Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều" ppsx

Báo cáo nghiên cứu
khoa học:

"Sự hội tụ trong
không gian của
mảng nhiều chiều
các toán tử đo được
khả tích đều"
Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các
toán tử đo đợc khả tích đều
Nguyễn Văn Quảng
(a)
, Lê khánh Kiều
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ trong
không gian L
p
của mảng nhiều chiều các toán tử đo đợc khả tích đều trong đại số von
Neumann. Các kết quả này là sự mở rộng một số kết quả gần đây (xem [4], [6], [8]).
I. Mở đầu
Trong thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu về sự hội tụ theo trung bình
và luật yếu số lớn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên khả tích đều (xem
[1], [5], [8],. . . ). Việc nghiên cứu những kết quả tơng tự trong lý thuyết xác suất
không giao hoán cũng đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Bài báo này nghiên
cứu về sự hội tụ trong không gian L
p
(p = 1, 2) của mảng nhiều chỉ số các toán tử đo
đợc khả tích đều.
Trong suốt bài báo, ta luôn giả sử H là không gian Hilbert phức; A là đại số von

Neumann của các toán tử tác động lên không gian Hilbert H với trạng thái vết chuẩn
tắc, chính xác ;

A là đại số các toán tử đo đợc tơng ứng theo nghĩa Segal- Nelson
(xem [3]). Với p > 0, x A, đặt x
p
= [(|x|
p
)]
1/p
, với |x| là toán tử dơng duy
nhất xác định bởi đẳng thức |x|
2
= x

x. Khi đó, (A, .
p
) là một không gian định
chuẩn. Ký hiệu L
p
(A, ) là không gian Banach bé nhất chứa (A, .
p
), ta có
L
p
(A, ) := {x

A : (|x|
p
) < }.

Đối với mỗi toán tử tự liên hợp x

A, ta kí hiệu e

(x) là phép chiếu phổ của x
tơng ứng với tập Borel R. Hai toán tử tự liên hợp x, y

A đợc gọi là có cùng
phân phối nếu (e

(x)) = (e

(y)) với mọi tập Borel R.
Với d là số nguyên dơng cho trớc, đặt
N
d
=

n = (n
1
, n
2
, . . . , n
d
), n
i
N, i = 1, . . . , d

.
N

d
đợc sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ:
k m k
i
m
i
, với mọi i = 1, . . . , d
với k = (k
1
, k
2
, . . . , n
d
), m = (m
1
, m
2
, . . . , m
d
).
Với n N
d
, n = (n
1
, n
2
, . . . , n
d
), ta đặt
|n| =

d

i=1
n
i
= Card{k N
d
, k n}.
1
Nhận bài ngày 11/12/2008. Sửa chữa xong 06/4/2009.
Cho mảng (x
n
, n N
d
) L
p
(A, ) và x L
p
(A, ). Ta nói (x
n
, n N
d
) hội tụ
(i) theo tôpô độ đo tới x và viết x
n

x nếu
lim
|n|
(e

[,)
(|x
n
x|)) = 0 với mọi > 0.
(ii) trong không gian L
p
tới x và viết x
n
L
p
x nếu
lim
|n|
(|x
n
x|
p
) = 0.
Hai đại số con A
1
, A
2
của A đợc gọi là độc lập, nếu với mọi x A
1
, y A
2
ta có
(xy) = (x)(y).
Hai phần tử x, y

A đợc gọi là độc lập nếu các đại số sinh bởi x và y tơng ứng
là độc lập.
Mảng (x
n
, n N
d
)

A đợc gọi là độc lập đôi một, nếu với mọi m, n N, n = m
thì các toán tử x
n
, x
m
độc lập.
Mảng (x
n
, n N
d
)

A gọi là khả tích đều nếu
(i) sup
nN
d
(|x
n
|) < ,
(ii) > 0, c > 0 : sup
nN
d

|x
n
|e
[c,)
(|x
n
|)

< .
Giả sử mảng (x
n
, n N
d
)

A và x

A. Khi đó, nếu tồn tại một hằng số C > 0
sao cho với mọi > 0 và mọi n N
d


e
[,)
(|x
n
|)

C

e
[,)
(|x|)

,
thì ta viết (x
n
) x.
Định lý sau là dạng không giao hoán của bất đẳng thức Tchebyshev.
1.1. Định lý. ([3], Định lý 3.6.1). Giả sử x

A, g : R
+
R
+
là hàm đo đợc
không giảm. Khi đó với mỗi > 0 cho trớc ta có
[e
[,)
(|x|)]
(g(|x|))
g()
.
Từ định lý này ta suy ra đợc hệ quả sau mà nó là dạng không giao hoán của bất
đẳng thức Markov.
1.2. Hệ quả. Nếu x

A thì với mỗi > 0, ta có

e
[,)
(|x|)




|x|
p


p
, với mọi
p > 0.
Từ hệ quả này ta có thể suy ra đợc rằng: sự hội tụ trong không gian L
p
là mạnh
hơn sự hội tụ theo tôpô độ đo.
Độc giả quan tâm có thể tìm đọc thông tin đầy đủ hơn về xác suất không giao
hoán trong [3].
II. Các kết quả
Trớc hết, ta chứng minh bổ đề sau.
2.1. Bổ đề. ([7]) Cho x là một toán tử tự liên hợp của

A. Khi đó với mỗi a R, ta có


|x + a|
r

C
r

(|x|
r
) + |a|
r

,
trong đó
C
r
=

1 nu r 1
2
r1
nu r > 1.
Chứng minh. Giả sử toán tử tự liên hợp x

A có biểu diễn phổ là
x =



e(d).
Khi đó, từ bất đẳng thức sơ cấp | + |
r
C

r
(||
r
+ ||
r
), , R ta có
(|x + a|
r
) =



| + a|
r


e(d)

C
r



(||
r
+ |a|
r
)

e(d)

= C
r

(|x|
r
) + |a|
r

.
Kết quả chính của bài báo này là định lý sau. Đây cũng chính là dạng không giao
hoán của một phần định lý 2.1 trong [8].
2.2. Định lý. Cho mảng (x
n
, n N
d
)

A các toán tử độc lập đôi một, tự liên hợp
sao cho {|x
n
|, n N
d
} khả tích đều. Khi đó
1
|n|

in
(x
i

(x
i
))
L
1
0 khi |n| .
Chứng minh. Vì {|x
n
|} khả tích đều nên với mọi > 0, tồn tại M > 0 sao cho


|x
n
|e
[M,)
(|x
n
|)

< , n N
d
.
Với mọi n N, ta đặt x

n
= x
n
e
[0,M)
(|x

n
|), x

n
= x
n
e
[M,)
(|x
n
|). Theo Bổ đề 1, ta có
|x

n
(x

n
)| 2(|x

n
|) < 2. Từ đó ta thu đợc
|

in
(x
i
(x
i
))| |

in
(x

i
(x

i
))| + |

in
(x

i
(x

i
))|
[ |

in
(x

i
(x

i
))|
2
]
1/2

+

in
|x

i
(x

i
)|.
Vì mảng (x
n
, n N
d
) độc lập đôi một nên
(



in

x

i
(x

i
)

2
)
=


in
(x

i
(x

i
))

.

in
(x

i
(x

i
))

=


in

|x

i
(x

i
)|
2
+

i=j
[x

i
(x

i
)]

[x

j
(x

j
)]

=

in
(|x

i
(x

i
)|
2
) +

i=j
((x

i
(x

i
))

[x

j
(x

j
)])

=

in
(|x

i
(x

i
)|
2
)

in
(|x

i
|
2
) |n|M
2
.
Mặt khác, nhờ bất đẳng thức Minkovski và lập luận trên ta có
|

in
(x

i
(x

i

)|

in
|x

i
(x

i
)| < 2|n|.
Do đó, ta nhận đợc |

in
(x
i
(x
i
))| (|n|M
2
)
1/2
+ 2|n|. Điều này chứng tỏ
|

in
(x
i
(x
i
))| = o(|n|) khi |n| . Định lý đợc chứng minh.

Hệ quả sau là dạng không giao hoán của luật yếu số lớn. Đây cũng chính là mở
rộng Hệ quả 2.4 trong [6].
2.3. Hệ quả. Giả sử (x
n
, n N
d
) là mảng các toán tử đo đợc tự liên hợp, độc lập đôi
một, cùng phân phối sao cho (|x
1
|) < . Khi đó
1
|n|

in
x
i
(x
1
) trong không
gian L
1
và theo tôpô độ đo khi |n| . Chú ý rằng nếu (x
n
, n N
d
)

A, x

A

sao cho (x
n
) x và (|x|) < thì mảng (|x
n
|, n N
d
) khả tích đều. Do đó ta có hệ
quả sau.
2.4. Hệ quả. Giả sử (x
n
, n N
d
) là mảng các toán tử đo đợc tự liên hợp, độc lập
đôi một, x là toán tử đo đợc sao cho (x
n
) x và (|x|) < . Khi đó
1
|n|

in

x
i

(x
i
)

0 trong không gian L
1

và theo tôpô độ đo khi |n| . Với trờng hợp
p = 2, ta có định lý sau.
2.5. Định lý. Cho mảng (x
n
, n N
d
)

A các toán tử độc lập đôi một, tự liên hợp
sao cho {|x
n
|
2
, n N
d
} khả tích đều. Khi đó
1
|n|

in
(x
i
(x
i
))
L
2
0 khi |n| .
Chứng minh. Vì {|x
n

|
2
, n N
d
} khả tích đều nên với mọi > 0, tồn tại M > 0
sao cho

|x
n
|
2
e
[M,)
(|x
n
|)

< , với mọi n N
d
. Với mỗi n N
d
, ta đặt x

n
=
x
n
e
[0,M)
(|x

n
|), x

n
= x
n
e
[M,)
(|x
n
|). Khi đó nhờ Bổ đề 1, ta nhận đợc |x

n
(x

n
)|
2

4(|x

n
|
2
) < 4. Mặt khác ta có
|

in
(x
i

(x
i
))|
2
|

in
(x

i
(x

i
)|
2
+ |

in
(x

i
(x

i
)|
2
.
Vì mảng (x
n
, n N

d
) độc lập đôi một nên
(



in

x

i
(x

i
)



2
)
=


in
(x

i
(x

i

))

.

in
(x

i
(x

i
))

=


in
|x

i
(x

i
)|
2
+

i=j
[x

i
(x

i
)]

[x

j
(x

j
)]

=


in
(|x

i
(x

i
)|
2
) +

i=j
((x

i
(x

i
))

[x

j
(x

j
)])

=

in
(|x

i
(x

i
)|
2
)

in
(|x

i
|
2
) |n|M
2
.
Lập luận tơng tự, ta có
|

in
(x

i
(x

i
)|
2


in
|x

i
(x

i
)|
2

4

in
|x

i
|
2
4|n|.
Do đó, ta thu đợc |

in
(x
i
(x
i
))|
2
(|n|M
2
) + 4|n|. Vì thế ta có
|

in
(x
i
(x
i
))|
2

= o(|n|
2
) kh |n| .
Định lý đợc chứng minh.
Chú ý rằng từ điều kiện mảng (x
n
, n N
d
) bị chặn đều trong L
2
(A, ), ta suy ra
đợc mảng (|x
n
|
2
, n N
d
) khả tích đều. Từ đó ta có
2.6. Hệ quả. ([4], Định lí 4.1) Giả sử (x
n
) là dãy các toán tử đo đợc tự liên hợp, độc
lập đôi một. Khi đó, nếu dãy (x
n
, n N
d
) bị chặn đều trong L
2
(A, ), thì
1
|n|

kn
(x
k
(x
k
)) 0,
trong không gian L
2
và theo tôpô độ đo khi |n| .
tµi liÖu tham kh¶o
[1] M. O. Cabrera, A. I. Volodin, Convergence of randomly weighted sums of Ba-
nach space valued random elements under some conditions of uniform integrability,
Journal of Mathematical Sciences , Vol.138, No.1 (2006), 5450-5459.
[2] Y. S. Chow and H. Teicher, Probability theory: Independence, Interchangeabil-
ity, martingale, Springer - Verlag, New York, 1997.
[3] R. Jajte, Strong limits theorems in non-commutative probability, Lect. Notes
Maths, Springer - Verlag, Berlin and New York, 1110 , 1985.
[4] J. M. Lindsay and V. Pata, Some weak laws of large numbers in noncommu-
tative probability, Mathematische Zeltschrift, Springer-Verlag (1997), 533-543.
[5] A. Rosalsky, M. Sreehari and A. I. Volodin, Mean convergence theorem with or
without random indies for randomly weighted sums of random elements in Rademacher
type p Banach space, Stochastic Analysis and Applications, 2003, No.5, 1169-1187.
[6] Nguyen Van Quang, On the weak law of d-dimensional arrays in von Neumann
algebra, Vietnam Journal of Mathematics 30: 3(2003), 261-265.
[7] Nguyen Van Quang, On the law of large numbers of Hsu - Robbins type in
non-commutative probability, Journal of Mathmatics 22(1994), 50-58.
[8] Le Van Thanh, On the L
p
-convergence for multidimensional arrays of random

variables, International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, 2005:
8(2005),1317-1320.
Summary
On the L
p
-convergence for sequences of measurable
operators uniform integrability
In this paper, we present some results on the L
p
-convergence for multidimensional
arrays of uniformly integrable measurable operators in von Neumann algebras. Our
results generalize some recent ones (see [4], [6], [8]).
(a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i Häc Vinh
(b) Cao häc 14, chuyªn ngµnh XSTK, Tr−êng §¹i Häc Vinh.