Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Ảnh hưởng các tham số lên gia tăng phonon trong hố lượng tử bán dẫn" doc

trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009


15

ảnH hởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON
TRONG Hố lợng tử BáN dẫn

NGUYễN TIếN DũNG
(a)


Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập phơng trình động lợng tử đối với
phonon trong hố lợng tử bán dẫn. Sử dụng phơng trình này chúng tôi tìm đợc hệ số
gia tăng phonon xét cho trờng hợp khí electron suy biến, điều kiện gia tăng phonon và
khảo sát sự ảnh hởng của các tham số hố lợng tử lên hệ số gia tăng phonon.

1. Mở đầu
Hiệu ứng gia tăng phonon do hấp thụ năng lợng của Laser đã đợc phát hiện
và nghiên cứu trong bán dẫn khối, dây lợng tử bán dẫn, hố lợng tử bán dẫn và siêu
mạng bán dẫn. Cơ chế của sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lợng của trờng Laser
là quá trình hấp thụ photon kèm theo sự hấp thụ hay phát xạ phonon. Vì vậy, sự gia
tăng phonon chỉ xảy ra khi thỏa mãn các điều kiện về năng lợng và xung lợng để các
electron có thể chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối kèm theo phát xạ phonon.
Nội dung của bài báo này là nghiên cứu ảnh hởng của trờng laser lên sự gia tăng
phonon trong hố lợng tử bán dẫn (Quantum Well Semiconductor) cho trờng hợp khí
electron không bị suy biến bằng phơng pháp phơng trình động lợng tử [1].
2. Phơng trình động học cho phonon trong hố lợng tử

Mô hình nghiên cứu là hố thế lợng tử bán dẫn đợc tạo nên từ tinh thể bị giới
hạn bởi hai hàng rào thế cao vô hạn, cách nhau một khoảng L bé (không quá vài trăm
0
A
). Các hàng rào hố thế này có thể phản xạ các sóng Bloch dọc theo trục Oz vuông góc
với hàng rào thế. Giả sử sóng laser lan truyền dọc theo trục Oz, véctơ cờng độ điện
trờng của sóng Laser có dạng
0
E E sin t
=
r r
,
0
E
r
hớng vuông góc với trục Oz. Giả sử
hố thế không giam giữ phonon. Năng lợng của electron bị lợng tử hoá, trạng thái
electron đợc đặc trng bởi chỉ số lợng tử hoá n và véc tơ sóng
k

r
vuông góc với trục
Oz. Hamiltonian của hệ electron-phonon trong hố lợng tử dới tác dụng của trờng
laser trong biểu diễn lợng tử hóa thứ cấp có dạng [1]:
1 1
1
1
2 1
1 2
1 2

(n ) (n )
e ph e ph n q q q
k
k
q
k ,n
(n ) (n )
n ,n q q
k q
k
k ,q ,n ,n
e

H(t) H H H k A(t) a a b b
c
C (q) a a (b b )
+



+



+

+

+

= + + = +


+ +


r
r r r
r
r
r r r
r
r
r
r
r
r
h
h
r
(1)
ở đây
(n)
k
a
+

r
và
(n)

k
a

r
tơng ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của electron ở trạng thái n
(n là chỉ số lợng tử hóa năng lợng theo phơng trục Oz) ,
q
b
+
r
và
q
b
r
tơng ứng là toán
tử sinh và toán tử hủy phonon,
q q
=
r r
h
là năng lợng của phonon với vectơ sóng


Nhận bài ngày 04/9/2008. Sửa chữa xong 27/7/2009.



NGUYễN TIếN DũNG ảnH hởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON , Tr. 15-20

16

q
r
,
n
(k )


r
là phổ năng lợng của electron, có dạng [2]:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
n o n
2
e e e
e
k k k
(k ) n n
2m 2m 2m
2m L



= + = + = +
r r r
r
h h hh
,

với n = 0,1,2 và
2 2
o
2
e
2m L

=
h
(2)
e và
e
m là điện tích và khối lợng hiệu dụng của electron, c là vận tốc ánh sáng trong
chân không.
)(tA
r
là thế vectơ liên hệ với véctơ cờng độ điện trờng laser :
0 0 0
A A cos t, A cE /
= =
r r
. (3)
1 2 1 2
n n q n n
C (q) C I (q)
=
r
r r
, trong đó
q

C
r
là hằng số tơng tác electron-phonon trong hố lợng
tử và có dạng cụ thể phụ thuộc vào cơ chế tơng tác, còn
1 2
n n
I (q)
r
có dạng [2]:
1 2
L
1 2
n n z z
0
n z n z2
I (q ) sin( ) sin( ) exp(iq z)dz
L L L

=

. (4)
Sử dụng phơng pháp nh trong [1] chúng tôi tìm đợc phơng trình động lợng
tử cho phonon trong hố lợng tử:
( )
( )
( )
1 2
1 2
2 1 2 1
1 2 1 2

t
2
q
2
n n q
2
k,n ,n
n n n n q
n n n n q
N (t)
1
C (q) J / dt' N (t')
t
i
f (k q) f (k ) exp (k q) (k ) (t t')
i
f (k ) f (k q) exp (k ) (k q) (t t ')
+
=




=




ì + +

+




r
r
l
r
l
r
r
r
h
h
r r r r
r r
lh
h
r r r r
r r
lh
h

(5)
ở đây
q q q t
N (t) b b
+
=< >
r r r
, ký hiệu
t
X
< >
là trung bình thống kê của đại lợng vật lý X tại
thời điểm t,
(
)
0 e
e E q / m

=
r
r
h ,
J (z)
l
là các hàm Bessel bậc

l
đối số z,
n
f (k )

r
là
hàm phân bố của electron (ở đây ta chỉ quan tâm đến sự gia tăng phonon, vì vậy chúng
ta có thể giả thiết rằng hàm phân bố của electron không phụ thuộc thời gian).
3. Hệ số gia tăng phonon trong hố lợng tử
Để thiết lập hệ số gia tăng phonon ta đa phơng trình (5) về dạng:

q
q q
N
N (t)
t

=

r
r r
. (6)



trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009


17

Hệ số
q

r
chính là hệ số gia tăng phonon:
q
0
>
r
có nghĩa là số phonon tăng theo thời
gian, ngợc lại
q
0
<
r
có nghĩa số phonon giảm theo thời gian.
Hệ số gia tăng phonon tìm đợc có dạng [1]:
( ) ( )
{ }
1 2 2 1
1 2
2 1 2 1
2
q n n n n
k,n ,n
n n q n n q
C (q) f (k q) f (k)
(k q) (k) (k q) (k)

= +

ì + + + +

r
r
r r
r r
r r
h
r r r r
r r
(7)
Có thể thấy rằng hệ số gia tăng phonon gồm đóng góp của cả hai quá trình: hấp
thụ photon (chứa hàm Delta thứ nhất) và phát xạ photon (chứa hàm Delta thứ hai) của
trờng laser. Vì vậy, có thể viết
)()( +
+=
qqq
rrr

, trong đó:
( )
1 2 2 1 2 1
1 2
2
( )
q n n n n n n q
k,n ,n

C (q) f (k q) f (k) (k q) (k)



= + +


r r
r
r r r r
r r r
h
. (8)
Khí electron không suy biến có hàm phân bố Boltzmann:

(
)
n F n
f (k ) exp (k )


=

r r
, (9)
với
F

là năng lợng Fermi,
B

1/ (k T)
=
(k
B
là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tinh
thể). Khi đó biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon trong trờng hợp khí electron
không suy biến là:
( )
( )
{ }
1 2
1 2
1/2
3
2
( ) 2
e
q n n F o 1
4 2 3
n ,n
2
2 2
2 2
e
o 2 1 q q
2 2
e
m
S
C (q) exp n

q 8
m
q
exp (n n ) exp 1
2m
2 q






=









ì +






r

r r
r
h
h
h m h m
h
(10)
Từ biểu thức (10) ta thấy quá trình phát xạ photon (dấu dới) luôn cho đóng góp
( )
q
0

<
r
, còn quá trình hấp thụ photon (dấu trên) sẽ cho đóng góp
( )
q
0
+
>
r
nếu:

0
q
e
eq E
m

= >

r
r
r
h
h
(11)
Điều này có nghĩa là chỉ có quá trình hấp thụ photon và thoả mãn điều kiện năng lợng
(11) mới có quá trình gia tăng phonon.
Nếu ta xét tơng tác là giữa điện tử và phonon âm thì hệ số gia tăng phonon âm
có dạng:




NGUYễN TIếN DũNG ảnH hởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON , Tr. 15-20


18


( )
( )
{ }
1 2
1 2
1/2
3
2
2

( )am 2
e
q n n F o 1
3 3
n ,n
a
2
2 2
2 2
e
o 2 1 q q
2 2
e
m
I (q) exp n
2 q L v 8
m
q
exp (n n ) exp 1
2m
2 q
+






=

ì +






r
r r
r
h
h
h h
h
(12)
trong đó

là thế biến dạng,

là khối lợng riêng của tinh thể,
a
v

là vận tốc sóng âm.
4. Khảo sát sự ảnh hởng của các tham số đối với hệ số gia tăng phonon
Chúng ta khảo sát sự ảnh hởng của các tham số đối với hệ số gia tăng phonon
âm trong hố lợng tử với các tham số đợc sử dụng để tính toán nh sau:
34
1,05 10 Js

= ìh
,
e 0
m 0,066m
=
, với
0
m
là khối lợng electron,
0,05
f
e
=
eV,
3 3
5,32.10 kg / m
=
,
a
v 5370 m / s
=
,
13,51 eV

=
,
T 400 K
=
,
1 2
n 1, n 2
= =
,
14
4,5.10 rad / s
= ,
8
0
E 1, 2.10 V / m
=
.
4.1. ảnh hởng của số sóng
Sự ảnh hởng của số sóng q lên hệ số gia tăng phonon đợc biểu diễn qua Hình 1.

Chúng ta nhận thấy có những giá trị số sóng q làm cho hệ số gia tăng phonon
đạt giá trị cực trị trong đó giá trị cực đại của hệ số gia tăng là khác nhau. Dựa vào đồ thị

Hình 1
:

Sự phụ thuộc hệ số gia tăng với số sóng
ở đây
8
L 3.10 m

=
,
z
q q

=
=
q
2

1/s

1/m




trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVIII, số 2A-2009


19

chúng ta có thể chọn đợc giá trị số sóng thích hợp để hệ số gia tăng phonon là lớn nhất.
4.2. ảnh hởng của chiều rộng hố lợng tử
Sự ảnh hởng của chiều rộng hố lợng tử lên hệ số gia tăng phonon đợc biểu
diễn qua Hình 2:













Chúng ta nhận thấy có một giá trị chiều rộng hố lợng tử L cho ta tốc độ gia
tăng phonon đạt giá trị cực đại, với giá trị L cỡ 2.10-8 m.
5. Kết luận

Trong bài báo này, bằng phơng pháp phơng trình động lợng tử, vấn đề chúng
tôi nghiên cứu ảnh hởng của các tham số lên sự gia tăng phonon trong hố lợng tử khi
có mặt trờng laser đối với khí electron không bị suy biến đã đợc nghiên cứu.
Chúng tôi đã thiết lập đợc phơng trình động lợng tử cho phonon. Phơng
trình này có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất quang và các tính
chất dịch chuyển, trong đó hệ phonon là không cân bằng còn khí electron là cân bằng.
Từ phơng trình động lợng tử chúng tôi tìm đợc các biểu thức giải tích xác định điều
kiện gia tăng phonon và hệ số gia tăng phonon. Hệ số gia tăng phonon ngoài sự phụ
thuộc vào trờng laser mà còn phụ thuộc vào các tham số đặc trng cho hố lợng tử và
cơ chế tơng tác của từng loại phonon.
Từ hệ số gia tăng phonon chúng tôi đã tiến hành sự khảo sát số sự ảnh hởng
của các thông số của hố lợng tử lên hệ số gia tăng này. Từ đó chúng tôi chỉ ra đợc các
giá trị mà tại đó hệ số gia tăng phonon là cực đại.



Hình 2
:

Sự phụ thuộc hệ số gia tăng với chiều rộng hố lợng tử
ở đây
z
q q

=
=
q
2
= 5.10
8

(1/m)
1/s

m




NGUYễN TIếN DũNG ảnH hởng CáC THAM số lêN GIA tăNG PHONON , Tr. 15-20


20


TI LiệU THAM KhảO

[1] Trần Công Phong và Lê Đình, Sự gia tăng phonon trong hố lợng tử của vật rắn có
cực dới tác dụng của trờng laser, Tạp chí Khoa học, Đại học Huế, Số 13, 2002,
tr.37.
[2] F. Ping and C. Nanxian, Amplification of the interface-phonons population under an
an intense laser field, Phys. Rev. B46, 1992, pp. 7627.


SUMMARY

THE INFLUENCE OF PARAMETERS ON THE PHONON APLIFICATION IN
SEMICONDUCTOR QUANTUM WELL

In this paper, we established the kinetic equation for phonons in semiconductor
quantum well. Using this equation, we find expression for the rate coefficient for the

case non-degenerate electron gas, the condition of the phonon increase, and study the
influence of the parameters of the semiconductor quantum well on the rate coefficient.


(a)
KHOA VậT Lí, trờng ĐạI HọC VINH.