tích phân phổ thông trung học phần 6 doc

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 76
n2
(AxB)dx
I
(x)axbxc
+
=
l+m++
ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I
(x1)x2x2
=
+++
ò

Giải:
Đặt:
11
tx1
x1t
=Þ=-
+

suy ra:
2
1

dxdt,
t
=-
2
2
2
22
2
dt
1
khit0
t()dt
dxdt
1t
t
dt
11
(x1)x2x2
khit0
1t.1
tt
1t
ì
->
ï
-
+
ï
==-=
í

+++
ï
<
++
ï
+
ỵ

Khi đó:
Ÿ Với t > 0, ta được:

2
2
2
dt11
Ilnt1tCln1C
x1 (x1)
1t
=-=-+++=-+++
+ +
+
ò


22
2
1x2x2x11x2x2
lnClnClnC.
x1x1
1x2x2

++++-++
=-+=+=+
++
+++

Ÿ Với t < 0, ta được:

2
2
2
dt11
Ilnt1tCln1C
x1
(x1)
1t
==+++=+++
+
+
+
ò
2
1x2x2
lnC.
x1
-++
=+
+

Tóm lại với
t0x1

¹Û¹-
ta luôn có:
2
1x2x2
IlnC.
x1
-++
=+
+


3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử
dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét.
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
2
Ixadx
=+
ò

Giải:
Đặt:
2
2
xdx
du
uxa
xa

dvdx
vx
ì
=
ì
ïï
=+
Þ
+
íí
=
ï
ï
ỵ
=
ỵ

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 77
Khi đó:
2
2
2
xdx
Ixxa
xa
=+-
+
ò
(1)

Với
22
2
222
xdx[(xa)a]dxdx
Jxadxa
xaxaxa
+-
===+-
+++
òòòò


2
IalnxxaC.
=-+++
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2222
xa
Ixxa(IalnxxaC)IxalnxxaC.
22
=+ +++Û=+++++

4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
Dạng 1: Tính tích phân bất đònh
xa
Idx,vớia0
xa
-

=>
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Vì điều kiện
xa
xa'
³
é
ê
<-
ë

Ta xét hai trường hợp:
· Với
xa
³
thì:
222222
xaxa2xdxdx
dxdxa
xa
xa2xaxa

==-
+

òòòò

2222
xalnxxaC.
= +-+

· Với x < –a thì:
222222
xaaxdx2xdx
dxdxa
xa
xaxa2xa

==-
+

òòòò


2222
lnxxaxaC.
=+ +

Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x1
Idx
x1
-
=
+
ò

Giải:
Vì điều kiện
x1
x1
³
é
ê
<-
ë
. Ta xét hai trường hợp:
· Với
x1
³
. Ta có:
22
222
x12xdxdx
Idxx1lnxx1C
x12x1x1
-
==-= +-+

òòò

· Với x < –1. Ta có:

22
222
1xdx2xdx

Idxlnxx1x1C
x1x12x1
-
==-=+ +

òòò


Dạng 2: Tính tích phân bất đònh
dx
I,vớia0vàbc0.
axbaxc
=¹-¹
+++
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 78
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

1
I(axbaxc)dx
bc
=+++
-
ò
1/21/2
1
[(axb)d(axb)(axc)d(axc)]

a(bc)
=+++++
-
òò


33
2
[(axb)(axc)]C
2a(bc)
=++++
-

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh:
dx
Ix1
x1
=+-
+
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

1/21/2
33
11
I(x1x1)dx[(x1)d(x1)(x1)d(x1)]
22
1

[(x1)(x1)]C
3
=++-=+++
=++-+
òòò

Chú ý: Một phép biến đổi rất phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân
tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau:

Dạng 3: Tính tích phân bất đònh
2
v(x)dx
I
u(x)
=
±a
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Phân tích:
2
2222
v(x)a[u(x)]bu(x)c
u(x)u(x)u(x)u(x)
+a
=++
+a+a+a+a

Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh ta xác đònh được a, b, c.

· Bước 2: Áp dụng các công thức:
1.
2
2
xdx
xaC.
xa
=±+
±
ò
2.
2
2
dx
lnxxaC
xa
=+±+
±
ò

3.
222
xa
xadxxalnxxaC.
22
±=±±+±+
ò

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
2

2
(2x1)dx
I
x2x
+
=
+
ò

Giải:
Ta có:
222
22222
2x12x1a[(x1)1]b(x1)c
x2x(x1)1(x1)1(x1)1(x1)1
+++-+
==++
++-+-+-+-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 79

2
2
ax(2ab)xbc
x2x
++++
=
+

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2a2
2ab0b4
bc1c5
==
ìì
ïï
+=Û=-
íí
ïï
+==
ỵỵ

Khi đó:
2
2
222
2x14(x1)5
2(x1)1
x2x(x1)1(x1)1
++
=+ +
++-+-

Do đó:
2
22
4(x1)5
I[2(x1)1]dx
(x1)1(x1)1

+
=+ +
+-+-
ò


2222
(x1)x2xlnx1x2x4x2x5lnx1x2xC
=++-+++-++++++


222
(x1)x2x4lnx1x2x4x2xC.
=++++++-++

BÀI TẬP
Bài 30. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
3
x1
;
3x1
+
+
b/
x
;
2x11
++
c/

3
x
;
x2
+
d/
3
3
4
x
;
1x1
++
e/
3
1
;
xx
+

f/
2
3
1
;
(2x1)2x1
+-+
g/
10
x

x1
+
h/
1
tgx
2x12x1
+
++-

ĐS: a/
52
33
11
(3x1)(3x1)C;
35
ỉư
++++
ç÷
èø
b/
3
11
(2x1)(2x1)C;
64
+-++

c/
232
1
(x2)2x2C;

3
+-++
d/
334244
3
333
(x1)x1ln(x11)C;
844
+-+++++

e/
366
2x3x6xln(x1)C;
+++

f/
2
66
6
3
(2x1)32x13ln2x11C;
2
++++ +

g/
199
1010
1010
(x1)(x1)C;
199

+-++
h/
33
1
lncosx(2x1)(2x1)C.
3
éù
-++ +
êú
ëû

Bài 31. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
x
;
9x6x
-
b/
2
1
;
x2x3
++
c/
2
1
;
x6x8
++

d/
2
1
xx1


e/
2
4x5
;
x6x1
+
++
f/
2
2x
;
xx1
+-
g/
2
4
x1
;
xx1
+
+
h/
223
x

.
1x(1x)
+++

ĐS: a/
22
1
9x6xln3x19x6xC;
9
-+-+-+
b/
2
lnx1x2x3C;
+++++

c/
2
lnx3x6x8C;
+++++
d/
2
1
lnxxx1C;
2
-+ +

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 80
e/
22

4x6x17lnx3x6x1C;
++-+++++
f/
223
22
x(x1)C;
33
+

g/
2
11
lnxx2C;
x2
ỉư
-+-++
ç÷
èø
h/
2
211xC.
+++

Bài 32a/ Biết rằng
2
2
dx
ln(xx3)C.
x3
=+++

+
ò

Tìm nguyên hàm của
2
F(x)x3dx
=+
ò

b/ Tính
2
x4x8dx.
-+
ò

ĐS: a/
22
13
xx3ln(xx3)C.
22
+++++

b/
22
1
(x2)x4x82lnx2x4x8C.
2
++-+-++

Bài 33. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a/
23
1
;
(x16)
+
b/
23
1
.
(1x)
-

ĐS: a/
2
x
C;
16x16
+
+
b/
2
x
C.
1x
+
-

Bài 34. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/

2
1
;
(x1)1x

b/
2
x1
;
(x1)x1
-
++
c/
2
1
;
(x1)x2x3
++

d/
2
1
;
xxx1
+++
e/
2
2
x
;

xx1
++
f/
1
.
1x1x
+++

ĐS: a/
1x
C;
1x
+
-+
-
b/
2
2
1x2(x1)
lnxx12lnC;
2(x1)
-++
++++
+

c/
2
12x2x3
lnC;
22(x1)

+-++
-+
-

d/
4
2
3
31t
lnC,vớitxxx1.
2(12t)2
12t
++=+++
+
+

e/
22
111
(2x3)xx1lnxxx1C;
482
-++-+++++

f/
111t11x
xxx.tlnC,vớit.
224t1x
-+
+-++=
+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 81
Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT

Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một
trong các phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm
cơ bản
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các
dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.
Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
xx
dx
I
ee
-
=
-

ò
b/
xx
xx
2.e
Jdx
169
=
-

Giải:
a/ Ta có:
xx
2xx
d(e)1e1
IlnC
2e1e1
-
==+
-+
ò

b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4
x
, ta được:

x
xx
2x2xx
4

44
d
1
111
3
33
Jdxdx.lnC
44
2
444
lnln
111
33
333
éù
ỉư
ỉưỉư
-
êú
ç÷
ç÷ç÷
èø
èøëûèø
===+
ỉưỉưỉư
+
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òò

xx
xx
143
.lnC.
2(ln4ln3)43
-
=+
- +


2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở
đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh :
x
dx
I.
1e
=
-
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 82
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
xx

11e)e
=-+

Ta được:
xxx
xxx
1(1e)ee
1.
1e1e1e
-+
==+


Suy ra:
xx
x
xx
ed(1e)
I1dxdxxln1eC.
1e1e
ỉư
-
=+=-= +
ç÷

èø
òòò

3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ
đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên
trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các
chú ý trong vấn đề 4.
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh :
2x
dx
I.
1e
=
+
ò

Giải:
· Cách 1: Đặt
2x22x
t1et1e
=+Û=+
Suy ra:
2x
222
2x
tdtdxtdtdt
2tdt2edxdx&
t1t(t1)t1
1e
=Û===

+

Khi đó:
2x
2
2x
dt1t111e
IlnClnC
2t12
t1
1e1
-+
==+=+
+
-
++
ò

· Cách 2: Đặt: t = e
x

Suy ra:
x
x
dx
dtedxdt,
e
-
=-Û-=
2x2x2xx2x2

dxdxdxdt
.
1ee(e1)ee1t1

-
===
++++

Khi đó:
2xx
2x2
dxdt
lntt1Clnee1C.
1et1

=-=-+++=-+++
++
òò

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh :
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt

x/2
te
-
=
. Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2 e
-
=Û-=
x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
21dt
1tt1eee(1e)e(1e)
-

-
ỉư
====+
ç÷

èø

Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1C.

t1

ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng
phần
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 83
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bài toán 1: Tính:
axax
ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0
¹
òò

Khi đó ta đặt:
axax
ucos(bx)usin(bx)
hoặc
dvedxdvedx
==
ìì
íí
==

ỵỵ

Bài toán 2: Tính:
x*
P(x)edxvớiR
a

ò

Khi đó ta đặt:
x
uP(x)
dvedx
a
=
ì
í
=
ỵ


Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2x
f(x)(tgxtgx1)e.
=++
Giải:
Ta có:
2x2xx
F(x)(tgxtgx1)e(tgx1)eetgxdx.
=++=++

òòò
(1)
Xét tích phân
x
Jetgxdx.
=
Đặt:
2
2
x
x
dx
utgx
du(1tgx)dx
cosx
dvedx
ve
ì
=
==+
ì
ï
Û
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
x2x
Jetgx(tgx1)e.
=-+
ò

Thay (2) vào (1) ta được
x
F(x)etgxC.
=+
(2)

5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU
Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
2x
dx
I
1e
=
+
ò

Giải:
Ta có:
xx
2xx2x2x2x
dxdxedxd(e)
1eee1e1e1

===-
++++
(1)
Khi đó:
x
x2x
x
d(e)
Iln(ee1)C
e1
-

-
==-+++
+
ò

Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, bằng cách:
Đặt t = e
x
. Suy ra:
x
2x2
dtdt
dtedx&
1et1t
==
++

Khi đó:

2
2
2
22
1
d
dtdt11
t
Iln1C
tt
11
t1t
t11
tt
ỉư
ç÷
èø
===-=-+++
+
++
òòò


x2x
ln(ee1)C.

=-+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 84

Đương nhiên cũng có thể đặt t = e
–x
ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ
thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghó ra cách đặt ẩn phụ
như vậy?”
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa
về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt t = e
x

Suy ra:
xx2xx22
dtedx&ee2e2dxt2t2dt(t1)1dt
=-+=-+=-+
Khi đó:
2
I(t1)1dt.
=-+
ò

– Bước 2: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt u = t – 1
Suy ra:
22
dudt&(t1)1dtu1du
=-+=+
Khi đó:
222
u1

Iu1duu1lnuu1C
22
=+=+++++
ò


22
x
2xxx2xx
t11
(t1)1lnt1(t1)1C
22
e11
e2e2lne1ee2C
22
-
=-++-+-++
-
=-++-+-++

Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số :
x
xx
e
f(x)
ee
-
=
+

Giải:
Chọn hàm số phụ:
x
xx
e
g(x)
ee
-
-
=
+

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

xx
xx
ee
f(x)g(x)
ee
-
-
-
-=
+


xxxx
xx
1
xxxx

eed(ee)
F(x)G(x)dxlneeC
eeee

-

-+
Þ-===++
++
òò


xx
2
xx
ee
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
ee
-
-
+
+==Þ+==+
+
ò

Ta được:
xx
xx
1
2

F(x)G(x)lneeC
1
F(x)(lneex)C.
2
F(x)G(x)xC
-
-
ì
+=++
ï
Þ=+++
í
-=+
ï
ỵ


BÀI TẬP
Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
xx
2.e;
b/
x
1
;
1e
+
c/
x

1x
;
x(1x.e)
+
+
d/
lnx
;
x

e/
xx
e.sin(e);
f/
2x
2x
e
;
e2
+
g/
1
;
xlnx
h/
2
x
x.e.

Trần Só Tùng Tích phân

Trang 85
ĐS: a/
xx
2.e
C;
1ln2
+
+
b/
x
x
e
lnC;
1e
+
+
c/
x
x
xe
lnC;
1xe
+
+

d/
2
lnx.lnxC;
3
+

e/
x
cos(e)C;
-+
f/
2x
1
lne1C;
2
++

g/
lnlnxC;
+
h/
2
x
1
eC.
2
+

Bài 36. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
x
e1
;
e
-

b/
3x23x
(1e).e;
+ c/
2x
4x
e
;
e1
+
d/
x
1
;
1e
+
e/
2x
4x
e
e1
+

f/
x
1
.e;
x
g/
cosx

sinx
;
e
h/
xx
1
.
e(3e)
-
+

ĐS: a/
xx
eeC;
-
++
b/
3x3
1
(1e)C;
9
++
c/
x7x3
44
44
(e1)(e1)C;
73
+-++

d/
x
t1
lnC,vớite1;
t1
-
+=+
+
e/
t1
2tlnC,vớit1lnx;
t1
-
++=+
+

f/
x
2eC;
+
g/
x
eC;
-
+
h/
x
x
3e
lnC.

3e1
+
+

Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
23x
xe;
b/
2x
e.cos3x;
c/
x
e.sinx;
d/
3
lnx
;
x
ỉư
ç÷
èø
e/
n
x.lnx,n1.
¹-

ĐS: a/
3x2
1

e(9x6x2)C;
27
-++
b/
2x
1
e(2cos3x3sin3x)C;
13
++

c/
x
1
e(sinxcosx)C;
2
-+
d/
32
2
1333
lnxlnxlnxC;
2242x
ỉư
-++++
ç÷
èø

e/
n1n1
2

xx
lnxC;
n1 (n1)
++
-+
+ +

Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
2
xe
;
(x2)
+
b/
x
(1sinx)e
1cosx
+
+
c/
xx
ee2;
-
++
d/
2
11x
ln;

1x
1x
+
-
-

e/
2
ln(xx1);
+-
f/
lnx
;
x1lnx
+
g/
2
2
xln(xx1)
.
x1
++
+

ĐS: a/
x
x2
.eC;
x2
-

-+
+
b/
x
esinx
C;
1cosx
+
+
c/
x3x2x
e(ee)C;
++

d/
2
11x
lnC;
41x
+
ỉư
+
ç÷
-
èø
e/
22
xln(xx1)x1C;
+ +

f/
2
(1lnx)1lnx21lnxC;
3
++-++
g/
22
x1.nxx1xC.
+++-+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 86


1. Đònh nghóa tích phân:
Ta có công thức Niutơn – Laipnit:
b
b
a
a
f(x)dxF(x)F(b)F(a).
==-
ò

Chú ý: Tích phân
b
a
f(x)dx
ò
chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký

hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
bbb
aaa
F(b)F(a)f(x)dxf(t)dtf(u)du
-====
òòò


2. Ý nghóa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân
b
a
f(x)dx
ò
là diện tích
hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của hàm số
yf(x,trụcOx)
=
và hai đường thẳng
x = a và x = b.

3. Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa
vào đònh nghóa tích phân ta có các tính chất sau:
Tính chất 1. Ta có
a
a
f(x)dx0
=
ò

Tính chất 2. Ta có
ba
ab
f(x)dxf(x)dx.
=-
òò

Tính chất 3. Ta có
bb
aa
kf(x)dxkf(x)dx,vớikR.
=Ỵ
òò

Tính chất 4. Ta có
bbb
aaa
[f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.
±=±
òòò

Tính chất 5. Ta có
cbc
aaa
f(x)dxf(x)dxf(x)dx.
=+
òòò

Tính chất 6. Nếu

b
a
f(x)0,x[a;b]thìf(x)dx0
³"Ỵ³
ò

Tính chất 7. Nếu
bb
aa
f(x)g(x),x[a;b]thìf(x)dxg(x)dx.
³"Ỵ³
òò

§
Bài 2
: TÍCH PHÂN

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 87
Tính chất 8. Nếu
b
a
mf(x)M,x[a;b]thìm(ba)f(x)dxM(ba).
££"Ỵ-££-
ò

Tính chất 9. Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) =
t
a
f(x)dx

ò
là nguyên hàm của
f(t) và G(a) = 0.

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
3
1
x2x
Idx;
x
-
=
ò
b/
x
4
4
0
J(3xe)dx.
=-
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
2

1
1
122
Idxln|x|(ln21)(ln12)ln21.
xxx
ỉưỉư
=-=+=+-+=-
ç÷ç÷
èøèø
ò

b/ Ta có:
4
x
2
4
0
3
Jx4e(244e)(04)284e.
2
ỉư
=-= =-
ç÷
èø

Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng đònh nghóa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích
phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt
đối.
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1

x
1
Je1dx.
-
=-
ò

Giải:
Xét dấu của hàm số y = e
x
– 1
Ta có: y = 0
x
e10x0
Û-=Û=

Nhận xét rằng:
x
x0e1y0
>Þ>Þ>


x
x0e1y0
<Þ<Þ<

Ta có bảng xét dấu:
x –¥ –1 0 1 +¥

y’ – 0 +

Do đó:
01
1
0
xxx
10
10
1
J(1e)dx(e1)dx(xe)(ex)e2.
2
-
-
=-+-=-+-=+-
òò

Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, 8 ta sẽ đi chứng minh được các bất đẳng thức tích phân.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
3/4
2
/4
dx
.
42
32sinx
p
p
pp
££
-
ò

Giải:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 88
Trên đoạn
3
;
44
pp
éù
êú
ëû
ta có:

22
2
2111
sinx1sinx1132sinx21.
22232sinx
££Þ££Û£-£Û£-£
-

Do đó:
3/43/43/4
2
/4/4/4
1dx
dxdx.
2
32sinx

ppp
ppp
££
-
òòò
(1)
trong đó:
3/4
3/4
3/43/4
/4
/4/4
/4
11
dxx&dxx2.
224
p
p
pp
p
pp
p
p
====
òò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
3/4
2
/4

dx
42
32sinx
p
p
pp
££
-
ò
(đpcm).
Ví dụ 4: Cho hàm số:
2
xakhix0
f(x)
x1khix0
+<
ì
=
í
+³
ỵ

a/ Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x
0
= 0.
b/ Với a để hàm số liên tục tại x = 0, hãy xác đònh
1
1
f(x).dx.
-

ò

Giải:
a/ Hàm số xác đònh với mọi
xR.
Ỵ

Ta có:
2
x0x0x0x0
limf(x)lim(x1)1vàlimf(x)lim(xa)a.
++
®®®®
=+==+=


f(0)1.
=

Vậy:
· Nếu a = 1 thì
x0x0
limf(x)limf(x)f(0)1
+-
®®
===Û
hàm số liên tục tại x
0
= 0
· Nếu

a1
¹
thì
x0x0
limf(x)limf(x)
+-
®®
¹Û
hàm số gián đoạn tại x
0
= 0
b/ Ta có:

10001
2
11110
11
f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x1)dx(x1)dx.
6

=+=+++=
òòòòò

Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân,
duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo
hàm của hàm số xác đònh bởi tích phân”. Ta có các dạng sau:
Dạng 1: Với
x
a
F(x)f(t)dtF'(x)f(x).

=Þ=
ò

Với
ax
xa
F(x)f(t)dtthìviếtlạiF(x)f(t)dtF'(x)f(x
).
==-Þ=-
òò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 89
Dạng 2: Với
u(x)
a
F(x)f(t)dtF(x)u'(x)f[u(x)].
¢
=Þ=
ò

Dạng 3: Với
u(x)
v(x)
F(x)f(t)dt
=
ò
thì viết lại:

u(x)v(x)

aa
F(x)f(t)dtf(t)dtF'(x)u'(x)f[u(x)]v'(x)f[
v(x)]
=-Þ=-
òò

minh hoạ bằng ví dụ sau:

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của các hàm số:
a/
x
t2
a
F(x)(ecost)dt;
=+
ò
b/
2
a
2
x
G(x)(t21)dt;
=++
ò

c/
2
x
3
2x

H(x)(tsint)dt.
=+
ò

Giải:
a/ Ta có:
x
t2x2
a
F(x)[(ecost)dt]'ecosx.
=+=+
ò

b/ Ta có:
2
2
ax
222222
a
x
G(x)[(tt1)dt]'[(tt1)dt]'(u)'.(uu1)
=++=-++=++
òò

trong đó: u = x
2
, do đó:
24444
G'(x)(x)'.(xx1)2x(xx1).
=++=++

c/ Ta có:
22
xx2x
333
2xaa
H'(x)[(tsint)dt]'[(tsint)dt(tsint)dt]'
=+=+-+
òòò


33
(u)'.(usinu)(v)'.(vsinv),
=+++ trong đó:
2
uxvàv2x,
== do đó:

262623
H'(x)(x)'.(xsin)(2x)'.(8xsin2x)2x(xsinx)
2(8xsin2x)
=+++=+++
TỔNG KẾT CHUNG:
Để tính tích phân xác đònh ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác
đònh nguyên hàm, cụ thể có:
1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
2. Phương pháp phân tích
3. Phương pháp đổi biến
4. Phương pháp tích phân từng phần.
5. Sử dụng các phép biến đổi.

còn có thêm một vài phương pháp khác ví dụ như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt.
Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng
nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác đònh được giá
trò của tích phân.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 90
Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân:
1
5
2
0
x
Idx.
x1
=
+
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
5533322
xxxxxxx(x1)x(x1)x.
=+ +=+-++

Ta được:
1

1
3422
2
0
0
x11111
Ixxdxxxln(x1)]ln2.
42224
x1
ỉưéù
=-+=-++=-
ç÷
êú
ëû+èø
ò

Ví dụ 2: (Đề 91) Cho
sinx
f(x)
cosxsinx
=
+

a/ Tìm hai số A, B sao cho
cosxsinx
f(x)AB
cosxsinx
-
ỉư
=+

ç÷
+
èø

b/ Tính
/2
0
f(x)dx.
p
ò

Giải:
a/ Ta có:
sinxcosxsinx(AB)cosx(AB)sinx
AB
cosxsinxcosxsinxcosxsinx
-++-
ỉư
=+=
ç÷
+++
èø

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
AB0
1
AB.
AB1
2
+=

ì
Û==-
í
-=
ỵ

b/ Với kết quả ở câu a/ ta được:

/2
/2/2
0
00
1cosxsinx1
f(x)dxdxxln(cosxsinx).
22(cosxsinx24
p
pp
-p
éùéù
= = +=-
êúêú
+
ëû
ëû
òò


BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân:
a/

4
0
dx
;
x
ò
b/
1
0
x1xdx;
-
ò
c/
1
2
0
x2x3
dx;
2x

-
ò
d/
2
1
dx
x1x1
++-
ò

ĐS: a/ 4 b/
4
5
c/
1
ln2
2
- d/
1
(33221)
3


Bài 2. Tính các tích phân:
a/
3
2
0
4sinx
;
1cosx
p
+
ò
b/
8
22
0
tg2x(1tg2x)dx;
p

+
ò
c/
x
x2
0
e
dx;
(e1)+
ò
d/
3
e
1
dx
x1lnx
+
ò

ĐS: a/ 2 b/
1
6
c/
1
6
d/ 2
Bài 3. Tìm các giá trò của a để có đẳng thức:
2
23
1

[a(44a)x4x]dx12.
+-+=
ò