Báo cáo khoa học: "Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian nhằm bồi dưỡng cho sinh viên khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới thông qua dạy học Hình học sơ cấp" potx

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



103
Vận dụng một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi
điểm trong không gian nhằm bồi dỡng cho sinh viên
khả năng tìm tòi lời giải và phát hiện các bài toán mới
thông qua dạy học Hình học sơ cấp


Đào Tam
(a)



Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày mối liên hệ giữa việc dạy học các
phân môn toán và dạy học Hình học sơ cấp ở trờng Đại học s phạm. Cụ thể chúng
tôi đa ra một số kiến thức về nhóm các phép biến đổi trong không gian, nhằm giúp
sinh viên s phạm toán tìm tòi lời giải và các bài toán mới thông qua dạy học Hình
học sơ cấp.


1. Trong những năm gần đây nhiều nhà s phạm trong nớc và nớc ngoài đã
quan tâm nghiên cứu mối liên hệ giữa dạy học Toán ở các trờng s phạm và dạy
học Toán ở trờng phổ thông. Tiêu biểu trong số họ nh: Nguyễn Cảnh Toàn,
Nguyễn Đăng Phất, Đoàn Quỳnh, Văn Nh Cơng, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Mậu,
N. I-A.Vilenkin, L. A. Kalurin, A. A. Stolia, K. I. Dunhitrev

Các tác giả trên đã nghiên cứu các vấn đề toán học cao cấp, toán học hiện đại
soi sáng các t tởng nền tảng của giáo trình Toán phổ thông, xem xét các ứng dụng
của toán cao cấp, toán hiện đại vào các nội dung bồi dỡng học sinh giỏi nh: Lý
thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ, các phép biến hình, phơng trình hàm
Trong bài viết này chúng tôi đề cập một số phơng thức tiếp cận việc dạy học
toán cơ bản ở trờng Đại học theo hớng tăng cờng ứng dụng vào việc dạy học Hình
học sơ cấp và dạy học Hình học ở trờng phổ thông.
Việc nghiên cứu cách thức tiếp cận nói trên nhằm mục tiêu bồi dỡng năng lực
thích nghi nghề nghiệp gắn với chuyên môn của sinh viên s phạm ngành Toán,
bớc đầu làm sáng tỏ khả năng gắn kết việc dạy học khoa học cơ bản với khoa học
giáo dục. Việc dạy Toán hớng vào mục tiêu nói trên sẽ góp phần tích cực vào việc
thực hiện mục đích đổi mới dạy học Toán ở trờng đại học.
2. Các phơng thức tiếp cận một số kiến thức về lý thuyết nhóm các phép biến
đổi điểm trong không gian khi dạy học Hình học sơ cấp.
Chúng tôi cho rằng để t tởng gắn kết việc dạy học các môn toán cơ bản với
dạy học các môn toán sơ cấp, toán phổ thông đợc thực thi triển khai nhằm nâng cao
hiệu quả bồi dỡng giáo viên Toán, đòi hỏi sự nghiên cứu công phu cả về phơng
diện khoa học và phơng diện phơng pháp.
Trớc hết các phơng thức đợc đề ra trên cơ sở khắc phục những khó khăn
liên quan đến năng lực truyền tải các tri thức khoa học cơ bản sang tri thức phổ
thông. Khó khăn nổi bật gắn với việc giải quyết tốt mối quan hệ giữa cái cụ thể và
cái trừu tợng, liên quan tới quan hệ giữa nội dung và hình thức trong phạm trù cú
pháp và ngữ nghĩa; Việc giải quyết các mâu thuẫn trên cho phép thực hiện sự lồng
ghép các tri thức muôn màu muôn vẻ vào các sơ đồ nhận thức trừu tợng của toán
học cao cấp, toán học hiện đại.

Nhận bài ngày 13/4/2007. Sửa chữa xong 18/7/2007.

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



104
C

Từ những cơ sở lý luận về việc khắc phục những khó khăn thuộc phạm trù
phơng pháp luận nhận thức Toán học nói trên và từ cơ sở kinh nghiệm dạy học
Toán của các chuyên gia và bản thân, chúng tôi đề xuất các phơng thức khai thác,
các ứng dụng, các kiến thức về nhóm các phép biến đổi điểm trong không gian để tìm
tòi lời giải, phát hiện các bài toán, các vấn đề Toán học trong dạy học môn Hình học
sơ cấp. Đồng thời việc thực hiện tốt các phơng thức đề ra sẽ góp phần dạy học theo
hớng tích hợp các môn Toán, góp phần rèn luyện năng lực, nghề nghiệp gắn với
chuyên môn cho sinh viên.
Sau đây chúng tôi trình bày các phơng thức và các biện pháp thực hiện các
phơng thức đó.
Phơng thức thứ nhất: Lựa chọn các nội dung Hình học sơ cấp có thể nhìn
nhận chúng theo quan điểm nhóm; Khai thác các bài toán theo các nội dung trên có
thể giải đợc nhờ sử dụng các kiến thức về nhóm, sau đó chuyển sang cách giải sơ
cấp, phổ thông, đề xuất các bài toán mới và cách giải chúng.
Ví dụ 1: Khi nghiên cứu các kiến thức về khối đa diện trong Hình học sơ cấp,
chúng ta có thể chứng minh mệnh đề sau về các nhóm với phép toán tích các phép
dời: Điều kiện ắt có và đủ để tồn tại nhóm các phép dời hình trong không gian, khác
với nhóm chỉ có một phần tử đơn vị <e>, biến tứ diện thành chính nó, là tứ diện đó có
ít nhất hai cặp cạnh, không có cạnh chung, mỗi cặp có độ dài các cạnh bằng nhau.
Tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối giữa các cặp cạnh của tứ diện và quan hệ bằng
nhau xác định trên tập hợp 6 cạnh của tứ diện chúng ta có một tập hợp hữu hạn các
nhóm khác với nhóm đơn vị.

Chẳng hạn: Xét tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a; AB + CD = 2a (xem
hình 1).
Từ quan điểm nhóm có thể xem xét các vấn đề sau:
















ABDC
ABCD
f :
1
là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của đoạn CD, đó là
mặt phẳng (AMB), với M là trung điểm cạnh CD;

:
2
BACD
ABCD

f
là phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AB, đó là mặt
phẳng (CND), N là trung điểm của đoạn AB.









BADC
ABCD
f :
3
là phép đối xứng trục MN.
Do tích các phép dời trong không gian có tính chất kết hợp, phần tử đơn vị là
phép biến đổi đồng nhất, từ định nghĩa phép đối xứng mặt và đối xứng trục suy ra:
Tìm các phép dời biến tứ diện
ABCD thành chính nó.
Do AB
CD nên các phép dời khác
phép biến đổi đồng nhất tơng ứng các
khả năng sau, viết ở dạng các hoán vị các
đỉnh:

A

B

N

D

M

Hình 1




Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



105
1
1-
1
= ff
;
2
1-
2
= ff
;
3
1-
3

= ff
. Vậy để kiểm tra tập hợp gồm các phép dời {f
1
; f
2
; f
3
; e}
với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm chỉ cần kiểm tra điều kiện khép
kín phép toán.
Có thể kiểm tra f
2
. f
1
= f
3
; f
3
. f
1
= f
2
; f
3
. f
2
= f
1

Chứng minh tính đúng đắn của các tích trên có thể bằng hai cách:

Cách 1: Dựa vào tích các hoán vị (thực chất là các song ánh);
Cách 2: Dựa vào các mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1. Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau
theo giao tuyến là một phép quay xung quanh trục (với đợc định hớng) và
góc quay bằng hai lần góc nhị diện cạnh , hớng xác định từ mặt phẳng (P) đến
mặt phằng (Q): Đ
Q
. Đ
P
= Q (, ); = 2; Với là độ lớn góc phẳng nhị diện [(P), (Q)]
có định hớng.
Mệnh đề 2: Với mọi phép quay Q (, ) đều phân tích đợc thành tích của hai
phép đối xứng mặt qua hai mặt phẳng (P), (Q) đi qua đã định hớng và góc nhị
diện tạo bởi (P) và (Q) có góc phẳng bằng (1/2) và hớng từ mặt phẳng thứ nhất
đến mặt phẳng thứ hai, đồng thời có vô số cách phân tích nh vậy. Việc chứng minh
hai mệnh đề nêu trên có thể xem [3].
Chúng ta khảo sát bài toán sau đây theo quan điểm nhóm: Chứng minh
rằng tứ diện đã cho xét trong ví dụ 1 có tâm mặt cầu ngoại tiếp O, tâm mặt cầu nội
tiếp I và trọng tâm G thuộc một đờng thẳng.
Có thể giải bài toán dựa vào các quan điểm nhóm nh sau:
- Cách 1: Qua








ABDC

ABCD
f :
1
thì f
1
: (O) (O); f
1
: (I) (I); f
1
: G G
Từ đó suy ra f
1
: (O, I, G) (O, I, G);








BACD
ABCD
f :
2
thì f
2
: (O, I, G) (O, I, G).
Vậy bộ ba điểm (O, I, G) biến thành chính nó qua phép tích f
2

. f
1
. Từ đó suy
ra f
3
: (O, I, G) (O, I, G). Từ đó bộ ba điểm (O, I, G) thuộc trục đối xứng MN.
- Cách 2: Chứng minh trực tiếp








BADC
ABCD
f :
3
nên f
3
: (O) (O); f
3
: (I) (I); f
3
:
G G. Từ đó suy ra trục đối xứng MN đi qua O, I, G.
Có thể diễn đạt theo cách giải phổ thông theo tơng ứng với hai cách giải nêu
trên nh sau:
- Qua phép đối xứng mặt f

1
mặt cầu (O) biến thành chính nó nên tâm O thuộc
mặt phẳng (CDN). Tơng tự O thuộc mặt phẳng (ABM), suy ra O thuộc giao tuyến
MN của hai mặt phẳng trên. Tơng tự, suy ra I và G thuộc giao tuyến MN của hai
mặt phẳng đó.
- Có thể lập luận cách khác: Do phép đối xứng trục MN biến tứ diện thành
chính nó nên mặt cầu (O), mặt cầu (I) và G biến thành chính nó. Từ đó suy ra các
điểm O, G, I thuộc trục đối xứng MN.



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



106
Chúng ta có thể đề xuất bài toán ở mức độ khó khăn hơn bài toán xét ở ví dụ
1 và yêu cầu sinh viên khảo sát lời giải theo quan điểm nhóm và chuyển sang ngôn
ngữ của cách giải phổ thông: Cho tứ diện ABCD có AC = BD = AD = BC = a và AB
+ CD = 2a, với AB CD. Chứng minh:
1) Tứ diện đó có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh;
2) Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu tiếp xúc với các
cạnh và trọng tâm G thuộc một đờng thẳng.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b. Xác định các phép dời trong
không gian biến cặp đờng thẳng chéo nhau đó thành chính nó. Chứng minh rằng
tập hợp các phép dời nói trên với phép toán tích các phép dời lập thành một nhóm
(xem hình 2).

2) f: (a, b) (b, a). Do đờng vuông góc chung AB là duy nhất nên phép dời f
chính là phép đối xứng trục f
2
: A B, có trục đối xứng là
2
đi qua trung điểm O của
đoạn AB. Do f
2
:
2

2
và f
2
: a b, nên góc giữa
2
và a bằng góc giữa
2
và b. Từ
điều kiện cuối cùng suy ra
2

là đờng thẳng đi qua O tạo với a, b hai góc bằng nhau
và đờng thẳng
2
thuộc mặt phẳng (R) đi qua O và vuông góc với
1
. Lập luận tơng
tự suy ra tồn tại phép đối xứng trục f
3
: a b; f
3
: b a có trục là
3
thuộc mặt phẳng
(R), đi qua O và vuông góc với
2
.
Từ dạng chính tắc của phép dời trong không gian suy ra tập hợp các phép dời
biến cặp đờng thẳng chéo nhau (a, b) thành chính nó là (e; f
1
; f
2
; f
3
).
Từ định lí về sự phân tích một phép đối xứng trục thành tích của hai phép đối
xứng qua hai mặt phẳng vuông góc cùng đi qua trục đã cho và góc giữa hai mặt
phẳng bằng 90
o
và chú ý rằng, ba trục
1

;
2
;
3
đôi một vuông góc. Suy ra: f
2
.f
1
= f
3
;
f
3
.f
1
= f
2
; f
3
.f
2
= f
1
. Kiểm tra các dấu hiệu còn lại của nhóm ta có: {e; f
1
; f
2
; f
3
} lập thành

một nhóm với phép toán tích các phép dời.
Từ cách nhìn nhận trên có thể đề xuất cho sinh viên sử dụng quan điểm
nhóm, giải và mở rộng các bài toán sau, đồng thời chuyển sang ngôn ngữ cách giải
phổ thông:
Bài toán 1: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a, b có đờng vuông góc chung là
AB, với A a; B b. Các điểm M, N di động, lần lợt thuộc a, b sao cho AM = BN.
Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn cắt và vuông góc với một trong hai đờng
thẳng cố định.

Cặp đờng thẳng (a, b) biến thành chính
nó qua phép dời f, ứng với các khả năng sau:
1) f: (a, b) (a, b):
- Phép đồng nhất e: a a; e: b
b, sao
cho mọi điểm của a, b đều là điểm kép (điểm có
ảnh là chính nó).
- f
1
là phép đối xứng trục, có trục là đờng
vuông góc chung
1
của hai đờng thẳng chéo
nhau: f
1
: a a; f
1
: b b; t
rong đó chỉ có A, B là
các giao điểm của
1

với a và b là cặp điểm kép
duy nhất.

Hình 2

O

B


3


2

A


1

b

b'

a

a'

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



107
Bài toán 2: Cho hình lập phơng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Các điểm M, N di động lần
lợt thuộc các cạnh AD và BB
1
sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đờng thẳng
MN luôn cắt và vuông góc với một đờng thẳng cố định.
Phơng thức hai: Sử dụng các bất biến của các nhóm các phép biến đổi nhằm
định hớng phát hiện lời giải các bài toán, từ đó chuyển đổi ngôn ngữ sang cách giải
phổ thông.
Ví dụ: Chúng ta có thể lập luận chứng tỏ rằng tích của phép tịnh tiến
v
T
và
phép đối xứng tâm Đ
O
trong không gian là một phép đối xứng tâm.
Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến:

2112
+
=.
vvvv
TTT
.
Tích của hai phép đối xứng tâm trong không gian là một phép tịnh tiến.
Từ những kiến thức cơ bản trên suy ra tập hợp các phép tịnh tiến và các phép
đối xứng tâm trong không gian lập thành một nhóm với phép toán tích hai phép dời
hình.
Do phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến có tính chất biến một vectơ thành
vectơ cùng phơng nên phép tịnh tiến và đối xứng tâm biến mặt phẳng thành mặt
phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó. Nói cách khác, phơng trong không
gian là bất biến qua phép tịnh tiến và đối xứng tâm.
Từ các kết quả trên chúng ta có thể rút ra kết luận bổ ích sau: Nếu gặp dạng
toán chứa đựng điều kiện phơng không đổi thì cần quan tâm sử dụng phép tịnh
tiến hoặc phép đối xứng tâm để giải chúng.
Chẳng hạn, xét bài toán sau: Cho hai mặt cầu (O
1
), (O
2
) và mặt phẳng (P).
Hãy dựng mặt phẳng () sao cho () song song với (P) và () cắt các mặt cầu (O
1
),
(O
2
) theo hai đòng tròn bằng nhau.
Có thể lập luận cách tìm lời giải nh sau:
Điều kiện mặt phẳng () cần dựng song song với (P) gợi cách chọn phép tịnh

tiến để giải.
- Gọi (C
1
), (C
2
) là giao của () cần dựng với (O
1
), (O
2
). Kí hiệu H
1
, H
2
lần lợt là
các hình chiếu của O
1
, O
2
lên mặt phẳng (P). Khi đó H
1
O
1
đi qua tâm I
1
của (C
1
) và
H
2
O

2
đi qua tâm I
2
của (C
2
).
- Phép tịnh tiến
21
HH
T
biến mặt cầu (O
1
) thành mặt cầu (O'
1
). Mặt cầu (O'
1
)
giao với (O
2
) theo đờng tròn C
2
. Khi đó mặt phẳng () cần dựng là mặt phẳng chứa
giao (O'
1
) với (O
2
).
Phơng thức thứ ba: Biến đổi bài toán thành bài toán mới nhờ sử dụng các
hình tơng đơng (các hình sai khác một phép biến đổi của một nhóm nào đó).
Ví dụ: Có thể tổng quát bài toán trên mô hình hình lập phơng sang bài toán

trên mô hình hình hộp nhờ bỏ qua các bất biến của phép biến đổi trực giao không
thuộc các bất biến afin và giữ nguyên các bất biến của phép biến đổi afin.
Chẳng hạn, xét bài toán sau trên mô hình hình lập phơng: Cho hình lập
phơng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Chứng minh rằng đờng chéo AC
1
vuông góc với mặt
phẳng (BDA
1
) tại trọng tâm G của tam giác BDA
1
và AG = (1/3)AC
1
.



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 2A-2007



108
Do hình lập phơng tơng đơng afin với hình hộp bất kì; khái niệm trọng tâm

và tính chất
3
1
=
1
AC
AG
là khái niệm và tính chất afin. Khi bỏ qua tính chất AC
1
vuông
góc với mặt phẳng (BDA
1
) có thể chuyển sang bài toán tổng quát sau: Cho hình hộp
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Chứng minh rằng đờng chéo AC
1
đi qua trọng tâm G của tam giác
BDA
1
và AG = (1/3)AC
1
.
Trên đây là một số phơng thức xem xét, nghiên cứu Hình học sơ cấp theo

quan điểm nhóm. Khả năng sử dụng toán học cao cấp, toán học hiện đại vào việc
nhìn nhận sâu sắc các môn toán sơ cấp và toán học phổ thông còn phong phú, đa
dạng, thể hiện trên nhiều tuyến kiến thức khác nhau.


Tài liệu tham khảo
[1] Văn Nh Cơng, Tạ Mân, Hình học Afin và hình học Ơclit, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội, 1998.
[2] Nguyễn Đặng Phất, Bài giảng chuyên đề các phép biến hình, Đại học S phạm
Hà Nội, 2002.
[3] Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB Đại học S phạm, 2004.
[4] Đào Tam, Nguyễn Huỳnh Phán, Các cơ sở Toán học của giáo trình toán phổ
thông, Đại học Vinh, 1995.
[5] N. I-A Vilenkin và các tác giả khác, Các cơ sở toán học hiện đại của giáo trình
toán phổ thông, Matxcơva, NXB Giáo dục, 1980.
[6] Đặng Quang Việt, Tăng cờng tính nghiệp vụ khi dạy đại số đại cơng ở trờng
s phạm, Tạp chí Giáo dục, Số 9/2004.

Summary
Using some knowledge of transformation groups in space
to foster the students ability of finding solutions and
new problems through teaching and learning elementary
geometry

In this article, we present the connections between teaching and learning
mathematics divisions and elementary geometry in Pedagohical Universities. To be
specific, we propose some knowledge of transformational groups in space with an
aim of fostering the ability of students of pedagogical maths of finding solutions and
new problems through teaching and learning elementary geometry.

(a)
Khoa toán, trờng Đại học Vinh.