Các mô hình mạng 12 ppsx

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 210


f
2
(x
3
/z
2
) = C
2
(z
2
) + h
2
x
3
+ f
1
(x
3
+ D
2
- z
2
))
z
2
= 0 1 2 3 4 5 6
Phương án

tối ưu

x
3
h
2
x
3
C
2
(z
2
) = 0 17 27 37 57 77 97 f
2
(x
3
)
2
*
z

0 0 55 51 50 50 2
1 3 79 75 64 63 63 3
2 6 103 99 88 77 86 77 3
3 9 127 123 112 101 100 109 100 4
4 12 151 147 136 125 124 123 132 123 5
Giai ñoạn 3:
{
}
3 3 4

3 4 3 3 3 4 2 4 3 3
0 z D x
f (x ) C (z ) h x f (x D z )
Min
≤ ≤ +
= + + + − , D
3
= 4, x
4
= 0.
K
ết quả tính toán ñược thể hiện trong bảng VII.7.
Bảng VII.7. Kết quả tính toán giai ñoạn 3
f
3
(x
4
/z
3
) = C
3
(z
3
) + h
3
x
4
+ f
2
(x

4
+ D
3
- z
3
)
z
3
= 0 1 2 3 4
Phương án
tối ưu
x
4
h
3
x
4
C
3
(z
3
) = 0 16 26 36 56 f
3
(x
4
)
3
*
z

0 0 123 116 103 99 106 99 3
Kết quả cuối cùng: giá trị của các biến ñiều khiển là
1
z
∗
= 2,
2
z
∗
= 3,
3
z
∗
= 3. Như
vậy ñể tổng chi phí dự trữ hàng thấp nhất (là 99 USD), trong các giai ñoạn 1, 2 và 3 cần
ñặt các lượng hàng tối ưu theo thứ tự là 2, 3, 3.
Chú ý: Khối lượng tính toán theo quy trình truy toán tiến như trình bày trên ñây có
thể ñược rút gọn rất ñáng kể trong trường hợp hàm chi phí mua hàng/ñơn vị và chi phí
lưu kho/ñơn vị là hằng số hoặc là hàm giảm. Bạn ñọc quan tâm có thể xem thêm trong
các tài liệu tham khảo.
3. MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT N CHU KÌ
Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất cho N chu kì kế tiếp nhau. Nhu cầu tiêu thụ hàng
trong từng chu kì ñã ñược biết và không nhất thiết phải như nhau. Mô hình ñược xem
xét nhằm giảm tổng chi phí sản xuất và chi phí dự trữ hàng với các giả thiết sau:
− Trường hợp 1: Không cho phép ñể xảy ra tình trạng nợ hàng. Trường hợp 2: Cho
phép nợ hàng và hàng nợ ñược chuyển sang các chu kì sau, nhưng phải trả xong trong
phạm vi thời gian N chu kì.
− Chi phí khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) ñược coi là bằng 0.
Chúng ta sử dụng các kí hiệu sau cho các chu kì i, i =1, 2, , N:

− c
i
là chi phí sản xuất/ñơn vị thời gian trong giờ làm việc.
− d
i
là chi phí sản xuất/ñơn vị thời gian ngoài giờ làm việc (c
i
< d
i
).
− h
i
là

chi phí lưu kho/ñơn vị hàng.
− p
i
là chi phí phát sinh do nợ hàng/ñơn vị hàng nợ trong chu kì i và ñược trả nợ cho
khách hàng trong chu kì i + 1.
− a
Ri
là khả năng sản xuất (tính theo ñơn vị hàng) trong giờ làm việc.
− a
Ti
là khả năng sản xuất (tính theo ñơn vị hàng) ngoài giờ làm việc.
− b
i
là nhu cầu tiêu thụ hàng.
Chú ý: Mô hình này (với hai mức chi phí sản xuất) có thể ñược mở rộng cho mô
hình với nhiều mức chi phí sản xuất, trong ñó hàm chi phí sản xuất (phụ thuộc vào mức

sản xuất) là hàm lồi.
3.1. Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng
Chúng ta phát biểu lại mô hình với các thuật ngữ của bài toán vận tải (Xem bảng
VII.8): Các lượng cung là a
Ri
và a
Ti
còn các lượng cầu là b
i
. Các chi phí vận chuyển từ
ñiểm cung tới ñiểm cầu là tổng của các chi phí sản xuất và chi phí lưu kho. Cột hàng
thừa ñược dùng ñể cân bằng tổng cung cầu với S =
Ri Ti j
i j
(a a ) b
+ −
∑ ∑
. ðiều này ñược
coi là hợp lí vì chúng ta giả sử rằng khả năng sản xuất của hệ thống luôn ñáp ứng ñược
(lớn hơn) tổng nhu cầu tiêu thụ hàng trong cả N chu kì.
Bảng VII.8. Tổng hợp dữ liệu
(cho bài toán lập kế hoạch sản xuất không cho phép nợ hàng)
1 2 3 … N Cột dư
R
1
c
1
c
1
+h

1
c
1
+h
1
+h
2
c
1
+h
1
+…+h
N
-
1
0 a
R1
T
1
d
1
d
1
+h
1
d
1
+h
1
+h

2
d
1
+h
1
+…+h
N
-
1
0 a
T1
R
2
c
2
c
2
+h
2
c
2
+h
2
+…+h
N
-
1
0 a
R2
T

2
d
2
d
2
+h
2
d
2
+h
2
+…+h
N
-
1
0 a
T2
… … … …
R
N
c
N
0 a
RN
T
N
d
N
0 a
TN

b
1
b
2
b
3
b
N
S
Do mô hình không cho phép nợ hàng, chúng ta cần có giả thiết:

( )
k k
Ri Ti i
i 1 j 1
a a b
= =
+ ≥
∑ ∑
v
ớ
i k = 1, 2, , N.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 212


Ngoài ra, do nhu c
ầ
u b
i

c
ủ
a chu kì i ph
ả
i
ñượ
c
ñ
áp
ứ
ng tr
ướ
c các nhu c
ầ
u b
i+1
, , b
N

và do
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
i
< d
i
, thu

ậ
t toán
ñể
gi
ả
i bài toán l
ậ
p k
ế
ho
ạ
ch
ñượ
c phát bi
ể
u v
ắ
n t
ắ
t
nh
ư
sau (theo thu
ậ
t ng
ữ
c
ủ
a bài toán v
ậ

n t
ả
i):
−
Tr
ướ
c h
ế
t
ñ
áp
ứ
ng nhu c
ầ
u tiêu th
ụ
hàng c
ủ
a chu kì 1, t
ứ
c là xét c
ộ
t 1: c
ầ
n
ư
u tiên
phân hàng vào các ô có chi phí nh
ỏ
nh

ấ
t.
−
C
ậ
p nh
ậ
t l
ạ
i b
ả
ng v
ậ
n t
ả
i (v
ớ
i các kh
ả
n
ă
ng còn d
ư
)
ñể

ñ
áp
ứ
ng nhu c

ầ
u tiêu th
ụ

hàng c
ủ
a chu kì 2, t
ứ
c là xét c
ộ
t 2: c
ầ
n
ư
u tiên phân hàng vào các ô có chi phí nh
ỏ
nh
ấ
t.
−
Quá trình gi
ả
i
ñượ
c ti
ế
p t
ụ
c cho t
ớ

i khi nhu c
ầ
u tiêu th
ụ
hàng c
ủ
a chu kì N
ñượ
c
th
ỏ
a mãn.
Ví dụ 1: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất với 4 chu kì và các dữ liệu ñược tổng
hợp trong bảng VII.9. Còn kế hoạch sản xuất tối ưu ñược cho trong bảng VII.10.
Bảng VII.9. Tổng hợp dữ liệu
Khả năng sản xuất
(ñơn vị hàng)
Chu kì
i
a
Ri
a
Ti
Nhu cầu tiêu
thụ hàng b
i
1 100 50 120
2 150 80 200
3 100 100 250
4 200 50 200

Tổng 550 280 770
Bảng VII.10. Kế hoạch sản xuất tối ưu
1 2 3 4 Cột dư
R
1

2
100

2.1

2.2

2.3

0

100

T
1
3
20

3.1


3.2
20

3.3


0
10

50 30 10

R
2

2
150

2.1 2.2

0

150

T
2

3
50

3.1
30

3.2

0

80 30

R
3

2
100

2.1
0

100
T
3

3
100

3.1

0

100
R
4

2

200

0

200


T
4

3

0
50

50

120
20

200
50

250
150
50
20

200

60
10

3.2. Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng
Trong mô hình này, dữ liệu cho bài toán lập kế hoạch cũng có thể ñược tổng hợp
tương tự như trong bảng VI.8, với một ñiểm thay ñổi là: các chi phí phát sinh p
i
do thiếu
hàng/ñơn vị hàng thiếu cũng ñược ñưa vào các ô của bảng vận tải. Chẳng hạn, tại các ô
(R
N
, 1) và (T
N
, 1) cần ñiền các chi phí sau: (c
N
+ p
1
+ + p
N
-
1
) và (d
N
+ p
1
+ + p
N
-
1
)

một cách tương ứng. Tuy nhiên ñể ñưa ra phương án lập kế hoạch tối ưu lúc này cần áp
dụng một trong các thuật toán giải bài toán vận tải ñã biết ở chương II (thuật toán ñược
ñưa ra ở mục A không dùng ñược).
Ví dụ 2: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất với 3 chu kì và các dữ liệu ñược tổng
hợp trong bảng VII.11. Ngoài ra, cũng biết chi phí sản xuất trong giờ làm việc là 5/ñơn
vị và ngoài giờ làm việc là 10/ñơn vị (trong cả ba chu kì). Các chi phí lưu kho và chi phí
phát sinh do nợ hàng là 1 và 2 cho một ñơn vị hàng (trong cả ba chu kì). Còn kế hoạch
sản xuất tối ưu ñược cho trong bảng VII.12.
Bảng VII.11. Tổng hợp dữ liệu
Khả năng sản xuất
(ñơn vị hàng)
Chu kì
i
a
Ri
a
Ti
Nhu cầu tiêu
thụ hàng b
i
1 15 10 20
2 15 0 35
3 20 15 15
Bảng VII.12. Kế hoạch sản xuất tối ưu
1 2 3 Cột dư
R
1
5
15

6

7

0
15

T
1
10
5

11
5

12

0
10

R
2
7 5
15

6 0
15

R
3

9 7
5
5
15

0
20
T
3
14 12
10
10

0
5

15
20

35

15

5
4. MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT TRONG QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 214


4.1. Mô hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xuyên

Trong mô hình này, chúng ta giả sử rằng dự trữ hàng trong kho ñược theo dõi
thường xuyên và một hợp ñồng ñặt hàng với lượng ñặt hàng y sẽ ñược thực hiện ngay
một khi mức hàng lưu kho rơi vào ñúng ngưỡng ñặt lại hàng R. Mục tiêu của mô hình là
xác ñịnh ñược các giá trị tối ưu của y và R làm cực tiểu hóa kì vọng chi phí dự trữ
hàng/ñơn vị thời gian (trong mục này ñơn vị thời gian tính bằng năm). Các giả thiết của
mô hình là:
− Thời gian dẫn hàng T là biến ngẫu nhiên.
− Nhu cầu tiêu thụ hàng X trong thời gian dẫn hàng cũng là biến ngẫu nhiên.
− Nhu cầu chưa ñáp ứng ñược trong thời gian dẫn hàng sẽ ñược trả “nợ” cho khách
hàng.
− Phân phối xác suất của nhu cầu tiêu thụ hàng cho thời gian dẫn hàng là ñộc lập
ñối với thời ñiểm dẫn hàng.
− Tại mỗi thời ñiểm chỉ có một hợp ñồng ñặt hàng ñược coi là ñáng kể.
Chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau:
− r(x/t) là hàm mật ñộ xác suất ñiều kiện của nhu cầu X với ñiều kiện thời gian dẫn
hàng T = t (x > 0).
− s(t) là hàm mật ñộ xác suất của thời gian dẫn hàng T, (t > 0).
− f(x) là hàm mật ñộ xác suất tuyệt ñối của nhu cầu X trong thời gian dẫn hàng. Do
ñó: f(x) =
0
r(x / t)s(t)dt
∞
∫
.
− y là lượng ñặt hàng/mỗi lần.
− D là kì vọng nhu cầu hàng/năm.
− h là chi phí lưu kho/ñơn vị/năm.
− p là chi phí phát sinh do nợ hàng/ñơn vị hàng/năm.
Với các giả thiết trên ñây, chúng ta ñi tính: Tổng chi phí dự trữ hàng/năm = (Kì
vọng chi phí ñặt hàng/năm) + (Kì vọng chi phí lưu kho/năm) + (Kì vọng chi phí phát

sinh do nợ hàng/năm), trong ñó:
− Kì vọng chi phí ñặt hàng/năm = DK/y.
− Kì vọng chi phí lưu kho/năm: ðặt
H
=
(y E{R-X})+E{R-X} y
E{R-X}
2 2
+
= +
là
mức hàng trung bình trong kho/năm. Do kì vọng hàng tồn kho cuối mỗi chu kì là

0
E{R - X} = (R-x)f(x)dx = R - E{X}
∞
∫
nên kì vọng chi phí lưu kho/năm là h
H
=
y
h R E{X}
2
 
+ −
 
 
.
− Kì v
ọ

ng chi phí phát sinh do n
ợ
hàng/n
ă
m:
ðặ
t S =
0,
X R,


−


X R
X R
≤
>
là l
ượ
ng hàng thi
ế
u trong m
ộ
t chu kì hàng thì kì v
ọ
ng
l
ượ
ng hàng thi

ế
u/chu kì hàng là
S
=
0 R
S(x)f (x)dx (x R)f (x)dx
∞ ∞
= −
∫ ∫
. Do hàng n
ă
m có
trung bình (D/y) l
ầ
n
ñặ
t hàng nên kì v
ọ
ng chi phí phát sinh do n
ợ
hàng/n
ă
m là p(D
S
/y).
V
ậ
y t
ổ
ng chi phí d

ự
tr
ữ
hàng/n
ă
m TAC(y, R) =
DK y pDS
h R E{X}
y 2 y
 
+ + − +
 
 
.
Trong công th
ứ
c này chi phí phát sinh do n
ợ
hàng/n
ă
m
ñượ
c coi là t
ỉ
l
ệ
v
ớ
i l
ượ

ng hàng
thi
ế
u, mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào th
ờ
i gian thi
ế
u hàng nh
ằ
m m
ụ
c
ñ
ích
ñơ
n gi
ả
n hóa mô
hình.
ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ

n
ñể
TAC(y, R)
ñạ
t c
ự
c ti
ể
u là:
2 2
R
TAC DK h pDS
0
y 2
y y
TAC pD
h f (x)dx 0.
R y
∞

∂
= − + − =

∂


∂

= − =


∂

∫

T
ừ
ph
ươ
ng trình
ñầ
u s
ẽ
có: y* =
2D(K pS) / h
+
(*).
Còn t
ừ
ph
ươ
ng trình th
ứ
hai s
ẽ
có:
R
hy
f (x)dx
pD
∗

∗
∞
=
∫
(**).
ðể
gi
ả
i h
ệ
(*) và (**) chúng ta áp d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp c
ủ
a Hadley và Whitin (có th
ể

ch
ứ
ng minh
ñượ
c ph
ươ
ng pháp này h
ộ
i t
ụ
sau m

ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c n
ế
u h
ệ
có nghi
ệ
m)
theo các b
ướ
c sau:
− Trong (*) cho
S
= 0 (ho
ặ
c cho R = ∞) thì có y* =
2DK / h
.
− Cho R = 0 thì t
ừ
(*) có y* =
ˆ

y 2D(K pE{X})/h
= + và t
ừ
(**) có y*
=
y pD / h
=
%
. Có th
ể
ch
ứ
ng minh
ñượ
c, n
ế
u
ˆ
y y
≥
%
thì các giá tr
ị
t
ố
i
ư
u c
ủ
a y và R là t

ồ
n
t
ạ
i duy nh
ấ
t.
−
ðặ
t y* = y
1
=
2DK / h
và thay vào (**)
ñể
tìm
ñượ
c R* = R
1
.
− D
ự
a vào giá tr
ị
R* = R
1
, thay vào (*)
ñể
tìm
ñượ

c y* = y
2
.
− D
ự
a vào y* = y
2
, thay vào (**)
ñể
tìm
ñượ
c R* = R
2
.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 216


− v.v…
Quy trình tính toán trên
ñ
ây s
ẽ
l
ặ
p l
ạ
i cho t
ớ
i khi hai giá tr

ị
liên ti
ế
p tìm
ñượ
c c
ủ
a R
là g
ầ
n b
ằ
ng nhau. L
ấ
y giá tr
ị
trung bình c
ủ
a hai giá tr
ị
này là giá tr
ị
cu
ố
i cùng c
ủ
a R*,
sau
ñ
ó tính ti

ế
p giá tr
ị
cu
ố
i cùng c
ủ
a y* t
ừ
(*).
Ví dụ 1: Cho K = 100 USD, D = 1000 ñơn vị hàng, p = 10 USD, h =2 USD. Ngoài
ra giả sử nhu cầu tiêu thụ hàng X trong thời gian dẫn hàng là biến ngẫu nhiên tuân theo
phân phối ñều trong [0, 100].
Lúc ñó tính ñược
ˆ
y 2D(K pE{X})/h
= +
=
2 1000 (100 10 50) / 2
× × + ×
≈ 774,5 và
y pD / h
=
%
=
10 1000
2
×
= 5000. Do
ˆ

y y
≥
%
nên các giá trị tối ưu y* và R* là tồn tại duy
nhất.
Tính
S
=
R
(x R)f (x)dx
∞
−
∫
=
R
1
(x R) dx
100
∞
−
∫
=
2
R
R 50
200
− +
.
T
ừ

(*) có: y*=
2D(K pS) / h
+ =
2 1000 (100 10S)/ 2
× × +
=
100000 10000S
+
(***)
T
ừ
ph
ươ
ng trình (**) có:
100
R
1 2y
dx
100 10 1000
∗
∗
=
×
∫
, do
ñ
ó R* =
y
100
50

∗
− (****).
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình (****)
ñể
tính R
i
khi
ñ
ã bi
ế
t y
i
và ph
ươ
ng trình

(***)
ñể
tính
y
i+1
khi
ñ
ã bi
ế
t R

i
, chúng ta có:
B
ướ
c l
ặ
p 1: y
1
=
2DK / h
=
2 1000 100 / 2
× × = 316
R
1
= 100 -
316
50
= 93,68.
B
ướ
c l
ặ
p 2:
S
=
2
1
1
R

R 50
200
− +
= 0,199971
y
2
=
100000 10000 0,199971
+ ×
= 319,37
R
2
= 100 -
319,37
50
= 93,612.
B
ướ
c l
ặ
p 3:
S
=
2
2
2
R
R 50
200
− +

= 0,20403
y
3
=
100000 10000 0,20403
+ ×
= 319,43
R
3
= 100 -
319,43
50
= 93,611.
ð
áp s
ố
: R* ≈ 93,61, y* ≈ 319,4.

4.2. Mô hình xác suất một chu kì
a. Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, không cần chi phí khởi ñộng lại
Mô hình này thường ñược áp dụng trong các hệ thống sản xuất - kinh doanh với các
giả thiết sau:
− Tổng nhu cầu tiêu thụ hàng D ñược ñược tiêu thụ tức thời một cách tối ña ngay từ
ñầu chu kì.
− Không phải dành chi phí cho việc khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) hoặc chi
phí cho việc ñặt hàng.
− Sau khi hợp ñồng ñặt hàng ñược thực hiện với lượng ñặt hàng y thì lượng hàng
lưu kho là

y D

H(y)
0,
−

=



khi D y
khi D y,
<
≥

còn lượng hàng thiếu là

0
G(y)
D y,

=

−


khi D y
khi D y.
<
≥

Gọi x là lượng hàng tồn kho trước khi ñặt hàng, f(D) là hàm mật ñộ xác suất của D,

h và p là chi phí lưu kho và chi phí phát sinh do nợ hàng tính trên một ñơn vị thời gian,
c là chi phí mua hàng/ñơn vị. Lúc ñó, kì vọng tổng chi phí dự trữ hàng cho cả chu kì là:
E{C(y)} = (Chi phí mua hàng) + (Kì vọng chi phí lưu kho)
+ (Kì vọng chi phí phát sinh do nợ hàng).
Trường hợp 1: Lượng ñặt hàng là biến liên tục.
E{C(y)} = c(y-x) + h
0
H(y)f (D)dD
∞
∫
+ p
0
G(y)f (D)dD
∞
∫

= c(y-x) + h
y
0
(y D)f (D)dD 0
 
− +
 
 
∫
+ p
y
0 (D y)f (D)dD
∞
 

 
+ −
 
 
 
∫

= c(y-x) + h
y
0
(y D)f (D)dD
−
∫
+ p
y
(D y)f (D)dD
∞
−
∫
.
Giá tr
ị
t
ố
i
ư
u y* ph
ả
i th
ỏ

a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n (
ñạ
o hàm b
ậ
c nh
ấ
t b
ằ
ng 0):

y
0 y
E{C(y)}
c h f (D)dD p f (D)dD
y
∞
∂
= + −
∂
∫ ∫
= 0 (*).
Do

y
y 0
f(D)dD = 1- f(D)dD
∞
∫ ∫
nên t
ừ
(*) s
ẽ
có:
y
0
p c
f (D)dD
p h
∗
−
=
+
∫
(**). V
ậ
y y*
ñượ
c
xác
ñị
nh n
ế
u p ≥ c, còn n

ế
u p < c thì h
ệ
th
ố
ng qu
ả
n lí hàng d
ự
tr
ữ
coi nh
ư
b
ị
“xóa s
ổ
”.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 218


D
ễ
th
ấ
y, y* xác
ñị
nh t
ừ

(**)
ñ
úng là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u do
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñủ
(
ñạ
o hàm b
ậ
c hai
d
ươ
ng)
ñượ
c th
ỏ
a mãn:

2
2
E{C(y)}
(h p)f(y*) 0.
y
∂
= + >
∂

T
ừ
(**) suy ra
quy tắc tìm y*:
giá tr
ị
y* ph
ả
i tìm sao cho xác su
ấ
t
ñể
có D ≤ y*
ñ
úng b
ằ
ng t
ỉ
s
ố

q = (p-c)/(p+c), t
ứ
c là P{D ≤ y*} = (p-c)/(p+c). V
ớ
i x là l
ượ
ng hàng t
ồ
n
kho tr
ướ
c khi
ñặ
t hàng, chính sách
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u là:
− N
ế
u y* > x thì
ñặ
t l
ượ
ng hàng y* - x.
− N
ế
u y* ≤ x thì không c

ầ
n
ñặ
t hàng.
Ví dụ 2: Xét mô hình một chu kì với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD.
Nhu cầu tiêu thụ hàng tuân theo phân phối ñều trong [0, 10]. Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) =
0,8 nên: P{D ≤ y*} =
y y
0 0
1 y
f(D)d(D) = dD
10 10
∗ ∗
∗
=
∫ ∫
= q = 0,8 hay y* = 0,8.
Trường hợp 2: Lượng ñặt hàng là biến nhận giá trị nguyên.
Lúc này ta có E{C(y)} = c(y-x) + h
y
D 0
(y D)f (D)
=
−
∑
+ p
D y 1
(D y)f (D)
∞
= +

−
∑
.
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
E{C(y)}
ñạ
t c
ự
c ti
ể
u là:

E{C(y 1)} E{C(y)}
E{C(y 1)} E{C(y)}.
− ≥


+ ≥


Do E{C(y-1)} = E{C(y)} + p - c - (h+p)
y 1
D 0
f (D)

−
=
∑
nên: E{C(y-1)} - E{C(y)} = p - c -
(h+p)P{D
≤
y-1}
≥
0
⇔
P{D
≤
y-1}
≤
(p-c)/(p+h). T
ươ
ng t
ự
, có th
ể
ch
ỉ
ra r
ằ
ng:
E{C(y+1)} - E{C(y)} = p - c - (h+p)P{D
≤
y-1}
≥
0

⇔
P{D
≤
y}
≥
(p-c)/(p+h).
V
ậ
y
quy tắc tìm y*
là: y* ph
ả
i th
ỏ
a mãn: P{D
≤
y*-1}
≤
(p-c)/(p+h)
≤
P{D
≤
y*}.
Ví dụ 3: Xét mô hình một chu kì với h = 1,0 USD, p = 4,0 USD và c = 2,0 USD.
Phân phối xác suất của D như sau:
D 0 1 2 3 4 5
f(D) 0,10 0,20 0,25 0,20 0,15 0,10
Lúc ñó: q = (p-c)/(p+h) = 0,4. Lượng ñặt hàng tối ưu ñược dò tìm từ bảng sau:
y 0 1 2 3 4 5
P(D ≤ y)

0,10 0,30 0,55 0,75 0,90 1,00
Do P{D ≤ 1} = 0,3 < 0,4 < 0,55 = P{D ≤ 2} nên y* = 2.
b. Nhu cầu ñược tiêu thụ ñều ñặn, không cần chi phí khởi ñộng lại

Mô hình này thường ñược áp dụng trong các hệ thống sản xuất - kinh doanh với các
giả thiết sau:
− Tổng nhu cầu D ñược ñược tiêu thụ ñều ñặn (tức là tốc ñộ tiêu thụ hàng là hằng
số) trong toàn bộ chu kì.
− Không phải dành chi phí cho việc khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) hoặc chi
phí cho việc ñặt hàng.
− Lượng ñặt hàng y ñược coi là biến liên tục.
Kí hiệu các tham số cần thiết như trong mục A trên ñây. Lúc ñó:
E{C(y)} = c(y-x) + h
2
y
0 y
D y
(y )f (D)dD f (D)dD
2 2D
∞
 
 
− +
 
 
 
∫ ∫
+ p
2
y

y
f (D)dD
2D
∞
 
 
 
 
 
∫
.
B
ạ
n
ñọ
c có th
ể
t
ự
gi
ả
i thích công th
ứ
c này d
ự
a trên các nh
ậ
n xét sau:
−
N

ế
u D < y thì m
ứ
c hàng trung bình trong kho là y - D/2 và m
ứ
c hàng thi
ế
u trung
bình là 0 (xem hình VII.6a).
−
Còn n
ế
u D
≥
y thì m
ứ
c hàng trung bình trong kho là y
2
/(2D) và m
ứ
c hàng thi
ế
u
trung bình là (D-y)
2
/(2D) (xem hình VII.6b).

y

y/2

y-D
D

y

y/2

D-y

D

x
2

x
1


Hình VII.6a. ðồ thị mức hàng khi D < y Hình VII.6b. ðồ thị mức hàng khi D > y
ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
ñể
E{C(y)}

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u là
ñạ
o hàm b
ậ
c nh
ấ
t (theo y) b
ằ
ng 0:
dE{C(y)}
dy
= c + h
y
0 0
y
f (D)dD f (D)dD
D
∞
 
+
 
 
∫ ∫
- p
0

D y
f (D)dD
D
∞
 
−
 
 
∫
= 0,
hay
y
0
y
f (D)
f (D)dD y dD
D
∗
∗
∞
∗
+
∫ ∫
=
p c
p h
−
+
= q.
Ví dụ 4: Xét mô hình một chu kì với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD.

Nhu cầu tiêu thụ hàng tuân theo phân phối ñều trong [0, 10]. Tuy nhiên, khác so với ví
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 220


dụ 1 mục 4.2, chúng ta giả thiết hàng ñược tiêu thụ ñều ñặn chứ không phải ñược tiêu
thụ tức thời.
Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) = 0,8 nên:
y
0
y
1 1
dD y dD
10 10D
∗
∗
∞
∗
+
∫ ∫
= q = 0,8 hay (1/10)(y* -
y*lny* + 2,3y*) = 0,8. Từ ñó có 3,3y* - y*lny* - 8 = 0. Giải phương trình này bằng
phương pháp thích hợp sẽ tìm ñược y* = 4,5. ðây là kết quả khác với ñáp số trong ví dụ
ở mục 3.2.
c. Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, cần có chi phí khởi ñộng lại
Các kí hiệu và giả thiết của mô hình này giống với mục A, trừ một ñiểm: mô hình
sẽ giả thiết rằng chi phí khởi ñộng lại (hay chi phí ñặt hàng) là ñáng kể. Kí hiệu
E{
C
(y)} là kì vọ

ng t
ổ
ng chi phí d
ự
tr
ữ
hàng bao g
ồ
m c
ả
chi phí kh
ở
i
ñộ
ng l
ạ
i, ta có:
E{
C
(y)} = K + c(y-x) + h
y
0
(y D)f (D)dD
−
∫
+ p
y
(D y)f (D)dD
∞
−

∫
= K + E{C(y)}
Do K là h
ằ
ng s
ố
, giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a E{
C
(y)}s
ẽ

ñạ
t t
ạ
i y* (nh
ư

ñ
ã tính trong m
ụ
c
A, làm cho E{C(y)}

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u):

y
0
p c
f (D)dD
p h
∗
−
=
+
∫
.
ðồ
th
ị
các hàm s
ố
E{C(y)} và E{
C
(y)}
ñượ
c minh h
ọ
a trên hình VII.7, v

ớ
i S = y*
còn s là nghi
ệ
m nh
ỏ
h
ơ
n (
ñượ
c gi
ả
s
ử
là s
ố
không âm) c
ủ
a ph
ươ
ng trình E{C(y)} =
E{
C
(y*)} v
ớ
i
giả thiết hàm số E{C(y)} là hàm lồi.