tích phân phổ thông trung học phần 9 pot

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 121
f/
x
2
22
3
2
tdt
62x(121x)
1t.11t
=-+-
-+-
ò

ĐS: a/
57
xe;xe;
-
== b/
x2;
=
c/ x = ln2;
d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/
1
x.
2
=

Bài 40. Tìm m để phương trình:
x

32
1
x[3t4(6m1)t3(2m1)]dt1
++ =
ò

có 3 nghiệm phân biệt có tổng bình phương bằng 27.
ĐS: m = 1.
Bài 41. Giải các phương trình sau:
a/
x
4
0
3
(4sint)dt0;
2
-=
ò
b/
x
2
0
cos(tx)dtsinx;
-=
ò

c/
x
23
0

dt
tgxvớix[0;1).
(1t)
=Ỵ
-
ò

ĐS: a/
xK,KZ;
2
p
=Ỵ

b/
xK
xl2l0,1,2,
11m8
x,m0,1,2
2
=p
é
ê
=±p=
ê
ê
±+p
ê
==
ë
c/ x = 0.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 122

Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI

1. Nhận xét:
Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n Ỵ N), khi đó
người ta thường ký hiệu I
n
để chỉ tích phân phải tính.
1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn
I
n
theo các I
n+K
, ở đây 1 £ K £ n.
2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trò
0
n
I
cụ thể nào
đó.

2. Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
/2
n
n

0
Isinx.dx(nN)
p
=Ỵ
ò

· Đặt:
n1n2
usinxdu(n1)).sinx.dx

=Þ=-

dvsinx.dxvcosx.
=Þ=-


-p
-
é
Þ=-+
ë
n1/2
n012n
Isinx.cosx](n1).(II)


Dạng 2:
/2
n
n

0
Icosx.dx(nN)
p
=Ỵ
ò

· Đặt:
n1n2
ucosxdu(n1).cosx.dx

=Þ=

dvcosx.dxvsinx.
=Þ=


n1/2
n0n2n
Icosx.sinx](n1).(II)
-p
-
é
Þ=+
ë


Dạng 3:
/4
n
n

0
Itgx.dx.
p
=
ò

· Phân tích:
+
ỉư
==-=+-
ç÷
èø
n2n2nn2
2
1
tgxtgx.tgxtgx.1tgx(1tgx1)
cosx

Suy ra:
n2n
1
II
n1
+
+=
+
(không dùng tích phân từng phần)

Dạng 4:
/2/2

nn
nn
00
Ix.cosx.dxvàJx.sinx.dx.
pp
==
òò

· Đặt:
nn1
uxdun.x.dx.
-
=Þ=

dvcosx.dxvsinx
=Þ=


2
nn
InJ1(1)
2
p
ỉư
Þ=
ç÷
èø

· Tương tự:
nn1

J0nI(2)
-
=+

· Từ (1) và (2)
n
nn2
In(n1)I.
2
-
p
ỉư
Þ+-=
ç÷
èø


Trần Só Tùng Tích phân
Trang 123
Dạng 5:
1
nx
n
0
Ix.e.dx
=
ò

· Đặt:
nn1

uxdunx.dx
-
=Þ=

xx
dve.dxve.
=Þ=

nx1
n0n1
I[x.e]nI
-
=-

Dạng 6:
11
n
nx
nn
x
00
x
IdxhayIx.e.dx
e
-
==
òò

· Đặt:
nn1

uxdunx.dx
-
=Þ=

xx
dve.dxve.

=Þ=-

xx1
n0n1
I[x.e]nI
-
-
Þ=-+

Dạng 7:
e
n*
n
1
Ilnx.dx(nZ)
=Ỵ
ò

· Đặt:
nn1
1
ulnxdun.lnx,dx
x

-
=Þ=

dvdxvx.
=Þ=


ne
n1n1nn1
I[x.lnx]n.IIenI.

Þ=-Û=-

BÀI TẬP
Bài 42. Cho
n
n
Isinx.dx
=
ò
và
n
n
Jcosx.dx
=
ò
, với
nN,n2.
Ỵ³

Chứng minh các công thức truy hồi sau:

n1
nn2
1n1
Isinx.cosxI.
nn
-
-
-
=-+
n1
nn2
1n1
Jsinx.cosxJ.
nn
-
-
-
=+
Áp dụng ta tính I
3
và J
4
.
ĐS: ·
2
3
12
Isinx.cosxcosxC.

33
= +

·
3
4
133
Jsinx.cosxxsin2xC.
4816
=+++

Bài 43. Cho
n
n
Ix.sinx.dx
=
ò
và
n
n
Jx.cosx.dx
=
ò
, với
nN,n2.
Ỵ³

Chứng minh rằng:

nn1

nn2.
Ix.cosxnx.sinxn(n1).I
-
-
=-=

nn1
nn2
Jx.sinxn.x.cosxn(n1).J.
-
-
=+
Áp dụng ta tính I
2
và J
2
.
ĐS: ·
2
2
Ixcosx2x.sinx2cosxC.
= +++

·
2
4
Jxsinx2xcosx2sinxC.
=+-+

Tích phân Trần Só Tùng

Trang 124
Bài 44. Cho
nx
n
Ix.e.dx,nN,n1.
=Ỵ³
ò

Chứng minh rằng:
nx
nn1
Ix.en.I.
-
=-
Áp dụng tính I
5
.
ĐS:
x5432
5
Ie(x5x20x60x120x120)C.
=-+-+-+

Bài 45. Cho
/2
n
n
0
Isinx.dx,(nN)
p

=Ỵ
ò

a/ Thiết lập công thức liên hệ giữa I
n
và I
n+2
.
b/ Tính I
n
.
c/ Chứng minh rằng hàm số f:
NR
®
với
nn1
f(n)(n1)I.I.
+
=+

d/ Suy ra
/4
n
n
0
Jcosx.dx.
p
=
ò

ĐS: b/
(n1)(n3)(n5) 1
.,nchẵn
n(n2)(n4) 22
I(n)
(n1)(n3)(n5) 2
,n lẻ
n(n2)(n4) 3
p
ì
ï

ï
=
í

ï
ï

ỵ

c/
01
f(n)f(0)I.I.
2
p
===
d/
nn
JI.

=

Bài 46. Đặt;
/4
n
n
0
Itgx.dx,(nN)
p
=Ỵ
ò

Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n+2
.
ĐS:
nn2
1
II.
n1
+
+=
+

Bài 47. Cho
1
n
*

n
0
x
Idx,(nN)
1x
=Ỵ
-
ò

Chứng minh rằng:
nn1
(2n1)I2n.I22.
-
++=
Bài 48. Cho
1
nx
*
n
x
0
e
Idx,(nN)
1e
-
-
=Ỵ
-
ò

a/ Tính I
1
.
b/ Tìm hệ thức giữa I
n
và I
n–1
.
ĐS: a/
1
2e
Iln;
1e
=
+
b/
n1
1n)
nI
1
I(e1)
1n
-
-
+
=-
-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 125
Vấn đề 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

· Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a ; b]

Dạng 1: Nếu
f(x)0,x[a;b]
³"Ỵ
thì :
b
a
f(x)0
³
ò

dấu “=” xảy ra khi
f(x)0,x[a;b]
="Ỵ


Dạng 2: Để chứng minh:
bb
aa
f(x).dxg(x).dx
£
òò
.
§ ta cần chứng minh:

f(x)g(x),x[a;b]
£"Ỵ

§ dấu “=” xảy ra khi
f(x)g(x),x[a;b]
="Ỵ

§ rồi lấy tích phân 2 vế.

Dạng 3: Để chứng minh:
b
a
f(x).dxB
£
ò
(B là hằng số).
§ ta tìm một hàm số g(x) thỏa các điều kiện:
b
a
f(x)g(x),x[a;b]
g(x).dxB
£"Ỵ
ì
ï
í
=
ï
ỵ
ò

Dạng 4: Để chứng minh:
b
a
Af(x).dxB
££
ò
.
§ ta tìm 2 hàm số h(x) và g(x) thỏa điều kiện:

bb
aa
h(x)f(x)g(x),x[a;b]
h(x).dxA,g(x).dxB
££"Ỵ
ì
ï
í
==
ï
ỵ
òò

§ Hoặc ta chứng minh:
mf(x)M,
££
với
mminf(x),Mmaxf(x)
==

sao cho:
bb
aa
m.dxm(ba)A,M.dxM(ba)B.
=-==-=
òò


Dạng 5:
bb
aa
f(x).dx|f(x)|dx
£
òò
.
dấu “=” xảy ra khi
f(x)0,x[a;b]
³"Ỵ

§ BĐT (5) được suy ra từ BĐT dạng 2 với nhận xét sau:
x[a;b]
"Ỵ
, ta luôn có:
|f(x)|f(x)|f(x)|
-££


bbb
aaa
|f(x)|dxf(x).d(x)|f(x)|dx

Û-££
òòò
(lấy tích phân 2 vế)

bb
aa
f(x).dx|f(x)|.dx.
Û£
òò

Ghi chú:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 126
1. Thực chất chứng minh bất đẳng thức tích phân chính là chứng minh:

f(x)g(x),x[a;b].
£"Ỵ
Nếu dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức
f(x)g(x)
£
chỉ tại
một số hữu hạn điểm
x[a;b]
Ỵ
thì ta có thể bỏ dấu “=” trong bất đẳng thức tích phân.
2. Do BĐT là một dạng toán phức tạp, nên mỗi dạng trên có nhiều kỹ thuật giải, vì vậy
trong phần bài tập này, không đi theo từng dạng trên mà đi theo từng kỹ thuật giải.

Kỹ thuật 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương hoặc chặn trên, chặn dưới

BÀI TẬP
Bài 49. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
1
19
3
3 6
0
1x.dx1
20
202
1x
<<
+
ò
b/
1
23
0
dx2
.
68
4xx
pp
<<

ò

c/
1/2

2
2
0
1dx1
.
50(32cosx)
2(33)
<<
+
+
ò
d/
200
100
cosx.dx1
x200
p
p
<
p
ò

Bài 50. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
2
/2
sinx
0
e.
e.dx

22
p
pp
<<
ò
b/
2
1
x
0
1
1e.dx1.
e
-
-££
ò

c/
3
x
2
1
e.sinx
0dx
x112e
-
p
<<
+
ò

Bài 51. Cho
t
4
0
tgx
I(t)dx,
cos2x
=
ò
với
0t.
4
p
<<
Chứng minh rằng:
3
2
(tgt3tgt)
3
tg(t)e
4
+
p
+>
Bài 52. Đặt:
2
t
1
lnx

J(t)dx,
x
ỉư
=
ç÷
èø
ò
với t > 1.
Tính J(t) theo t, từ đó suy ra: J(t) < 2,
t1.
">


Kỹ thuật 2: Dùng bất đẳng thức Côsi hay Bu Nhia Cốp Ski

BÀI TẬP
Bài 53. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/2
0
27
sinx(23sinx)(74sinx)dx
2
p
p
+-<
ò

b/
/3

/4
2
cosx(57cosx6cosx)dx.
3
p
p
p
+-<
ò

c/
e
1
lnx(93lnx2lnx)dx8(e1)
£-
ò

Bài 54. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/3
2222
0
(8cosxsinx8sinxcosx)dx2
p
+++£p
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 127
b/

e
22
1
(32lnx52lnx)dx4(e1)
++-£-
ò

Bài 55. Sử dụng bất đẳng thức dạng 5 chứng minh:
a/
1
2
0
sinxx.dx
;
1x4
p
<
+
ò
b/
2
3cosx4sinx5
.
x14
-p
£
+
ò

Kỹ thuật 3: Sử dụng GTLN – GTNN của hàm số trên miền lấy tích phân bằng bảng
biến thiên.

BÀI TẬP
Bài 56. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
2
2
1
2x.dx1
;
52
x1
<<
+
ò
b/
1
2
0
4
0x(1x).dx;
27
<-<
ò

c/
11
7
542(x711x).dx108;

-
£++-£
ò

d/
2
2
1/4xx2
0
2.ee.dx2e;

££
ò
e/
2
0
3dx23
33
cosxcosx1
p
pp
<<
++
ò
.

Kỹ thuật 4: Sử dụng tính chất đồng biến, nghòch biến của hàm số bằng cách tính đạo
hàm

BÀI TẬP

Bài 57. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/3
/4
3sinx.dx1
;
4x2
p
p
<<
ò

b/
2
0
27(2sinx)(6sinx).dx215.
p
p£+-£p
ò

c/
2
1
1
x
1x
0
4
e1x,x0.Suyra:edx
4

+
p+
>+"¹>
ò

d/
2
200
xx
100
ex,x.Suyra:e.dx0,01.
-
³"£
ò

e/
4
3
3
xdx
1lnx,vớixe.Suyra:0,921.
e
lnx
<<><<
ò


Kỹ thuật 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu Nhia Cốp Ski trong tích phân bài tập 9.16

BÀI TẬP

Bài 58. Chứng minh rằng nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [a ; b] thì ta có:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 128
2
bbb
22
aaa
f(x).g(x).dxf(x).dx.g(x).dx.
ỉư
£
ç÷
èø
òòò

(BĐT trên gọi là BĐT Bua Nhia Côp Ski trong tích phân)
Bài 59. Chứng minh rằng:
2
111
000
f(x).g(x).dxf(x).dx.g(x).dx
ỉư
£
ç÷
èø
òòò

Bài 60. Cho f(x) là hàm số xác đònh liên tục trên [0 ; 1] và
f(x)1,x[0;1]
£"Ỵ
.

Chứng minh rằng:
2
11
2
00
1f(x).dx1f(x).dx.
ỉư
-£-
ç÷
èø
òò

Bài 61. Biết
1
0
dx2
ln2.Chứngminh:Ln2.
x13
=>
+
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 129

Vấn đề 14: TÍNH GIỚI HẠN CỦA TÍCH PHÂN

· Trong bài toán tìm giới hạn của tích phân thường có 2 dạng sau:

Dạng 1: Tìm

t
t
a
limf(x).dx,(ta)
®¥
>
ò

Ta tính tích phân
t
a
f(x).dx
ò
phụ thuộc vào t, sau đó dùng đònh lý về giới hạn để tìm
kết quả.

Dạng 2: Tìm
b
n
a
limf(x,n).dx,(nN)
®¥
Ỵ
ò

Ÿ Dùng BĐT tích phân đem tích phân về dạng:
b
a
Af(x,n).d(x)B
££

ò


b
nnn
a
limAlimf(x,n).dxlimB
®¥®¥®¥
Þ££
ò

Ÿ Sau đó, nếu:
b
nnn
a
limAlimBlthìlimf(x,n).dxl
®¥®¥®¥
===
ò

* Nhắc lại đònh lý hàm kẹp:
“Cho ba dãy số
nnn
a,b,c
cùng thoả mãn các điều kiện sau:

*
nnn
nn
nn

nN,abC
limalimCl
®¥®¥
ì
"Ỵ££
ï
í
==
ï
ỵ
. Khi đó:
n
n
limbl
®¥
=
”

BÀI TẬP
Bài 62. a/ Tính
x
1
dt
I(x),(x1)
t(t1)
=>
+
ò
b/ Tìm
x

limI(x)
®+¥

ĐS: a/
2x
ln;
x1
+
b/
ln2.

Bài 63. a/ Tính
ln10
x
3x
b
e.dx
I(b);
e2
=
-
ò
b/ Tìm
bln2
limI(b)
®

ĐS: a/
b2/3
31

6(e2)
22
éù

êú
ëû
b/ 6.
Bài 64. Cho
1
nx
*
n
x
0
e.dx
I(nN)
1e
-
-
=Ỵ
+
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 130
Tính
nn1n
x
II,từđótìmlimI.
-

®+¥
+

ĐS: a/
2
2
t1
ln4ln
(t2)
+
+
+
b/ ln4.
Bài 65. a/ Tính
x
2t
x
0
I(x)(t2t).e.dt.TìmlimI(x)
®-¥
=+
ò

b/ Tính
x
22
x
1
2t.lnt.dt
I(x),(x1).TìmlimI(x).

(1t)
®+¥
=>
+
ò

ĐS: a/ 0; b/
ln2.

Bài 66. a/ Tính theo m và x > 0 tích phân:
m
e
m
x
I(x)t.(mlnt).dt.
=-
ò

b/ Tìm
m
x0
limI(x).
-
®
Tìm m để giới hạn này bằng 1.
ĐS: a/
2m22
1
e2xlnx(2m1)x
4

éù
+-+
ëû
b/
2m
1
e;mln2.
4
=

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 131
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN




Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi 4 đường:

(c):yf(x)
y0(trụchoànhOx)
xa
xb(ab)
=
ì
ï
=
ï

í
=
ï
ï
=<
ỵ
được tính bởi công thức:
b
a
Sf(x)dx
=
ò
(1)
2. Phương pháp giải toán:

* Ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên
* và vì cần phải bỏ dấu giá trò tu
yệt đối nên ta có 2 cách giải sau:
ì
í
ỵ

Cách 1. Phương pháp đồ thò:
* Vẽ đồ thò (C) : y = f(x) với x Ỵ [a ; b]
a/ Trường hợp 1:
Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn
trên trục hoành Ox (hình a) thì:

b
a

(1)Sf(x).dx
Û=
ò

b/ Trường hợp 2:
Nếu đồ thò (C) nằm hoàn toàn
dưới trục hoành Ox (hình b) thì:

b
a
(1)Sf(x).dx
Û=-
ò

c/ Trường hợp 3:
Nếu đồ thò (C) cắt trục hoành Ox tại một điểm
có hoành độ x = x
0
(như hình c) thì:

0
x
b
aa
(1)Sf(x).dxf(x).dx
Û=+-
òò

* Ghi chú: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a ; b] thì ta dùng công thức sau:
b

a
Sf(x)dx
=
ò


y

x

(C): y = f(x)

S

a

b

0

(Hình a)

y

x

S

a

b

0

(Hình a)
(C): y = f(x)

a

y

S
S
a

0

b

x
S = S
1
+ S
2

(Hình c)

§
Bài 1
: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 132
Cách 2. Phương pháp đại số:
Ÿ Giải phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = 0 (*)
Ÿ Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn [a ; b].
Ÿ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn [a ; b] để bỏ dấu
giá trò tuyệt đối hoặc ta sử dụng trực tiếp công thức sau:

b
a
Sf(x)dx
=
ò

Ÿ Nếu (*) có nghiệm x = x
0
và f(x)
có bảng xét dấu như hình bên thì:

0
0
x
b
ax
Sf(x)dxf(x)dx.
=-
òò

Ghi chú:
(1) Diện tích S luôn là một giá trò dương (không có giá trò S £ 0).
(2) Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm
thêm hai đường x = a, x = b để làm cận tích phân, hai đường này chính là giao điểm
của (C) và trục Ox, là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 (theo phương pháp đại số).
Với câu hỏi đơn giản hơn như: “Tính diện tích giới hạn bởi đường (C) : y = f(x) thì ta
phải hiểu đó là sự giới hạn bởi (C) và trục hoành.
(3) Một số hàm có tính đối xứng như: parabol, đường tròn, elip, hàm giá trò tuyệt đối, một
số hàm căn thức; lợi dụng tính đối xứng ta tính một phần S rồi đem nhân hai, nhân ba,
(cũng có thể sử dụng tổng hoặc hiệu diện tích).
(4) Phần lớn dạng toán loại này ta nên dùng phương pháp đồ thò hiệu quả hơn; một số ít
phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thò khó.
x

a

x
0

b

f(x)

+ 0 –

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 133

Vấn đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C
1

), (C
2
)

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C
1
), (C
2
)

1
2
(C):yf(x)
(C):yg(x)
xa
xb(ab)
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï
=<
ỵ
được tính bởi công thức:
b
a

Sf(x)g(x)dx
=-
ò


2. Phương pháp giải toán:
Cách 1. Phương pháp đồ thò:
* Trên cùng mặt phẳng toạ độ ta vẽ 2 đồ thò:
12
(C):yf(x)và(C):yg(x)
==
.
a/ Trường hợp 1: (C
1
) không cắt (C
2
)
§ Xác đònh vò trí: Trên đoạn [a ; b] thì (C
1
) nằm trên
(C
2
) hay (C
2
) nằm trên (C
1
) bằng cách vẽ một
đường thẳng song song với trục tung Oy cắt hai
đồ thò tại M và N.
Khi đó nếu M ở trên N thì đồ thò chứa M sẽ nằm trên đồ thò

chứa N.
§ Nếu (C
1
) nằm trên (C
2
) thì:
b
a
S[f(x)g(x)]dx.
=-
ò
(h.2a)
§ Nếu (C
2
) nằm trên (C
1
) thì:
b
a
S[g(x)f(x)]dx.
=-
ò
(h.2b)
§ Trong trường hợp 1, ta có thể dùng trực tiếp công thức sau:

b
a
S[f(x)g(x)]dx.
=-
ò

b/ Trường hợp 2: (C
1
) cắt (C
2
) tại điểm I có hoành độ x
0
.

0
0
x
b
ax
Sg(x)f(x)dxf(x)g(x)dx
=-+-
òò

Hoặc dùng công thức sau:

0
0
x
b
ax
S[f(x)g(x)]dx[f(x)g(x)]dx
=-+-
òò

Cách 2. Phương pháp đại số:

§ Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
§ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét hiệu f(x) – g(x) để bỏ dấu “| |”.
§ Nếu (*) có một nghiệm x
0
thuộc khoảng (a ; b) thì:

y

x

0

M

N

a

b

(C
2
)

(C
1
)

S

(hình 2a)


y

x

0

M

N

a

b

(C
1
)

(C
2
)

S

(hình 2b)

x

y

0

a

x
0

b

S
2

S
1

I

(C
2
): y = g(x)

(C
1
): y = f(x)

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 134

0
x
b
aa
Sf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx
=-+-
òò

rồi xét lại từ đầu trên các đoạn
00
[a;x]và[x;b].

Ghi chú:
(1) Trong thực hành ta nên dùng phương pháp đồ thò.
(2) Khi giao điểm của (C
1
) và (C
2
) không chắc chắn như số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, ta nên
thực hiện thêm việc giải phương trình hoành độ f(x) = g(x) cho chính xác.
(3) Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là các cận của tích phân.
(4) Trên đây khi tính diện tích ta đã coi x là biến, y là hàm. Tuy nhiên trong một số
trường hợp ta coi y là biến của hàm x (nghóa là x = f(y)), khi đó việc tính diện tích sẽ
đơn giản hơn.
Trần Só Tùng Tích phân

Trang 135

Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG

§ Xét đại diện 4 đường
1234
(C),(C),(C),(C)
.
§ Ta dùng phương pháp đồ thò (duy nhất)
§ Vẽ 4 đường trên cùng một mặt phẳng
và xác đònh hoành độ giao điểm giữa chúng
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
§ Diện tích hình phẳng S cần tìm:
123
SSSS
=++


314
123
xxx
134342

xxx
S[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx[(C)(C)]dx.
Û=-+-+-
òòò

x

y

x
4

x
3

x
2

x
1

0

A

B

(C
3
)

(C
4
)

(C
1
)

(C
2
)

C

S
3

S
2

S
1

D