tích phân phổ thông trung học phần 7 pot

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 91
ĐS: a = 3
Bài 4. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx.
a/ Tìm các số A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x)
b/ Tính
4
0
g(x)
dx.
f(x)
p
ò

ĐS: a/
21
A;B;
55
==-
b/
17
ln
105
42
p
-

Bài 5. Tìm các hằng số A, B để hàm số f(x) = Asinpx + B thoả mãn đồng thời các điều
kiện:
2
0

f'(1)2vàf(x)dx4.
==
ò

ĐS:
2
A;B2.
=-=
p





Tích phân Trần Só Tùng
Trang 92

Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng cơ bản (ngoài ra
còn dạng 3) dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a. Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)
=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì:

(b)
(b)

(a)
(a)
f(u)duF(u)
j
j
j
j
=
ò

b. Nếu hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh và
(i) Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a; b]
(ii) j ( a ) = a và j(b) = b.
(iii) Khi t biến đổi từ a đến b thì x biến thiên trong đoạn [a ; b]
Khi đó:
b
a
f(x)dxf[(t)]'(t)dt.
b
a
=jj
òò


Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tsch phân
b
a
If(x)dx.
=
ò

Giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó:
Ig(t)dt.
b
a
=
ò

Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông
thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax
-

xasintvới/2t/2
xacostvới0t
é
=-p££p
ê
=££p
ë

22

xa
-

a
xvớit[;]\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
=Ỵ-
ê
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax
+

xatgtvới/2t/2
xacotgtvới0t
é
=-p<<p
ê
=<<p
ë

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 93
Dấu hiệu Cách chọn
axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)


2
xa(ba)sint
=+-

Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : =
-
ò
2
2
2
0
2
x
Idx.
1x

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt
Đổi cận: với x= 0 Þ t = 0;
2
xt.
24
p
=Þ=

Ta có:
2222
22
xdxsint.costdtsint.costdtsintcostdt1
(1cos2t)dt.
costcost2
1x1sint
====-


Khi đó:
/4
/4
0
0
1111
I(1cos2t)dttsin2t.
22284
p
p
p

ỉư
=-=-=-
ç÷
èø
ò

Ví dụ 2: Tính tích phân :
2/3
2
2
dx
I
xx1
=
-
ò

Giải:
Đặt
2
1cost
x,khiđó:dxdt
sint
sint
==-
Đổi cận: với x= 1 Þ t = p/2;
2
xt.
3
3

p
=Þ=

Khi đó:
/2/2
2
/2
/3
/3/3
2
1
costdt
sint
dtt
1
6
1
sint1
sint
pp
p
p
pp
-
p
===
-
òò

Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi:

2/3
2
2
2
dx
I
1
x1
x
=
-
ò
.
Từ đó sử dụng phép đổi biến
1
t,
x
=
ta sẽ nhận được:
3/2
2
1/2
dt
I.
1t
=
-
ò

Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta được

/3
/3
/6
/3
Iduu.
6
p
p
p
p
p
===
ò

Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 94
GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây.
Ví dụ 3: Tính tích phân :
0
a
ax
Idx,(a0)
ax
+
=>
-
ò

Giải:

Đặt
xa.cos2t,khiđó:dx2a.sin2tdt.
==-

Đổi cận: với xat
2
p
=-Þ=
; x0t
4
p
=Þ=

Ta có:
axaa.cos2t
dx(2a.sin2tdt)cotgt(2a.sin2tdt)
axaa.cos2t
++
=-=-



2
4a.cost.dt2a(1cos2t)dt.
=-=-+
Khi đó:
/2
/2
/4
/4

1
I2a(1cos2t)dt2atsin2ta1
24
p
p
p
p
p
ỉưỉư
=-+= =-
ç÷ç÷
èøèø
ò
.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân
b
a
If(x)dx.
=
ò

Giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác đònh x =
y(x) (nếu có thể).
Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt
Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó:

Ig(t)dt.
b
a
=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Dấu hiệu Cách chọn
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm
f(x,(x))
j
t(x)
=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹

Hàm
1

f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb
=+++

· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb
= +

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 95
Ví dụ 4: Tính tích phân :
/3
2
/6
cosdx
I
sinx5sinx6
p
p
=
-+
ò

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx

Đổi cận: với
1
xt
62
p
=Þ=
;
3
xt
32
p
=Þ=
Ta có:
22
cosdxdtdt
(t2)(t3)
sinx5sinx6t5t6
==

-+-+

AB[(AB)t2A3B]dt
dt
t3t2(t2)(t3)
+
ỉư
=+=
ç÷

èø

Từ đó:
AB0A1
2A3B1B1
+==
ìì
Û
íí
==-
ỵỵ

Suy ra:
2
cosxdx11
dt.
t3t2sinx5sinx6
ỉư
=-
ç÷
+
èø

Khi đó:
3/2
3/2
1/2
1/2
11t33(63)
Idtlnln
t3t2t2

5(43)

ỉư
=-==
ç÷

èø
-
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân :
7
3
3
2
0
xdx
I
1x
=
+
ò

Giải:
Đặt
3
232
tx1tx1,
=+Þ=+
khi đó:

2
2
3tdt
3tdt2xdxdx.
2x
=Þ=
Đổi cận: với x = 0 Þ t = 1;
x7t2.
=Þ=

Ta có:
332
34
3
2
xdxx.3tdt
3t(t1)dt3(tt)dt.
2xt
1x
==-=-
+

Khi đó:
2
2
52
4
1
1
tt141

I3(tt)dt3.
5210
ỉư
=-=-=
ç÷
èø
ò


Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân
b
a
If(x)dx.
=
ò

Giải:
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích
phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:
· Với
a
a
If(x)dx0
-
==
ò
có thể lựa chọn việc đặt x = –t
· Với
/2
0

If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt
tx.
2
p
=-

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 96
· Với
0
If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt t = p – x
· Với
2
0
If(x)dx
p
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt t = 2p – x
· Với
b
a

If(x)dx
=
ò
có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t
Ghi chú: Xem vấn đề 6
Ví dụ 6: Tính tích phân :
1
2004
1
Ixsinxdx
-
=
ò

Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
01
20042004
10
Ixsinxdxxsinxdx.
-
=+
òò
(1)
Xét tích phân
0
2004
1
Jxsinxdx.
-

=
ò

Đặt
xtdxdt
=-Þ=-
khi đó:
2
2
3tdt
3tdt2xdxdx.
2x
=Þ=
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1; x = 0 Þ t = 0
Khi đó:
01
20042004
10
I(t)sin(t)dtxsinxdx.
= =-
òò

Thay (2) vào (1) ta được I = 0. (2)
Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân :
/2
4
44
0
cosx
Idx.

cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt
txdxdt
2
p
=-Þ=-

Đổi cận: với x = 0 Þ t =
2
p
;
xt0.
2
p
=Þ=

Khi đó:
4
0/2/2
44
4444
44
/200
cos(t)(dt)

sintdtsinx
2
Idx.
costsintcosxsinx
cos(t)sin(t)
22
pp
p
p

===
pp
++
-+-
òòò

Do đó:
/2/2
44
44
00
cosxsinx
2IdxdxI.
24
cosxsinx
pp
+pp
===Þ=
+
òò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 97
BÀI TẬP
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a/
1
536
0
x(1x)dx;
-
ò
b/
1
42
0
xdx
xx1
++
ò
c/
3
52
0
x1xdx;
-
ò

d/
3
2
2
0
sinx.cosx
dx
1cosx
p
+
ò

ĐS: a/
1
;
168
b/
3
18
p
c/
848
;
105
d/
11
ln2.
22
-
Bài 7. Tính các tích phân sau:

a/
6
2
0
cosx.dx
;
65sinxsinx
p
-+
ò
b/
2
0
cosx
dx;
7cos2x
p
+
ò

c/
1
x
1
cosx.dx
;
e1
-
+
ò

d/
2
0
x.sinx.cosxdx
p
ò

ĐS: a/
10
ln;
9
b/
2
;
12
p
c/
sin1;
d/
;
3
p

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 98

Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức:
b

b
b
a
aa
udvuvvdu=-
òò


Bài toán1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh
b
a
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
bb
12
aa
If(x)dxf(x).f(x)dx.
==
òò

Bước 2: Đặt:
1
22
uf(x)
du

dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ
ỵ

Bước 3: Khi đó:
b
b
a
a
Iuvvdu.
=-
ò

Chúng ta cần nhớ lại các dạng cơ bản:
Dạng 1:
IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)
=aa
òò
với P là một đa thức thuộc R[x] và
*
R

khi đó đặt u = P(x).
Dạng 2:

axax
Iecos(bx)(hoặcesin(bx))
=
òò
với
a,b0
¹
khi đó đặt u = cos(bx) hoặc u =
sin(bx)).
Dạng 3:
xx
IP(x)edx(hoặcIP(x)edx)
aa
==
òò
với P là một đa thức thuộc R[x] và
*
R


khi đó ta đặt u = P(x).
Dạng 4:
Ix.lnxdx,vớiR\{1}
a
=-
ò
khi đó đặt u = lnx.
Ví dụ 1: Tính tích phân:
/2
2

0
I(x1)sinxdx.
p
=+
ò

Giải:
Đặt:
2
du2xdx
u(x1)
vcosx
dvsinxdx
ì =
=+ì
Û
íí
=-
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
/2/2
/2
2
0
00
I(x1)cosx2xcosxdx12xcosxdx
pp

p
=-++=+
òò
(1)
Xét tích phân
/2
0
Jxcosxdx.
p
=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 99
Đặt:
uxdudx
dvcosxdxvsinx
==
ìì
Û
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
/2
/2/2
00
0
Jxsinxsinxdxcosx1

22
p
pp
pp
=-=+=-
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
I1211.
2
p
ỉư
=+-=p-
ç÷
èø

Ví dụ 2: (Đề 37). Tính tích phân:
2x2
0
Iesinxdx.
p
=
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
2x22x
00
1
Iesinxdxe(1cos2x)dx

2
pp
==-
òò
(1)
· Xét tích phân:
2
2x2x
1
0
0
1e1
Iedxe
222
p
p
p
===-
ò
(2)
· Xét tích phân:
2x
2
0
Iecos2xdx
p
=
ò

Đặt:

2x
2x
du2sin2xdx
ucos2x
1
ve
dvedx
2
=-
ì
=
ì
ï
Û
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
2
2x2x2x
2
0
00
1e1
Iecos2xesin2xdxesin2xdx
222

p
pp
p
=+=-+
òò
(3)
· Xét tích phân:
2x
2,1
0
Iesin2xdx
p
=
ò

Đặt:
2x
2x
du2cos2xdx
usin2x
1
ve
dvedx
2
=
ì
=
ì
ï
Û

íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
2
2x2x
2,12
0
0
I
1
Iesinecos2xdxI.
2
p
p
=-=-
ò
1442443
(4)
Thay (4) vào (3), ta được:
22
222
e1e1
III.
2244
pp

= Û=-
(5)
Thay (2), (5) vào (1), ta được:
22
2
1e1e11
I[()](e1).
222448
pp
p
= =-

Ví dụ 3: (ĐHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phân:
2
2
1
ln(1x)
Idx.
x
+
=
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 100
Giải:
Đặt:
2
1
uln(1x)

dudx
1x
dx
1
dv
v
x
x
ì
=+
=
ì
ï
ïï
+
Û
íí
=
ïï
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
2
22
1
11
11111

Iln(x1)dxln3ln2dx
xx(x1)2x1x
ỉư
=-++=-+++
ç÷
++
èø
òò


2
1
13
ln3ln2(ln|x|ln(x1))ln33ln2.
22
=-++-+=-+

BÀI TẬP
Bài 8. Tính các tích phân sau:
a/
x
2
0
e.sin3xdx;
p
ò
b/
1
2x
0

(x1)edx;
+
ò
c/
e
2
1
(x.lnx)dx;
ò

d/
1
2
0
xln(x1)dx
+
ò
e/
2
0
cosx.ln(1cosx)dx;
p
+
ò
f/
e
1
2
e
lnx

dx.
(x1)+
ò

ĐS: a/
x
32e
;
13
-
b/
2
5e1
;
4
-
c/
3
7e1
27
-
d/
1
ln2;
2
-
e/
1;
2
p

-
f/
2e
.
e1
+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 101

Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Tính tích phân:
b
a
If(x,m)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b]
Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử:
112k
[a,b][a,c][c,c] [c,b].
=ÈÈÈ

mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu.
Bước 2: Khi đó:
12

1k
cc
b
acc
If(x,m)dxf(x,m)dx f(x,m)dx.
=+++
òòò

Ví dụ 1: Tính tích phân:
4
2
1
Ix3x2dx
-
=-+
ò

Giải:
Ta đi xét dấu hàm số
2
f(x)x3x2
=-+
trên [–1, 4], ta được:
x –1 1 2 4
f(x) + 0 – 0 +
Khi đó:
124
222
112
I(x3x2)dx(x3x2)dx(x3x2)dx

-
=-+ ++-+
òòò


124
323232
112
13131319
xx2xxx2xxx2x.
3232322
-
ỉưỉưỉư
=-+ ++-+=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham
số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi
phổ thông sau:
Dạng 1: Với tích phân:
b
a
Ixdx.
=-a
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với
x[a,b]

Ỵ
cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a ³ b thì:

b
b
2
a
a
x1
I(x)dxx(ab)(ab2)
22
ỉư
=a-=a-=-+-a
ç÷
èø
ò

Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 102

b
b
22
a
a
xx
I(x)dx(x)dx(x)(x)
22

a
a
a
a
=a-+-a=a-+-a
òò

222
1
(ab)(ab).
2
=a++a++
Trường hợp 3: Nếu a £ a thì:

b
b
2
a
a
x1
I(x)dx(x)(ab)(2ab).
22
=-a=-a=-a
ò


Dạng 2: Với tích phân:
b
2
a

Ixxdx.
=-a+b
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khi đó với
x[a,b]
Ỵ
cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
2
40
D=a-b£
thì:
b
2
a
I(xx)dx
=+a+b
ò

Trường hợp 2: Nếu D > 0 thì
2
xx0
+a+b=
có hai nghiệm phân biệt
12
xx.
<

· Nếu
1212
xxahoặcbxx
<££<
thì:
b
2
a
I(xx)dx.
=+a+b
ò

· Nếu
12
xabx
£<£
thì:
b
2
a
I(xx)dx.
=+a+b
ò

· Nếu
12
xaxb
£<<
thì:
2

2
x
b
22
ax
I(xx)dx(xx)dx.
=-+a+b++a+b
òò

· Nếu
12
axbx
£<£
thì:
1
1
x
b
22
ax
I(xx)dx(xx)dx.
=+a+b-+a+b
òò

· Nếu
12
axxb
£££
thì:
12

12
xx
b
222
axx
I(xx)dx(xx)dx(xx)dx.
=+a+b-+a+b++a+b
òòò

Chú ý: Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x
1
, x
2
có thể được so sánh tự nhiên với
các cận a, b để giảm bớt các trường hợp cần xét và đây là điều các em học sinh cần lưu
tâm.
Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân:
1
0
Ix.xadx(a0)
=->
ò

Giải:
Ta đi xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ³ 1
Khi đó:
1
11
32

2
00
0
xaxa1
Ix.(xa)dx(xax)dx.
3223
ỉư
= = = =-
ç÷
èø
òò

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 103
Khi đó:
a1a1
22
0a00
Ix.(xa)dxx.(xa)dx(xax)dx(xax)dx
= +-= +-
òòòò


a1
32323
0a
xaxxaxaa1
.
3232323

ỉưỉư
= +-=-+
ç÷ç÷
èøèø


BÀI TẬP
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a/
5
3
(|x2||x2|dx;
-
+
ò
b/
1
2
1
(|2x1|(x|)dx;
-

ò
c/
1
42
1
|x|dx
;
xx12

-

ò

d/
4
2
1
x6x9dx;
-+
ò
e/
1
1
4|x|.dx;
-
-
ò
f/
1
1
|x|xdx
-
-
ò

g/
3
x
0

|24|dx;
-
ò
h/
3
32
0
x2xxdx.
-+
ò

ĐS: a/
8;
b/
3
2
c/
23
ln;
74
d/
5
;
2

e/
2(53);
- f/
22
;

3
g/
1
4;
ln2
+ h/
2438
.
15
+

Bài 10. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
|sinx|dx;
p
p
-
ò
b/
0
22cos2xdx
p
+
ò

c/
0
1sin2xdx;

p
-
ò
d/
2
0
1sinx.dx.
p
+
ò

ĐS: a/ 2; b/ 4; c/
22;
d/
42.

Bài 11. Cho
1
x
0
I(t)|et|.dx,tR
=-Ỵ
ò

a/ Tính I(t).
b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của I(t), với
tR.
Ỵ

ĐS: a/

t1e,te
2t.lnt3te1,1te
et1,t1
+-³
ì
ï
-++<<
í
ï
£
ỵ
b/
2
minI(t)(31),te.
=-=
Bài 12. Tính các tích phân sau:
a/
1
0
|xm|dx;
-
ò
b/
2
2
1
|x(a1)xa|dx.
-++
ò

ĐS: a/
2
1
m,m0
2
1
mm,0m1.
2
ì
-£
ï
ï
í
ï
-+<£
ï
ỵ
b/
3
3a5
,a2
6
(a1)3a5
,1a2
36
53a
,a1
6
-
ì

³
ï
ï
ï

-<<
í
ï
ï
-
£
ï
ỵ




Tích phân Trần Só Tùng
Trang 104
Vấn đề 5: CÁCH TÍNH:
òò
bb
aa
max[f(x),g(x)]dx,min[f(x),g(x)]dx.


Phương pháp:
· Ta tìm
max[f(x),g(x)],min[f(x),g(x)
bằng cách xét hiệu:

f(x)g(x)
-
trên đoạn [a ; b]
· Giả sử ta có bảng xét dấu:



Từ bảng xét dấu ta có:
– với
x[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x)
Ỵ=

– với
x[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x).
Ỵ=

· Từ đó:
bcb
aac
max[f(x),g(x)dx[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x
)]dx
=+
òòò


cb
ac
f(x).dxg(x).dx
=+
òò

· Cách tìm
min[f(x),g(x)]
thực hiện tương tự.

Ví dụ: Tính tích phân:
2
0
Imax[f(x),g(x)]dx,
=
ò
trong đó
2
f(x)xvàg(x)3x2.
==-

Giải:
Xét hiệu:
2
f(x)g(x)x3x2
-=-+
trên đoạn [0 ; 2] :



Do đó:
– Với
2
x[0;1]thìmax[f(x);g(x)]x
Ỵ=

– Với
x[1;2]thìmax[f(x);g(x)]3x2
Ỵ=-

Ta có:
12
01
Imax[f(x);g(x)]dxmax[f(x);g(x)]dx
=+
òò


1
2
3
12
22
01
0
1
x3
xdx(3x2)dxx2x
32
1317
642.
326
ỉư
=+-=+-
ç÷

èø
=+ +=
òò

BÀI TẬP
Bài 13. Tính các tích phân sau:
a/
2
2
0
max(x;x)dx;
ò
b/
2
2
1
min(1;x)dx;
ò

c/
2
3
0
min(x;x)dx;
ò
d/
2
0
(sinx,cosx)dx.
p

ò

ĐS: a/
55
;
6
b/
4
;
3
c/
7
;
4
d/
22.
-


x

a

c

b

f(x) – g(x) + 0 –

x

0

1

2

f(x) – g(x) + 0 –

0

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 105
Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Trong vấn đề này ta đi chứng minh rồi áp dụng một số tính chất cho những lớp tích
phân đặc biệt.

Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì:
a
a
If(x)dx0.
-
==
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0

If(x)dxf(x)dxf(x)dx

==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt
xtdxdt
=-Þ=-

Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t).
Khi đó:
0aa
a00
Jf(t)dtf(t)dtf(x)dx.
= =-=-
òòò

Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (đpcm).
Áp dụng:
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1/2

1/2
1x
Icosx.lndx.
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+
èø
ò

Giải:
Nhận xét rằng: hàm số
1x
f(x)cosx.ln
1x
-
ỉư
=
ç÷
+
èø
có:
· Liên tục trên
11
;
22
éù

-
êú
ëû

·
1x1x
f(x)f(x)cosx.lncos(x).ln
1x1x

ỉưỉư
+-=+-
ç÷ç÷
++
èøèø


1x1x
lnlncosxln1.cosx0.
1x1x
éù-+
ỉưỉư
=+==
ç÷ç÷
êú
+-èøèø
ëû


f(x)f(x).
Þ-=-

Vậy, f(x) là hàm lẻ trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû
, do đó theo tính chất 1 ta được I = 0.
Chú ý quan trọng:
1. Khi gặp dạng tích phân trên thông thường học sinh nghó ngay tới phương pháp tích