tích phân phổ thông trung học phần 4 pptx

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 46
Ví dụ 17: Tính tích phân bất đònh:
2
42
x3
Idx.
x(x3x2)
-
=
++
ò

Giải:
Đặt
2
tx
=
. Suy ra:
328
t3
dt2xdx&x(23x)dxdt.
t(t1)(t2)
-
=-=
++

Khi đó:
t3
Idt
t(t1)(t2)

-
=
-+
ò

Ta có:
2
t3abc(abc)t(2a2bc)t2a
t(t1)(t2)tt1t2t(t1)(t2)
-++++++
=++=
+-++++

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
abc0a3/2
3a2bc1b4
2a3c5/2
++==-
ìì
ïï
++=Û=
íí
ïï
=-=-
ỵỵ

Khi đó:
t331451
t(t1)(t2)2tt12t2
-

=-+-
++++

Do đó:
3145135
Idtlnt4ln|t1|ln|t2|C
2tt12t222
ỉư
=-+-=-++-++
ç÷
++
èø
ò


222
35
ln(x)4ln(x1)ln(x2)C.
22
=-++-++

Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh:
62
dx
I.
t(x1)
=
+
ò

Giải:
Đặt
3
tx
=
. Suy ra:
2
6222
dx1dt
dt3xdx&.
3
x(x1)t(t1)
==
++

Khi đó:
22
1dt
I
3
t(t1)
=
+
ò

Ta có:
42
2222222
1abtct(ab)t(2abc)ta
tt(t1)t1(t1)t(t1)

+++++
=++=
++++

Đồng nhất, ta được:
ab0a1
2abc0b1
a1c1
+==
ìì
ïï
++=Û=-
íí
ïï
==-
ỵỵ
Þ
22222
dt1tt
.
t
t(t1)t1(t1)
=
+++

Do đó:
2
2222
1tt111
Idtln|t|ln|t1|.C

t22
t1(t1)t1
éù
= =-+++
êú
+++
ëû
ò


26
2266
1t11x1
(ln)C(ln)C.
22t1t1x1x1
=++=++
++++

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 47
Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh:
4
4
1x
Idx.
x(1x)
-
=
+
ò

Giải:
Đặt
4
tx
=
. Suy ra:
4
3
4
1x11t
dt4xdx&.
4t(1t)
x(1x)

==
+
+

Khi đó:
11t
Idt
4t(1t)
-
=
+
ò

Ta có:
22

1tab(ab)ta
t(1t)tt1
t(t1)
-++
=+=
+++

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
ab1a1
a1b2
+=-=
ìì
Û
íí
==-
ỵỵ
Þ
1t12
t(1t)tt1
-
=-
++

Do đó:
4
242
12|t|x
Idtln|t|2ln|t1|ClnClnC.
tt1 (t1)(x1)
ỉư

=-=-++=+=+
ç÷
+ ++
èø
ò

Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh:
3
34
(x1)dx
I
x(x4)(x4x1)
-
=
+
ò
.
Giải:
Biến đổi I về dạng:
3
44
(x1)dx
I
(x4x)(x4x1)
-
=
+
ò

Sử dụng đồng nhất thức:

44
1(x4x1)((x4x)
=-+
Ta được:
44333
4444
[(x4x1)(x4x)](x1)dx(x1)dx(x1)dx
I
(x4x)(x4x1)x4xx4x1
-+
==-
+ +
òòò


4
44
4
11x4x
(ln|x4x|ln|x4x1|)ClnC.
44
x4x1
-
= ++=+
-+

Ví dụ 21: Tính tích phân bất đònh:
2
432
x1

Idx.
x2xx2x1
-
=
+-++
ò

Giải:
Chia cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân cho
2
x0,
¹
ta được:

2
22
2
2
11
1
dxdx1
1
xx
x
Idx
21
111
x2x1
x2x3x14
xx

xxx
ỉưỉư
+++
-
ç÷ç÷
èøèø
===
ỉưỉưỉư
+-++
+++-++-
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òòò


2
2
1
x12
11xx1
x
lnClnC.
1
44
x3x1
x12
x
++-
-+
=+=+

++
+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 48
BÀI TẬP
Bài 20. Tính tích phân sau:
a/
2
dx
;
4x8x3
++
ò
b/
2
dx
;
x7x10
-+
ò
c/
2
dx
.
3x2x1

ò

ĐS: a/

12x1
lnC;
42x3
+
+
+
b/
1x5
lnC;
3x2
-
+
-
c/
13x3
lnC.
43x1
+
+
+

Bài 21. Tính các tích phân sau:
a/
2
2x7
dx;
x3x2
-
-+
ò

b/
2
5x7
dx;
x3x2
-
-+
ò
c/
2
2x7
dx;
x5x6
+
++
ò
d/
2
2x5
dx;
9x6x1
+
-+
ò

ĐS: a/
5lnx13lnx2C;
+
b/
9x1

5lnx1lnC;
2x1
-
+-+
+

c/
3lnx2lnx3C;
+-++
d/
2171
ln3x1.C.
993x1
ỉư
+
ç÷
-
èø

Bài 22. Tính các tích phân sau:
a/
xdx
;
(x1)(2x1)
++
ò
b/
2
2
2x41x91

dx;
(x1)(xx12)
+-

ò
c/
32
dx
;
6x7x3x

ò

d/
3
3
x1
dx;
4xx
-
-
ò
e/
3
2
(x3x2)dx
;
x(x2x1)
-+
++

ò
f/
2
2
(x2)dx
.
x(x2x1)
+
-+
ò

ĐS: a/
11
lnx1lnxC;
22
+-++
b/
4lnx15lnx47lnx3C;
-+-+++

c/
12331
lnxlnxlnxC;
3332113
-+-+++

d/
17191
xlnxlnxlnxC;
4162162

+ ++

e/
4
x2lnx4lnx1C;
x1
++-+
+
f/
9
4lnx2lnx1C.
x1
+
-

Bài 23. Tính các tích phân sau:
a/
42
xdx
;
x3x2
-+
ò
b/
7
42
xdx
;
(x1)
+

ò
c/
42
xdx
;
x2x1

ò
d/
5
63
xdx
;
xx2

ò
e/
2
2dx
;
x(x1)
+
ò

f/
5
63
xdx
;
xx2

ò
g/
102
dx
;
x(x1)
+
ò
h/
2
4
x1
dx;
x1
-
+
ò
i/
3
22
x
dx;
(x1)+
ò
k/
2
10
xdx
.

(1x)
-
ò

ĐS: a/
2
2
1x2
lnC;
2x1
-
+
-
b/
4
4
11
lnx1C;
4x1
ỉư
-++
ç÷
+èø

c/
2
2
1x(12)
lnC;
42x(12)

-+
+

d/
3
63
3
11x2
lnxx2lnC;
618x1
-
++
+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 49
e/
2
2
x
lnC;
x1
+
+
f/
2
2
1x
lnC;
8x4

+
+

g/
10
1010
1x9
lnC;
9x1x1
ỉư
++
ç÷
++èø
h/
1
x2
1
x
lnC;
1
22
x2
x
éù
+-
êú
+
êú
êú
++

ëû

i/
2
2
11
ln(x1)C;
2x1
éù
+++
êú
+ëû
k/
789
111
C.
7(x1)4(x1)9(x1)
+


Bài 24. Cho hàm số
2
2
2x2x5
f(x)
x3x2
++
=
-+

a/ Tìm m, n, p để
2
mnp
f(x)
(x1)x1x2
=++
+

b/ Tìm họ nguyên hàm của f(x) (ĐHTM_1994)
ĐS: a/
m3;n1;p1.
===
b/
3
ln(x1)(x2)C.
x1
-+-+
-

Bài 25. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
4
3
x2
f(x);
xx
-
=
-
b/

2
2
1x1
lnC.
2x
-
+
(ĐHTM_1994)
ĐS: a/
22
11
x2lnxlnx1C;
22
+ +
b/
2
2
1x1
lnC.
2x
-
+

Bài 26. Cho hàm số
2
3
3x3x3
y
x3x2
++

=
-+
.
a/ Xác đònh các hằng số a, b, c để
2
abc
y.
(x1)x1x2
=++


b/ Tìm họ nguyên hàm của y (ĐHQG–Hà Nội_1995)
ĐS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/
3
2lnx1lnx2C.
x1
-+-+++
-

Bài 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a/
2001
21002
x
f(x)
(1x)
=
+
b/
1999

1
f(x)
x(x2000)
=
+

c/
2
22
x1
f(x)
(x5x1)(x3x1)
-
=
++-+

ĐS: a/
1001
2
2
1x
C;
20021x
ỉư
+
ç÷
+èø
b/
1999
1999

1x
lnC;
19992000x2000
+
-+

c/
2
2
1x3x1
lnC.
8x5x1
-+
+
-+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 50

Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC

Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
2. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản.
3. Phương pháp đổi biến.
4. Phương pháp tích phân từng phần.

1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng việc sử dụng các dạng

nguyên hàm cơ bản.

Dạng 1: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
sin(xa)sin(xb)
=
++
ò


PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức:

sin(ab)sin[(xa)(xb)
1
sin(ab)sin(ab)
-+-+
==


· Bước 2: Ta được:

dx1sin[(xa)(xb)]
Idxdx
sin(xa)sin(xb)sin(ab)sin(xa)sin(xb)
+
==
++-++

òò


1sin(xa).cos(xb)cos(xa).sin(xb)
dx
sin(ab)sin(xa)sin(xb)
1cos(xb)cos(xa)
dxdx
sin(ab)sin(xb)sin(xa)
1
[ln|sin(xb)}ln|sin(xa)|]C
sin(ab)
1sin(xb)
lnC.
sin(ab)sin(xa)
++-++
=
-++
++éù
=-
êú
-++
ëû
=+-++
-
+
=+
-+
ò
òò

Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
1.
dx
I
cos(xa)cos(xb)
=
++
ò
, sử dụng đồng nhất thức
sin(ab)
1.
sin(ab)
-
=
-

2.
dx
I
sin(xa)cos(xb)
=
++
ò
, sử dụng đồng nhất thức
cos(ab)
1.
cos(ab)
-
=

-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 51
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
sinx.cosx
4
=
p
ỉư
+
ç÷
èø
.
Giải:
· Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản
Sử dụng đồng nhất thức:
cosxx
cos
4
4
12cosxx.
4
2
cos
4
2
éùp

ỉư
p
+-
ç÷
êú
éù
p
ỉư
èø
ëû
===+-
ç÷
êú
p
èø
ëû

Ta được:
cosxx
cosxcosxsinxsinx
4
44
F(x)2dx2
sinx.cosxsinx.cosx
44
éù
p
ỉư pp
ỉưỉư
+-

+++
ç÷
ç÷ç÷
êú
èø
ëûèøèø
==
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
òò


sinx
cosx
4
2dxdx
sinx
cosx
4
sinx
2ln|sinx|lncosxC2lnC
4
cosx
4
éùp
ỉư
+

ç÷
êú
èø
êú
=+
p
ỉư
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
éù
p
ỉư
=-++=+
êú
ç÷
p
ỉư
èø
ëû
+
ç÷
èø
òò

· Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm f(x)
Ta có:

2
dxdx
F(x)22
sinx.(cosxsinx)
sinx(cotgx1)
==
-
-
òò


d(cotgx)d(cotgx1)
222lncotgx1C.
cotgx1cotgx1
-
=-=-= +

òò


Dạng 2: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
sinxsin
=
+a
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:

· Bước 1: Biến đổi I về dạng:
dx1dx
I(1)
xx
sinxsin2
sin.cos
22
==
+a-a
+a
òò

· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
1.
dx
I,với|m|1
sinxm
=£
+
ò

2.
dxdx
IvàI,với|m|1
cosxcoscosxm
==£
+a+
òò
.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 52
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
2sinx1
=
+
.
Giải:
Biến đổi f(x) về dạng:
11111
f(x) (1)
6x6x
1
24
sinxsinsin.cos
2sinx
61212
2
===
p+p-p
ỉư
+
+
ç÷
èø

Sử dụng đồng nhất thức:
6x6x

cos
cos
26x6x
1212
6
1cos
1212
33
cos
6
2
+p-p
p
ỉư
-
ç÷
+p-p
ỉư
èø
===-
ç÷
p
èø

Ta được:
3x6x
cos
1
1212
F(x)

66x
23
sin.cos
1212
+p-p
ỉư
-
ç÷
èø
=
+p-p
ò


6x6x6x6x
cos.cossin.sin
1
12121212
6x6x
23
sin.cos
1212
6x6x
cossin
1
1212
dxdx
6x6x
23
sincos

1212
6x
sin
16x6x1
12
lnsinlncosClnC.
6x
1212
233
cos
12
+p-p+p-p
+
=
+p-p
+p-p
éù
êú
=+
êú
+p-p
êú
ëû
+p
éù+p+p
=-+=+
êú
-p
ëû
ò

òò


Dạng 3: Tính tích phân bất đònh:
Itgx.tg(x)dx.
=+a
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi I về dạng:

sinx.sin(x)
Itgx.tg(x)dxdx
cosx.cos(x)
cosx.cos(x)sinx.sin(x)
1dx
cosx.cos(x)
cosdxdx
dxcosx(1)
cosx.cos(x)cosx.cos(x)
+a
=+a=
+a
+a++a
ỉư
=-
ç÷
+a
èø

a
=-=a-
+a+a
òò
ò
òòò

· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 53
1.
Itg(x).cotg(x)dx.
=+a+b
ò

2.
Icotg(x).cotg(x)dx.
=+a+b
ò

Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)tgx.tgx
4
p
ỉư
=+
ç÷
èø
.
Giải:

Biến đổi f(x) về dạng:
sinx.sinxcosx.cosxsinx.sinx
444
f(x)1
cosx.cosxcosx.cosx
44
ppp
ỉưỉưỉư
++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
==-
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø


cos
21
4
1.1.
2
cosx.cosxcosx.cosx
44
p
=-=-
pp
ỉưỉư

++
ç÷ç÷
èøèø

Khi đó:
2dx2dx
F(x)dxx(1)
22
cosx.cosxcosx.cosx
44
=-=-+
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
òòò

Để đi xác đònh :
dx
J
cosx.cosx
4
=
p
ỉư
+
ç÷
èø
ò

ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản.
Sử dụng đồng nhất thức:
sinxx
sin
4
4
12sinxx
4
2
sin
4
2
éù
p
ỉư
p
+-
ç÷
êú
éù
p
ỉư
èø
ëû
===+-
ç÷
êú
p
èø

ëû

Ta được:

sinxx
sinxcosxcosxsinx
4
44
J2dx2dx
cosx.cosxcosx.cosx
44
sinx
sinx
4
2dxdx2lncosxxlncosxC
cosx4
cosx
4
cosx
2ln
éùp
ỉư pp
ỉưỉư
+-
+-+
ç÷
ç÷ç÷
êú
èø
ëûèøèø

==
pp
ỉưỉư
++
ç÷ç÷
èøèø
éùp
ỉư
+
ç÷
êú
éù
p
ỉư
èø
=-=-+++
êú
ç÷
êú
p
èøỉư
ëû
êú
+
ç÷
êú
èø
ëû
=
òò

òò
C2ln1tgxC.
cosx
4
+= +
p
ỉư
+
ç÷
èø

· Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm dưới dấu tích phân
Ta có:
2
dxdx
J22
cosx.(cosxsinx)
cosx(1tgx)
==

òò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 54

d(tgx)d(1tgx)
222ln1tgxC
1tgx1tgx
-
==-= +

òò

Vậy ta được:
F(x)xln1tgxC.
= +


Dạng 4: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
asinxbcosx
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
· Cách 1: Ta có:

2222
2222
2
22
1dx1dx
I
xx
sin(x)
abab
2sincos

22
x
dtg
1dx1
2
xxx
abab
2tgcostg
222
1x
lntgC.
2
ab
==
+a+a
+a
++
+a
ỉư
ç÷
èø
==
+a+a+a
++
+a
=+
+
òò
òò

· Cách 2: Ta có:

2
2222
2
2222
1dx1sin(x)dx
I
sin(x) sin(x)
abab
1d[cos(x)]1cos(x)1
lnC.
cos(x)1cos(x)1
ab2ab
+a
==
+a +a
++
+a+a-
=-=-+
+a++a-
++
òò
ò

Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hoá với việc đổi biến:
x
ttg.
2
=

Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
f(x)
3sinxcosx
=
+
.
Giải:
Ta có:
2dxdxdx
F(x)
xx
3sinxcosx
sinx2sincos
6212212
===
ppp
ỉưỉưỉư
+
+++
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
èø
òòò


2
x
dtg

dxx
212
lntgC.
xxx
212
2tgcostg
212212212
éù
p
ỉư
+
ç÷
êú
p
èø
ëû
===++
ppp
ỉưỉưỉư
+++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
òò

Dạng 5: Tính tích phân bất đònh:
11
22
asinxbcosx
Idx.
asinxbcosx

+
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 55
· Bước 1: Biến đổi :
112222
asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
+=++-

· Bước 2: Khi đó:

2222
22
A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
Idx
asinxbcosx
++-
=
+
ò


22
22
22

acosxbsinx
AdxBdxAxBlnasinxbcosxC
asinxbcosx
-
=+=+++
+
òò

Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4sinx3cosx
f(x)
sinx2cosx
+
=
+
.
Giải:
Biến đổi:
4sinx3cosxa(sinx2cosx)b(cosx2sinx)
+=++-


(a2b)sinx(2ab)cosx
=-++

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2b4a2
2ab3b1
-==
ìì

Û
íí
+==-
ỵỵ

Khi đó:
2(sinx2cosx)(cosx2sinx)cosx2sinx
f(x)2.
sinx2cosxsinx2cosx
+
==-
++

Do đó:
cosx2sinxd(sinx2cosx)
F(x)2dx2dx
sinx2cosxsinx2cosx
-+
ỉư
=-=-
ç÷
++
èø
òò

2xlnsinx2cosxC
=-++

Dạng 6: Tính tích phân bất đònh:
11

2
22
asinxbcosx
Idx
(asinxbcosx)
+
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi :
112222
asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
+=++-

· Bước 2: Khi đó:

2222
2
22
A(asinxbcosx)B(acosxbsinx)
Idx
(asinxbcosx)
++-
=
+
ò

22
2
22 22
dxacosxbsinx
ABdx
asinxbcosx(asinxbcosx)
-
=+
+ +
òò


22
22
22
22
22
22
AdxB
sin(x)asinxbcosx
ab
AxB
ln|tg|C
2asinxbcosx
ab
=-
+a+
+
+a

=-+
+
+
ò

Trong đó
22
2222
2222
ba
sinvàcos
abab
a=a=
++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 56
Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
8cosx
f(x)
23sin2xcos2x
=
+-
.
Giải:
Biến đổi:
222
8cosx8cosx
f(x)
3sinx23sinxcosxcosx(3sinxcosx)

==
+++

Giả sử: 8cosxa(3sinxcosx)b(3cosxsinx)(a3b)sinx(a
b3)cosx
=++-=-++
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a2
a3b0
b23
ab3
ì
=
ì
-=
ïï
Û
íí
=
ï
+=
ï
ỵ
ỵ

Khi đó:
223(3cosxsinx)
f(x)
3sinxcsx(3sinxcosx)
-

=-
++

Do đó:
2
2dxd(3sinxcosx)
F(x)23
3sinxcosx(3sinxcosx)
+
=-
++
òò


1x23
lntgC.
2212
3sinxcosx
p
ỉư
=+-+
ç÷
èø
+

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là:

2dx1x
lntgC
2212

3sinxcosx
p
ỉư
=++
ç÷
èø
+
ò

Dạng 7: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
asinxbcosxc
=
++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta xét 3 khả năng sau:
1. Nếu
22
cab
=+

Ta thực hiện phép biến đổi:
2
1111
.
x
asinxbcosxcc[1cos(x)]2c

cos
2
==
-a
+++-a

trong đó
2222
ab
sinvàcos
abab
a=a=
++

Khi đó:
22
x
d
1dx11x
2
ItgC.
xx
2cc22
coscos
22
-a
ỉư
ç÷
-a
èø

===+
-a-a
òò

2. Nếu
22
cab
=-+

Ta thực hiện phép biến đổi:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 57
2
1111
.
x
asinxbcosxcc[1cos(x)]2c
sin
2
==
-a
++ a

trong đó
2222
ab
sinvàcos
abab
a=a=
++

Khi đó:
22
x
d
1dx11x
2
IcotgC.
xx
2ccc2
sinsin
22
-a
ỉư
ç÷
-a
èø
===+
-a-a
òò

3. Nếu
222
cab
¹+

Ta thực hiện phép đổi biến
x
ttg.
2

=
Khi đó:
2
222
2dt2t1t
dx,sinx&cosx.
1t1t1t
-
===
+++

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh
2dx
I
2sinxcosx1
=
-+
ò
.
Giải:
Đặt:
x
ttg,
2
= ta được:
22
2
2
111x12dt
dt.dx1tgdx(1t)dxdx

x
2222
1t
cos
2
ỉư
==+=+Þ=
ç÷
èø
+

Khi đó:
2
222
22
4dt
x
tg1
2dtd(t1)t1
1t2
I2lnClnC
x
t1
4t1tt2t(t1)1
tg1
1
2
1t1t
-
+-

+
====+=+
+
-++-
+
-+
++
òòò


x
lntgC.
24
p
ỉư
=-+
ç÷
èø


Dạng 8: Tính tích phân bất đònh:
111
122
asinxbcosxc
Idx.
asinxbcosxc
++
=
++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi:
11122222
asinxbcosxcA(asinxbcosxc)B(acosxbsinx)C
++=+++-+

· Bước 2: Khi đó:

22222
222
22
222222
A(asinxbcosxc)B(acosxbsinx)C
I
asinxbcosxc
acosxbsinx
dx
AdxBdxC
asinxbcosxcasinxbcosxc
+++-+
=
++
-
=++
++++
ò
òòò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 58

222
222
dx
AxBlnasinxbcosxcC
asinxbcosxc
=++++
++
ò

trong đó
222
dx
asinxbcosxc
++
ò
được xác đònh nhờ dạng 4.
Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
5sinx
f(x).
2sinxcosx1
=
-+
.
Giải:
Giả sử: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c
= (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c.
Đồng nhất đẳng thức, ta được:

2ab5a2
2ba0b1
ac0c2
+==
ìì
ïï
-=Û=
íí
ïï
+==-
ỵỵ

Khi đó:
2(2sinxcosx1)(2cosxsinx)2
f(x)
2sinxcosx1
-+++-
=
-+


2cosxsinx2
2
2sinxcosx12sinxcosx1
+
=+-
-+-+

Do đó:
2cosxsinx2

F(x)2dxdxdx
2sinxcosx12sinxcosx1
+
=+-
-+-+
òòò


d(2sinxcosx1)2dx
2dx
2sinxcosx12sinxcosx1
x
2xln|2sinxcosx1|lntgC.
22
-+
=+-
-+-+
p
ỉư
=+-+ +
ç÷
èø
òò

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là:
2dxx
lntgC.
2sinxcosx124
p
ỉư

=-+
ç÷
-+ èø
ò

Dạng 9: Tính tích phân bất đònh:
22
111
22
asinxbsinxcosxccosx
Idx.
asinxbcosx
++
=
+
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi:
22
111
asinxbsinx.cosxccosx
++
22
22
(AsinxBcosx)(asinxbcosx)C(sinxcosx)
=++++
· Bước 2: Khi đó:

22
22
22
(AsinxBcosx)(asinxbcosx)C
Idx
asinxbcosx
dx
(AsinxBcosx)dxC
asinxbcosx
+++
=
+
=++
+
ò
òò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 59

22
22
22
22
Cdx
AcosxBsinx
sin(x)
ab
Cx
AcosxBsinxln|tg|C

1
ab
=-++
+a
+
+a
=-+++
+
ò

trong đó
22
2222
2222
ba
sinvàcos
abab
a=a=
++
.
Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
4sinx1
f(x)
3sinxcosx
+
=
+
.
Giải:

Giả sử:
22222
4sinx15sinxcosx(asinxbcosx)(3sinxcosx)c(
sinxcosx)
+=+=++++
22
(a3c)sinx(ab3)sinx.cosx(bc)cosx.
=+++++
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
a3c5
a3
ab30b1
bc1c2
ì
+=
ì
=
ï
ï
í
+=Û=-
í
ï
ï
+==
ỵỵ

Do đó:
2dx
F(x)(3sinxcosx)dx

3sinxcosx
=
+
òò


1x
3cosxsinxlntgC.
2212
p
ỉư
= ++
ç÷
èø

Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là:
2dx1x
lntgC.
2212
3sinxcosx
p
ỉư
=++
ç÷
èø
+
ò

Dạng 10: Tính tích phân bất đònh:
22

dx
I.
asinxbsinxcosxccosx
=
++
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Biến đổi I về dạng:
22
dx
I
(atgxbtgxc)cosx
=
++
ò

· Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: t = tgx
Suy ra:
2222
1dxdt
dtdx&
cosx(atgxbtgxc)cosxatbtc
==
++++

Khi đó:
2
dt

I.
atbtc
=
++
ò

Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
22
dx
I
3sinx2sinxcosxcosx
=

ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 60
Giải:
Sử dụng đẳng thức:
2
dx
d(tgx)
cosx
=
Ta có:
2222
1
dtgx
dx1d(tgx)1
3

I
33
(3tgx2tgx1)cosx
1414
tgxtgx
3939
ỉư
-
ç÷
èø
===

ỉưỉư

ç÷ç÷
èøèø
òòò


12
tgx
11tgx11sinxcosx
33
lnClnClnC.
12
443tgx143sinxcosx
tgx
33

=+=+=+
++
-+


2. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN
Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác sử dụng các phép biến đổi
lượng giác
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen
thuộc. Các phép biến đổi thường dùng bao gồm:
· Phép biến đổi tích thành tổng (chúng ta đã thấy trong phương pháp phân tích)
· Hạ bậc
· Các kỹ thuật biến đổi khác.
Chúng ta sẽ lần lượt xem xét các ví dụ mẫu.

2.1. Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng:
Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau:
a/
1
cosx.cosy[cos(xy)cos(xy)]
2
=++- c/
1
sinx.cosy[sin(xy)sin(xy)]
2
=++-
b/
1

sinx.siny[cos(xy)cos(xy)]
2
= + d/
1
cosx.siny[sin(xy)sin(xy)]
2
=+

Ví dụ 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f(x)cos3x.cos5x.
=
(ĐHAN–97)
Giải:
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:
1
f(x)(cos8xcos2x)
2
=+
Khi đó:
1111
F(x)(cos8xcos2x)dxsin8xsin2xC.
2282
ỉư
=+=++
ç÷
èø
ò

Chú ý: Nếu hàm f(x) là tích của nhiều hơn 2 hàm số lượng giác ta thực hiện phép biến
đổi dần, cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau: