tích phân phổ thông trung học phần 10 ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (212.99 KB, 17 trang )
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 136
Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT
Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S.
Phương pháp:
§ Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức
là, ta có: S = g(m).
§ Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp:
+ Tam thức bậc hai
+ Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski.
+ Sử dụng đạo hàm
Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x
1
, x
2
là hoành độ giao điểm của (C) và (d).
Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong
2
yx1x
=+
, trục Ox và đường thẳng x = 1.
Giải:
* Đường cong (C) :
2
yx1x
=+
cắt trục hoành Ox khi:
2
x1x0x0.
+=Û=
* Ta có:
2
x1x0,vớimọix[0;1]
+³Ỵ. Do đó diện tích S cần tìm là:
1
2
0
Sx1x.dx.
=+
ò
* Đặt:
222
u1xu1x2u.du2xdxu.duxdx.
+Þ=+Þ=Þ=
* Đổi cận: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ
u2.
=
* Ta có:
2
2
3
2
0
0
u1
Sudu(221)
33
ỉư
===-
ç÷
èø
ò
(đvdt)
Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường
1lnx
y;x1,xe.
x
+
===
Giải:
* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
e
1
1lnx
Sdx
x
+
=
ò
* Đặt:
2
1
u1lnxu1lnx2u.dudx.
x
=+Þ=+Þ=
* Đổi cận: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ
u2.
=
* Ta có:
2
2
23
1
1
222
S2u.duu(221(221)
333
ỉư
===-=-
ç÷
èø
ò
(đvdt)
Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
22
yx2xvàyx4x.
=-=-+
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 137
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:
22
x2xx4x
-=-+
2
2x6x0x0hayx3.
Û-=Û==
* Đồ thò (P
1
):
22
2
yx2xvà(P):yx4x
=-=-+
như trên hình vẽ.
Hai đồ thò cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3).
* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
3
33
3
2222
00
2x
Sx4x)(x2x)dx(2x6x)dx3x9(đvdt)
3
ỉư
éù
=-+ =-+=-+=
ç÷
ëû
èø
òò
Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y
2
= 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
22
xy8
+=
thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P):
222
y2xvà(C):xy8;
=+=
2
x2x8(vớix0)
+=³
2
x2y2
x2x80
x4(loại)
=Þ=±
é
Û+-=Û
ê
=-
ë
Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2).
* Ta tính diện tích tam giác cong OAB;
Đặt:
222
2
1OAB
02
SS2x.dx8x.dx
==+-
òò
với:
2
2
3
0
0
28
2x.dx2.x.
33
ỉư
==
ç÷
èø
ò
Tính:
22
2
2
8x.dxI.
-=
ò
Đặt:
x22.sintdt22.cost.dt.
=Þ=
Đổi cận:
x2t/4
=Þ=p
;
x22t/2
=Þ=p
/2/2/2
2
/4/4/4
/2
/4
1cos2t
I22.cost.22.cost.dt8cost.dt8dt
2
sin2t
4t2.
2
ppp
ppp
p
p
+
Þ===
ỉư
=+=p-
ç÷
èø
òòò
* Do đó:
1
82
S2.
33
=+p-=p+
* Do tính đối xứng nên:
OBACOAB
4
S2.S2.
3
==p+
y
x
4
3
2
1
0
–
1
–
1
3
4
(P
1
)
A
(P
2
)
(P)
x
A
22
S
1
B
C
o
–
2
2
2
y
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 138
* Gọi S là diện tích hình tròn (C)
2
S.R8
Þ=p=p
* Gọi S
2
là phần diện tích hình tròn còn lại
2OBAC
4
SSS82
3
ỉư
Þ=-=p-p+
ç÷
èø
2
4
S6.
3
Û=p-
Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x
2
+ 1 luôn cắt
đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác đònh m sao cho phần diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất.
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
2
x1mx2
+=+
2
xmx10(1)
Û =
2
m40,m
D=+>"
* Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
A, B có hoành độ x
1
, x
2
là nghiệm của (1).
* Diện tích hình phẳng S là:
2
2
1
1
x
x
32
2
x
x
xmx
S(mx2x1)dxx
32
ỉư
=+ =-++
ç÷
èø
ò
3322
212121
22
21212121
22223
1m
(xx)(xx)(xx)
32
1
(xx).2(xxxx)3m(xx)6
6
114
m4.2(m1)3m6(m4).
663
= +-+-
éù
= ++-+-
ëû
éù
=-++ =+³
ëû
Vậy:
4
minSkhim0.
3
==
Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
2
x27
yx,y,y.
8x
===
Giải:
* Đồ thò
2
2
12
x27
(P):yx,(P):y,(H):y
8x
===
như trên hình vẽ.
* Phương trình hoành độ giao điểm của
(P
1
) và (H):
2
27
x
x
=
3
x27x3toạđộA(3,9).
Û=Û=Þ
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P
2
) và (H):
y
x
A
x
1
0
x
2
B
2
(d)
(P)
y
x
S
2
S
1
(P
1
)
(P
2
)
B
A
(H)
9/2
3
9
0
3
6
9
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 139
2
x279
x6toạđộB6,.
8x2
ỉư
=Û=Þ
ç÷
èø
* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
36
22
2
12
03
x27x
SSS(x)dxdx 27ln2(đvdt)
8x8
ỉư
=+=-+-==
ç÷
èø
òò
.
Ví dụ 7 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: parabol (P):
2
y4xx
=-
và các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua
M(5/2, 6).
Giải:
* Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K:
5
yKx6
2
ỉư
=-+
ç÷
èø
* (d) tiếp xúc (P) khi hệ sau có nghiệm:
2
5
4xxKx6(1)
2
42xK(2)
ì
ỉư
-=-+
ï
ç÷
èø
í
ï
-=
ỵ
* Thế (2) vào (1) ta được:
2
5
4xx(42x)(x)6
2
-= +
2
x1K1
x5x40
x4K4
=Þ=
é
Û-+=Û
ê
=Þ=-
ë
* Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là:
12
(d):y2x1;(d):y4x16
=+=-+
* Diện tích hình phẳng S cần tìm:
5/24
22
12
15/2
9
SSS(2x14xx)dx(4x164xx)dx
4
=+=+-++-+-+==
òò
(đvdt).
Ví dụ 8 (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn bởi các đường:
2
yx4x3vày3.
=-+=
Giải:
* Vẽ đồ thò (C):
2
yf(x)x4x3
==-+
* Xét đồ thò (C’) :
yf(x)
=
f(x),f(x)0
f(x),f(x)0
³
ì
=
í
-<
ỵ
* Từ đồ thò (C) ta suy ra đồ thò (C’) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm
dưới Ox qua trục hoành
ì
í
ỵ
* Đồ thò (C’) là hợp của 2 phần trên
y
(d
2
)
(d
1
)
M
S
1
S
2
(P)
B
x
4
5/2
1
2
0
3
4
6
A
x
4
3
2
1
0
–
1
3
(C)
y
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 140
* Đường thẳng y = 3 cắt (C’) tại A(0 ; 3), B(4 ; 3).
* Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
* Do tính đối xứng nên ta có:
12
S2(SS)
=+
212
222
001
2.(3x4x3)dx2[3(x4x3)]dx[3(x4x3)]dx
8(đvdt)
éù
= += ++ +-
êú
ëû
=
òòò
Bảng xét dấu:
x
0
1
2
3
x
2
–4x+3 + 0 – 0 +
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 141
BÀI TẬP
Bài 1. Cho Parabol (P):
2
yx4x3
=-+
và đường thẳng (d) : y = x – 1.
Tính diện tích giới hạn bởi:
a/ (P) và trục Ox; b/ (P), trục Ox và trục Oy;
c/ (P), trục Ox, x = 2 và x = 4; d/ (P) và (d);
e/ (P), (d), x = 0 và x = 2.
ĐS: a/
4
;
3
b/
4
;
3
c/ 2; d/
9
;
2
e/ 3.
Bài 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường:
a/
2
1
(C):yx,
2x
=+ tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3;
b/
5
yx(x1),
=+ trục Ox, trục Oy và x = 1;
c/
22
2(y1)xvà(y1)x1
-=-=-
;
d/
222
yx2x2,yx4x5yx4x3vày1;
=-+=++=-+=
e/
2
x18
y,y,y(vớix0).
8xx
===>
ĐS: a/
1
;
3
b/
418
;
35
c/
4
;
3
d/
9
;
4
e/ 7ln2.
Bài 3. Tính diện tích giới hạn bởi:
a/
2
(C):yx2x
=-
và tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3 ; 3) trên (C).
b/ (C)
32
:yx2x4x3,y0
=-+-=
và tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm có hoành
độ x = 2.
ĐS: a/
9
;
4
b/
5
.
48
Bài 4. Cho Parabol (P):
2
yx
=
và đường tròn (C) :
22
9
xy4x0
4
+-+=
.
a/ Chứng tỏ (P) và (C) tiếp xúc nhau tại A và B.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến chung tại A và B.
ĐS: a/
36663666
A;;yx;B;;yx.
22642264
ỉưỉư
=+-=
ç÷ç÷
èøèø
b/
6
.
2
Bài 5. Đường thẳng (d): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C):
22
xy5
+=
thành hai phần,
tính diện tích mỗi phần.
ĐS:
12
55155
S;S.
4242
pp
=-=+
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a/
2
yx,yx.
== b/
3
xy10;xy10.
-+=+-=
c/
222
xy8;y2x.
+== d/
232
y2x;yx.
=-=
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 142
e/
4
x1
y;x0;x.
2
1x
===
-
ĐS: a/
1
;
3
b/
5
;
4
c/
4
2;
3
p+
d/
32
;
15
e/
.
12
p
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
x
yx.e;y0;x1;x2.
===-=
b/
2
yx.lnx;y0;x1;xe.
====
c/
xx
ye;ye;x1.
-
===
d/
x2
y5;y0;x0;y3x.
-
====-
e/
5x
y(x1);ye;x1.
=+==
ĐS: a/
2
2
e2;
3
-+
b/
2
1
(e1);
4
-
c/
1
e2;
2
+-
d/
241
;
25ln52
+
e/
23
e.
2
-
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
2
x
y2xvàyx4;
2
=+=+
b/
2
yx2x3và3x5y90;
=-+++-=
c/
x
yvày0;x1;x2;
x1
====
+
d/
1
ylnx;y0;xvàxe.
e
====
ĐS: a/
26
;
3
b/
55
;
6
c/
2
1ln;
3
- d/
2
2.
e
-
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
2
ysinxcosx,
=+ các trục toạ độ và x = p;
b/
2
ysinxsinx1,
=++
các trục toạ độ và
x.
2
p
=
c/
yxsinx;yx;x0;x2.
=+===p
d/
2
yxsinx;y;x0;x.
=+=p==p
ĐS: a/
2;
2
p
+
b/
3
1;
2
p
+ c/
4;
d/
.
2
p
Bài 10. Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng x = –1; x = 2; y = 0 và Parabol (P) bằng
15. Tìm phương trình của (P), biết (P) có đỉnh là I(1 ; 2).
ĐS:
2
y3x6x5.
=-+
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):
2
x2x3
y,
x2
+-
=
+
tiện cận xiên
x = 0 và x = m > 0. Tìm giới hạn của diện tích này khi
m.
®+¥
ĐS:
m
m2
S3ln;limS.
2
®+¥
+
ỉư
==+¥
ç÷
èø
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 143
Bài 12. Cho (H):
2x
y.
x1
=
-
a/ Chứng minh rằng hình phẳng được giới hạn bởi (H), tiệm cận ngang và các
đường thẳng x = a + 1; x = 2a + 1 có diện tích không phụ thuộc vào tham số a
dương.
b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (H) tại gốc toạ độ. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi (H), (d) và đường thẳng x = 2.
ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3.
Bài 13. Cho Parabol (P) : y = x
2
. Hai điểm A và B di động trên (P) sao cho AB = 2.
a/ Tìm tập hợp trung điểm I của AB
b/ Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi (P)
và cát tuyến AB đạt giá trò lớn nhất.
ĐS: a/
2
2
1
yx;
14x
=+
+
b/
maxS1;A(1;1);B(1;1).
=-
Bài 14. Đường thẳng (D) đi qua điểm
1
M;1
2
ỉư
ç÷
èø
và các bán kính trục dương Ox, Oy lập
thành một tam giác. Xác đònh (D) để diện tích tam giác có giá trò nhỏ nhất và tính
giá trò đó.
ĐS:
(D):y2x2.
=-+
Bài 15. Cho Parabol (P): y = x
2
. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I(1 ; 3) sao cho
diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (P) đạt giá trò nhỏ nhất.
ĐS:
y2x1.
=+
Bài 16. Trên Parabol (P) :
2
yx
=
lấy hai điểm A(–1 ; 1) và B(3 ; 3). Tìm điểm M trên
cung
»
AB
của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
ĐS:
11
M;
39
ỉư
ç÷
èø
Bài 17. Xét hình (H) giới hạn bởi đường tròn (C):
2
yx1
=+
và các đường thẳng
y = 0; x = 0; x = 1. Tiếp tuyến tại điểm nào của (C) sẽ cắt từ (H) ra một hình thang
có diện tích lớn nhất.
ĐS:
515
maxS;M;.
424
ỉư
=
ç÷
èø
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 144
Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh:
* Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x = , x = , y = , y = )
* (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp.
Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận
là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai
cận là y.
Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):yf(x);y0;xa;xb(ab)
====<
sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vy.dx[d(x)].dx
=p=p
òò
Diện tích:
b
a
Sf(x).dx
=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(x)].dx
=p
ò
Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
(C):xf(y),x0,ya,yb(ab)
====<
sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công
thức:
bb
22
aa
Vx.dy[f(y)].dy
=p=p
òò
Diện tích:
b
a
Sf(y)dy.
=
ò
Thể tích:
b
2
a
V[f(y)].dy
=p
ò
y
x
b
a
(H)
(C)
y
x
(H)
(C)
a
b
y
x
b
a
(H)
(C)
0
y
x
(C)
a
b
0
§
Bài 2
: THỂ T
ÍCH VẬT TRÒN XOAY
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 145
Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):yf(x),(C):yg(x),xa,xb(ab)
====<
với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Ox được tính bởi:
b
22
a
Vf(x)g(x).dx
=p-
ò
(3)
* f(x) và g(x) cùng dấu có nghóa là hai phần đồ thò cùng nằm một phía đối với trục Ox,
với mọi x Ỵ đoạn [a; b].
* Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau:
TH1:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:
Ç=Ỉ>³"Ỵ
b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dx
Û=p-
ò
TH2:
12
(C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]:
Ç=Ỉ<£"Ỵ
b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dx
Û=p-
ò
TH3:
12
(C)cắt(C)
tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0,
x[a;b]:
"Ỵ
b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dx
Û=p-
ò
TH4:
12
(C)cắt(C)
tại 2 điểm A, B có hoành độ
x = a và f(x) < g(x) £ 0,
x[a;b]:
"Ỵ
b
22
a
(3)V[f(x)g(x)].dx
Û=p-
ò
y
x
0
(H)
a
b
(C
2
)
(C
1
)
y
y
x
0
(H)
a
b
(C
1
)
(C
2
)
y
y
x
(H)
A
B
a
b
0
(C
2
)
(C
1
)
y
x
(H)
A
B
a
b
0
(C
2
)
(C
1
)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 146
TH5:
12
(C)cắt(C)
tại 3 điểm A, B, C, trong đó x
A
= a
x
B
= b, x
C
= c với a < c < b như hình bên:
12
(3)VVV
Û=+
cb
2222
ac
[f(x)g(x)]dx[g(x)f(x)]dx.
=p-+p-
òò
Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường:
12
(C):xf(y),(C):xg(y),ya,yb(ab)
====<
với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi
quay quanh trục Oy được tính bởi:
b
22
a
Vf(y)g(x).dy
=p-
ò
(4)
TH1:
1212
(C)(C)vàxf(y)xg(y)0,
Ç=Ỉ=>=³
với mọi
y[a;b].
Ỵ
b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].dy
Û=p-
ò
TH3:
12
(C)cắt(C)
tại 2 điểm A, B có tung độ
AB
yayb
=<=
và
12
xf(y)xg(y)0,
=>=³
với mọi
y[a;b].
Ỵ
b
22
a
(4)V[f(y)g(y)].dy
Û=p-
ò
* Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3.
Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
= 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích
khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên:
a/ quanh trục hoành
b/ quanh trục tung.
Giải:
a/
2
(P):y8x(P):y8x(x0)
=Û=±³
Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh
trục Ox là:
y
x
C
(C
1
)
(C
2
)
V
2
V
1
A
a
c
b
B
y
x
2
(H)
C
2
C
1
b
a
A
B
x
1
x
(H)
x
1
x
2
y
x
0
C
2
C
1
a
b
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 147
22
2
00
Vy.dx8x.dx16
=p=p=p
òò
(đvtt).
b/
22
1
(P):y8xxy
8
=Û=
Thể tích V khối quanh trục tung là:
2
44
2224
14
11899
V2ydu2ydy
86432
p
ỉưỉư
=p-=p-==
ç÷ç÷
èøèø
òò
(đvtt).
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) :
2
y2xx
=-
. Tính
thể tích của khối tròn xoay khi cho (H)
a/ quay quanh trục hoành
b/ quay quanh trục tung.
Giải:
a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là:
22
222
00
16
Vy.dx(2xx)dx
15
p
=p=p-==
òò
(đvtt).
b/
22
(P):y2xxx2xy0(1)
=-Û-+=
11
22
'1y00y1
x11y,(0x1)
(1)
x11y,(1x2)
D=-³Û££
é
= ££
Û
ê
ê
=+-££
ë
Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là:
111
22
212121
000
8
V(xx)dy(xx)(xx)dy2(21y)dy
3
p
=p-=p+-=p-==
òòò
Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip:
2
2
x
y1
4
+=
quay quanh trục hoành. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo nên.
Giải:
22
222
xx1
(E):y1y1y4x,(|x|2)
442
+=Û=-Û=±-£
Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là:
22
22
22
8
Vy.dx(4x).dx
43
pp
=p=-==
òò
(đvtt).
Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường:
yx,y2x
==-
và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy.
Giải:
y
x
0
–
1
2
–
2
1
y
x
2
1
0
(H)
1
(P)
x
2
x
1
x
y
4
0
–
x = 2
2
(P)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 148
·
1
yxxx2
=Û==
·
2
y2xxx2y.
=-Û==-
· Thể tích vật thể tròn xoay
khi quay (D) quanh trục Oy là:
11
22222
21
00
V(xx)dy[(2y)(y)]
=p-=p
òò
32
15
p
= (đvtt).
BÀI TẬP
Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn
bởi các đường:
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/
2
xy50;xy30.
+-=+-=
c/
2
yx;yx.
== d/
22
yx4x6;yx2x6.
=-+= +
e/
2
yx(x1).
=- f/
x
yx.e;x1;y0(0x1)
===££
g/
xx2
ye;y;x0;x2.
-+
====
h/
3
yxln(1x);x1.
=+=
i/
2
(P):yx(x0),y3x10;y1
=>=-+=
(miền (D)) nằm ngoài (P)).
k/
44
ycosxsinx;y0;x;x.
2
p
=+===p
ĐS: a/
2
2(ln21);
p- b/
153
;
5
p
c/
3
;
10
p
d/ 3p e/
.
105
p
f/
2
(e1)
;
4
p-
g/
22
(e1);
p- h/
(2ln21).
3
p
-
i/
56
.
5
p
k/
2
3
.
8
p
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình
phẳng giới hạn bởi các đường:
a/
2
yx;y1;y2.
===
. b/
22
yx;xy.
==
c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2.
ĐS: a/
3
;
2
p
b/
3
;
10
p
c/
2
24.
p
Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong
1
y;
x
= trục Ox; x = 1 và x = t
a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox.
b/ Tính:
t
limS(t)
®+¥
và
t
limV(t).
®+¥
y
x
4
2
1
0
1
2
yx
=
y2x
=-
A
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 149
ĐS: a/
S(t)lnt;V(t);
t
p
==p-
b/
tt
limS(t);limV(t)
®+¥®+¥
=+¥=p
Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C):
22
xy8
+=
và parabol (p):
2
y2x.
=
a/ Tính diện tích S của (D).
b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox.
ĐS: a/
4
2.
3
-p
b/
4
(827).
3
p
-
Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường:
a/
2/3
x
yb(0xa)
a
ỉư
=££
ç÷
èø
quanh trục Ox.
b/
ysinx;y0(0x)
==££p
a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy.
c/
2
xx
yb;yb
aa
ỉư
==
ç÷
èø
a/ quanh trục Ox. b/ Quanh trục Oy.
d/
x
ye;y0(0x)
-
==£<+¥
quanh trục Ox và Oy.
ĐS: a/
2
3
ab;
7
p
b/
2
x
/V;
2
p
a=
2
y
/V2.
b=p
c/
2
x
4
/Vab;
15
a=p
2
y
ab
/V.
6
p
b=
d/
x
/V;
2
p
a=
y
/V2.
b=p
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 150
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
2x.dx;
-
+
ò
b/
1
2
2
0
xdx
;
4x
-
ò
c/
2
2
1
x1
dx;
x
-
ò
d/
1
23
0
dx
;
(1x)
+
ò
e/
1
2
22
0
xdx
;
(x1)
+
ò
f/
/4
2
0
x
dx;
cosx
p
ò
g/
/2
x
0
e.cosxdx;
p
ò
h/
/4
44
x
/4
sinxcosx
dx;
31
p
-p
+
+
ò
i/
0
cos2x.dx
;
sinxcosx2
p
++
ò
k/
5/12
2
/12
dx
;
sin2x23cosx23
p
p
++-
ò
ĐS: a/
8
(42);
3
- b/
3
;
32
p
- c/
3;
3
p
-
d/
2
;
2
e/
11
ln2;
44
-+ f/
2
ln;
42
p
+ g/
/2
1
(e1);
2
p
-
h/
3
;
16
p
i/ 2ln3 – 2; k/
3
.
4
Bài 2. Biết
2
2)x1),x0
f(x)
K(1x),x0
-+£
ì
=
í
->
ỵ
. Tìm giá trò K để
1
1
f(x).dx1.
-
=
ò
ĐS: K = 3.
Bài 3. a/ Cho hàm số
2x
x
e
e
f(x)t.lnt.dt.
=
ò
Tìm hoành độ điểm cực đại x.
b/ Tìm giá trò
3
x0;
2
p
ỉư
Ỵ
ç÷
èø
để hàm số
2x
x
sint
f(x)dt
t
=
ò
đạt cực đại.
ĐS: a/
xln2.
=-
b/
x.
3
p
=
Bài 4. Cho hàm số
x
2
0
2t1
f(x)dt,1x1.
t2t2
+
=-££
-+
ò
Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f.
ĐS: a/
1
minff;
2
ỉư
=-
ç÷
èø
b/
maxff(1).
=
Bài 5. Cho hàm số
x
2
0
f(x)(t1)(t2)dt.
=
ò
Tìm điểm cực trò và điểm uốn của đồ thò f.
ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 151
ĐS:
1744112
CT:1;;Đ.Uốn:2;;;
123381
ỉưỉưỉư
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) :
22
xy5
+=
thành 2 phần,
tính diện tích của mỗi phần.
ĐS:
12
55155
S;S.
4242
pp
=-=+
Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C):
1
y;y0
x
==
; x = 1; x = 2. Tìm
toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có
diện tích lớn nhất.
ĐS:
32
M;.
23
ỉư
ç÷
èø
Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x
2
, (A khác gốc O); (D) là pháp tuyến tại A của (P)
((D) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Đònh vò trí của A để diện tích giới
hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất.
ĐS:
41111
minS;A;hayA;.
32424
ỉưỉư
=-
ç÷ç÷
èøèø
Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi:
22
xy
1
164
x42
ì
-=
ï
í
ï
=
ỵ
.
Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy.
ĐS:
128
.
3
p
Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi:
2
yax,a0
ybx,b0
ì
=>
í
=->
ỵ
.
Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức
giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a
và b.
ĐS: b
5
= K.a
3
, với K là hằng số dương bất kỳ.
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
yx4x3,yx3.
=-+=+
(Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002)
ĐS:
109
6
(đvdt).
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
22
xx
y4vày.
4
42
=-= (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 152
ĐS:
4
2
3
p+
(đvdt).
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):
3x1
y
x1
=
-
và hai trục
toạ độ. (Đề thi khối D_2002)
ĐS:
4
14ln
3
+ (đvdt).
Bài 14. Tính tích phân
23
2
5
dx
I.
xx4
=
+
ò
(Đề thi khối A_2003)
ĐS:
15
ln.
43
Bài 15. Tính tích phân
/2
2
0
12sinx
Idx.
1sin2x
p
-
=
+
ò
(Đề thi khối B_2003)
ĐS:
1
ln2.
2
Bài 16. Tính tích phân
2
2
0
Ixxdx.
=-
ò
(Đề thi khối D_2003)
ĐS: 1.
Bài 17. Tính tích phân
2
1
x
Idx.
1x1
=
++
ò
(Đề thi khối A_2004)
ĐS:
11
4ln2.
3
-
Bài 18. Tính tích phân
e
1
13lnx.lnx
Idx
x
+
=
ò
(Đề thi khối B_2004)
ĐS:
116
.
135
Bài 19. Tính tích phân
3
2
2
Iln(xx)dx.
=-
ò
(Đề thi khối D_2004)
ĐS: 3ln3 – 2.
