Địa kỹ thuật : Plaxis v.8.2 - Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn pps

1
Nguyễn Hồng Nam, 2007
1
Giới thiệu
Phương pháp phần tử hữu hạn
TS. Nguyễn Hồng Nam
PLAXIS FINITE ELEMENT CODES
Hà Nội, 1-2007
LỚP BỒI DƯỠNG NGẮN HẠN
Ketcau.com
Nguyễn Hồng Nam, 2007
2
Phân tích bài toán Địa kỹ thuật
(Koseki, 1999)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
3
Lời giải bài toán cơ học vật rắn
Lực khối và
lực mặt, F
i
, T
i
Ứng suất
σ
ij
Biến dạng
ε
ij
Chuyển vị
u
i

Cân bằng
Tương hợp
Mô hình vật liệu
Nguyễn Hồng Nam, 2007
4
Phân tích bài toán địa kỹ thuật
Khi thiết kế các bài toán địa kỹ thuật cần phải xem xét:
• Ổn định cục bộ, tổng thể công trình
•Nội lực trong kết cấu (lực dọc, lực cắt, mô men)
• Chuyển vị của công trình và đất nền xung quanh
• Chuyển vị và nội lực kết cấu xuất hiện trong các công trình lân cận
Nguyễn Hồng Nam, 2007
5
Các phương pháp giải bài toán địa kỹ thuật
• Kinh nghiệm thực tế
•Lời giải lý thuyết “closed form”
•Phương pháp cân bằng giới hạn LEM (Limit equilibrium method)
•Phương pháp số :
9 Sai phân hữu hạn FD (Finite Difference)
9 Phần tử biên BE (Boundary element)
9 Phần tử hữu hạn FE (Finite element)
9 Phần tử rời rạc DE (Distinct element)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
6
Các bước cơ bản của phương pháp PTHH
•Chia lưới phần tử hữu hạn
• Chuyển vị tại các nút là các ẩn số
• Chuyển vị bên trong phần tử được
nội suy từ các giá trị chuyển vị nút
• Mô hình vật liệu (quan hệứng suất-

biến dạng)
• Điều kiện biên về chuyển vị, lực
•Giải hệ phương trình tổng thể cân
bằng lực cho kết quả chuyển vị nút
• Tính các đại lượng khác (biến dạng,
ứng suất).
2
Nguyễn Hồng Nam, 2007
7
Các phần tử cơ bản
Phần tử 6 điểm nút
Phần tử 15 điểm nút
Lưới phần tử hữu hạn
Nguyễn Hồng Nam, 2007
8
Mô hình bài toán
Biến dạng phẳng
(Plane strain)
Đối xứng trục
(Axis-symmetry)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
9
PhÇn tö 6 nót
Phần tử 6 điểm nút: Nội suy bậc 2
u(x,y) = a
0
+ a
1
x + a
2

y + a
3
x
2
+ a
4
xy + a
5
y
2
v(x,y) = b
0
+ b
1
x + b
2
y + b
3
x
2
+ b
4
xy + b
5
y
2
Cách viết khác:
u = N
1
u

1
+N
2
u
2
+N
3
u
3
+N
4
u
4
+N
5
u
5
+N
6
u
6
=[N]{U}
v = N
1
v
1
+N
2
v
2

+N
3
v
3
+N
4
v
4
+N
5
v
5
+N
6
v
6
=[N]{V}
[N]: hàm dạng
Chuyển vị
Nguyễn Hồng Nam, 2007
10
Các phần tử bậc cao 15 nút: Sử dụng các đa thức bậc 4
Biến dạng: Tính từ các chuyển vị.
Đối với phần tử 6 điểm nút:
ε
δ
δ
xx
u
x

aaxay
==+ +
134
2
ε
δ
δ
yy
v
x
bbx by
==+ +
2
425
γ
δ
δ
δ
δ
xy
u
y
v
x
baa bx a by
=+=+ + + +
()( )( )
124 3 54
22
Biến dạng

u(x,y) = a
0
+ a
1
x + ………… + a
15
y
4
v(x,y) = b
0
+ b
1
x + ………… + b
15
y
4
Nguyễn Hồng Nam, 2007
11
Quan hệ chuyển vị-biến dạng
ε
ε
ε
γ
=











xx
yy
xy
U
U
V
U
U
V
e
=























1
1
2
6
6


U
i
và V
i
là chuyển vị tại nút thứ i
Trong đó: B-ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị
e
Bu=
ε
Nguyễn Hồng Nam, 2007
12
Mô hình vật liệu
Quan hệứng suất-biến dạng của đất rất phức tạp. Có thể
đơn giản hoá chúng về một số dạng sau:
• Đàn hồi tuyến tính
• Đàn hồi phi tuyến

• Đàn hồi-dẻo (Mohr-Coloumb)
•Cam-clay
•Hard soil
• Soft soil
•…
Chọn
mô hình nào ?
3
Nguyễn Hồng Nam, 2007
13
Bản chất của đất
•Cấu trúc vi mô của đất là không liên tục, bao gồm các hạt đất có
kích thước và hình dạng khác nhau
•Sự sắp xếp các hạt đất thiên nhiên không đều nhưng thường có cấu
trúc do liên kết vật lý/hoá học giữa các hạt
•Sự trượt của các liên kết tạo ra sự biến dạng vĩ mô và thay đổi thể
tích. Bản thân hạt đất cũng có thể bị biến dạng.
Hạt cát (Goto, 1986) Hạt sét (Sivakugan, 2001)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
14
σ = Cε
C là ma trận độ cứng của vật liệu
Đối với vật liệu đàn hồi, đẳng hướng, biến dạng phẳng
E = Mô đun đàn hồi [kN/m
2
]
ν = Hệ số Poisson [-]
Quan hệứng suất-biến dạng
()()













−
−
−
+−
=
2
21
00
01
01
121
ν
νν
νν
νν
E
C
Định luật Hooke
Nguyễn Hồng Nam, 2007

15
Lực nút P
e
do: Lực khối và lực mặt tác dụng lên phần tử
P
P
P
P
P
P
P
e
x
y
x
y
x
y
=



























1
1
2
2
6
6


Quan hệ lực nút và chuyển vị nút
K
e*
U
e
= P
e

Trong đó K
e
là ma trận độ cứng phần tử
Trong đó: C: Ma trận độ cứng vật liệu
B: ma trận tương quan biến dạng-chuyển vị
Ma trận độ cứng phần tử
∫
= CBdvBK
Te
Nguyễn Hồng Nam, 2007
16
Tổ hợp tất cả các ma trận độ cứng K
e
cho toàn bộ lưới
KU = P
Ma trận dạng băng K
Ma trận độ cứng tổng
Nguyễn Hồng Nam, 2007
17
Ứng suất ban đầu
• Ứng suất ban đầu thể hiện trạng thái cân bằng của
khối đất nguyên dạng, bao gồm:
-Trọng lượng đất
-Lịch sử chất tải
• Ứng suất ban đầu được tạo ra bởi:
- Phương pháp K
o
- Phương pháp trọng lực
Nguyễn Hồng Nam, 2007
18

Phương pháp K
o
• Ứng suất ban đầu được tính như sau:
•Phải biết hệ số áp lực đất K
o
•Thuận lợi: Không liên quan đến chuyển vị
• Khó khăn: Không cân bằng đối với các mặt nghiêng
4
Nguyễn Hồng Nam, 2007
19
Phương pháp trọng lực
• Ứng suất ban đầu do trọng lượng gây
ra
•Thuận lợi: Cân bằng thoả mãn mọi
trường hợp
• Khó khăn: Tồn tại chuyển vị không
hợp lý
• Đối với nén 1 trục:
ν
ν
σσ
−
=
1
''
vh
v
v
K
o

−
=
1
Nguyễn Hồng Nam, 2007
20
Phương pháp trọng lực
•Bỏ qua Phương pháp K
o
, ΣMweight=0
• Phase 1: Chọn Plastic calculation, Total multipliers
Đặt ΣMweight=1
• Phase 2: Chọn Reset displacements to zero để loại bỏ
các chuyển vị do trọng lực gây ra
Nguyễn Hồng Nam, 2007
21
Phương pháp trọng lực
Chú ý:
• Đối với vật liệu không thoát nước
Chọn Ignore undrained behaviour trong Phase 1 để
ngăn chặn áp lực lỗ rỗng tăng thêm không hợp lý
•Phương pháp K
o
đã được tạo từ trước
Trong giai đoạn ban đầu, làm lại phương pháp K
o
với
ΣMweight=0 để đặt lại giá trịứng suất ban đầu bằng 0
Nguyễn Hồng Nam, 2007
22
Phương pháp trọng lực

•Phương pháp trọng lực nên sử dụng trong các
trường hợp dưới đây, thay thế phương pháp K
o
.
Nguyễn Hồng Nam, 2007
23
Biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo
ε
p
ε
e
σ
ε
pe
ε
ε
ε
+=
Trong ®ã,
ε
e
: biÕn d¹ng ®µn håi,
ε
p
: biÕn d¹ng dÎo,
ε: biến dạng tổng.
Nguyễn Hồng Nam, 2007
24
Đàn hồi đẳng hướng
• Quan hệứng suất -biến dạng là tuyến tính hoặc phi tuyến

•Khi chất tải rồi dỡ tải, vật liệu trở về nguyên trạng thái ban đầu
•Biến dạng phụ thuộc độ tăng ứng suất
•Lực tác dụng nhỏ hơn tải trọng giới hạn (giới hạn làm việc)
•Lựa chọn E, v ?
σ
ε
σ
ε
Tuyến tính
Phi tuyến
5
Nguyễn Hồng Nam, 2007
25
Mô hình đàn hồi tổng quát
{}
[]
{}
σε
D=
•Ma trận D bao gồm: 36 pt (tổng quát), 21 phần tử (đối xứng),13 phần tử
(đối xứng qua 1 mặt phẳng), 9 phần tử (đối xứng qua 3 mặt phẳng), 5
phần tử (đối xứng trục)
Đàn hồi đẳng hướng, 2 trong 4 tham số sau là độc lập: E,
ν, K, G
Định luật Hooke












































=























zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD
τ
τ
τ
σ
σ
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε

666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
Biến
dạng
ứng
suất
Nguyễn Hồng Nam, 2007
26
Biến dạng dẻo
• Sự đồng hướng (coaxiality):
Các trục chính cuả độ tăng ứng suất
và độ tăng biến dạng chính cùng
phương
•
Hàm thế năng dẻo g (Plastic
potential function) Sự tăng biến dạng
dẻo độc lập với tỷ số hoặc độ lớn của
độ tăng ứng suất, nhưng phụ thuộc
trạng thái ứng suất
•
Vectơ độ tăng biến dạng dẻo vuông
góc mặt cong
g
ij
p
ij

g
d
σ
λε
∂
∂
=
&
g(σ
ij
)=const
ij
p
ε
&
33
,
εσ
&
&
11
,
εσ
&
&
Nguyễn Hồng Nam, 2007
27
Hàm chảy (Yield function)
•Biến dạng dẻo chỉ xảy ra khi một hàm ứng
suất f duy trì lớn nhất và độ tăng df >0

Miền đàn hồi
Miền dẻo
df > 0 : chất tải
df < 0: dỡ tải
df = 0: không tải
Mặt chảy
Chú ý:
f, g là hàm độc lập
hệ toạ độ
Ætham số là các
ứng suất chính
Nguyễn Hồng Nam, 2007
28
Lý thuyết dẻo
Để mô phỏng các đặc tính biến dạng dẻo, một trong hai giả thiết sau
được sử dụng:
f=g: luật dòng kết hợp (lý thuyết dẻo cổ điển)
f
≠g: luật dòng không kết hợp (ứng xử thực của đất)
Ngoài ra, phải có quy luật về sự thay đổi hàm chảy (Yield function)
Isotropic
hardening
Kinematic
hardening
σ
j
σ
i
tăng ε
p

σ
i
σ
j
tăng ε
p
i
Nguyễn Hồng Nam, 2007
29
Mô hình đàn hồi tuyến tính tương đương
• Ứng xử thực của đất không
phải đàn hồi, tuyến tính
•Mô đun cát tuyến E
50
thường
được sử dụng trong thiết kế sơ
bộ
•E
50
thường được thực hiện từ
thí nghiệm nén nở hông
(unconfined compression test)
ε
1
q=σ
1
-σ
3
E
50

σ
3
=0
q
f
q
50
Cách xác định E
50
từ thí
nghiệm nén nở hông
Nguyễn Hồng Nam, 2007
30
Mô hình Mohr-Coulomb
σ
y
σ
x
σ
z
σ
x
= σ
z
6
Nguyễn Hồng Nam, 2007
31
Mô hình dẻo tuyệt đối
Xấp xỉ bậc nhất quan hệứng suất-biến dạng
σ

ε
o
Nguyễn Hồng Nam, 2007
32
Mô phỏng quan hệ US-BD trong thí
nghiệm 3 trục (2 đoạn thẳng)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
33
Hàm chảy (Yield function)








+
=
2
yx
s
σσ
2
2
2
xy
yx
r
σ

σσ
+








−
=
Điều kiện trên áp dụng cho tất cả
các mặt phẳng nghiêng một góc
α
ϕ
ϕ
cossin csrf −−≡
Nguyễn Hồng Nam, 2007
34
Hàm chảy (Yield function)
Nguyễn Hồng Nam, 2007
35
Góc nở ψ (Dilatancy angle)
•Trượt xảy ra trên mặt nghiêng một góc ψ so với phương ngang
(không trượt trên mặt phẳng ngang)
•Góc ma sát được huy động trên mặt phẳng ngang (
ϕ) lớn hơn góc ma
sát chống lại sự trượt trên mặt phẳng nghiêng (
ϕ

i
)
i
ϕ
ψ
ϕ
+=
Nguyễn Hồng Nam, 2007
36
Cắt đơn giản, thoát nước
(Drained simple shear test)
7
Nguyễn Hồng Nam, 2007
37
Cắt 3 trục, thoát nước
Nguyễn Hồng Nam, 2007
38
Các tham số của mô hình Mohr-Coulomb
• Góc ma sát trong ϕ
•Lực dính c
•Góc nở
ψ
•Mô đun đàn hồi E
50
•Hệ số Poisson ν
Nguyễn Hồng Nam, 2007
39
Nhận xét mô hình M-C
• Ưu điểm: đơn giản
•Nhược điểm:

- Chưa xét ảnh hưởng của σ
2
- Chưa xét sự phụ thuộc trạng thái ứng suất
của các đặc tính đàn hồi
Nguyễn Hồng Nam, 2007
40
Kết luận
•Phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ hữu ích trong việc mô
phỏng các bài toán địa kỹ thuật.
• Mô hình vật liệu có ý nghĩa quan trọng khi mô phỏng ứng xử thực
của đất.
• Các điều kiện biên cần phải thích hợp đối với các giai đoạn thi công
khác nhau.
•Cóthể xác định được cơ chế phá hoại mà không cần phải xác định
trước như đối với các phương pháp số khác.