một mình làm nên đa diện tinh thể. Hình đôi mặt, lăng trụ trực thoi là những hình đơn
mở, chỉ bắt gặp chúng trong hình ghép.
Bây giờ, thay vào các mặt ở vị trí tổng quát là các mặt chỉ cắt 2 trục tinh thể học và song
song với trục thứ ba, thực hiện cách như trên cũng có thể thu được hàng loạt hình đơn từ
đối
xứng thấp, ít mặt đến hình đơn đối xứng cao với số mặt nhiều hơn (hình 2.13).

18
Chẳng hạn, mặt song song với trục c trong lớp toàn mặt hệ ba nghiêng cũng sẽ cho hình
đơn đôi mặt, nhưng với kí hiệu {
hk0
} và {hk0}. Hình đơn {hk0} là lăng trụ trực thoi, tổng

quát trong hệ một nghiêng và đặc biệt trong hệ trực thoi. Cùng có bốn mặt, nhưng lăng trụ
bốn phương có kí hiệu {110}, còn kí hiệu {hk0} trong hệ bốn phương lại là hình đơn lăng trụ
bốn phương kép với tám mặt và mặt cắt ngang giống như của tháp đôi bốn ph
ương kép (hình
2.12). Trong hệ lập phương, kí hiệu {110} là của hình đặc biệt mười hai mặt thoi; giống như
mọi hình đơn hệ lập phương, nó cũng là hình đơn kín. Các hình lăng trụ trên hình 2.13 đều là
hình đơn mở: chúng đều phải kết hợp với hình đơn khác trong đa diện, ví dụ với hình đôi mặt
đáy {001}, song song với hai trục ngang.
Bằng cách luận giải tương tự
, có thể dẫn ra hàng loạt hình đơn song song với trục a. Hệ
ba nghiêng, lớp toàn mặt có các hình đôi mặt {0kl} và {
0kl
}. Hình đơn {0kl} là lăng trụ trực
thoi của các hệ một nghiêng (toàn mặt) và hệ trực thoi, là tháp đôi bốn phương trong đối xứng
phân nửa mặt và toàn mặt hệ bốn phương. Hệ lập phương với ba trục toạ độ tương đương có
mười hai mặt ngũ giác, sáu mặt bốn tam giác (phân nửa mặt và toàn mặt) ứng với trường hợp
này. M
ười hai mặt thoi là hình đơn đặc biệt với k = l.
Mặt song song với trục b với kí hiệu {h0l} hay {101} cho loạt hình đơn tương tự, trừ hệ
một nghiêng sẽ là đôi mặt thay cho lăng trụ. Hình 2.14 dẫn ra một loạt hình đơn phân nửa mặt
và cắt cả ba trục tọa độ. Đó là hình một mặt trong hệ ba nghiêng, hai mặt trong hệ một
nghiêng,
bốn mặt trực thoi trong hệ trực thoi, bốn mặt bốn phương trong hệ bốn phương và
bốn mặt (tứ diện đều) của hệ lập phương.

Hình đơn của hệ lập phương và sự liên quan giữa chúng (hình 2.15)
Trên đây, trong khi suy đoán hình đơn hạng thấp và hạng trung, đã thấy xuất hiện những
hình cơ sở của hệ lập phương (xem các hình 2.12 và 2.14): hình lập phương vuông góc với
trục tọa độ, hình bát diện với trục ba lưỡng cực, tứ diện {111} và {11
1

} với trục ba đơn cực.
Dựa vào đối xứng riêng của mặt các hình này, ta cho xuất hiện cạnh “nóc nhà” hoặc đỉnh
“mũi tháp” tại trung điểm của chúng [14].

Hình 2.14. Một số hình đơn phân nửa mặt phát triển từ hình 2.12 (hàng
19
a) Hình đơn hk0 dẫn
xuất từ hình lập phương/sáu
mặt:
Hình mười hai mặt ngũ
giác có thể gọi là “sáu mặt
hai ngũ giác” nếu cho xuất
hiện cạnh trên mặt hình sáu
mặt.
Hình sáu mặt bốn (tam
giác) nếu cho xuất hiện
đỉnh trên mặt hình lập
phương.
Hình mười hai mặt thoi
{110} suy từ hình lập
phương qua hình trung gian
sáu mặt bốn tam giác.
b) Hình đơn {hhl} với
h > l. Trong các nhóm điểm
m3m, 432, m3 mặt tam giác
đều của bát diện thay bằng
“tháp ba mái”: hình đơn
nhận được là tám mặt ba tam giác. Trong trường hợp tứ diện (43m và 23) sẽ là bốn mặt ba tứ
giác. Khi độ dốc các mặt này tăng tới hạn, tức là h→0 thì (hhl) → (011), các hình dẫn xuất
này cũng thành mười hai mặt thoi.

c) Hình đơn {hhl} với h<l – dẫn xuất của hình tám mặt và bốn mặt. Hình tám mặt cho
tám mặ
t ba tứ giác, hình bốn mặt cho bốn mặt ba tam giác.
d) Hình đơn tổng quát
* Nhóm điểm m3m: khi mặt (111) chuyển vào vị trí tổng quát thì mặt tam giác đều của
hình tám mặt biến thành 6 tam giác thường. Hình đơn nhận được là tám mặt sáu (tam giác).
* Nhóm điểm 43m: mặt (111) của tứ diện đều chuyển vào vị trí tổng quát sẽ nhân lên 6
lần: bốn mặt sáu (tam giác).
* Nhóm điểm m3: Hình đơn tổng quát củ
a nhóm có thể suy từ hình lập phương; mặt của
mười hai mặt ngũ giác vốn dẫn xuất từ đó sẽ nhân đôi bằng 3 mặt gương của nhóm điểm.
Hình đơn là mười hai mặt kép hay hình hai mươi bốn mặt.
* Nhóm điểm 432 và 23: Các hình đơn của chúng suy từ bát diện hay tứ diện để có tám
mặt ba ngũ giác và bốn mặt ba ngũ giác. Với tư cách là d
ẫn xuất của hình lập phương, chúng
có thể gọi là “sáu mặt bốn ngũ giác” và “sáu mặt hai ngũ giác”.




Hình 2.15
Lập phương, tám mặt và những hình dẫn xuất