Giáo trình cơ sở truyền nhiệt 1 - Chương 2

CHƯƠNG 2

DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH
2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT
2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt
Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn
nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr adt .
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt
lượng δ 2 Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử
khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng
quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong
Hình 2. Để tìm dịng nhiệt q

thời gian dτ , như hình H2.

Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω
của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:
d 2n =

i
n 0 ωdSdτ
6

Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là
d 2 E 1 = E 1d 2 n =

i
1
kT1 n 0 ωdSdτ và
2
6

d 2 E 2 = E 2d 2 n =

1
1
kT2 n 0 ωdSdτ ,
2
6

trong đó k =

Rµ
NA

=

8314
= 1,3806.10 − 23 J / K là hằng số Boltzmann, NA là số
6,02217

phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí.
Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:
δ 2 Q = ( E 1 − E 2 )d 2 n =

i
1
k (T1 − T2 ) n 0 ωdSdτ
2
6

⎛ ∂T ⎞
⎟2 x và
⎝ ∂x ⎠

Vì T1 − T2 = −⎜

6


Rµ 1 ⎛
i
i
µ ⎞⎛ i R µ
⎟⎜
n 0k = n 0
= ⎜n0
6
6 N A 3 ⎜ N A ⎟⎜ 2 µ
⎠⎝
⎝

⎞ 1
⎟ = ρC v nên có:
⎟ 3
⎠

1
⎛1
⎞ ∂T
δ 2 Q = −⎜ ρC v ωx ⎟

dSdτ , ddawtj λ = ρC v ωx
3
⎝3
⎠ ∂x

thì có

δ2Q
∂T
= q x = −λ
.
δSsτ
∂x

Đây là dịng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dịng nhiệt qua
⎛ ∂T
∂T
∂T ⎞
+ j
+ k ⎟ = −λgr adT
dS là q = −λ⎜ i
⎜ ∂x
∂y
∂z ⎟
⎝
⎠

2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier
Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ
gradien nhiệt độ.

Biểu thức dạng vectơ là q = −λgr adt , dạng vô hướng là
q = −λgradt = −λt n (M) . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau.

Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được
cơng suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q = ∫∫ S − λgradt.dS và tìm
được lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức
τ

Qτ = ∫ 0

∫∫

S

− λgradtdSdτ , [J].

2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt
Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier:
λ=

q
q
, [W/mK]
=
∂t
gradt
∂n

Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu.
Với chất khí, theo chứng minh trên, có

1
1⎛ p ⎞
8kT ⎛ kT ⎞ 2C v
⎜
⎟=
λ = ρC v ωx = ⎜
⎟C v
πm ⎜ π 2d 2 p ⎟ 3Rd 2
3
3 ⎝ RT ⎠
⎝
⎠

k 2T
π3 m

7


Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng khơng phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi
tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí, R =

Rµ
µ

, tăng

đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí.
Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm
và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị

trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2.
Vật liệu

λ[W/mK]

Vật liệu

λ[W/mK]

Bạc

419

Thuỷ tinh

0,74

Đồng

390

Gạch khơ

0,70

Vàng

313

Nhựa PVC

0,13

Nhơm

209

Bơng thuỷ tinh

0,055

Thép Cacbon

45

Polyurethan

0,035

Yhép CrNi

17

Khơng khí

0,026

Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN

PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt
cho 1 vi phân thể tích dV nằm hồn tồn bên
trong vật V dẫn nhiệt.
PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm
trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính
phương trình này.
2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN
Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV Hình 3. Cân bằng nhiệt cho dV
bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,
có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, cơng suất sinh nhiệt qv
, dịng nhiệt qua M là q .

8


Định luật bảo toàn năng lượng cho dV phát biểu rằng:
[Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh ra
trong dV].
Trong thời gian 1 giây, phương trình này có dạng :
ρdVC p

∂t
= −divq.dV + q v dV hay
∂τ

∂t
1
=
(q v − divq )
∂τ ρC p

Theo định luật Fourier q = −λgr adt , khi λ = const ta có
⎡ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞⎤
divq = div(−λgr adt ) = −λ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥ = −λ∇ 2 t
⎜ ⎟
⎣ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦

⎧ ∂2t ∂2t ∂2t
⎪ 2 + 2 + 2 (Trong taûo âäü vuäng goïc (xyz))
∂z
∂y
⎪ ∂x
2
∂2t
∂2t
⎪ ∂ t 1 ∂t
2
với ∇ t = ⎨ 2 +
Trong toả âäü trủ (r, ϕ, z)
+
+
r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
⎪ ∂r2
cos θ ∂t
∂2t
∂2t
⎪ ∂ t 2 ∂t
, trong toả âäü cáưu (r, ϕ, θ)
+
+ 2 2 + 2

+ 2
⎪ ∂r 2 r ∂r r ∂θ
r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2
⎩

gọi là tốn tử Laplace của hàm t(M)
PTVPDN là phương trình kết hợp 2 định luật nói trên, có dạng:
∂t
λ ⎛ qv
λ
⎞
⎛q
⎞
[m2/s] gọi là hệ số khuếch
=
+ ∇ 2 t ⎟ = a ⎜ v + ∇ 2 t ⎟ , với a =
⎜
∂τ ρC p ⎝ λ
λ
ρC p
⎠
⎠
⎝

tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật.
2.2.3. Các dạng đặc biệt của PTVPDN
Phuơng trình VPDN tổng quát

[

]

1
∂T
=
q V − div(−λgr adt ) sẽ có dạng đơn
∂τ ρc P

giản hơn, khi cần đáp ứng đủ các điều kiện đặc biệt sau đây:
1) Vật V khơng có nguồn nhiệt, qv = 0, thì
2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, thì

(

1
∂t
=
div λgr adt
∂τ ρC p

)

∂t
= a∇ 2 t
∂τ

9


3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V,

∂t
= 0 ∀M∈V, thì ∇ 2 t = 0
∂τ

4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :
t(x) trong toạ độ vng góc tìm theo
t(r) trong toạ độ trụ tìm theo
t(r) trong tạo độ cầu tìm theo

d2t
=0
dx 2

d 2 t 1 dt
+
=0
dr 2 r dr
d 2 t 2 dt
+
=0
dr 2 r dr

2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn
là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân
phương trình này ln chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất
nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các
điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác
định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình.

2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị
Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau
1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thơng số hình học đủ để xác định hình
dạng, kích thước vị trí của hệ vật V.
2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M
∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t).
3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại
mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại
mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm khảo sát. Nếu ký hiệu dòng
nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là q λ = −λ

∂t
= −λt n (M) thì mơ tả tốn học của
∂n

các điều kiện biên có dạng:

10


t w = t (M, τ) hoàûc⎫ ∀M ∈ W ∈ V
⎬
q λ = −λt n (M ) = q (M, τ, t (M ))⎭ ∀τ ∈ ∆τ xeït.

Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước
trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài tốn khơng ổn định, có
chứa biến thời gian τ.
2.3.2. Các loại điều kiện biên.
Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi

trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và tốn học, minh hoạ hình học và các
trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ.
Bảng 3. Các loại điều kiện biên.
Loại
ĐKB

Ý nghĩa vật lý
hay thơng số
cho trước

Mơ tả tốn học

mơ tả hình học hay

Trường hợp

hay pt CBN

đồ thị (t-x)

đặc biệt

tw1 = tf khi W1

Cho nhiệt độ

1

tW1 tại

tw1 = t(M1, τ)

∀M1∈W1∈V

tiếp xúc chất
lỏng có α lớn

q = const
Cho dịng
2

nhiệt q qua
∀M2 ∈W2∈V

↔γ=const
-λtn(M2) = q(M2,

q=0 ↔W2 là

τ)

mặt đối xứng
hoặc cách
nhiệt

11


α = 0 ↔ W3 là

cách nhiệt

Cho mặt W3
toả nhiệt ra
3 chất lỏng nhiệt
độ tf với hệ số

hoặc đối xứng
-λtn(M3)=

α = ∞ ↔t(M3)

α(t(M3),tf)

=tf W3 biến
thành W1. Khi

α

(λ,α,tf) = const
↔ R cố định

Cho W4 tiếp
4

xúc vật V2
đứng yên, có

t2 = const↔W4
− λt n ( M 4 ) = -

biến thành W1

λ2t2n(M4)

(λ1, λ2
)=const↔gó c

λ2 , t2

Cho W5 hố
5

γ=const
− λt n ( M 5 ) =

rắn từ pha

∂x
ρrc 5 − λ f t fn (M 5 )
lỏng có thơng
∂τ

số (ρ, rc, λf, tf)

W5 di động với
tốc độ hoá rắn
bằng

∂x 5

∂τ

Mặt bao chân
cho W6 tiếp
6

xúc chân
khơng

khơng có nhiệt
-λTn(M6)=

độ Tc. –

εδ0T4(M6)

λTn(M6) =
εδ0[T2(M6)Tc2]

12


Cho W7 tiếp
xúc chất khí

7

có thơng số
(Tk, ε)

Quy ra trao đổi
-λTn(M7)=α

nhiệt phức hợp

[T(M7)- Tk]+

-λTn(M7)=αph

εδ0[T4(M7) - T4k ]

[t(M7)- Tk]

Mơ tẳ tốn học cho mỗi loại điều kiện biên là phương trình cân bằng các dòng nhiệt
ra vào điểm M bất kỳ trên biên. Phương trình mơ tả các điều kiện biên loại 2, 3, 4, 5
là các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với t và tn . Phương trình mơ tả điều
kiện biên loại 6 và 7 là những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết.
2.3.3. Mơ hình bài tốn dẫn nhiệt
Ở dạng tổng qt, bài tốn dẫn nhiệt có thể
được mơ tả bởi hệ phương trình vi phân (t) gồm
phương trình vi phân dẫn nhiệt và các phương trình
mơ tả các điều kiện đơn trị như đã nêu tại mục 2.3.,
có dạng
⎧ ∂t
⎛ 2 qv ⎞
⎪ ∂τ = a ⎜ ∇ t + λ ⎟, ∀M ∈ V
⎝
⎠
⎪
⎪Miãưn xạc âënh v thäng säú váût l cuía ∀M ∈ V

⎪t = t (M , τ), ∀M ∈ W
1
1
1
⎪ W1
⎪− λt n (M 2 ) = q(M 2 , τ), ∀M 2 ∈ W2
⎪
⎨− λt n (M 3 ) = α[ t (M 3 ) − t f ], ∀M 3 ∈ W3
⎪
Hình 4. Mơ hình tổng quát
⎪− λt n (M 4 ) = −λ 2 t n 2 (M 4 ), ∀M 4 ∈ W4
bài toán dẫn nhiệt t(x,y,z,τ)
dx 5
⎪
⎪− λt n (M 5 ) = −λ n t n (M 5 ) + ρrc dτ , ∀M 5 ∈ W5
⎪
4
⎪− λt n (M 6 ) = εδ 0 T (M 6 ), ∀M 6 ∈ W6
⎪− λt n (M 7 ) = α[ t (M 7 ) − t k ] + εδ 0 [T 4 (M 7 ) − Tk4 ], ∀M 7 ∈ W7
⎩

Giải bài tốn dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mãn
mọi phương trình của hệ (t) nói trên. Việc này gồm có 2 bước chính là tích phân
phương trình vi phân dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quát, sau đó xác định các hằng
số theo các phương trình mơ tả các điều kiện đơn trị.

13


2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG

Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt.
Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại
sau đây.
2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3
2.4.1.1. Phát biểu bài tốn
Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vơ hạn,
làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt
λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất
lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số
toả nhiệt vào ra vách là α1, α2.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách

Hình 6. Trường t(x) trong vách
phẳng có 2W3

và dịng nhiệt q(x) qua vách.
Theo tốn học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ]
như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây.
⎧ d2t
⎪ 2 =0
⎪ dx
(t) ⎨α1 [ t f 1 − t (0)] = −λt x (0)
⎪− λ t (δ) = α [ t ( δ) − t ]
x
2
f2
⎪
⎩

(1)

( 2)
(3)

2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x).
1) Tìm nghiệm tổng qt bằng cách tích phân phương trình (1), ta có :
t ( x ) = ∫∫ dx 2 = C1 x + C 2

2) Xác định C1 , C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3)
− (t f 1 − t f 2 )
⎧
, [ K / m]
⎪C1 = λ
λ
α 1 [ t f 1 − C 2 ] = − λ C1 ⎫ ⎪
+δ+
α1
α2
⎬⇒⎨
− λC1 = α 2 [C1δ + C 2 − t f 2 ]⎭ ⎪
λ
C1 , [ K ]
⎪C 2 = t f 1 +
α2
⎩

14


Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 -

t f1 − t f 2

λ
λ
+δ+
α1
α2

(x +

λ
)
α1

Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách.
Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ +
λ/α2, tf2) như hình H
2.4.1.3. Tìm dịng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có
q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay q =

Nếu gọi R =
q=

t f1 − t f 2
, [W/m2]
1 δ 1
+ +
α1 λ α 2

1 δ 1

+ +
, [m2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có
α1 λ α 2

V − V2
t f 1 −t f 2
, tương tự như cơng thức tính dịng điện I = 1
.
R
Rđ

2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1.

Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với
một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt
cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (tw-tf) → 0,
tức là tW = tf. khi đó chỉ cần thay tw = tf và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể
tìm t(x) và q(x) cho bài tốn biên loại 1.
Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau:
t W1 − t f 2
⎧
⎪t(x) = t W1 −
λ
δ+
⎪
⎪
α2
1) Khi α1 = thỗ
t W1 t f 2

q=
1

+

2

t −t
⎧
t(x) = t W1 − W1 f 2 x
⎪
δ
⎪
t W1 − t f 2
2) Khi α1 = α 2 = thỗ
q=






15


2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ

Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng
q ( x ) = −λ ( t )

dt
. Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân
dx

∫ λ(t )dt = −∫ q(x )dx
Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các cơng thức tính t và q nêu trên,
trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ
t2

[t1, t2] của vách, là λ =

1
λ( t )dt
t 2 − t1 ∫
t1

Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì
t2

t1 + t 2
1
λ=
∫1 (a + bt )dt = a + b 2
t 2 − t1 t
t2
t +t
t 2 + t1t 2 + t 2
1
2
(a + bt + ct 2 )dt = a + b 1 2 + c 1

λ=
t 2 − t1 ∫
2
3
t1

2.4.4. Vách phẳng n lớp
2.4.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách phẳng n lớp, mỗi
lớp i có δi , λi khơng đổi, hai mặt
ngồi tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1,
α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 khơng
đổi. Tìm dịng nhiệt q qua vách,
nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân
bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp.

Hình 7. Vách phẳng n lớp

2.4.4.2. Xác định q, ti, và ti(x).

Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình:
q= α1(tf1 – t0) =

t i − t i +1
, (∀i = 1 ÷ n ) = α( t n − t f 2 )
δi / λ i

16

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti,
∀i=1÷n.
Bằng cách khử các ti sẽ tìm được q, sau đó tính ti và xác định
ti(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có:
δ
q
⎧
tn = tf2 +
, t i = t i +1 + i q, ∀i = (n − 1) ÷ 0
⎪
λi
α2
⎪
t f1 − t f 2
⎪
, [W/m 2 ]
⎨q = 1
n
δi 1
⎪
+∑ +
α1 i =1 λ i α 2
⎪
⎪
⎩t i ( x ) = t i − ( t i − t i +1 ) x / δ i , ∀i = 1 ÷ n

Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy
khúc, giống như biên loại 4
Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw = tf, 1/α = 0 hoặc

λ = λ = const vào các công thức trên.

2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU
2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3
2.5.1.1. Phát biểu bài tốn

Cho một ống trụ đồng chất dài vơ cùng,
bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ khơng đổi, mặt
r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2
tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 . Tìm
phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng
nhiệt qua vách.
Mơ tả hình học trong toạ độ trụ có dạng Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có
như Hình 8

2W3

Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau:

17


⎧ d 2 t 1 dt
=0
(1)
⎪ 2 +
r dr
⎪ dr
( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪− λt (r ) = α [ t (r ) − t ] (3)

r 2
2
2
f2
⎪
⎩

2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r)

1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau:
Đổi biến u =

rdu + udr d(ur )
du u
dt
→ Phương trình (1) có dạng
=
=0 →
+ = 0→
rdr
rdr
dr r
dr

d(ur)=0→ur=C1→ u =

C1 dt
dr
=
→ t (r ) = ∫ C1 = C1 ln r + C 2

r
r
dr

2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3):
− (t f 1 − t f 2 )
⎧
C 1 ⎫ ⎪ C1 =
, [K ]
α1 [ t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ] = −λ
r2
λ
λ
⎪ ⎪
+ ln +
r1 ⎪
α 1 r1
r1 α 2 r2
⎬⇒⎨
C1
⎪ ⎪
−λ
= α 2 [C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ]
λ
− ln r1 ), [K ]
⎪ ⎪C 2 = t f 1 + C1 (
r2
⎭
α1 r1
⎩

Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là
t (r ) = t f 1 −

t f1 − t f 2
r
λ
λ
+ ln 2 +
r1 α 2 r2
α 1 r1

⎛ r
λ ⎞
⎜ ln +
⎟
⎜ r αr ⎟
1 1 ⎠
⎝ 1

Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến
tại r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2).
2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ

1. Dịng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là
q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2]
q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ.
2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là:
ql

=

ql =

lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m]
C
q (r ).2πrl
= −λ 1 .2πr = 2πλC1 = const , ∀r
l
r

Thay C1bởigiá trị trên, sẽ thu được:
18


ql =

t f1 − t f 2
, [W/m].
r2
1
1
1
+
ln +
2πr1α1 2πλ r1 2πr2 α 2

Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ.
d
1

1
1
Đại lượng R =
+
ln 2 +
l πd α 2πλ d
πd 2 α 2
1 1
1

, [mK / W ] được gọi là nhiệt trở dẫn

nhiệt của 1m ống trụ.
2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp

Khi α→∞ thì thay tw = tf và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài tốn vách
trụ 2 biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck 2 biên W1 như sau:

1) Khi α1 = ∞ thì

t w1 − t f 2
r
⎧
ln
⎪ t ( r ) = t w1 − r
λ
r1
ln 2 +
⎪
r1 α 2 r2

⎪
⎨
t w1 − t f 2
⎪q l =
r
1
1
⎪
ln 2 +
⎪
2πλ r1 2πr2 α 2
⎩

t −t
r
⎧
t (r ) = t w1 − w1 W 2 ln
⎪
r
r1
ln 2
⎪
⎪
r1
2) Khi α1 = α1 = ∞ thì ⎨
t −t
⎪q l = w1 f 2
r
1
⎪

ln 2
⎪
2πλ r1
⎩

2.5.3. Vách trụ n lớp
2.5.3.1. Phát biểu bài tốn

Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi
không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng
có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có
tf2, α2 kh ơng đổi
Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti tại các

Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n
lớ

19


mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i, ∀i = 1 ÷ n
2.5.3.2. Xác định q l , ti và ti(r)

Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là :
q l = α1[tf1 – t0]2πr1 =

t i − t i +1
, (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )2πrn
ri +1
1

ln
2πλ i
ri

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q l và (n+1) ẩn ti.
Bằng cách khử các ti để tính q l , sau đó tìm ti theo q l và xác định ti(r) như
vách có 2W1, sẽ thu được:
⎧
t f1 − t f 2
ql =
⎪
n
r
1
1
1
⎪
+∑
ln i +1 +
2πr1α1 i =1 2πλ i
ri 2πrn α 2
⎪
⎪
ql
q
r
; t i = t i −1 − l ln i , ∀i = 1 ÷ n
⎨t 0 = t f 1 −
2πr1α1
2πλ i ri −1

⎪
t i − t i +1 r
⎪
ln , ∀i = 1 ÷ n
t i (r) = t i −
⎪
ri +1
ri
ln
⎪
ri
⎩

2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu
2.5.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có
hệ số dẫn nhiệt λ khơng đổi, mặt r1 tiếp xúc
chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất
lỏng lạnh có tf2, α2 khơng đổi.
Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng
nhiệt Q qua vách.
Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định
bởi hệ phương trình (t) sau:
Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu

20


⎧ d 2 t 2 dt

(1)
=0
⎪ 2 +
r dr
⎪ dr
( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪− λt (r ) = α [ t (r − t )] (3)
r 2
2
2
f2
⎪
⎩

2.5.4.2. Tìm phân bố t(r)

1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến u =
dạng :
u=

dt
→ phương trình (1) có
dr

du
u
du
dr
+2 =0→
+ 2 = 0 → tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 →

dr
u
r
r

C1 dt
= → tích phân lần 2 có : t(x) =
r 2 dr

C1

∫r

2

dr = −

C1
+ C2
r

2) Tìm C1, C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3):
t f1 − t f 2
⎧
[Km]
⎛
⎞
C1
C1 ⎫ ⎪C1 =
⎛ 1

α1 ⎜ t f 1 +
− C 2 ⎟ = −λ 2 ⎪ ⎪
1 ⎞ ⎛1 1⎞
⎜
⎟
λ⎜
r1
r1 ⎪ ⎪
⎝
⎠
⎜ α r2 + α r2 ⎟ + ⎜ r − r ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎬⇒⎨
2 2 ⎠
⎝ 11
⎝ 1 2⎠
⎛ C
⎞
C
− λ 21 = α 2 ⎜ − 1 + C 2 − t f 2 ⎟⎪ ⎪
⎜ r
⎟⎪ ⎪C = t − C ⎛ λ + 1 ⎞
⎟
⎜
[K ]
r2
f1
1⎜
⎝ 1

⎠⎭ ⎪ 2
α 1 r12 r1 ⎟
⎠
⎝
⎩

Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là
t (r ) = t f 1 −

⎛1
t f1 − t f 2
1
1⎞
⎜ +
⎜ r α r2 + r ⎟
⎟
⎛ 1 1 ⎞⎝
1
λ
1 1
1 ⎠
+
+⎜ + ⎟
α 1 r12 α 2 r22 ⎜ r1 r2 ⎟
⎠
⎝
⎛

λ

⎞

⎝

1

⎠

Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm R 1 ⎜ r1 − , t f 1 ⎟
⎟
⎜
α
⎛
⎞
λ
,tf2 ⎟
và R 2 ⎜ r2 +
⎜
⎟
α2
⎝
⎠
2.5.4.3. Tính cơng suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu

Q = q(r).π(2r2)=- λ

C1
4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r
2
r

Thay C1 bởi giá trị nêu trên, ta có:

21


Q=

t f1 − t f 2
, [W]
1 ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
⎜
⎟+
+
4π ⎜ α 1 r12 α 2 r22 ⎟ 4πλ ⎜ r1 r2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

Khi vách cầu có 2 biên loại W1 thì Q =

t W1 − t W2
,[W ]
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4πλ ⎜ r1 r2 ⎟

⎝
⎠

Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W3, sau khi giải hệ phương trình
Q = α 1 ( t f 1 − t f 0 )4πr02 =

( t i − t i +1 )4πλ i
, (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )4π
1
1
+
ri ri +1

sẽ tìm được:
Q=

t f1 − t f 2
1 ⎛ 1
1 ⎞ n 1
⎜
⎟+∑
+
4π ⎜ α 1 r12 α 2 r22 ⎟ i =1 4πλ i
⎝
⎠

⎛1
1 ⎞
⎜ −
⎜r r ⎟

⎟
i +1 ⎠
⎝ i

,[w ]

Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên.
2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI.

Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt.
Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh,
làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc. Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều
dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều.
2.6.1. Phát biểu bài tốn

Chơ một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết
diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh
tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa
nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là
phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa
nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số
tỏa nhiệt α2.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh
Hình 11. Bài tốn t(x) trong thanh trụ và cánh
phẳng có tiết diện không đổi
22


và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh.
2.6.2. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

2.6.2.1. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức khơng có
điểm trong, nên phương trình t τ = a∇ 2 cần được thay bằng phương trình cân bằng
t
nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng:
Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx
Nếu gọi θ(x) = t(x) − t f thì phương trình trên có dạng:
−λ

dθ
d ⎛
dθ ⎞
f + λ ⎜ θ + ⎟f = αθUdx
dx
dx ⎝
dx ⎠

αU
d 2θ
Suy ra λf 2 − αUθ = 0 . Đặt m =
, [m −1 ]
λf
dx
d 2θ
− m 2θ = 0 (1)
Thì phương trình cân bằng nhiệt để tìm θ(x) là
2
dx

Nghiệm tổng quát của (1) là θ(x) = C1.e mx + C 2 .e − mx
2.6.2.2 Tìm θ(x) và Q0 cho thanh dài hữu hạn

1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3
tại x=l
⎧θ(0) = C1 + C 2 = t 0 + t f = θ0
⎨
− ml
− ml
ml
ml
⎩−λθ x (l) = α 2θ(l) → −λ (m.C1.e − m.C2 .e ) = α 2 (C1.e + C 2 .e )

Giải hệ phương trình bậc nhất tìm được C1,C2 rồi thay vào nghiệm tổng quát
và đưa về dạng hàm hyperbol shx = (ex + ex)/2 và chx = (ex + ex)/2, thx = shx/chx,
sẽ thu được
θ(x) = θ0

α2
sh [ m(l − x) ]
m.λ
α
ch(ml) + 2 .sh(ml)
m.λ

ch [ m(l − x) ] +

Trong tính tốn kỹ thuật,khi f<

trong thanh hữu hạn là
23




⎡
αU ⎤
ch ⎢(1 − x )
⎥
λf ⎦
ch [ m(l − x)]
⎣
hay t(x) = tf + (t0 – tf)
θ(x) = θ0
ch(ml)
⎛ αU ⎞
⎟
ch⎜ l
⎜ λf ⎟
⎝
⎠

2) tính nhiệt lượng dẫn qua gốc cánh
Nhiệt lượng qua gốc cánh chính là nhiệt lượng tỏa ra cánh, và bằng
α2
mλ , W
Q 0 = −λθ x (0 )f = mλfθ 0
α
1 + 2 th (ml)
mλ
th ( ml) +

Nếu f<

2.6.3 Tìm t(x) và q0 khi thanh trụ dài vơ hạn

Khi thanh dài vơ hạn thì C1,C2 tìm theo điều kiện
θ(0 ) = C1 + C 2 = θ 0

⎫ ⎧C1 = 0
⎪
→
lim θ(x ) = C = t f − t f = 0⎬ ⎨C 2 = θ 0
⎪ ⎩
x →∞
⎭
∞
1

Do đó phân bố nhiệt độ là θ(x ) = θ 0 e − mx hay
t(x) = tf + (t0 –tf).exp(-x.

α.u
)
λ.f

Nhiệt lượng qua gốc cánh là Q0 = -λ.f.θx(0) = m.λ.f.θ0
hay Q0 =θ0. α.u.f .λ = (t 0 − t f ). α.u.f .λ , [ W ]
Trong thực tế khi thanh trụ có

u.l
≥ 100 thì có thể coi là thanh dài vô hạn
f



2.7. DẪN NHIỆT TRONG VẬT CĨ NGUỒN NHIẸT PHÂN BỐ ĐỀU

Vật có nguồn nhiệt với công suất qv = const, ⎡ W/m3 ⎤ , được gọi là vật có
⎣
⎦
nguồn nhiệt phân bố đều. Một thanh kim loại đang dẫn điện, một khối bê tông đang
đơng kết, một vật đang có phản ứng sinh nhiệt ổn định,.. . là các ví dụ về vật có
nguồn nhiệt phân bố đều.
2.7.1.Tấm phẳng có qv = const

24


2.7.1.1.Phát biểu bài tốn

Cho tấm phẳng dày sδ, rộng vơ hạn, có λ và
nguồn nhiệt trong qv= const, hai mặt ngồi tiếp xúc
cùng một chất lỏng có tf, α khơng đổi
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) và tính nhiệt tỏa ra
mơi trường
Mơ tả hình học như Hình 12, trường t(x) trong
tấm đối xứng qua mặt x=0,tại đo tx(0) = 0. Do đó theo
tốn học, cần tìm hàm t(x) như nghiệm cảu hệ phương

Hình 12. Tấm phẳng có
qv = const

trình (t) như sau:
⎧ d2t q v
⎪ dx 2 + λ = 0


⎪
(t )⎪− λt x (δ ) = α[t (δ ) − t f ]
⎨
⎪ t (0 ) = 0
⎪ x
⎪
⎩

1
2
3

2.7.1.2.Tìm luật phân bố nhiệt độ và truyền nhiệt qua tấm

1) tích phân phương trình (1)sẽ được
t(x) = − ∫∫

qv 2
q
dx = − v .x 2 + C1x + C2
λ
2.λ

Xác định C1,C2 theo (2),(3) ta có
t x (0 ) = C1 = 0

⎫ ⎧C1 = 0
⎪ ⎪
q
q


⎛ qv
⎞
⎡ qv 2
⎤⎬ → ⎨
− λ ⎜ δ + C1 ⎟ = α ⎢ −
δ + C1δ + C 2 − tf ⎥ ⎪ ⎪C 2 = t f + v δ + v δ 2
α
2λ
⎝λ
⎠
⎣ 2λ
⎦⎭ ⎩

Do đó t(x)= t f +

qv
q
δ + v (δ 2 − x 2 ) có dạng đường parabol đối xứng qua x=0
α
2λ

như hình 12
2)Nhiệt lượng Q2F tỏa ra từ 2 phía của tấm phẳng rộng F, ⎡ m 2 ⎤ là
⎣ ⎦
Q2F = 2.f.α [ t(δ) − t f ] = 2.F.q v .δ, [ W ]

25


Lượng nhiệt 2.F.q v .δ =Vqv chính là tổng cơng suất phát nhiệt của tấm phẳng


có thể tích V=2.δ.F, ⎡ m 3 ⎤
⎣ ⎦
2.7.2.Thanh trụ có qv = const
2.7.2.1.Phát biểu bài tốn

Cho thanh trụ dài vơ cùng bán kính r0 có λ, qv
=const, mặt trụ tỏa nhiệt ra chất lỏng có tf và α khơng
đổi.
Tìm t(r) trong thanh và ql qua 1 m trụ
Do đối xứng qua tâm, tr(0) = 0, nên hệ phương
trình cho t(r) có dạng
Hình 13. Thanh trụ có
qv = const

⎧ d 2 t dt q v
⎪ dr 2 + rdr + λ = 0
⎪
(t )⎪− λt x (r0 ) = α[t(r ) − t f ]
⎨
⎪t (0) = 0
⎪ r
⎪
⎩

1
2
3

2.7.2.2. Xác định t(r) và ql



1)Tìm nghiệm của (1) theo các bước
Đặt u=

dt
du u rdu + udr d(ur)
q
→ (1) có dạng
+ =
=
=− r
dr
dr r
rdr
rdr
λ

→ ∫ d(ur) = − ∫

→u=

qv
q
rdr → ur = − v .r 2 + C1
λ
2λ

q
C1 q v
dt
C q


−
.r = → t(r) = ∫ ( 1 − v r)dr = C1 ln r − v .r 2 + C2
r 2.λ
dr
r 2.λ
4.λ

Tìm C1,C2 theo hai điều kiện biên (2), (3) sẽ được C1 = 0 và
C2 = t f +

q v r0 q v .r0 2
+
. Do đó phân bố t có dạng
2α
4.λ

26


t(r) = tf +

q v r0 q v 2 2
+
(r0 − r ) là parabol đối xứng qua r=0
2α 4.λ

2.Dòng nhiệt qua mặt trụ là

q = α[t (r0 ) − t f ] =



q v r0 ⎡ W ⎤
,
2 ⎢m2 ⎥
⎣ ⎦

Lượng nhiệt tỏa ra 1 m trụ là
⎡W⎤
ql = q.2Πr0= Π. r02 qv ⎢ ⎥
⎣m⎦

27