tích phân phổ thông trung học phần 8 pptx

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 106
phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận
tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa
chọn phương pháp giải rất quan trọng.
2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến
thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau:

01/2
1/20
1x1x
Icosx.lndxcosx.lndx
1x1x
-

ỉưỉư
=+
ç÷ç÷
++
èøèø
òò
. (1)
Xét tính chất
0
1/2
1x
Jcosx.lndx
1x
-
-
ỉư

=
ç÷
+
èø
ò

Đặt
xtdxdt
=-Þ=-

Đổi cận:
11
xt.
22
=-Þ=
x = 0 Þ t = 0.
Khi đó:

01/21/2
1/200
1t1t1x
Icos(t).lndtcost.lndtcosx.lndx
1t1t1x
+
ỉưỉưỉư
= =-=-
ç÷
ç÷ç÷
-++
èø

èøèø
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh
tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng.

Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì:
aa
a0
If(x)dx2f(x)dx.
-
==
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx

==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=

ò

Đặt
xtdxdt
=-Þ=-

Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t)
Khi đó:
0aaa
a000
Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx
= ===
òòòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
a
0
I2f(x)dx
=
ò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó
khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh:
a
a
If(x)dx
-
=

ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 107
bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân:
1
2
1
Ixdx.
-
=
ò

Ta không nên sử dụng phép biến đổi:
1
1
3
2
0
0
2x2
I2xdx.
33
===
ò

bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở
nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể:
1
3

1
x2
I.
33
-
==

2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc
biệt.
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
x
0
f(x)dx
If(x)dxvớiRvàa0.
a1
aa
+
-a
==">
+
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
0
xxx
0
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
I
a1a1a1

aa
-a-a
==+
+++
òòò

Xét tính phân
0
1
x
f(x)dx
I
a1
-a
=
+
ò

Đặt
xtdxdt
=-Þ=-

Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t).
Khi đó:
0
tt
1
ttt
00

f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt
I
a1a1a1
aa
-
a
-
===
+++
òòò

Vậy:
tx
txx
0000
af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx
If(x)dx.
a1a1a1
aaaa
+
====
+++
òòòò

Áp dụng:
Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
4
x
1

xdx
I
21
-
=
+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
01
44
xx
10
xdxxdx
I
2121
-
=+
++
òò
(1)
Xét tích phân
0
4
x
1
xdx
J
21

-
=
+
ò

Đặt x = –t Þ dx = –dt
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 108
Khi đó:
011
44t4x
ttx
100
(t)dtt.2.dtx.2.dx
J
212121
-
-
=-==
+++
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1111
4x44x
4
xxx
0000
x.2.dxxdxx(21)dx1

Ixdx.
5
212121
+
=+===
+++
òòòò


Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
0;
2
p
éù
êú
ëû
thì:
/2/2
00
f(sinx)dxf(cosx)dx.
pp
=
òò

CHỨNG MINH
Đặt
txdxdt
2
p
=-Þ=-

Đổi cận:
x0t,
2
p
=Þ=

xt0.
2
p
=Þ=

Khi đó:
/20/2/2
0/200
f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx
2
ppp
p
p
= ==
òòòò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân:

/2/2
00
If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx).
pp

==
òò

thường được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Bằng phép đổi biến
tx
2
p
=-
như trong phần chứng minh tính chất,
ta thu được
/2
0
If(cosx)dx.
p
=
ò

Bước 2: Đi xác đònh kI (nó được phân tích
/2/2
00
kIf(sinx)dxf(cosx)dx)),
pp
=a+b
òò

thường là:
/2/2/2
000
2If(sinx)dxf(cosx)dx[f(sinx)f(cosx)]dx

ppp
=+=+
òòò
.
Từ đó suy ra giá trò của I.
Áp dụng:
Ví dụ 3: Tính tích phân:
/2
n
nn
0
cosxdx
I
cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt
txdxdt
2
p
=-Þ=-

Đổi cận:
x0t,
2
p

=Þ=

xt0.
2
p
=Þ=

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 109
Khi đó:
n
0/2/2
nn
nnnn
nn
/200
cost(dt)
sintdtsinx
2
Idx.
costsintcosxsinx
costsint
22
pp
p
p
ỉư

ç÷
èø

===
pp
ỉưỉư++
-+-
ç÷ç÷
èøèø
òòò

Do đó:
/2/2
nn
nn
00
cosxsinx
2IdxdxI.
24
cosxsinx
pp
+pp
===Þ=
+
òò

Tính chất 5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì
bb
aa
ab
Ixf(x)dxf(x)dx.
2
+

==
òò

CHỨNG MINH
Đặt
xabtdxdt
=+-Þ=-

Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi đó:
ab
ba
I(abt)f(abt)(dt)(abt)f(t)dt
=+-+ +-
òò


bbbbb
aaaaa
(ab)f(t)dttf(t)dt(ab)f(t)dtxf(x)dx(ab)f(
t)dtI
=+-=+-=+-
òòòòò


bb
aa
ab
2I(ab)f(t)dtIf(x)dx.
2

+
Û=+Û=
òò

Hệ quả 1: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì:
Ixf(sinx)dxf(sinx)dx
2
p-ap-a
aa
p
==
òò

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:
Ví dụ 4: Tính tích phân:
2
0
xsinxdx
I.
4cosx
p
=
-
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
22
000

xsinxdxxsinxdx
Ixf(sinx)dx.
4(1sinx)3sinx
ppp
===
+
òòò

Đặt
xtdxdt
=p-Þ=-

Đổi cận: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p.
Khi đó:
0
2222
000
(t)sin(t)dt(t)sintdtsintdttsintdt
I
4cos(t)4cost4cost4cost
ppp
p
p-p-p-p
=-==-
-p
òòòò


222
000

d(cost)d(cost)d(cost)
I2I
4cost4costcost4
ppp
=-p-Û=-p=p

òòò


2
0
0
d(cost)1cost2ln9
I.ln.
224cost28
cost4
p
p
pp-p
Û===
+
-
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 110
Hệ quả 2: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì:
22
Ixf(cosx)dxf(cosx)dx.
p-ap-a

aa
==p
òò

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = 2p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:
Ví dụ 5: Tính tích phân:
2
3
0
Ix.cosxdx
p
=
ò

Giải:
Đặt
x2tdxdt
=p-Þ=-

Đổi cận: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p.
Khi đó:
02
33
20
I(2t).cos(2t)(dt)(2t).costdt
p
p
=p-p =p-
òò

222
33
000
2costdttcostdt(cos3t3cost)dtI
2
ppp
p
=p-=+-
òòò


2
0
1
2Isin3t3sint0I0.
23
p
p
ỉư
Û=+=Û=
ç÷
èø

Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì
b
a
If(x)dx0.
==

ò

CHỨNG MINH
Đặt
xabtdxdt
=+-Þ=-

Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi đó:
abb
baa
If(abt)(dt)f(t)dtf(x)dxI2I0I0.
=+ =-=-=-Û=Û=
òòò

Áp dụng:
Ví dụ 6: (CĐSPKT_2000) Tính tích phân:
/2
0
1sinx
Ilndx.
1cosx
p
+
ỉư
=
ç÷
+
èø
ò

Giải:
Đặt
txdxdt
2
p
=-Þ=-

Đổi cận:
x0t,
2
p
=Þ=

xt0.
2
p
=Þ=

Khi đó:
0/2
/200
1sint
1cost1sint
2
Iln(dt)lndtlndt
1sint1cost
1cost
2
pp

p
ỉưp
ỉư
+-
ç÷
ç÷
++
ỉưỉư
èø
=-==-
ç÷
ç÷ç÷
p
++ỉư
èøèø
ç÷
+-
ç÷
ç÷
èø
èø
òòò


/2
0
1sinx
lndxI2I0I0.
1cosx
p

+
ỉư
=-=-Û=Û=
ç÷
+
èø
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 111
Chú ý: Nếu ta phát biểu lại tính chất 6 dưới dạng:
“Giả sử f(x) lên tục trên [a ; b], khi đó:
ba
ab
f(x)dxf(abx)dx"
=+-
òò

Điều đó sẽ giúp chúng ta có được một phương pháp đổi biến mới, cụ thể ta xét
ví dụ sau:
Ví dụ 7: Tính tích phân:
/4
0
Iln(1tgx)dx.
p
=+
ò

Giải:
Đặt

txdxdt
4
p
=-Þ=-

Đổi cận:
x0t,
4
p
=Þ=

xt0
4
p
=Þ=

Khi đó:
0/4/4
/400
1tgt2
Iln[1tg(t)dtln(1)dtlndt
41tgt1tgt
pp
p
p-
=-+-=+=
++
òòò

/4/4/4
/4
0
000
[ln2ln(1tgt)]dtln2dtln(1tgt)dtln2.tI
ppp
p
=-+=-+=-
òòò


ln2ln2
2II.
48
pp
Û=Û=
Tính chất 7: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 2a] với a > 0 thì
2aa
a0
f(x)dx[f(x)f(2ax)]dx.
=+-
òò

CHỨNG MINH
Ta có:
2aa2a
a0a
f(x)dxf(x0dxf(x)dx
=+
òòò

(1)
Xét tích phân
2a
2
a
If(x)dx.
=
ò

Đặt
x2atdxdt
=-Þ=-

Đổi cận: x = a Þ t = a; x = 2a Þ t = 0.
Khi đó:
0aa
2
a00
If(2at)dtf(2at)dtf(2ax)dx
= =-=-
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) , ta được:

2aaaa
a000
f(x)dxf(x)dxf(2ax)dx[f(x)f(2ax)]dx
=+-=+-
òòòò
. (đpcm)

Áp dụng:
Ví dụ 8: Tính tích phân:
3
0
Isinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
p
=
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 112
Giải:
Viết lại I dưới dạng:

3/23
03/2
Isinx.sin2x.sin3x.cos5xdxsinx.sin2x.sin3
x.cos5xdx.
pp
p
=+
òò
(1)
Xét tích phân
3
3/2
Jsinx.sin2x.sin3x.cos5xdx.
p
p
=

ò

Đặt
x3tdxdt
=p-Þ=-

Đổi cận:
33
xt,
22
pp
=Þ=
x3t0.
=pÞ=

Khi đó:
0
3/2
Jsin(3t).sin2(3t).sin3(3t).cos5(3t)dt
p
=-p-p-p-p-
ò


3/23/2
00
sint.sin2t.sin3t.cos5tdtsinx.sin2x.sin3x
.cos5xdx.
pp
=-=-

òò
(2)
Thay (2) vào (1), ta được: I = 0.
Tính chất 8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì :
aTT
a0
f(x)dxf(x)dx.
+
=
òò

CHỨNG MINH
Ta có:
TaaTT
00aaT
f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
+
+
=++
òòòò
(1)
Xét tích phân
T
3
aT
If(x)dx.
+
=
ò

Đặt
txTdxdt
=-Þ=

Đổi cận: x = a + T Þ t = a; x = T Þ t = 0.
Khi đó:
0aa
3
a00
If(tT)dtf(t)dtf(x)dx.
=+=-=-
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) , ta được:
TaT
0a
f(x)dxf(x)dx.
+
=
òò
(đpcm)
Áp dụng:
Ví dụ 8: Tính tích phân:
2004
0
I1cos2xdx.
p
=-
ò

Giải:
Viết lại I dưới dạng:

2004242004
0022002
I2sinxdx2(sinxdxsinxdx sinxdx)
pppp
pp
==+++
òòòò
(1)
Theo tính chất 8, ta được:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 113

242
020
sinxdxsinxdx1002(sinxdxsinxdx)
pppp
pp
==-
òòòò


2
0
10022(cosxcosx)40082.
pp
p
=+=

Nhận xét: Như vậy nếu bài thi yêu cầu tính tích phân dạng trên thì các em học sinh nhất
thiết phải phát biểu và chứng minh được tính chất 8, từ đó áp dụng cho tích phân cần tìm.
BÀI TẬP
Bài 14. Tính các tích phân sau:
a/
2
1
x
1
1x
dx;
12
-
-
+
ò
b/
2
2
2
xcosx
dx;
4sinx
p
p
-
+
-
ò
c/

3
0
x.sinx.dx;
p
ò
d/
2
x
sinx
dx;
31
p
-p
+
ò

e/
22
2
x
2
x|sinx|
dx;
12
p
p
-
+
ò
f/

4
1
2
1
xsinx
dx;
x1
-
+
+
ò
g/
2
1
x22
1
(e.sinxe.x)dx;
-
+
ò

h/
1
32
1
ln(xx1)dx;
-
++
ò
i/

1
x2
1
dx
;
(e1)(x1)
-
++
ò
k/
7
2
77
0
sinx
dx.
sinxcosx
p
+
ò

ĐS: a/
;
4
p
b/
1
ln9;
2
c/

3
;
4
p
d/
;
2
p
e/
2;
p+

f/
4
;
23
p
-
g/
2
2
e;
3
h/
0;
i/
;
4
p
k/

.
4
p

Bài 15. Cho liên tục trên R và thoả mãn:
f(x)f(x)22cos2x,xR
+-=-"Ỵ

Tính tích phân
3
2
3
2
If(x)dx.
p
p
-
=
ò
ĐS: 6.
Bài 16. Chứng minh rằng:
tgcotg
11
22
ee
x.dxdx
1,(tg0)
x1x(x1)
aa
+=a>

++
òò
.
Bài 17. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
1
[0;)thỏamãnf(t)f,
t
ỉư
+¥=
ç÷
èø
với
t0
">
và
hàm số.
f(tgx),nếu0x
2
g(x)
f(0),nếux
2
p
ì
££
ï
ï
=
í
p
ï

=
ï
ỵ

Chứng minh rằng:
a/ g(x) liên tục trên
0;;
2
p
éù
êú
ëû
b/
2
4
0
4
g(x).dxg(x).dx.
p
p
p
=
òò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 114

Vấn đề 7: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ
(xem lại vấn đề 7 của bài học 1)

BÀI TẬP
Bài 18. Tính các tích phân sau:
a/
4
3
2
0
x1
dx;
x9
-
+
ò
b/
1
2
1
x.dx
;
(x2)
-
+
ò
c/
2
5
22
1
(2x18)dx
;

(x6x13)
+
-+
ò
d/
9
52
53
0
x.dx
;
(x1)
+
ò

e/
15
42
0
82
4
x.dx
;
(x1)
+
ò
f/
1
n
0

(1x)dx;
+
ò
g/
1
2n
0
x(1x)dx;
-
ò

ĐS: a/
20
18;
3
p
- b/
4
ln3;
3
-
c/
117
;
84
p
+
d/
2
;

45

e/
5
3525
.125;
192192
+ f/
n1
21
;
n1
+
-
+
g/
1
.
2(n1)
+

Bài 19. Tính các tích phân sau:
a/
3
2
8
1
x.dx
;
x1

+
ò
b/
1
3
2
2
0
x.dx
;
x3x2
-+
ò
c/
2
4
0
dx
;
x(x1)
+
ò

d/
tgacotga
11
22
ee
x.dxdx
,(tga0)

1xx(1x)
+>
++
òò
e/
2
b
22
0
(ax)dx
,(a,b0);
(ax)
-
>
+
ò

f/
26
2
2
4
1
x1
dx;
x1
+
+
+
ò

g/
15
2
2
42
1
(x1)dx
.
xx1
+
+
-+
ò

ĐS: a/
;
16
p
b/
12137
lnln;
4242
+ c/
132
ln;
417
d/
1;

e/

2
b
;
ab
+
f/
;
8
p
g/
.
4
p













Trần Só Tùng Tích phân
Trang 115
Vấn đề 8: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯNG GIÁC
(xem lại vấn đề 8 của bài học 1)

BÀI TẬP
Bài 20. Tính các tích phân sau:
a/
8
0
cos2x.dx
;
sin2xcos2x
p
+
ò
b/
3
4
4
0
4sinx.dx
;
1cosx
p
+
ò
c/
4
22
0
dx
;
sinx2sinxcosx8cosx

p
+-
ò

d/
4
66
0
sinx.dx
;
sinxcosx
p
+
ò
e/
66
4
x
4
sinxcosx
dx;
61
p
p
-
+
+
ò
f/
4

3
0
cos2x.dx
;
(sinxcosx2)
p
++
ò

g/
2
0
sinx7cosx6
dx;
4sinx3cosx5
p
++
++
ò
h/
2
0
2222
sinx.cosxdx
dx(a,b0)
a.cosxb.sinx
p
¹
+
ò

ĐS: a/
1
ln2;
168
p
+ b/
322
2ln;
2
+
c/
12
ln;
65
d/
2
ln4;
3

e/
5
;
32
p
f/
2
8582
;
27

(22)
+
-
+
g/
91
ln;
286
p
++
h/
1
.
|b||a|
+

Bài 21. Tính các tích phân sau:
a/
3
2
6
cisx.dx
;
sinx
p
p
ò
b/
4
0

cosxsinx
dx;
2sin2x
p
-
+
ò
c/
3 3
2
3
3
cotg.sinxsinx.dx
;
sinx
p
p
-
ò

d/
3
0
x.sinx.cosx.dx;
p
ò
e/
3
2
3

x.sinx.dx
;
cosx
p
p
-
ò
f/
43
0
xcosx.sinx.dx.
p
-
ò

ĐS: a/
ln(21);
+
b/
32
ln;
21
ỉư
+
ç÷
+
èø
c/
3
9

;
24
-
d/
;
3
p
e/
4
2ln(23);
3
p
-+ f/
4
.
35
p

Bài 22. Tìm hai số A, B để hàm số
2
sin2x
f(x)
(2sinx)
=
+
có thể biểu diễn dưới dạng:
2
A.cosxB.cosx
f(x).
2sinx

(2sin)
=+
++

Từ đó tính:
0
2
f(x).dx.
p
-
ò

ĐS: A = –4; B = 2; ln4 – 2.
Bài 23. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
x.cosx.dx;
p
ò
b/
2
2
2
4
cos(x).dx;
p
p
ò

c/
3
2
4
x.dx
;
sinx
p
p
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 116
d/
2
4
0
x.tgx.dx;
p
ò
e/
3
3
8
0
sinx.dx;
p
ò
f/
2x

2
0
x
x.sin.dx;
2
ò

ĐS: a/
2
2;
4
p
-
b/
2
31
;
82
p
+
c/
(943)
;
36
p-

d/
2
1
ln2;

4232
pp
e/
36;
p-
f/
2
8(4).
-p+

Bài 24. Tính các tích phân sau:
a/
n1
0
sinx.cos(n1).dx,(nN,n1);
p
-
+Ỵ³
ò
b/
n1
0
cosx.sin(n1)x.dx;
p
-
-
ò

c/
n

2
0
cosx.sin(n1)x.dx;
p
+
ò
d/
n
2
0
cosx.sin(n2)x.dx.
p
+
ò

ĐS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/
1
.
n1
+

Bài 25. Tính các tích phân sau:
a/
2
0
I(cosxsinx)dx;
p
=-
ò
b/

n
2
nn
0
cosx.dx
I;
cosxsinx
p
=
+
ò

c/
2
3
0
5cosx4sinx
I;
(cosxsinx)
p
-
=
+
ò
d/
2
22
0
3sinx4cosx
Idx.

3sinx4cosx
p
+
=
+
ò

ĐS: a/ 0; b/
;
4
p
c/
1
;
2
d/
ln3.
23
p
+

Bài 26. Đặt:
22
66
00
sinx.dxcosx.dx
IvàJ.
sinx3cosxsinx3.cosx
pp
==

++
òò

a/ Tính: I – 3J và I + J.
b/ Từ các kết quả trên hãy tính các giá trò của I, J và K :
5
3
3
2
cos2x.dx
K.
cosx3sinx
p
p
=
-
ò

ĐS: a/
1
I3J13;IJln3;
4
-=-+= b/
131
Kln3.
82
-
=-
Bài 27.a/ Chứng minh rằng:
65

22
00
cosx.cos6x.dxcosx.sinxsin6x.dx
pp
=
òò

b/ Tính:
57
2
0
Jcosx.cosx.dx.
p
=
ò

ĐS: b/ J = 0.




Trần Só Tùng Tích phân
Trang 117
Vấn đề 9: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
(xem lại vấn đề 9 của bài học 1)

BÀI TẬP
Bài 28. Tính các tích phân sau:
a/
3

3
2
2
x1dx
.;
x1
(x1)
-
ỉư
ç÷
+èø-
ò
b/
6
4
x4dx
.;
x2x2
-
++
ò
c/
1
0
x
.(x2).dx;
4x
-
-
ò

d/
2
2
0
1x
.dx;
1x
+
-
ò
e/
1
*
0
m
mm
dx
,mN.
(1x).1x
Ỵ
++
ò

ĐS: a/
33
3
(32);
2
- b/

ln31;
-
c/
4;
p-

d/
1
(422);
4
p+- e/
m
1
1.
2
-

Bài 29. Tính các tích phân sau:
a/
4
2
2
dx
;
x16x
-
ò
b/
6
23

2
dx
;
xx9
-
ò
c/
1
32
0
x.1xdx;
+
ò

d/
2
22
1
x4x.dx;
-
-
ò
e/
2
23
0
x(x4).dx;
+
ò
f/

3
223
2
0
x.(3x).
-
ò

ĐS: a/
1
lntg;
412
p
ỉư
-
ç÷
èø
b/
;
18
p
c/
2
(21);
15
-

d/
53
;

64
p
- e/
32
(421);
5
-
f/
9
(493).
64
p+
Bài 30. Tính các tích phân sau:
a/
2
4
43
3
x4
dx;
x
-
ò
b/
2
1
2
2
2
1x

.dx;
x
-
ò
c/
1
2
1
2
4
dx
;
xx
-
ò
d/
2
1
0
2
x.dx
;
2xx
-
ò

e/
a
222
0

xxx.dx;
-
ò
f/
2a
2
0
x2axx.dx;
-
ò
g/
n
a
n1
2
0
22n
x.dx
(a0;n2).
ax
-
>³
-
ò

ĐS: a/
1
(43);
3
-p

b/
1
(4);
4
-p
c/
;
6
p
d/
1
(38);
4
p-

e/
4
a
;
16
p
f/
3
a
;
2
p
g/
.
6n

p

Bài 31. Tính các tích phân sau:
a/
2
0
dx
;
x3x1
p
+++
ò
b/
1
1
2
dx
;
1x1x
-
+++
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 118
c/
2
1
22
dx

;
x(x1x)
++
ò
d/
8
4
2
(2x1)dx
;
x4xx2
+
-++
ò

ĐS: a/
19
32;
6
b/ 1;
c/
(25)(21)225
ln;
22
+
+ d/
1
832ln(322).
2
+

Bài 32. Cho
n
a
0
33
x.dx
I;(a0,nN)
xa
=>Ỵ
+
ò

a/ Với giá trò nào của n thì I không phụ thuộc vào a.
b/ Tính I với n tìm được.
ĐS: a/
1
n;
2
=
b/
2
ln(12).
3
+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 119
Vấn đề 10: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SIÊU VIỆT
(xem lại vấn đề 10 của bài học 1)

BÀI TẬP
Bài 33. Tính các tích phân sau:
a/
ln2
2x
0
1e.dx;
-
ò
b/

xx
ln5
x
0
e.e1
dx;
e3
-
+
ò
c/
e
1
2
dx
;
x1lnx
-
ò

d/
e
2
1
dx
;
x(1lnx
+
ò
e/

2
e
1
1lnx
dx;
x
+
ò
f/
3
2
e
1
lnx1lnx
.
x
+
ò

ĐS: a/
123
3ln;
2
23
ỉư
-
+
ç÷
+
èø

b/
4;
-p
c/
;
6
p

d/
;
4
p
e/
21
ln(12);
22
++ f/
3
3
(161).
8
-

Bài 34. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
lnx
dx;

x
ò
b/
2
e
2
e
11
dx;
lnxlnx
ỉư
-
ç÷
èø
ò
c/
3
2
e
e
ln(lnx).dx
;
x
ò

d/
1
0
ln(x1).dx
;

x1
+
+
ò
e/
e
2
1
lnx.dx
;
(x1)
+
ò
f/
3
2
6
ln(sinx).dx
.
cosx
p
p
ò

ĐS: a/
1
(12ln2);
2
- b/
2

1
(2ee);
2
- c/
27
ln;
4e

d/
2ln4424;
-+
e/ 0; f/
333
ln.
326
p
-

Bài 35. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
log(1tgx).dx;
p
+
ò
b/
4
0

ln(1tgx)dx;
p
+
ò

c/
1cosx
2
0
(1sinx)
lndx;
1cosx
p
+
+
+
ò
d/
x
1
x3
0
x.edx
;
(1e)
+
ò

ĐS: a/
;

8
p
b/
ln2;
8
p
c/
2ln21;
-
d/
2
2
e4e11e1
ln.
224(e1)
+++
ỉư
-
ç÷
èø
+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 120

Vấn đề 11: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Để giải phương trình, bất phương trình tích phân thông thường trước tiên ta cần đi
xác đònh tích phân trong phương trình, bất phương trình đó, sau đó sẽ thu được một
phương trình, bất phương trình đại số quen thuộc.

BÀI TẬP
Bài 36. Giải và biện luận phương trình sau với ẩn x:
x
0
2(mtm2)dt3m
-+=-
ò

ĐS: · m > 4 : vô nghiệm
· m = 4 :
12
1
xx
2
==

· m = 0 :
3
x
4
=

·
1,2
m24m
0m4:x
m
-±-
¹<=

Bài 37. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
1
11
(t)dtm
t2
-=-
ò

ĐS: ·
1
m
2
<
: vô nghiệm
·
1
m
2
=
: x = 1
·
1
m
2
>
: 2 nghiệm
Bài 38. Cho
x
2t2t

0
I(x)(ee)dt.
-
=+
ò

a/ Tính I(x) khi x = ln2
b/ Giải và biện luận phương trình: I(x) = m.
ĐS: a/
15
;
8
b/
2
xlnm1m,m
=++"

Bài 39. Giải các phương trình sau với ẩn x (x > 0) :
a/
x
1
e
1lnt
dt18;
t
+
=
ò
b/
x

2
2
dt
;
2
tt1
p
=
-
ò
c/
x
t
0
e1.dt2;
2
p
-=-
ò

d/
2
x
t1xx
0
1
(2.ln22t2)dt2.
2

-+=+

ò
e/
x
t1
7
0
7.ln7dt6log(6x5),vớix1.
-
=-³
ò