tích phân phổ thông trung học phần 5 pdf

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 61
Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f(x)tgxtgxtgx
33
pp
ỉưỉư
=-+
ç÷ç÷
èøèø

Giải:
Ta có:
sinx.sinx.sinx
33
f(x)(1)
cosx.cosx.cosx
33
pp
ỉưỉư
-+
ç÷ç÷
èøèø
=
pp
ỉưỉư
-+
ç÷ç÷
èøèø

Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:

12
sinx.sinx.sinxsinxcos2xcos
3323
ppp
ỉưỉưỉư
-+=-
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

12
cosx.cosx.cosxcoscoscos2x
3323
ppp
ỉưỉưỉư
-+=+
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø


11111
cosxcos2x.cosxcosx(cos3xcosx)cos3x.
42444
=-+=-++=
Suy ra: f(x) = tg3x
Khi đó:
11sin3x1d(cos3x)1
F(x)tg3xdxdxlncos3xC.
44cos3x12cos3x12
===-=-+

òòò

2.2. Sử dụng phép hạ bậc:
Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau:
a/
2
1cos2x
sinx
2
-
= c/
3
3sinxsin3x
sinx
4
-
=
b/
2
1cosx
cosx
2
+
= d/
3
3cosxcos3x
cosx
4
+
=

được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức:
22
sinxcosx1.
+=

được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như:
44222222
11
sinxcosx(sinxcosx)2sinx.cosx1sin2x1(1cos
4x)
24
13
cos4x
44
+=+-=-=
=+


66223222
3
sinxcosx(sinxcosx)3sinxcosx)1sin2x
4
335
1(1cos4x)cos4x.
888
+=+-+=-
= =+


Ví dụ 13: (HVQHQT_98): Tìm họ nguyên hàm của hàm số :

a/
3
f(x)sinx.sin3x
=
b/
33
f(x)sinx.cos3xcosx.sin3x.
=+
Giải:
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 62
a/ Biến đổi f(x) về dạng:

2
3sinxsinx31
f(x).sin3xsin3x.sinxsin3x.
444
-
==-

( )
311
cos2xcos4xx(1cos6x)(3cos2x3cos4xcos6x1)
888
= =-+-
.
Khi đó:
1
F(x)(3cos2x3cos4xcos6x1)dx
8

=-+-
ò

1331
sin2xsin4xsin6xxC.
8246
ỉư
=-+-+
ç÷
èø

b/ Biến đổi f(x) về dạng:

3sinxsin3xcos3x3cosx
f(x).cos3x.sin3x
44
-+
=+

33
(cos3x.sinxsin3x.cosx)sin4x.
44
=+=
Khi đó:
33
F(x)sin4xdxcos4xC.
416
==-+
ò

2.3. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau
Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các
em học sinh còn cần thiết biết các đònh hướng trong phép biến đổi.

Ví dụ 14: (ĐHNT TP.HCM_99): Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
a/
sinxcosx
f(x);
sinxcosx
-
=
+
b/
cos2x
f(x).
sinxcosx
=
+

Giải:
a/ Ta có:
sinxcosxd(sinxcosx)
F(x)ln(sinxcosx)C
sinxcosxsinxcosx
-+
==-=-++
++
òò

b/ Ta có:
22
cos2xcosxsinx
F(x)dxdx
sinxcosxsinxcosx
-
==
++
òò


(cosxsinx)dxsinxcosxC.
=-=++
ò

Ví dụ 15: (ĐHNT HN_97): Tính tích phân bất đònh:
sin3x.sin4x
I.
tgxcotg2x
=
+
ò

Giải:
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng:

sin3x.sin4xsin3x.sin4x1
sin4x.sin3x.sin2x(cosxcos7x)sin2x
cosx
tgxcotg2x2

cosx.sin2x
===-
+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 63

11
(sin2x.cosxcos7x.sin2x)(sin3xsinxsin9xsi
n5x).
24
=-=+-+
Khi đó:
1
I(sinxsin3xsin5xsin9x)dx
4
=++-
ò


1111
(cosxcos3xcos5xcos9x)C.
4359
=-+-+

Tổng quát: Cách tính phân dạng:
mn
sinx.cosxdx
ò
với m, n là những số nguyên được

tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công tức hạ bậc.

3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Bài toán 3: Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tính tích phân bất đònh sau:
IR(sinx,cosx)dx
=
ò
trong đó R là hàm hữu tỉ.
Ta lựa chọn một trong các hướng sau:
– Hướng 1: Nếu
R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)
-=-

thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = cosx
– Hướng 2: Nếu
R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)
-=-

thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = sinx
– Hướng 3: Nếu
R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)
=-

thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = tgx
(đôi khi có thể là t = cotgx).
Do đó với các tích phân dạng:
1.
n

Itgxdx,vớinZ
=Ỵ
ò
được xác đònh nhờ phép đổi biến t = tgx.
2.
n
Icotgxdx,vớinZ
=Ỵ
ò
được xác đònh nhờ phép đổi biến t = cotgx.
– Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi
biến
x
ttg.
2
=
Ví dụ 16: (ĐHNT Tp.HCM_97): Tính tích phân bất đònh:
cosxsinx.cosx
Idx.
2sinx
+
=
+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
(1sinx)cosx
I
2sinx

+
=
+
ò

Đặt t = sinx
Suy ra:
(1sinx)cosx1t
dtcosxdx&dxdt
2sinx2t
++
==
++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 64
Khi đó:
1t1
Idt1dttln|2t|Csinxln|2sinx|C
2t2t
+
ỉư
==-=-++=-++
ç÷
++
èø
òò

Nhận xét: Trong bài toán trên sở dó ta đònh hướng được phép biến đổi như vậy là bởi
nhận xét rằng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do đó sử dụng phép đổi biến

tương ứng là t = sinx.
Ví dụ 17: (ĐHTCKT HN_96): Tính tích phân bất đònh:
435
dx
I.
sinx.cosx
=
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
3823
44
dxdx
I
tgx.cosxcosxtgx
==
ò

Đặt: t = tgx
Suy ra:
2
2343
4
dxdxdt
dt&
cosx
cosxtgxt
==
Khi đó:

4
4
43
dt
4tC4tgxC.
t
=+=+
ò

Chú ý: Như chúng ta đã thấy trong vấn đề 8 là
2
11
|t|
t
= điều này rất quan trọng, khởi
khi đó ta phải xét hai trường hợp t > 0 và t < 0.
Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh:
2
sinxdx
I
cosxsinx1
=
+
ò

Giải:
Đặt t = cosx Þ dt = –sinxdx do đó:
2
dt
I

t2t
=-
-
ò

Ta cần xét hai trường hợp t > 0 và t < 0. Cụ thể:
· Với t > 0, ta được:

2
22
2
22
1
d
dt122122t
t
Iln1ClnC.
t
tt
2222
t11
tt
ỉư
ç÷
+-
èø
===+-+=+

òò

· Với x < 0, ta được:

2
2
22
22
1
d
dt122
t
Iln1C
tt
222
t11
tt
122t121sinx
lnClnC.
tcosx
22
ỉư
ç÷
èø
==-=-+-+

+-++
=-+=+
òò

Tóm lại ta được:
Trần Só Tùng Tích phân

Trang 65

22
122t121sinx
IlnClnC.
tcosx
22
+-++
=+=+


4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân
từng phần.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Chúng ta đã được biết trong vấn đề: Xác đònh nguyên hàm bằng phương pháp tích phân
từng phần, đối với các dạng nguyên hàm:
Dạng 1: Tính:
P(x)sinxdxhoặcP(x)cosxdx
aa
òò
với P là một đa thức thuộc R[x] và
*
R.


Khi đó ta đặt:
uP(x)uP(x)
hoặc
dvsinxdxdvcosxdx

==
ìì
íí
=a=a
ỵỵ

Dạng 2: Tính:
axax
ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0
¹
òò

Khi đó ta đặt:
axax
ucos(bx)usin(dx)
hoặc
dvedxdvedx
==
ìì
íí
==
ỵỵ

Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh:
2
x
Idx
cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt:

2
ux
dudx
dx
vtgx
dv
cosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
sinxd(cosx)
Ix.tgxtgxdxx.tgxdxx.tgxx.tgxln|cosx|C.
cosxcosx
=-=-=+=++
òòò

Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh:
2
3
cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
3
cosx.d(sinx)
I.
sinx
=
ò

Đặt:
32
ucosxdusinxdx
d(sinx)1
dvv
sinxsinx
==-
ìì
ïï
Þ
íí

==-
ïï
ỵỵ

Khi đó:
222
cosxdxcosxxcosxx
IdlntglntgC.
sinx22sinxsinxsinx
ỉư
= = = +
ç÷
èø
òò


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 66
BÀI TẬP
Bài 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a/
1
f(x)
cosxcosx
4
=
p
ỉư
+
ç÷

èø
b/
1
f(x)
2sinxcosx
=
+-

c/
2
cosx
f(x)
sinx3cosx
=
+
d/
sinx
f(x)
1sin2x
=
+
e/
f(x)sinx.sin2x.cos5x
=

f/
f(x)(sin4xcos4x)(sin6xcos6x)
=++
g/
( )

f(x)sinx.2sin2x
4
p
ỉư
=-+
ç÷
èø

ĐS: a/
2ln1tgxC;
+
b/
1x
cotgC;
28
2
p
ỉư
-++
ç÷
èø

c/
11x
sinxlntgC;
26826
pp
ỉưỉư
++++
ç÷ç÷

èøèø
d/
1x1
lntgC;
282(sinxcosx)
22
p
ỉư
+++
ç÷
+
èø

e/
1111
sin2xsin4xsin8xC;
4248
ỉư
+-+
ç÷
èø
f/
13
(33x7sin4xsin8x)C;
648
+++

g/
11
4cosxsinxsin3xC.

24434
éùppp
ỉưỉưỉư
++ +
ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèø
ëû

Bài 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:
a/
3
sinx
f(x)
3sin4xsin6x3sin2x
=

(ĐHSP II Hà Nội _1999)
b/
Icos5x.tgxdx
=
ò

Kcos3x.tgxdx
=
ò
(ĐHNT Tp.HCM– A_2000)
c/
1
f(x)=

sin2x2sinx
-
d/
2
x
f(x)
sinx
= e/
cotgx
f(x)
1sinx
=
+

f/
f(x)tgx.cotgx
36
pp
ỉưỉư
=++
ç÷ç÷
èøèø
g/
2
f(x)(x2)sin2x
=+
ĐS: a/
1sin3x1
lnC;
48sin3x1

-
-+
+

b/
I2sinx2sin3xsin5xC;
=-++

1
Kcos3x2cosxC;
3
=-++

c/
12cosx1
lnC;
81cosxcosx1
ỉư-
++
ç÷

èø
d/
xcotgxlnsinxC;
-++

e/
sinx
lnC;
1sinx

+
+
f/
cosx
1
3
xlnC;
3
cosx
3
p
ỉư
-
ç÷
èø
++
p
ỉư
+
ç÷
èø

g/
2
113
xcos2xxsin2xcos2xC.
224
-+-+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 67
Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ

Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong
các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp đổi biến.
2. Phương pháp tích phân từng phần.
3. Sử dụng các phép biến đổi.

Hai công thức thường sử dụng:
1.
2
2
xdx
xaC
xa
=±+
±
ò

2.
2
2
dx
lnxxaC.
xa
=+±+
±
ò

1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến

Dạng 1: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
n
axb
cxd
+
+
có dạng:

n
axxb
IRx,dxvớiadbc0.
cxd
ỉư
+
=-¹
ç÷
+
èø
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
Đặt:
n

n
n
n
axbaxbbdt
ttx
cxdcxd
cta
++-
=Þ=Û=
++
-

· Bước 2: Bài toán được chuyển về:
IS(t)dt.
=
ò

Chú ý: Với hai dạng đặc biệt:
axax
IRx,dxhoặcIRx,dx
axax
ỉưỉư
+-
==
ç÷ç÷
-+
èøèø
òò
chúng ta
đã biết với phép đổi biến: x = acos2t.

Trường hợp đặc biệt, với
ax
Idx
ax
+
=
-
ò
, ta có thể xác đònh bằng cách:
Vì
ax
ax
+
-
có nghóa khi
2
axanênxa0,dó(ax)ax.
-£<+>+=+

Khi đó:
22
2222
xxaxdxxdx
Idxdxa
ax
ax
axax
++
===+
-

-

òòòò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 68
Trong đó:
22
dx
ab
+
ò
được xác đònh bằng phép đổi biến x = asint.

22
22
xdx
aaxC.
ax
= +
-
ò

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
3
3
dx
I
x1[x1)1]

=
+++
ò

Giải:
Đặt:
3
3
tx1tx1
=+Þ=+
. Suy ra:
2
2
22
2
3
3
dx3tdt3tdt
3tdtdx&
t(t1)t1
x1[(x1)1]
===
++
+++

Khi đó:
2
22
3
22

3tdt3d(t)
Iln(t1)Cln[(x1)1]C.
2t1t1
===++=+++
++
òò

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
2x2x1
=
+
ò

Giải:
Đặt:
2
t2x1t2x1
=+Þ=+
. Suy ra:
22
dxtdtdt
2tdt2dx&
(t1)tt1
2x2x1
===

+

Khi đó:
2
dt1t112x11
IlnClnC.
2t12t1
2x11
-+-
==+=+
+-
++
ò

Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
3
2
4
xdx
I
xx
=
-
ò

Giải:
Ta nhận xét:
2
11
3
2
4

3
24
xx,xxvàxx
===
, từ đó 12 là bội số chung nhỏ nhất của các
mẫu số, do đó đặt x = t
12

Suy ra:
17144
1194
8355
3
2
4
xdx12tdt12tdtt
dx12tdt&12ttdt
ttt1t1
xx
ỉư
====++
ç÷

èø
-

Khi đó:
4105
945
5

ttt1
I12ttdt12ln|t1|C.
1055t1
ỉưỉư
=++=++-+
ç÷ç÷
-
èøèø
ò

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh
dx
I
(xa)(xb)
=
++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta xét hai trường hợp:
· Trường hợp 1: Với
xa0
xb0
+>
ì
í
+>
ỵ

Trần Só Tùng Tích phân

Trang 69
Đặt:
txaxb
=+++

· Trường hợp 2: Với
xa0
xb0
+<
ì
í
+<
ỵ

Đặt:
t(xa)(xb)
=-++-+

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I
x5x6
=
-+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
dx

I
(x2)(x3)
=

ò

Ta xét hai trường hợp:
· Với
x20
x3
x30
->
ì
Û>
í
->
ỵ
. Đặt:
tx2x3
=-+-

suy ra :
11(x2x3)dxdx2dt
dtdx
t
2x22x32(x2)(x3)(x2)(x3)
-+-
ỉư
=+=Û=
ç÷

+
èø

Khi đó:
dt
I22ln|t|C2ln|x2x3|C
t
==+=-+++
ò

· Với
x20
x2
x30
-<
ì
Û<
í
-<
ỵ
. Đặt:
tx23x
=-+-

suy ra :
11[2x3x]dxdx2dt
dtdx
t
22x23x2(x2)(x3)(x2)(x3)
-+-

éù
=+=Û=-
êú

ëû

Khi đó:
dt
I22ln|t|C2ln|2x3x|C
t
=-=-+= +-+
ò

Dạng 3: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
22
ax
-
có dạng:
22
IR(x,ax)dx,vớiadbc0.
= ¹
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
x|a|sintvớit
(hoặccóthểtxax)

22
x|a|costvới0t
pp
é
=-££
ê
=+-
ê
=££p
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về:
IS(sint,cost)dt.
=
ò


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 70
Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
3
2
xdx
I.
1x
=
-
ò

Giải:

· Cách 1: Đặt: xsint,t
22
pp
=-<<

Suy ra:
33
3
2
xdxsint.cosdt1
dxcostdt&sintdt(3sintsin3t)dt
cost4
1x
====-
-

Khi đó:
131
I(3sintsin3t)dttgtCcostcos3tC
4412
=-=+=-++
ò


332
3111
cost(4cost3cosxt)CcostcostCcost1costC
41233
ỉư
=-+-+=-+=-+

ç÷
èø


22222
111
(1sint)1C(1x)11xC(x2)1xC
333
éùéù
= += +=-+-+
êúêú
ëûëû

Chú ý: Trong cách giải trên sở dó ta có:

2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
ï
=-=-
ỵ

· Cách 2: Đặt
222
t1xx1t
=-Þ=-

Suy ra:
3222
2
222
xdxx.xdxx.xdx(1t)(tdt)
2xdx2tdt&(t1)dt
t
1x1x1x

=====-


Khi đó:
23222
111
I(t1)dtttC(t3)tC(x2)1xC
333
=-=-+=-+=-+-+
ò

Dạng 4: Xác đònh nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và
22
ax
+

có dạng:
22
IR(x,ax)dx,vớiadbc0.
=+-¹
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
x|a|tgtvớit
(hoặccóthểtxax)
22
x|a|cotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
=++
ê
=<<p
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về:
IS(sint,cost)dt.
=
ò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:

2
I1xdx.
=+
ò

Giải:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 71
· Cách 1: Đặt:
xtgt,t.
22
pp
=-<<
Suy ra:
2
23
dtdt
dx&1xdx.
costcost
=+=
Khi đó:
3422
dtcostdtcostdt
I
costcost(1sint)
===
-
òòò

Đặt: u = sint. Suy ra:

2222
costdtdu
ducostdt&
(1sint)(u1)(u1)
==
-+-

Khi đó:
22
du1u12u
IlnC
4u1(u1)(u1)
(u1)(u1)
éù+
==-+
êú
-+-
+-
ëû
ò


22
2
22
2
2
2
2222
1sint12sint

lnC
4sint1(sint1)(sint1)
xx
12
1
1x1x
lnC
x
xx
4
1
11
1x
1x1x
1x1x
ln2x1xC
4
x1x
11
(2ln|x1x|2x1x)C(ln|x1x|x1x)C.
42
éù+
=-+
êú
-+-
ëû
éù
+
êú
++

êú
=-+
ỉưỉư
êú
-
+-
ç÷ç÷
êú
+
++
èøèø
ëû
ỉư
++
ç÷
=+++
ç÷
-+
èø
=+++++=+++++

· Cách 2: Đặt:
2
2222
t1
tx1xtx1x(tx)1xx
2t
-
=++Þ-=+Þ-=+Þ=

22
2
t1t1
1xt
2t2t
-+
Þ+=-=
Suy ra:
222
222
2
xx1x2tt1
dt1dxdxdxdxdt
1xt12t
1x
+++
ỉư
=+==Û=
ç÷
++
+
èø


2222
2
233
t1t11(t1)121
1xdx.dtdttdt
2t44t2ttt

+++
ỉư
+===++
ç÷
èø

Khi đó:
2
32
121111
Itdtt2ln|t|C
4t42t2t
ỉưỉư
=++=+-+
ç÷ç÷
èøèø
ò


222
2
22
111
t4ln|t|C4x1x4lnx1xC
88t
1
(lnx1xx1x)C.
2
éù
ỉư

éù
=-++=+++++
ëû
ç÷
êú
èø
ëû
=+++++

· Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt :
2
2
xdx
du
ux1
x1
dvdx
vx
ì
ì=
ïï
=+
Þ
+
íí
=
ï
ï
ỵ

=
ỵ

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 72
Khi đó:
2
2
2
xdx
Ixx1
x1
=+-
+
ò

Với
22
2
2
22
xdx[(x1)1]dxdx
Jx1dx
x1
x1x1
+-
===+-
+
++
òòòò

2
Ilnxx1C(2)
=-+++
Thay (2) vào (1) ta được:

2222
Ixx1(Ialn)xx1C2Ixx1lnxx1C
=+ +++Û=+++++


22
x1
Ix1lnxx1C.
22
Û=+++++

Chú ý:
1. Trong cách giải thứ nhất sở dó ta có:

2
2
1x
1xcostvàsint
cost
1x
+==
+

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Cả ba phương pháp trên (tốt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để giải bài toán
tổng quát:

2222
2
axdx
xadxlnxxaxaC;lnxxaC.
22
xa
+=+++++=+++
+

òò

3. Với tích phân bất đònh sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1:

222k1
dx
,vớikZ.
(ax)
+
Ỵ
+
ò

4. Với tích phân bất đònh:
(xa)(xb)dx
++
ò
ta có thể thực hiện như sau:
Đặt:
2
ab(ba)
tx&A
24
+-
=+=-
suy ra:
2
dtdx&(xa)(xb)dxtAdt
=++=+
Khi đó:

222
At
ItAdtlnttAtAC
22
=+=+++++
ò


2
(ba)ab2xab
lnx(xa)(xb)(xa)(xb)C.
824
-+++
=+++-++++


Dạng 5: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
22
xa
-
có dạng:
22
IR(x,xa)dx,vớiadbc0.
= ¹
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 73
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:

· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:

22
|a|
xvớit;\{0}
sint22
(hoặccóthểtxa)
|a|
xvớit[0;]\{}.
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
=-ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

· Bước 2: Bài toán được chuyển về:
IS(sint,cost)dt.
=
ò

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
22

xdx
I
2x13x1
=
-+-
ò

Giải:
· Cách 1: Đặt:
222
tx1tx1
=-Þ=-

Suy ra:
2
2222
xdxxdxtdt
2tdt2xdx&
2t3t1
2x13x12(x1)3(x11
===
++
-+ +-+

Khi đó:
2
tdt
I
2t3t1
=

++
ò

Ta có:
2
ttab(a2b)tab
(2t1)(t1)2t1t1(2t1)(t1)
2t3t1
+++
==+=
++++++
++

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2b1a1
ab0b1
+==-
ìì
Û
íí
+==
ỵỵ

Khi đó:
2
t11
.
2t1t1
2t3t1
=-+

++
++

Do dó:
2
1111(t1)
Idtln|2t1|ln|t1|ClnC
2t1)t122|2t1|
+
ỉư
=-+=-++++=+
ç÷
+++
èø
ò


22
2
1(x11)
ln
2
2x11
-+
=
-+

· Cách 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp:
– Với x > 1:
Đặt:

1
x,t[0;)
cost2
p
=Ỵ. Suy ra:
2
sintdt
dx,
cost
=

22
2
22
22
2
1sint
.dt
xdx(1tgt)tgt.dt(1tgt)tgt.dt
costcost
2
2(1tgt)13tgt2tgt3tgt1
2x13x1
13tgt
cost
++
===
+-+++
-+-
-+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 74
Khi đó:
2
2
(1tgt)tgt.dt
I.
2tgt3tgt1
+
=
++
ò

Đặt: u = tgt. Suy ra:
2
2
222
dt(1tgt)tgt.dtu.du
du(1tgt)dt&
cost2tgt3tgt12u3u1
+
==+=
++++

Khi đó:
2
1111(u1)
Idtln2u1lnu1ClnC
2u1u122|2u1|

+
ỉư
=-+=-++++=+
ç÷
+++
èø
ò


222
2
1(tgt1)1(x11)
lnClnC.
22tgt12
2x11
+-+
=+=+
+
-+

– Với x < –1 (tự làm)

Dạng 6: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và
2
axbxc
++
có dạng:
2
IR(x,axbxc)dx,vớiadbc0
=++-¹

ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: Đưa I về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.
Ta xét các trường hợp sau:
Ÿ Trường hợp 1: Nếu a > 0 và D < 0.
– Bước 1: Ta có:
2
2
2axb
axbxc1
4a
éù
D+
ỉư
++=-+
êú
ç÷
-D
èø
ëû

– Bước 2: Thực hiện phép đổi biến:
2axb
t
+
=
-D

– Bước 3: Bài toán được chuyển về:
2
IS(t,1t)dt
=+
ò

Ÿ Trường hợp 2: Nếu a < 0 và D > 0.
– Bước 1: Ta có:
2
2
2axb
axbxc1
4a
éù
D+
ỉư
++=
êú
ç÷
D
èø
ëû

– Bước 2: Thực hiện phép đổi biến:
2axb
t
+
=
D

– Bước 3: Bài toán được chuyển về:
2
IS(t,1t)dt
=-
ò

Ÿ Trường hợp 3: Nếu a > 0 và D > 0.
– Bước 1: Ta có:
2
2
2axb
axbxc1
4a
éù
D+
ỉư
++=-
êú
ç÷
D
èø
ëû

– Bước 2: Thực hiện phép đổi biến:
2axb
t
+
=
D

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 75
– Bước 3: Bài toán được chuyển về:
2
IS(t,t1)dt
=-
ò

· Cách 2: Sử dụng phép thế Euler:
Ta xét các trường hợp sau:
1. Nếu a > 0, đặt
2
axbxctxahoặctxa.
++=-+
2. Nếu c > 0, đặt
2
axbxctxchoặctxc.
++=+-
3. Nếu tam thức
2
axbxc
++
có biệt số D > 0 thì

2
12
axbxca(xx)(xx).
++= Khi đó đặt:
2
1

axbxct(xx).
++=-
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
2
Ix2x2dx.
=++
ò

Giải:
· Cách 1: Sử dụng phép đổi biến:
tx1dtdx.
=+Þ=

Khi đó:
2
It1dt.
=+
ò

Tích phân trên chúng ta đã biết cách xác đònh trong ví dụ 6.
· Cách 2: Sử dụng phép đổi biến:

22
222
2
t2(t2t2)dt
x2x2txx2x2(tx)xdx
2(t1) 2(t1)
-++
++=-Þ++=-Û=Þ=

+ +

Khi đó:
224
2
23
t2(t2t2)dt1(t4)dt
Ix2x2dxt
2(t1)4
2(t1)(t1)
éù
-+++
=++=-=
êú
+++
ëû
òòò

Sử dụng đồng nhất thức:

44432
t4[(t1)1]4(t1)4(t1)6(t1)4(t1)5.
+=+-+=+-+++-++

Do đó:
2
2
1641t4
I[t14]dt[3t6ln|t1|]C
4t142t1(t1)

=+-+-=-++++
+++
ò


22
2
2
2
1(x2x2x)
[3(x2x2x)
42
4
6lnx2x2x1]C.
x2x2x1
+++
=-++++
+++++++
++++

Dạng 7: Tính tích phân bất đònh
2
dx
I
(x)axbxc
=
l+m++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
1
t
x
=
l+m

– Bước 2: Bài toán được chuyển về:
2
dt
I
tt
=
a+b+g
ò

Chú ý: Phương pháp trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là: