Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s pdf

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
CHẶN TRÊN SEGRE CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s + 2 ĐIỂM
BÉO KHÔNG NẰM TRÊN MỘT (s − 1)−PHẲNG TRONG P
n
, s ≤ n
Phan Văn Thiện, Đậu Văn Lương
Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế
Tóm tắt: Chúng tôi sẽ chứng minh dự đoán của N.V. Trung về chặn trên cho
chỉ số chính qui của tập điểm béo là đúng cho tập s + 2 điểm béo không nằm trên
một (s − 1)−phẳng trong P
n
, với 1 ≤ s ≤ n. Kết quả gần đây của B. Benedetti, G.
Fatabbi và A. Lorenzini [1] về chặn trên cho chỉ số chính qui của tập n + 2 điểm béo
không suy biến trong P
n
là một trường hợp trong kết quả của chúng tôi khi s = n.
1. Giới thiệu
Cho P
1
, . . . , P
r
là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều P
n
:= P
n
k
,
với k là trường đóng đại số, m
1
, . . . , m
r

là một dãy các số nguyên dương. Cho
℘
1
, . . . , ℘
r
là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X
0
, . . . , X
n
]
được xác định bởi các điểm P
1
, . . . , P
r
tương ứng. Ký hiệu m
1
P
1
+ · · · + m
r
P
r
là
lược đồ chiều không được xác định bởi iđêan ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
r

r
và gọi
Z := m
1
P
1
+ · · · + m
r
P
r
là một tập điểm béo trong P
n
.
Vành A := R/(℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
r
r
) là vành toạ độ thuần nhất của Z. Chúng ta biết
rằng A = ⊕
t≥0
A
t
là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là
e :=
r


i=1

m
i
+ n − 1
n

.
Hàm Hilbert H
A
(t) := dim
k
A
t
tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội, tại đó
nó dừng. Chỉ số chính qui của Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho
H
A
(t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(Z).
Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo là một vấn đề
có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Việc tìm ra được
chặn trên tốt cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tuỳ ý là vấn đề khó, vì vậy
người ta thường giải bài toán chặn trên này cho những tậ p điểm có những điều kiện
nào đó (xem [1]-[4], [6]-[7]).
135
Với tập các điểm béo tuỳ ý Z = m
1
P
1
+ · · · + m

r
P
r
trong P
2
, Fulton [6] đã tìm
được chặn trên:
reg(Z) ≤ m
1
+ · · · + m
r
− 1.
Chặn trên này sau đó được Davis và Geramita [4] mở rộng cho tập các điểm béo
tùy ý trong P
n
. Các tác giả này cũng đã chỉ ra rằng dấu bằng xãy ra khi các điểm
nằm trên một đường thẳng.
Với tập các điểm béo hầu khắp trong P
2
, Segre [7] đã chứng minh:
reg(Z) ≤ max

m
1
+ m
2
− 1,

m
1

+ · · · + m
r
2

nếu m
1
≥ · · · ≥ m
r
.
Những tập điểm như trên luôn ở trong vị trí tổng quát. Một tập điểm béo trong P
n
được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằ m trên cùng
một j-phẳng với mọi j < n. Với một tập điểm béo ở vị trí tổng quát trong P
2
, M.V
Catalisano [2] đã chứng minh:
reg(Z) ≤ max

m
1
+ m
2
− 1,

m
1
+ · · · + m
r
2


nếu m
1
≥ · · · ≥ m
r
.
Kết quả trên sau đó được M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [3] mở rộng cho
tập các điểm béo ở vị trí tổng quát trong P
n
:
reg(Z) ≤ max

m
1
+ m
2
− 1,


r
i=1
m
i
+ n − 2
n

nếu m
1
≥ · · · ≥ m
r
.

Chúng tôi sẽ gọi nó là chặn trên Segre.
N.V. Trung đã đưa ra dự đoán một chặn trên tốt cho tập các điểm béo tuỳ ý
trong P
n
, chặn này là mở rộng cho tất cả các chặn ở trên:
reg(Z) ≤ max{T
j
| j = 1, . . . , n},
trong đó
T
j
= max


q
j=1
m
i
j
+ j − 2
j

| P
i
1
, . . . , P
i
q
nằm trên một j-phẳng


.
Dự đoán này đã được P.V. Thiện [8], [9] chứng minh trong trường hợp n = 2, 3.
Các kết quả tương tự cũng được đưa ra một cách độc lập bởi G. Fatabbi và A.
Lorenzini [5] với phương pháp chứng minh khác. Vào năm 2002 P.V. Thiện [10]
cũng đã chứng minh dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập các điểm kép tuỳ
ý trong P
4
. Gần đây, B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã chứng minh dự
đoán của N.V. Trung là đúng cho tập n + 2 điểm béo Z = m
1
P
1
+ · · · + m
n+2
P
n+2
không suy biến trong P
n
[1, Theorem 4.8].
136
Trong bài báo này, bằng một phương pháp chứng minh ngắn gọn hơn, chúng tôi
sẽ chỉ ra dự đoán của N.V. Trung là đúng cho tập gồm (s + 2) điểm béo không nằm
trên một (s − 1)-phẳng trong P
n
, s ≤ n:
Định lý. Cho s ≤ n và P
1
, . . . , P
s+2
là các điểm không nằm trên cùng một (s − 1)-

phẳng trong P
n
. Cho m
1
, . . . , m
s+2
là các số nguyên dương và Z = m
1
P
1
+ · · · +
m
s+2
P
s+2
. Với j = 1, . . . , n đặt
T
j
= max


q
j=1
m
i
j
+ j − 2
j

| P

i
1
, . . . , P
i
q
nằm trên một j-phẳng

.
Khi đó
reg(Z) ≤ max{T
j
| j = 1, . . . , n}.
Rõ ràng là khi s = n, thì Z = m
1
P
1
+ · · · + m
n+2
P
n+2
là tập các điểm béo không
suy biến trong P
n
và chúng ta nhận được kết quả của B. Benedetti, G. Fatabbi và
A. Lorenzini [1].
2. Chứng minh Định lý
Chúng tôi sẽ cần đến ba bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [3].
Bổ đề đầu tiên cho phép chứng minh qui nạp trên số các điểm khi tính toán chỉ
số chính qui của tập các điểm béo tuỳ ý:
Bổ đề 0.1. [3, Lemma 1] Cho P

1
, . . . , P
u
, P là các điểm phân biệt trong P
n
và
cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m
1
, . . . , m
u
và a là các số nguyên dương,
J := ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
u
u
, và I = J ∩ ℘
a
, thì
reg(R/I) = max {a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘
a
))} .
Bổ đề thứ hai đưa ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘
a
):
Bổ đề 0.2. [3, Lemma 3] Cho P
1

, . . . , P
u
là các điểm phân biệt trong P
n
và m
1
, . . . , m
u
, a
là các số nguyên dương. Đặt J = ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
u
u
và ℘ = (X
1
, . . . , X
n
). Khi đó
reg(R/(J + ℘
a
)) ≤ b
nếu và chỉ nếu X
b−i
0
M ∈ J + ℘
i+1

với mọi đơn thức M bậc i theo X
1
, . . . , X
n
,
i = 0, . . . , a − 1.
Bổ đề thứ ba mang tính chất tổ hợp:
Bổ đề 0.3. [3, Lemma 4] Cho P
1
, . . . , P
u
, P là các điểm phân biệt trong P
n
, cho
m
1
≥ · · · ≥ m
u
là các số nguyên dương và J = ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
u
u
. Nếu t là một
số nguyên sao cho nt ≥
u


i=1
m
i
và t ≥ m
1
, thì có thể tìm được t siêu phẳng, gọi là
L
1
, . . . , L
t
, không đi qua P thoả mãn L
1
· · · L
t
∈ J.
137
Chứng minh Định lý: Đặt X = {P
1
, . . . , P
s+2
}, I = ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
s+2
s+2
. Khi đó
reg(Z) = reg(R /I). Nếu X nằm trong vị trí tổng quát của P

n
, thì theo [3, Theorem
6] chúng ta có
reg(Z) ≤ max

m
1
+ m
2
− 1,

(
s+2

i=1
m
i
+ n − 2)/n

.
Nếu X không nằm trong vị trí tổng quát của P
n
, thì X nằm trên một s-phẳng.
Với s = 1, thì các điểm P
1
, P
2
, P
3
nằm trên cùng một đường thẳng. Theo [4]

chúng ta nhận được
reg(Z) = m
1
+ m
2
+ m
3
− 1 = T
1
.
Vậy, chúng ta có thể chứng minh qui nạp trên s. Chúng ta phân biệt hai trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Mọ i (s + 1) điểm của X không nằm trên cùng một (s − 1)-phẳng.
Đặt J = ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
s+1
s+1
, theo Bổ đề 0.1 chúng ta nhận được
reg(Z) = max{m
j+2
− 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘
m
s+2
s+2
))}.
Cho P

s+2
= (1, 0, · · · , 0), P
1
= (0, 1, . . . , 0), , P
s
= (0, . . . , 0, 1

s+1
, 0 . . . , 0). Khi
đó ℘
s+2
= (x
1
, , x
n
). Với mọi đơn thức M = x
c
1
1
· · · x
c
n
n
, c
1
+ · · · + c
n
= i, i =
1, , m
s+2

− 1, đặt m

l
= m
l
− i + c
l
; l = 1, , s; m

s+1
= m
s+1
và
t = max

m
1
,

(
s+1

l=1
m

l
+ s − 1)/s

.
Do X nằm trên một s-phẳng trong P

n
nên về mặt hình học chúng ta có thể xem
như X nằm trong P
s
. Theo Bổ đề 0.3 chúng ta có thể tìm được t các (s − 1)-phẳng,
gọi là L
1
, , L
t
, không đi qua P
s+2
sao cho với mọi điểm P
l
, l = 1, , s, thì luôn
luôn có m

l
các (s − 1)-phẳng trong {L
1
, , L
t
} đi qua điểm P
l
đó. Vì vậy, chúng ta
có thể tìm được t các (n − 1)-phẳng, gọi là H
1
, , H
t
, không đi qua P
s+2

thoả mãn
H
1
· · · H
t
M ∈ J. Theo Bổ đề 0.2 chúng ta nhận được
reg(R/(J + ℘
m
s+2
s+2
)) ≤ t + i ≤ max{T
j
|j = 1, . . . , n}.
Mặt khác, do Y = {P
1
, , P
s+1
} nằm trong vị trí tổng quát của P
n
, nên theo [5,
Theorem 6] chúng ta nhận được
reg(R/J) ≤ max{T
j
|j = 1, . . . , n}.
Từ các kết quả trên suy ra reg(Z) ≤ max{T
j
|j = 1, . . . , n}.
Trường hợp 2: Có s + 1 điểm của X nằm trên một (s − 1)-phẳng, gọi là K. Chúng
ta có thể giả sử rằng P
s+2

/∈ K (chúng ta có thể đánh số thứ tự lại các điểm). Đặt
J = ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
s+1
s+1
, theo Bổ đề 0.1 chúng ta có
reg(Z) = max{m
s+2
− 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘
m
s+2
s+2
))}.
138
Đặt W = {P
1
, , P
s+1
}. Do X không nằm trên một (s − 1)-phẳng, nên W không
nằm trên một (s − 2)-phẳng. Cho j = 1, . . . , n, đặt
T

j
= max



q
j=1
m
i
j
+ j − 2
j






P
i
1
, . . . , P
i
q
nằm trên một j-phẳng;
i
1
, . . . , i
q
≤ s + 1

.
Theo giả thiết qui nạp chúng ta có
reg(R/J) ≤ max{T


j
|j = 1, . . . , n}.
Rõ ràng là T

j
≤ T
j
, j = 1, . . . , n. Do đó
reg(R /J) ≤ max{T
j
|j = 1, . . . , n}.
Bây giờ chúng ta còn phải chứng minh:
reg(R/(J + ℘
m
s+2
s+2
)) ≤ max{T
j
|j = 1, . . . , n}.
Cho P
s+2
= (1, 0, . . . , 0), khi đó ℘
s+2
= (x
1
, , x
n
). Đặt η = max{m
1
, , m

s+1
}. Do
P
s+2
/∈ K, nên có một (n − 1)-phẳng, gọi là H, chứa K và không đi qua P
s+2
. Khi
đó
H
η
∈ ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
s+1
s+1
.
Vì vậy
H
η
M ∈ ℘
m
1
1
∩ · · · ∩ ℘
m
s+1
s+1

= J,
với mọi đơn thức M bậc i theo X
1
, , X
n
, i = 1, , m
s+2
− 1. Theo Bổ đề 0.2 chúng
ta nhận được
reg(R/(J + ℘
m
s+2
s+2
)) ≤ η + i ≤ T
1
.
Định lý đã được chứng minh xong.
Tài liệu t ham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B. Benedetti, G. Fatabbi and A. Lorenzini Genericity of Segre bound and the
case of n + 2 fat points of P
n
(preprint, submit to Proc. Amer. Math. So c).
[2] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153-2168.
[3] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity
index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993),
717-724.
[4] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert function of a special class of 1-
dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s,
Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29.

139
[5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set
of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111.
[6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969.
[7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti.
Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33.
[8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P
2
, Acta
Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81.
[9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P
3
, J. Pure and
Appl. Algebra 151 (2000), 197-214.
[10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double
points in P
4
, Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847.
SEGRE’S BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s + 2
FAT POINTS NOT IN A LINEAR (s − 1)-SPACE IN P
n
, s ≤ n
Phan Van Thien, Dau Van Luong
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Let s ≤ n. We will prove the Trung’s Conjecture about a sharp bound for the
regularity index of fat points in the case of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)-
space in P
n
. Our result generalizes Benedetti, Fatabbi and Lorenzini’s result [1] for

the upper bound for regularity index of a non degenerate set of n + 2 fat points in
P
n
.
Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40.
140