tích phân phổ thông trung học phần 2 pot

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<<
. Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC

1x
==+=+
+
ò

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22
1x
costvàsint
1x1x
==
++

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==

ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
ò


Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân
=y
dt'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó

Ig(t)dt.
=
ò










Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu có t là mẫu số
Hàm số
f(x,(x)
j
t(x)
=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)

22
=¹

Hàm
1
f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:


txaxb
=+++

· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:


txaxb
=-+


Trần Só Tùng Tích phân
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.
=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x
=- . Suy ra:
dt6xdx
=


328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618

ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
2
xdx
I
1x
=
-
ò

Giải:
Đặt:
2
t1xx1t
=-Þ=-

Suy ra:
222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x

=-==-+
-

Khi đó:
425342
122

I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+= ++= ++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
= +-+=-++-+


Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.
=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-

=-Þ= . Suy ra:
2
3
2xdxttdt,
2
=-

3
5222222274
33
1t33
x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt.
248
-
ỉư
-=-=-=-
ç÷
èø

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò

22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
= +


4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
= +

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.
=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx
=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxd
x
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.
==-
=-=-

Khi đó:
627362
112
I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC
7321
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò


3
2
(cosx7cosx)cosxC.
21
=-+

Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2

cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx
=-Þ=-=+
Suy ra:
dt2sinxcosxdx,
=


32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:

22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++
ç÷
èø
ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
8
cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Đặt: t = cotgx
Suy ra:
2
1
dtdx,
sinx
=-

22
2222

862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò


753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++

Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx

I
ee
=
-
ò

Giải:
Đặt:
x/2
te
-
=

Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
=-Û-=

x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-

-
====+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 19
Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1)C.
t1

ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te
=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx

I
1e
=
+
ò
.
Giải:
Cách 1:
Đặt:
x2x
t1et1e
=+Û=+

Suy ra:
x
222
x
2tdtdx2tdt2tdt
2tdtedxdx&.
t1t(t1)t1
1e
=Û===

+

Khi đó:
x
2
x
dtt11e1

I2lnClnC
t1t1
1e1
-+-
==+=+
-+
++
ò

Cách 2:
Đặt:
x/2
te
-
=
Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1

-
===

++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt
I22lntt1C2lnee1C
t1

=-=-+++=-+++
+
ò

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I,vớia0.
xa
=¹
+
ò
.
Giải:
Đặt:
2
txxa
=++

Suy ra:
2

222
xxaxdxdt
dt1dxdx
t
xaxaxa
++
ỉư
=+=Û=
ç÷
+++
èø

Khi đó:
2
dt
IlntClnxxaC.
t
==+=+++
ò

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:

· Với
x10
x1
x20
+>
ì
Û>-
í
+>
ỵ

Đặt:
tx1x2
=+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 20
Suy ra:
11(x1x2)dxdx2dt
dtdx
t
2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2)
+++
ỉư
=+=Û=
ç÷
++++++
èø

Khi đó:

dt
I22lntC2lnx1x2C
t
==+=++++
ò

· Với
x10
x2
x20
+<
ì
Û<-
í
+<
ỵ

Đặt:
t(x1)(x2)
=-++-+

Suy ra:
[(x1)(x2)]dx
11
dtdx
2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
= =
êú

-+-+++
ëû


dx2dt
t
(x1)(x2)
Û=-
++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+= ++-++
ò

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
29
f(x)x(x1);
=- b/
4
10
x
f(x);
x4
=
-

c/
2
3
xx
f(x);
(x2)
-
=
-
d/
2
4
x1
f(x);
x1
-
=
+

ĐS: a/
121110
121
(x1)(x1)(x10)C.
121110
-+-+-+
b/
5
5
1x2
lnC.

20x2
-
+
+

c/
2
2x5
lnx2C;
(x2)
-
+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21
-+
+
++

Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
2x
f(x);
xx1
=

+-
b/
223
1
f(x)(a0)
(xa)
=>
+
; c/
32
1
f(x).
xx
=
-

ĐS: a/
323
22
x(x1)C;
33
+
b/
222
x
C;
axa
+
+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2
ỉư
++-+
ç÷
èø

Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/
1
f(x)
cosx
= ; c/
3
sinxcosx
f(x)
sinxcosx
+
=

-
;
d/
3
cosx
f(x);
sinx
= e/
4
1
f(x).
sinx
=
ĐS: a/
2148
333
333
sinxsinxsinxC;
2144
+-+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 21
b/
x
lntgC;
24
p
ỉư
++

ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;
2
-+

d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+
e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
+

Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
1
f(x);
1e
=
+

b/
x
x1
f(x);
x(1xe)
+
=
+

c/
xx
xx
2.3
f(x);
94
=
-
d/
1
f(x);
xlnx.ln(lnx)
=

ĐS: a/
x2x
ln(ee1)C;

-+++
b/
x

x
xe
lnC;
1xe
+
+

c/
xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/
lnln(lnx)C.
+


Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần:
udvuvvdu.
=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.
==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ
ỵ

+ Bước 3: Khi đó:

Iuvvdu.
=-
ò

Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh:
2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22

2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï
=+

ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.
=+++-=+++-+
ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh:
Icos(lnx)dx.
=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=

ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.
=+
ò
(1)
Xét
Jsin(lnx)dx.
=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=

ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I
=-=-
ò
(2)
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)
]C.
2
=+-Û=++

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx
==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :

1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)
=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :
1

ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)
=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)]

C.
22
=-+=++


Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx)
sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí

=
ïï
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø
òò


ln(cosx).tgxtgxxC.
=+-+


Bài toán 2: Tính
IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)
=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.
=-a+a

aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có:
IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)
=a=a+a+
ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx
(2)
a=+a++

Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx
=
ò
(ĐHL_1999)

Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét
Jxcos2xdx.
=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì

==
ï
=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:
x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++

Ví dụ 5: Tính :

32
I(xx2x3)sinxdx.
=-+-
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx
=-+-
ò


3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)
=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221
a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï
+=-+=-
ỵỵ

Giải (I) và (II), ta được:
11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.
=-======-=-

Khi đó:
322

I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.
=-++++-++


Bài toán 3: Tính
(
)
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.
=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï

Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axax
1b
Iecos(bx)esin(bx)dx.(1)
aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.
=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx

a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa
=+-

ax

22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+
+

· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
+ Bước 1: Ta có:
axax
Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)
==++
ò

trong đó A, B là các hằng số.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 26
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

axaxax
ax
e.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)B
sin(bx)]e
[(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e.
=-+++
=++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
22

22
a
A
AaBb1
ab
BaAb0b
B
ab
ì
=
ï
+=
ì
ï
+
Þ
íí
-=
ỵ
ï
=
ï
+
ỵ

+ Bước 3: Vậy:
ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e
IC.

ab
+
=+
+

Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:

axax
12
Iecos(bx)dxvàIesin(bx)dx.
==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=

ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
12
1b1b
Iecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3)
aaaa
=+=+
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubcos(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx

a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
21
1b1b
Iesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4)
aaaa
=-=-
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


axax
12
2222
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]e

IC.IC.
abab
+-
=+=+
++

2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:

ax2ax2
12
Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.
==
òò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
x2
Ie.cosxdx.
=
ò

Giải:
Cách 1: Viết lại I dưới dạng:

xxxxx
111
Ie.(1cos2x)dx(edxe.cos2xdx)(ee.cos2xdx)(
1)
222
=+=+=+
òòòò

· Xét
x
Je.cos2xdx.
=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 27
Đặt:
xx
ucos2xdu2sin2xdx
dvedxve
==-
ìì
Þ
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
xx
Jecos2x2esin2xdx(2)
=+
ò

· Xét:
x
Kesin2xdx.
=

ò

Đặt:
xx
usin2xdu2cos2xdx
dvedxve
==
ìì
Þ
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
xxx
Kesin2x2ecos2xdxesin2x2J(3)
=-=-
ò

Thay (3) vào (2), ta được:

xxx
1
Jecos2x2(esin2x2J)J(cos2x2sin2x)eC(4)
5
=+-Û=++
Thay (4) vào (1), ta được:

xxx
111

I[e(cos2x2sin2x)e]C(5cos2x2sin2x)eC
2510
=+++=+++

Cách 2:
xx
1
Ie.(1cos2x)dx(ab.cos2xc.sin2x)eC.(5)
2
=+=+++
ò

Lấy đạo hàm hai vế của (5), ta được:

xxx
x
1
e(1cos2x)(b.sin2x2c.cos2x)e(ab.cos2xc.si
n2x)e
2
[a(2xb)cos2x(c2b)sin2x]e.(6)
+=-++++
=+++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
2a1a1/2
2(2cb)1b1/10.
2(c2b)0c1/5
==
ìì

ïï
+=Þ=
íí
ïï
-==
ỵỵ

Vậy:
x
1
I(5cos2x2sin2x)eC.
10
=+++

Bài toán 4: Tính
x
IP(x)edx
a
=
ò
với P là một đa thức thuộc R[X] và
*
R.


PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax

x
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
xx
11
IP(x)eP'(x).e.dx.
aa
=-
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 28
+ Bước 1: Ta có:
xx
IP(x).e.dxA(x)eC.(1)
aa
==+
ò

trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

xx
P(x).e[A'(x)A(x)].e(2)
aa
=+a
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được A(x).
+ Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
· Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
· Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 7: Tính :
3x
Ixedx.
=
ò

Giải:
Đặt:
3x
3x
dudx
ux
1
ve
dvedx
3
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ
. Khi đó:
3x3x3x3x
1111
Ixee.dxxeeC.
3339
=-=-+
ò

Ví dụ 8: Tính :
322x
I(2x5x2x4)edx
=+-+
ò

Giải:
Ta có:
322x322x
I(2x5x2x4)edx(axbxcxd)eC.(1)
=+-+=++++
ò

Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

322x322x
(2x5x2x4)e[2ax(3a2b)x(2b2c)xc2d]e(2)
+-+=++++++
Đồng nhất đẳng thức ta được:
2a2a1
3a2b5b1
2b2c2c2
c2d4d3
==
ìì
ïï
+==
ïï
Û

íí
+=-=-
ïï
ïï
+==
ỵỵ

Khi đó:
322x
I(xx2x3)eC.
=+-++


Bài toán 5: Tính
Ix.lnxdx,vớiR\{1}.
a
=-
ò

Đặt :
1
1
dudx
ulnx
x
1
dvxdx
vx
1
a

a+
ì
=
ï
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
a+
ỵ

Khi đó:
111
2
xxxx
IlnxdxlnxC.
111(1)
a+aa+a+
=-=-+
a+a+a+ a+
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 29

Ví dụ 9: Tính
2
Ixln2xdx.
=
ò

Đặt :
2
3
dx
du
uln2x
x
1
dvxdx
vx
3
ì
=
ï
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï

ỵ
. Khi đó:
333
2
xxx
Iln2xxdxln2xC.
339
==-+
ò

BÀI TẬP
Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
f(x)lnx;
=
b/
22x
f(x)(x1)e
=+ ; c/
2
f(x)xsinx;
=
d/
x
f(x)esinx;
= e/
f(x)x.cosx;
= f/
x2
f(x)e(1tgxtgx).

=++
ĐS: a/
xlnxxC
-+
b/
22x
1
(2xx3)eC;
4
-++

c/
2
(2x)cosx2sinxC;
-++
d/
x
1
e(sinxcosx)C;
2
-+

e/
2x(x6)sinx6(x2)cosxC;
-+-+
f/
x
etgxC.
+

Bài 17. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
x
f(x)e;
= b/
2
lnx
f(x);
x
ỉư
=
ç÷
èø
c/
22
f(x)(x1)cosx;
=+
d/
2x
f(x)e.cos3x;
-
= e/
f(x)sin(lnx);
=
f/
2
f(x)xK,(K0);
=+¹
ĐS: a/
x

2(x1)eC;
-+
b/
2
lnx
2lnx2xC;
x
+

c/
32
(x1)(x1)sin2x(x1)cos2xsin2x
C;
6448
+++
++-+

d/
2x
e
(3sin3x2cos3x)C;
13
-
-+
e/
[ ]
x
sin(lnx)cos(lnxC;
2
++

f/
22
xK
xKlnxxKC.
22
+++++

Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
3
f(x)xlnx
= (HVQY_1999) b/
2
f(x)(x2)sin2x
=+ (ĐHPĐ_2000)
c/
f(x)xsinx
= (ĐHMĐC_1998)
ĐS: a/
44
11
xlnxxC;
416
-+
b/
2
1x1
(x2)cos2xsin2xcos2xC;
224

-++++

c/
3
2xcosx6xsinx12xcosx12sinxC.
-++-+



Tích phân Trần Só Tùng
Trang 30
Vấn đề 6: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác đònh nguyên hàm của f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ là
tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số
f(x)g(x)
±
dễ xác đònh hơn so với
hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
+ Bước 2: Xác đònh các nguyên hàm của các hàm số
f(x)g(x),
±
tức là:

1
2
F(x)G(x)A(x)C

(I)
F(x)G(x)B(x)C
+=+
ì
í
-=+
ỵ

+ Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được:
1
F(x)[A(x)B(x)]C
2
=++

là họ nguyên hàm của hàm số f(x).

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số:
sinx
f(x).
sinxcosx
=
-

Giải:
Chọn hàm số phụ:
cosx
g(x)
sinxcosx
=
-

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

sinxcosx
f(x)g(x)
sinxcosx
+
+=
+


1
2
sinxcosxd(sinxcosx)
F(x)G(x)dxlnsinxcosxC.
sinxcosxsinxcosx
sinxcosx
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
sinxcosx
+-
Þ+===-+

-
-==Þ-==+
-
òò
ò

Ta được:
1

2
F(x)G(x)lnsinxcosxC
1
F(x)(lnsinxcosxx)C.
2
F(x)G(x)xC
ì
+=-+
ï
Þ=-++
í
-=+
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số:
4
44
cosx
f(x)
sinxcosx
=
+

Giải:
Chọn hàm số phụ:
4
44
sinx
g(x)

sinxcosx
=
+

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

44
1
44
sinxcsx
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC
sinxcosx
+
+==Þ+==+
+
ò


4422
4422222
2
cosxsinxcosxsinxcos2x
f(x)g(x)
1
sinxcosx(cosxsinx)2cosx.sinx
1sin2x
2

-===
++-

-