hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học toán

Chơng 2
một số biện pháp nhằm hình thành cho HS thpt một số
kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học Toán.
2.1. Đặc điểm chơng trình môn Toán THPT
2.1.1. Một số đặc điểm đổi mới chơng trình giáo dục THPT môn Toán
Khác với chơng trình và SGK cũ, chơng trình mới phân chia hệ giáo dục
THPT thành hai chơng trình với hai ban, chơng trình chuẩn cho HS đại trà và ch-
ơng trình nâng cao với HS ban khoa học tự nhiên. SGK vì vậy cũng đợc biên soạn
thành hai quyển tơng ứng.
Chơng trình môn Toán nâng cao nặng hơn, cao hơn so với chơng trình
chuẩn. Việc suy luận đợc tăng cờng thông qua các biện pháp sau: Một là, bổ
sung một số kiến thức về lí thuyết hỗ trợ cho việc suy luận. Chẳng hạn, ở chơng
trình nâng cao HS đợc học đầy đủ các phép biến đổi lợng giác (biến đổi tổng
thành tích, tích thành tổng), trong khi ở chơng trình chuẩn chỉ học biến đổi biểu
thức asinx + bcosx. Hai là, trong những phần và nội dung lí thuyết hai chơng
trình nh nhau thì các bài tập của chơng trình nâng cao cũng khó hơn, đòi hỏi kĩ
năng suy luận nhiều hơn.
Hơn nữa, số tiết học dành cho chơng trình nâng cao cũng nhiều hơn so với
chơng trình chuẩn.
Dới đây là một số đặc điểm chơng trình giáo dục THPT môn Toán:
2.1.1.1. Tăng cờng tính thực tiễn và tính s phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt
chẽ về lý thuyết.
Tiếp nối một số kiến thức ban đầu về Thống kê mô tả ở bậc Trung học cơ
sở, HS THPT đợc cung cấp những hiểu biết về xác suất và thống kê một cách hệ
thống hơn và gắn với thực tiễn trong xã hội nớc ta.
33
Những kiến thức chỉ nhằm cung cấp phơng tiện để giải một số loại bài tập
nào đó mà không cần thiết cho cuộc sống cũng nh cho việc học tập tiếp theo bị
loại bỏ để không gây nặng nề cho HS, không làm cho việc giải bài tập Toán trở
nên quá khó.
2.1.1.2. Xây dựng nội dung chơng trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng

thời chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác nh Vật lí, Sinh học
Ngay từ đầu lớp 12 môn Vật lí đã cần đến khái niệm đạo hàm, do đó phần
đạo hàm HS đợc học ở lớp 11. Tơng tự, đầu lớp 12 môn Sinh học cần đến khái
niệm xác suất nên nội dung này đợc đa vào lớp 11. Một số vấn đề đợc tinh giản,
dành chỗ cho những nội dung cần đa lên trớc, đồng thời bổ sung một số nội dung
mà các chơng trình trớc đây còn thiếu.
2.1.1.3. Hội nhập
Các kiến thức đợc đa vào chơng trình giáo dục THPT phù hợp ở một mức
độ nhất định so với mặt bằng kiến thức chung bậc THPT của các nớc trên thế
giới. Một số vấn đề, trớc đây khi chỉnh lí hợp nhất đã bắt đầu đa vào nh xác suất,
tổ hợp thì bây giờ cùng với thống kê lập thành một hệ thống các kiến thức có
nhiều ứng dụng thực tiễn. Ngoài ra trong việc trình bày hệ thống số trớc đây chỉ
dừng lại ở số thực, bây giờ đợc hoàn chỉnh hệ thống số bằng cách đa vào khái
niệm số phức.
2.1.2. Một số đặc điểm đổi mới của SGK THPT môn Toán:
Đại số 10:
SGK Đại số 10 ngoài những chơng cũ còn có thêm hai chơng mới là thống
kê, cung và góc lợng giác và công thức lợng giác.
Trong chơng trình SGK Đại số 10, HS đợc học một cách có hệ thống các
vấn đề chủ yếu trong môn Đại số ở bậc trung học cơ sở là phơng trình, hệ phơng
trình, bất phơng trình.
Lần đầu tiên, bài tập trắc nghiệm đợc đa vào SGK.
34
Hình học 10:
Chơng trình Hình học 10 bổ sung thêm một số kiến thức về hình học
phẳng đã học ở cấp Trung học cơ sở, đặc biệt là về vectơ và phơng pháp toạ độ.
Chơng trình chuẩn môn Hình học 10 gồm ba chơng:
Chơng I: Vectơ
Chơng II: Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng
Chơng III: Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

Lớp 11:
Một phần của Lợng giác đợc học ở Đại số 10 nhằm phục vụ cho việc học
Vật lí, Sinh học và bớc đầu giới thiệu một số ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Phần còn lại (Hàm số lợng giác và phơng trình lợng giác) đợc đa tiếp vào phần
đầu của SGK Đại số và giải tích 11.
Chơng trình chuẩn môn Đại số và giải tích mới gồm ba phần:
Phần I. Lợng giác
Phần II. Tổ hợp Xác suất
Phần III. Dãy số Giới hạn - Đạo hàm
Phần thứ nhất hoàn thành môn Lợng giác.
Phần thứ hai, lần đầu đợc đa vào chơng trình lớp 11, giúp HS sớm tiếp cận
với Toán ứng dụng.
Đại số tổ hợp, trớc kia là chơng cuối của Giải tích 12, nay đợc đa vào lớp
11 để làm cơ sở cho việc trình bày lí thuyết xác suất.
Phần thứ ba là mở đầu của Giải tích.
Chơng đạo hàm, trớc đây học ở lớp 12, nay đợc đa xuống lớp 11 nhằm
phục vụ cho việc học Vật lí, Hoá học Hai chơng "Dãy số Cấp số cộng và cấp
số nhân" và "Giới hạn" trình bày cơ sở của Giải tích.
Chơng hàm số mũ và hàm số lôgarit đợc chuyển sang lớp 12 cho nên ở đây
cha nói đến đạo hàm của các hàm số này.
35
Cũng nh vậy, phần ứng dụng hình học của đạo hàm không đợc học tiếp
ngay ở đây mà chuyển sang lớp 12.
Giải tích lớp 12 :
HS lớp 12 đợc học thêm một số nội dung mới nh :
Mở rộng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Đa vào một số kiến thức cơ bản về số phức
Chơng đạo hàm và đại số tổ hợp đợc chuyển xuống lớp 11, thay vào
đó là chơng hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit và chơng số phức.
Hình học 12 :

SGK Hình học 12 gồm 3 chơng, nội dung gồm có :
Phần I : Hình học không gian đợc nghiên cứu bằng phơng pháp tổng hợp
gồm có 2 chơng : Chơng I nghiên cứu về khối đa diện và chơng II nghiên cứu về
các mặt và các khối tròn xoay.
Phần II : Phơng pháp toạ độ trong không gian nghiên cứu điểm, đờng
thẳng và mặt phẳng bằng toạ đọ và phơng trình của chúng.
2.2. Các định hớng nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về
phép BCDV trong quá trình dạy học Toán
2.2.1. Định hớng 1: Trong điều kiện có thể, khi dạy học môn Toán, cần làm
cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn.
Đây là việc làm cần thiết của ngời thầy trong quá trình dạy học Toán, đặc
biệt là trong giai đoạn hiện nay, nó góp phần làm tăng tính thực tiễn của Toán
học, làm cho HS thấy rằng Toán học gần gũi với đời sống hơn. Dạy học Toán là
điều kiện thuận lợi để ngời thầy có thể làm cho HS thấy giữa Toán học và thực
tiễn có mối quan hệ qua lại với nhau, không tách rời nhau; nó là câu trả lời cho
những thắc mắc ngây thơ nhng đáng để suy nghĩ của HS nh "Học cái này dùng
để làm gì nhỉ?", "Cái này liên quan nh thế nào đến cuộc sống hàng ngày của
chúng ta?" Điều đó cũng có nguyên nhân của nó. Cũng có khi chúng ta cứ cho
rằng nhiệm vụ của mình là làm sao truyền thụ đợc các kiến thức Toán học trong
36
chơng trình SGK không thôi, còn những điều đó HS có thể tự rút ra trong cuộc
sống; cũng có khi chúng ta cứ đổ lỗi cho thời lợng giảng bài ở trên lớp không đủ
để cho chúng ta làm việc đó Việc đổi mới SGK hiện nay một phần khắc phục
những hạn chế của chơng trình SGK cũ là đã cố gắng đa Toán học gần gũi với
thực tế hơn. Bằng chứng là đã có những phần đọc thêm nói về các nhà Toán học
cùng những phát minh nổi tiếng của họ, đã có nhiều hơn những bài Toán ứng
dụng vào thực tiễn.
Tuy nhiên muốn thực hiện đợc định hớng này, ngời thầy phải biết kết hợp
đan xen giữa việc truyền thụ tri thức và việc làm cho mối liên hệ giữa Toán học
với thực tiễn trở nên rõ ràng hơn một cách hợp lý. Muốn vậy ngời thầy phải khéo

léo, phải bằng những kinh nghiệm giảng dạy của mình, bằng những biện pháp s
phạm để làm rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học, làm rõ sự phản ánh thực tiễn
của Toán học cũng nh làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học trong quá
trình dạy học Toán.
2.2.2. Định hớng 2: Trong quá trình dạy học Toán cần tổ chức cài đặt, lồng
ghép một số kiến thức về phép BCDV một cách khéo léo để dần dần trang bị
cho HS về thế giới quan DVBC, tức là cần xây dựng cơ sở khoa học để HS có
thể nhận thức đợc các nguyên lý, các quy luật của phép DVBC.
Chẳng hạn khi dạy cho HS về hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trong mặt
phẳng ở lớp 10 và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian ở lớp 12.
Bên cạnh việc truyền thụ các kiến thức, GV cũng cần cài đặt, lồng ghép vào một
số vấn đề sau:
- Làm rõ sự hình thành và phát triển của hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc:
Tia số (Số học lớp 6), trục số hữu tỷ (Đại số lớp 7), trục số thực và mặt
phẳng toạ độ (Đại số lớp 9), trục toạ độ và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
trong mặt phẳng (Hình học lớp 10) và hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc trong
không gian (Hình học lớp 12).
- Cần cho HS thấy rằng mối quan hệ biện chứng giữa Đại số và Hình học.
37
- Nói qua về ngời sáng lập ra hệ trục toạ độ là Rơnê Đêcac (1596
1650). Có thể nói qua về một số quan điểm duy vật về tự nhiên của ông và các
đóng góp của ông về lĩnh vực Toán học. Chẳng hạn nh luận văn "hình học"
công trình nghiên cứu đầu tiên trong khoa học xét tới các đại lợng biến đổi và
hàm số. Ông là ngời đầu tiên sáng lập môn hình học giải tích một cách độc lập
với Pie Fecma (ngời cùng một nớc với ông). Cơ sở của môn này là phơng pháp
toạ độ do ông phát minh (toạ độ Đêcac), nó cho phép ta đa những hình ảnh hình
học về ngôn ngữ đại số tức là dạng phơng trình.
Bằng cách đó, ta có thể thấy đợc lợi ích của việc làm trên bên cạnh việc
truyền thụ tri thức nh sau:
- Thấy đợc quan điểm phát triển rút ra từ nguyên lý về sự phát triển của

phép DVBC, điều đó có nghĩa l khi xem xét các sự vật v hiện t ợng phải nhận
thức chúng trong sự phát triển, trong sự vận động của nó.
- Thấy đợc quan điểm toàn diện trong nhận thức, tức là phải xem xét sự vật
trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính khác
nhau của chính sự vật đó, xem xét nó trong mối quan hệ qua lại giữa sự vật đó
với các sự vật khác; cụ thể ở đây giữa các phân môn Toán học có mối liên hệ qua
lại với nhau.
- Phần nào đó cung cấp cho HS một số quan điểm duy vật về thế giới (kiến
thức về Triết học mặc dù HS THPT cha đợc tiếp cận với môn học này), mặt khác
khi nói về cuộc đời của các nhà khoa học cũng sẽ làm tăng sự chú ý và gây hứng
thú trong học tập cho HS hơn.
2.2.3. Định hớng 3: Tổ chức những hoạt động Toán học thích hợp (phát hiện,
mở rộng, đào sâu, nâng cao ), vận dụng linh hoạt các thao tác t duy (khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự) trong quá trình dạy học Toán nhằm giúp HS t
duy theo các quy luật của lôgic biện chứng, tức là góp phần vào việc bồi dỡng
t duy biện chứng cho HS.
38
Trong quá trình dạy học Toán, ngời thầy cần tổ chức những hoạt động
Toán học thích hợp giúp HS biết phát hiện ra những vấn đề mới, những bài Toán
mới, hoặc giúp HS nhìn thấy đợc sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau. Nhờ đó
HS có thể biết suy nghĩ tìm tòi để có thể mở rộng, đào sâu thêm kiến thức, bằng
cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, những vấn đề tơng tự,
hoặc đi sâu vào những trờng hợp đặc biệt, có ý nghĩa về mặt nào đó (kết quả lý
thú, có ứng dụng thực tế, v.v ).
Khi dạy học, ngời thầy cần nhấn mạnh rằng có những kiến thức Toán học
hiện tại là mở rộng, tổng quát hoá những kiến thức Toán học trớc đây. Chẳng hạn
"tỷ số lợng giác của góc bất kỳ" ở lớp 10 là mở rộng của "tỷ số lợng giác của góc
bất kỳ" ở lớp 8, hệ thức lợng trong tam giác thờng là mở rộng của hệ thức lợng
trong tam giác vuông. Có khi, sau một vấn đề tổng quát, chúng ta lại đi sâu vào
một số trờng hợp đặc biệt, chẳng hạn sau khi học lôgarit nói chung, chúng ta lại

đề cập đến trờng hợp đặc biệt là lôgarit thập phân (logarit với cơ số đặc biệt là
10), có nhiều ứng dụng thực tế. Sau khi học tổng quát về dãy số, chúng ta đi sâu
vào hai dãy số quan trọng: cấp số cộng và cấp số nhân.
Trong hình học không gian, chúng ta thấy rất nhiều kết quả tơng tự với kết
quả trong hình học phẳng. Ví dụ định lý: "Hai mặt phẳng cùng song song với mặt
phẳng thứ ba thì song song với nhau" tơng tự với định lý "Hai đờng thẳng cùng
song song với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau". Có thể kể ra rất nhiều
định lý tơng tự nh vậy.
Nhng Toán học phát triển không chỉ ở chỗ phát hiện ra ngày càng nhiều
những sự kiện mới, mà cùng với điều đó, bản chất của nhiều vấn đề đợc sáng tỏ,
mối liên hệ và sự thống nhất giữa nhiều sự kiện (mà trớc đó tởng nh xa lạ, có khi
có vẻ nh mâu thuẫn) đợc xác lập. Chẳng hạn khi học về sự mở rộng khái niệm về
số mũ của luỹ thừa, đi đến luỹ thừa với số mũ hữu tỉ, thì phép khai căn (mà trớc
đó đợc xem là một phép Toán ngợc với phép nâng lên luỹ thừa) cũng là một phép
nâng lên luỹ thừa, và trong nhiều trờng hợp, nếu chuyển các phép tính về căn
39
thức sang phép tính về luỹ thừa (với số mũ hữu tỉ) thì việc tính Toán sẽ thuận tiện
hơn.
Cần cho HS thấy, để giải một bài Toán chúng ta phải biết phối hợp nhiều
phơng pháp nh đặc biệt hoá, tổng quát hoá, nhiều khi cần tìm cách liên hệ nó với
một bài Toán tơng tự đơn giản hơn, rồi vận dụng kết quả hoặc phơng pháp giải
của bài Toán tơng tự này để giải bài Toán đã cho. Lấy thí dụ bài Toán hình học
không gian sau:
"Cho hai nửa mặt phẳng cắt nhau (P), (Q) giao tuyến là

và một đờng
thẳng d cắt (P) và (Q). Một đờng thẳng di động, luôn song song với d, cắt (P),
(Q) ở A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB".
Ta có thể liên hệ bài Toán này với bài Toán tơng tự trong hình học phẳng
bằng cách thay từ "mặt phẳng" bởi "đờng thẳng" : " Cho hai nửa đờng thẳng p, q

cắt nhau tai I và một đờng thẳng d cắt p và q. Một đờng thẳng di động, luôn song
song với d, cắt p, q ở A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB". Bài Toán này
rất đơn giản: Quỹ tích là nửa đờng thẳng IM.
I
P Q

I

p q

Bây giờ ta tìm cách đa bài Toán đã cho về bài Toán tơng tự này: Ta xét tr-
ờng hợp đặc biệt khi đờng thẳng di động nằm trong mặt phẳng (R) chứa đờng
thẳng d cắt

ở I. (R) cắt (P), (Q) theo hai đờng thẳng p, q. Trong (R), quỹ tích là
nửa đờng thẳng IM (bài Toán tơng tự). Cho (R) di động song song với chính nó,
thì IM vạch nên nửa mặt phẳng (

, M) và đó là quỹ tích phải tìm.
40
P
d
d

A
B
M
A
M
B

2.2.4. Định hớng 4: Đến một chừng mực nào đó, HS đã có một số kiến thức về
DVBC (ở dạng ẩn tàng), tập cho HS biết cách vận dụng chúng vào việc học
các khái niệm, các định lí và giải các bài tập Toán.
SGK mới hiện hành đã phần nào tránh đợc việc áp đặt kiến thức cũng nh
tránh các suy luận lôgic chặt chẽ nhng quá phức tạp khi trình bày các khái niệm
và định lý. Vì vậy khi mà HS đã đợc trang bị phần nào các kiến thức về phép
BCDV thì ngợc lại sẽ giúp các em tiếp thu đợc các khái niệm và định lý trong
SGK một cách dễ dàng hơn. Các em sẽ hiểu đợc vì sao SGK lại trình bày từ các
ví dụ cụ thể rồi đi đến khái niệm tổng quát, chẳng qua là chúng đợc đa vào theo
con đờng từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng mà thôi. Các phép chứng
minh phức tạp đợc giảm nhẹ đến mức tối đa, đôi khi chỉ còn là việc rút ra kết
luận từ hình ảnh trực quan. Chẳng hạn: Trong chơng II sách đại số 10 nâng cao
NXB GD 2006, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng phơng pháp đại
số mặc dù có đợc giới thiệu, nhng trên thực tế, các kết quả khảo sát hàm số này
đều đợc suy ra từ đồ thị (điều này lý giải tại sao nhiều bài Toán yêu cầu HS vẽ đồ
thị trớc rồi mới suy ra sự biến thiên). Do đó HS có thể rút ra các tính chất của
hàm số thông qua đồ thị.
Khi đứng trớc một bài Toán, để định hớng và tìm tòi lời giải phải biết nhìn
nhận nó dới nhiều góc độ, phải xem xét nó có mối liên hệ nh rhế nào với các bài
Toán đã từng giải, phải nhìn nhận mối liên hệ giữa các yếu tố trong giả thiết bài
Toán, giữa giả thiết và kết luận của bài Toán; tức là HS đợc hiểu đợc quan điểm
toàn diện trong nhận thức.
Hoặc có những lớp bài Toán mà đờng lối giải của chúng có nguồn gốc là
những suy luận mang tính chất có quy luật. Chẳng hạn khi giải các bài Toán chứa
nhiều đại lợng thay đổi (nhiều ẩn) thì thông thờng ta tìm cách chuyển về bài
Toán chứa ít đại lợng biến đổi hơn. Ngợc lại, có những bài Toán chứa ít ẩn nhng
khó giải vì tính chất phức tạp của các biểu thức có mặt trong bài Toán đó ta lại
phải tìm cách chuyển về bài Toán nhiều ẩn nhiều phơng trình hơn. Nh vậy có
41
nghĩa là đã phần nào hiểu đợc mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình

thức hoặc quy luật "lợng đổi chất đổi", tức là "chịu thiệt về "mặt lợng" nhng
đợc về "mặt chất"" (Nguyễn Thái Hoè).
2.2.5. Định hớng 5: Góp phần vào việc làm tăng hứng thú học tập cho HS, vào
phơng pháp học tập tích cực của HS và vào việc đổi mới phơng pháp dạy học
Toán hiện nay.
Việc đổi mới SGK hiện nay tuy còn cha thật hoàn thiện nhng đang là cơ
hội thuận tiện để ngời thầy có thể suy nghĩ tự tìm tòi cho mình những phơng
pháp dạy học tích cực, có hiệu quả. Trớc đây SGK đợc viết theo lối diễn giảng từ
đặt vấn đề đến trình bày các khái niệm mới, các định lí và những ví dụ áp dụng.
Cách viết đó có hai nhợc điểm:
HS không hiểu đợc vấn đề đợc đa ra từ đâu và tại sao có vấn đề đó. Nh vậy
muốn hiểu và nắm đợc nội dung phần này, đòi hỏi phải có GV hớng dẫn, còn nếu
đọc SGK không thôi thì quá khó đối với HS. Từ đó tạo cho thầy và trò thói quen
"thầy giảng, trò ghi", một phơng pháp dạy học không hiệu quả, không phát huy
đợc năng lực tìm tòi, tự học của HS.
Với cách trình bày của SGK nh trên, chúng ta đã coi mọi đối tợng HS có
trình độ đồng đều nh nhau và không tác động đợc đến những HS có trình độ khác
nhau. Mọi đối tợng đều tiếp thu kiến thức mới theo đúng nh trình tự đã trình bày
trong SGK, cùng thụ động tiếp thu cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề nh nhau,
không kích thích đợc năng lực tìm tòi và suy nghĩ sáng tạo của mỗi HS.
SGK mới đã phần nào khắc phục đợc những nhợc điểm trên. Sách đã chỉ ra
các hoạt động tại từng thời điểm để thầy và trò xem xét. Những hoạt động này rất
đa dạng: Ôn kiến thức cũ, nêu lí do xuất hiện các khái niệm mới và nhất là đặt
bài Toán để HS tự mình khám phá, giải quyết; nêu các ví dụ gợi ý phơng pháp,
hoặc áp dụng trực tiếp lí thuyết, Thiết nghĩ đây là điều kiện thuận lợi để ngời
thầy có thể thực hiện đợc mục đích góp phần vào việc làm tăng hứng thú học tập
cho HS, vào phơng pháp học tập tích cực của HS và vào việc đổi mới phơng pháp
42
dạy học Toán hiện nay. Bởi có thể với cách dạy học nh trớc đây, HS có thể dễ
nhầm Toán học là kết quả thần tuý của hoạt động trí tuệ, tách rời với hiện thực

khách quan. Giờ đây với những mẩu chuyện lịch sử Toán học, những bài Toán
dân gian hay những điều "có thể bạn cha biết" đã phần nào làm cho Toán học gần
với đời sống hơn. Song song với những cố gắng đó, trong quá trình dạy học Toán,
ngời thầy biết đan xen những kiến thức về Triết học, những quy luật khách quan
của hiện thực, làm cho HS thấy đợc Toán học luôn gắn liền với thực tiễn.
2.3. Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về
phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.
2.3.1. Biện pháp 1: Làm cho HS thấy rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học
trong quá trình dạy học Toán.
Ngay từ thời con ngời còn sống bầy đàn, hái lợm, săn bắn để nuôi thân,
nhu cầu cuộc sống đòi hỏi con ngời phải so sánh các tập hợp, ví dụ so sánh các
tập hợp những ngời lao động với tập hợp công cụ lao động. Phơng pháp so sánh
đầu tiên là đem phân phát cho mỗi ngời một công cụ, tức là thực hiện một đơn
ánh từ tập hợp công cụ vào tập hợp ngời; nhng làm ánh xạ trực tiếp nh vậy nhiều
khi rất phiền phức nên ngời ta cải tiến phơng pháp bằng cách dùng một tập hợp
trung gian, chẳng hạn nh tập hợp các ngón tay, ngón chân; từ đó xuất hiện dần
các số tự nhiên coi nh công cụ của phép đếm. Khi con ngời đã biết sản xuất thì
nhu cầu về cân đối, đồng bộ càng tăng, chỉ đếm cha đủ, cần phải cân, đong, đo,
so sánh, sắp xếp thứ tự: đo độ dài, so sánh gần xa, ớc lợng diện tích, so sánh to
nhỏ, đong thể tích, cân trọng lợng, so sánh nhiều ít, xác định phơng hớng với
phép đo góc v.v Lúc đầu nhu cầu chính xác còn thấp, số lợng việc đong, đo, ớc
lợng cha nhiều, ngời ta có thể đong, đo trực tiếp hoặc ớc lợng bằng kinh nghiệm
nh dùng nớc hay cát để đong mà so sánh các thể tích. Dù sao, việc đong, đo đã
làm nảy sinh nhu cầu phải nghiên cứu các hình, phải bổ sung vào các số tự nhiên
một loại số mới là phân số. Việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lũ lụt của
sông Nil (Ai Cập), khiến cho lu vực sông Nil là cái nôi sinh ra môn hình học;
43
việc sử dụng cát để đong nhiều khi lại thuận lợi hơn là dùng nớc hay chất lỏng
nào khác vì dụng cụ chứa cát có thể không thật kín mà cát vẫn không chảy ra
ngoài; có lẽ vì vậy mà ngày xa đã có mục từ "hình học cát".

Khi sản xuất phát triển đến mức ngoài việc tự cung, tự cấp còn dôi ra để
trao đổi, hình thành nên hàng hoá để lu thông, nh vậy thì yêu cầu cân, đo, đong,
đếm càng phát triển và càng đòi hỏi chính xác, không thể làm trực tiếp, lại khó
bằng lòng với mức độ chính xác thấp của ớc lợng; trớc tình hình đó, ngời ta bắt
đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lợng xuất hiện trong cùng một
vấn đề và từ đó rút ra kết luận là không nhất thiết phải cân, đo, đếm tất cả những
tập hợp, đại lợng cần cân, đong, đo, đếm mà chỉ cần làm cho một số nào đó rồi
dùng lý lẽ mà suy ra các kết quả khác. Từ đó, trong hình học xuất hiện lý luận về
so sánh các hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó (ví dụ nh
tròng hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam giác), quy tắc tính diện tích, thể
tích một số hình đơn giản, quen thuộc theo một số đoạn thẳng nào đó (cạnh,
chiều cao, v.v ).
Rõ ràng Toán học bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn. Ngày nay ngời ta có dịp
chiêm ngỡng kim tự tháp, đền đài, lăng tẩm, mà ngời xa để lại cũng là do có
Toán học. Do nhu cầu xây dựng của các vua chúa lúc bấy giờ mà Toán học phát
triển ngày càng hoàn thiện hơn.
Nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng gắn liền với nguồn gốc ra đời của
nó. Cũng cần cho HS biết đợc công lao to lớn của các nhà Toán học gắn với sự ra
đời các kiến thức Toán học. Trong điều kiện có thể khi dạy học các khái niệm,
các định lý thì có thể nhắc đến nguồn gốc ra đời của chúng.
Chẳng hạn nh khi học về định lý Talet (Thalès) thì cũng cần nhắc cho HS
biết rằng Thalès (624 547 tr.CN) là "nhà Toán học đầu tiên của nhân loại".
Ngời ta truyền rằng ông đo đợc chiều cao của kim tự tháp chỉ nhờ một cái gậy
thẳng và bóng của nó (tính chất tam giác đồng dạng).
44
HS Trung học ngày nay đều đã đợc học định lý Pitago nổi tiếng: "Trong
một tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bằng tổng các bình phơng của hai
cạnh góc vuông". Cần cho HS biết rằng nó đợc biết đến bởi nhà Toán học Hylạp
Pitago sống vào khoảng 580 500 tr.CN.
Đêmôkrit (Démocrite 460 370 tr.CN) đã đa ra các khái niệm "vô cùng"

và chính nhờ quan niệm này mà ông đã tìm ra thể tích hình chóp và đã chứng
minh thể tích hình chóp bằng một phần ba thể tích hình trụ có cùng đáy và chiều
cao.
Mennechme có khám phá nổi tiếng là tiết diện conic, ông đã tìm ra các
tính chất của parabol, hypebol và elip nhng thời đó ông cha dùng các từ này mà
mãi sau này Apollonius mới dùng đến các từ ấy.
Aristote (384 322 tr.CN) là ngời đã nêu những phân biệt rõ ràng chính
xác thế nào là tiên đề, định nghĩa, giả thiết, Ông đã đa ra những khái niệm về
liên tục, vô hạn, chuyển động,
Ơclit (Euclide thế kỷ thứ III tr.CN) nổi tiếng với tác phẩm "Eléments" gồm
13 tập, trong đó các tập 11, 12, 13 chủ yếu là về hình học không gian.
Tập 11: Có 39 mệnh đề, 28 định nghĩa mặt phẳng, mặt phẳng song
song, về các khối đồng dạng, các khối chóp, trụ cầu, lập phơng.
Tập 12: Gồm 18 mệnh đề và cách tính diện tích các hình.
Tập 13: Nói về cách dựng các hình đa diện đều và các tính chất của
chúng.
Héron (75 150 sau CN) đã phát minh ra công thức mang tên ông
S =
))()(( cpbpapp
với
2
cba
p
++
=
Ngoài ra ông còn ngiên cứu cách tính thể tích hình nón, hình trụ, hình hộp
chữ nhật, hình chóp, hình chóp cụt, hình cầu, hình xuyến, các hình đa diện đều.
Nói về cách giải phơng trình bậc ba: x
3
+ px = q không thể không nói đến

công lao của Girolamo Cardano (1501 1576). Việc giải phơng trình bậc ba đó
45
là một bớc tiến dài sau hàng nghìn năm phát triển môn Đại số kể từ thời
Babylone nhng nó cũng đa các nhà Toán học đến những vấn đề mới: số vô tỉ, số
âm, số ảo.
Khi HS học đến phần Lợng giác, cần nói đến công lao của nhà Toán học
BaLan Nicolas Copernic (1473 1543) đã góp phần tích cực thúc đẩy sự phát
triển môn Lợng giác dới thời Phục hng ở Châu Âu. Ông đã để lại công trình nổi
tiếng về thiên văn nhng có chứa những chơng về lợng giác.
HS THPT ngày nay đợc làm quen với thuật ngữ "quy nạp Toán học" ít đợc
biết rằng lần đầu tiên đợc Francisco Maurolico (1494 1575) phát biểu và áp
dụng nguyên lý này là một nguyên lý do Levi Ben Gerson (thế kỷ XIV) đã
nghiên cứu, về sau đợc A.De Morgan phổ biến từ thế kỷ XIX.
HS THPT cũng đợc học định lí Viet (Viète). Francois Viète (1540
1603) nổi tiếng với quyển Đại số xuất bản năm 1591. Đây là một quển sách với
những sáng tạo trong việc dùng kí hiệu rõ ràng và ngày nay ngời ta dùng công
thức của ông về mối liên quan giữa nghiệm và hệ số của phơng trình bậc hai.
Viet có lẽ là ngời đầu tiên nêu mối liên hệ chặt chẽ giữa Đại số và Lợng giác. Ví
dụ xuất phát từ phơng trình x
3
+ 3px + q = 0 nếu dùng y = mx thay vào ta có một
phơng trình mới y
3
+ 3pm
3
y + m
3
q = 0 trực giác thấy nó hao hao giống phơng
trình:
03cos

4
1
cos
4
3
cos
3
=

với y = cos

, 3pm
2
= -3/4, m
3
q = cos3

.Ta có thể xác định dễ dàng 3

rồi


theo p, m, q. Biết cos

thì xác định đợc y rồi x.
Cái tên Đêcac (René Déscartes) (1596 1650) đợc nhắc nhiều khi học
sinh học đến hệ toạ độ Đêcac vuông góc. Ông đã phát minh ra cho nhân loại một
phơng pháp nghiên cứu Hình học mới kết hợp giữa Hình học và Đại số (Phơng
pháp toạ độ). Ông là nhà Toán học đầu tiên đa ra phơng pháp xác định toạ độ
một điểm bằng một hệ trục vuông góc và ông đã chứng minh rằng khi điểm này

chuyển động vạch nên một đờng thì mối quan hệ giữa x và y đợc thể hiện bằng
46
f(x,y) = 0. Đây là ý nghĩ sản sinh ra môn Hình học giải tích và mối quan hệ hàm
giữa các đại lợng. Triết học gọi đây là quan hệ biện chứng trong Toán học.
HS lớp 12 đợc làm quen với khái niệm cực đại, cực tiểu, định lý Fermat
phải biết rằng Pierre de Fermat (1601 16650) là ngời sáng lập ra môn tính vi
phân, tích phân sau khi công bố tác phẩm "phơng pháp nghiên cứu cực đại và cực
tiểu". Ông đã để lại định lý Fermat: "phơng trình x
n
+ y
n
= z
n
chỉ có nghiệm
nguyên với n

2" mà cho đến tận ngày nay cha ai chứng minh đợc.
"Tam giác Pascal" lại nhắc HS lớp 11 nhớ đến nhà Toán học ngời Pháp
Blaise Pascal (1623 1662). Ông đã đặt nền móng cho môn xác suất thống kê.
18 tuổi ông đã phát minh ra máy tính số học để giúp cha trong việc tính Toán.
Cũng không thể không nhắc đến nhà Toán học Ơle (Leonhard Euler)
(1707 1783) đã đặt đợc mối liên hệ giữa hàm lợng giác và hàm luỹ thừa bằng
công thức mang tên ông: cos

+ isin

= e

i
HS lớp 12 cũng không thể quên đợc định lý Lagrăng. Nó nhắc đến nhà

Toán học ngời Pháp Joseph Louis Lagrange (1736 1813).
Một nhà Toán học ngời Pháp nữa mà tên ông đợc nhắc đi nhắc lại khá
nhiều trong quá trình học tập của HS Trung học đó là Augustin Cauchy (1789
1857).
2.3.2. Biện pháp 2: Làm rõ sự phản ánh thực tiễn của Toán học trong quá
trình dạy học.
Khi dạy học các khái niệm dĩ nhiên chúng ta không thể nói tất cả các khái
niệm đó đều phản ánh thực tiễn, bởi vì "quá trình t duy có thể đẻ ra những khái
niệm không gắn trực tiếp với một cái gì trong thực tiễn"(Nguyễn Cảnh Toàn). Vì
vậy trên quan điểm DVBC không có nghĩa là đòi hỏi mỗi khái niệm, mỗi định lý,
mỗi công thức đều có một ý nghĩa thực tế trực tiếp. Tuy nhiên dù sao các khái
niệm, định lý, công thức đó cũng đợc kích thích ra đời bởi nhu cầu thực tiễn và
cũng hớng vào cái đích thực tiễn. Bởi vậy trong quá trình dạy học ngời thầy cũng
47
cần làm rõ sự phản ánh thực tiễn của các kiến thức Toán học. Dới đây là một số
ví dụ:
Khái niệm vectơ phản ánh những đại lợng đặc trng không phải chỉ bởi số
đo mà còn bởi hớng nữa nh lực, vận tốc,
Khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhng khác
nhau về độ lớn ví dụ nh các lá cây của một loại cây
Khái niệm phép dời hình phản ánh những sự muôn hình muôn vẻ của tự
nhiên, xã hội và con ngời. Chẳng hạn nh sự đối xứng của các hình, của hai bàn
tay,
Khái niệm cung và góc lợng giác phản ánh những góc quay trong thực tế
không chỉ giới hạn ở một vòng quay (từ 0
0
đến 360
0
) mà còn lớn hơn nữa chẳng
hạn nh vòng quay của bánh xe, của cánh quạt điện,

Khái niệm mệnh đề phản ánh những câu nói chỉ hoặc đúng hoặc sai trong
cuộc sống chứ không phải vừa đúng vừa sai, đồng thời nó phản ánh tính chính
xác của một khoa học là Toán học.
Các phép Toán lôgic của mệnh đề: phép phủ định, phép hội, phép tuyển,
phép kéo theo, phép tơng đơng phản ánh tính đa dạng, biện chứng của cuộc sống.
Khái niệm tập hợp phản ánh sự so sánh số lợng giữa các tập, so sánh tính
chất giữa tập này với tập khác.
Khái niệm số gần đúng, sai số phản ánh các số liệu của các phép đo đạc,
tính Toán vì những lí do khách quan và chủ quan mà không thể đúng tuyệt đối
100%. Điều đó cũng nói lên tính chủ quan của con ngời khi xem xét các sự vật,
hiện tợng. Từ đó con ngời cố gắng đa ra những biện pháp để khắc phục tính chủ
quan của mình bằng cách đa ra các khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tơng đối.
Khái niệm hàm số phản ánh sự tơng quan phụ thuộc giữa các đại lợng biến
thiên, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các sự vật, hiện tợng, mối
liên hệ lợng chất hay mối liên hệ nhân quả trong cuộc sống.
48
Việc giải và biện luận đúng các phơng trình tham số, không bỏ sót một tr-
ờng hợp nào phản ánh t duy trong cuộc sống không đợc nhìn nhận sự việc một
cách hời hợt mà phải xét hết tất cả các trờng hợp có thể xảy ra. Có nh vậy mới
hiểu sâu sắc đợc nó và từ đó có đợc hớng giải quyết đúng trong mọi vấn đề trong
cuộc sống.
Khái niệm thống kê phản ánh quá trình điều tra nghiên cứu một hiện tợng
kinh tế xã hội nào đó để từ đó đa ra những sự so sánh giữa các giai đoạn, các thời
kì phát triển giúp ích cho sự tăng trởng kinh tế xã hội
2.3.3. Biện pháp 3: Làm rõ những ứng dụng thực tiễn của Toán học trong
quá trình dạy học.
Toán học vốn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Chẳng hạn nh ứng
dụng Lợng giác để đo những khoảng cách không thể đo trực tiếp đợc, ứng dụng
hệ thức trong tam giác để tính các đại lợng,
Muốn vậy cần cho HS tiếp cận với những bài Toán có nội dung thực tiễn

trong khi học lý thuyết cũng nh làm bài tập.
Ví dụ 1: ứng dụng quy tắc hình bình hành của phép cộng hai vectơ (Hình học
10) vào bài Toán thực tiễn:
Quy tắc hình bình hành của phép cộng hai vectơ (Hình học 10 nâng cao):
Nếu OABC là hình bình hành thì
OBOCOA =+

Bài Toán thực tiễn: Lợi dụng sức gió để làm thuyền buồm chạy ngợc chiều gió.
Nói một cách chính xác thì ngời ta có thể làm cho thuyền chuyển động
theo một góc nhọn, gần bằng 1/2 góc vuông đối với chiều gió thổi.
Chuyển động này đợc thực hiện theo đờng dích dắc nhằm tới hớng cần đến
của mục tiêu. Để làm đợc điều đó ta đặt thuyền theo hớng TT
'
và đặt buồm theo
phơng BB
'
nh hình vẽ.
49
O
C
B
A
Gió Đích

Khi đó gió thổi tác động lên mặt buồm một lực. Tổng hợp lực là lực
f
có
điểm đặt ở chính giữa buồm. Lực
f
đợc phân tích thành hai lực: lực

p
vuông góc
với cánh buồm BB
'
và lực
q
theo chiều dọc cánh buồm. Ta có
f
=
p
+
q
. Lực
q
này không đẩy buồm đi đâu cả vì lực cản của gió đối với buồm không đáng kể.
Lúc đó chỉ còn lực
p
đẩy buồm dới một góc vuông. Nh vậy khi có gió thổi, luôn
luôn có một lực
p
vuông góc với mặt phẳng BB
'
của buồm. Lực
p
này đợc phân
tích thành lực
r
vuông góc với sống thuyền và lực
s
dọc theo sống thuyền TT

'
h-
ớng về mũi thuyền. Khi đó ta có
p
=
rs +
. Lực
r
rất nhỏ so với lực cản rất lớn
của nớc, do thuyền buồm có sống thuyền rất sâu. Chỉ còn lực
s
hớng về phía trớc
dọc theo sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn ngợc với chiều gió thổi. Bằng
cách đổi hớng thuyền theo con đờng dích dắc, thuyền có thể đi tới đích theo hớng
ngợc chiều gió mà không cần lực đẩy.
50
T
f
r
q
p
B
'
B
T
'
s
Xuất phát
Ví dụ 2: ứng dụng định lý cosin và định lý sin trong tam giác (Hình học 10)
vào bài Toán thực tiễn:

Định lý cosin trong tam giác (Hình học 10 NC):
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
a
2
= b
2
+c
2
2bccosA
b
2
= a
2
+ c
2
2accosB
c
2
= a
2
+ b
2
2abcosC
Định lý sin trong tam giác (Hình học 10 NC):
Với mọi tam giác ABC, ta có:

R
C
c
B

b
A
a
2
sinsinsin
===

trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài Toán thực tiễn:
Bài Toán 1: Một hồ nớc nằm ở góc tạo bởi hai con đờng nh hình vẽ.

Bốn bạn An, Cờng, Trí, Đức dự đoán khoảng cấch từ B đến C nh sau:
An : 5 km
Cờng : 6 km
51
120
0
A
C
B
3 4
C
A
c
b
a
B
Trí : 7 km
Đức : 5,5 km.
Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là

4 km, góc BAC là 120
0
.
Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?
Lời giải:
áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC với AB = 3, AC = 4, góc BAC
bằng 120
0
, ta có:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
2AB.AC.cos120
0
Hay BC
2
= 9 + 16 2.3.4.(-
2
1
) = 37.
Vậy khoảng cách từ B đến C là
37
6,1 km. Nh vậy bạn Cờng dự đoán
sát với thực tế nhất.
Bài Toán 2:
Từ vị trí A ngời ta quan sát một cây cao
Biết AH = 4 m, HB = 20 m,

^
BAC
= 45
0
.
Tính chiều cao của cây?
Lời giải:
áp dụng định lý Pitago trong tam giác
ABH ta có:
AB
2
= AH
2
+ HB
2
= 4
2
+ 20
2
= 416, nên AB

20,4.
sin
BAH

=

4,20
20
AB

HB
0,9804.
Vì góc A nhọn nên
BAH

79
0
. Mà
BAHCBA


=
nên
CBA

79
0
.
Suy ra
BCA

56
0
. Trong tam giác ABC ta có:
52
A
B
45
0
20

4
H

==
0
0
0
56sin
45sin.4,20
sin
45sin
CB
C
ABCB
17,4 (m).
Vậy chiều cao của cây là 17,4 m.
Ví dụ 3: ứng dụng các kiến thức về hàm số bậc hai vào bài Toán thực tiễn:
Đồ thị hàm số bậc hai (Đại số 10 NC):
Đồ thị hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c (a

0) là một parabol có đỉnh I

aa
b
4
;
2
, nhận đờng thẳng x = -
a
b
2
làm trục đối xứng và hớng bề lõm lên trên
khi a > 0, xuống dới khi a < 0.
Bài Toán thực tiễn:
Bài Toán 1:
Khi một quả bóng đợc đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống.
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ toạ
độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng đợc đá lên; h
là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. giả thiết rằng quả bóng đợc đá từ độ cao
1,2 m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao
6m (Hình vẽ).
Hãy xác định độ cao lớn nhất của quả bóng? Sau bao lâu thì quả bóng sẽ
chạm đất kể từ khi đá lên?
Lời giải:
53
O
h
8,5
6
4
1,2

t21
Giả sử hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị
trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên là
h = f(t) = at
2
+ bt + c.
Ta cần tìm các hệ số a, b, c.
Theo giả thiết, quả bóng đợc đá lên từ độ cao 1,2 m, nghĩa là
f(0) = c = 1,2.
Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5 m nên f(1) = a+ b + 1,2 = 8,5.
Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6 m, nghĩa là
f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.
Thu gọn các hệ thức trên, ta có hệ phơng trình bậc nhất:



=+
=+
.4,22
3,7
ba
ba
Trừ từng vế, ta đợc a = -4,9; b = 12,2.
Do đó hàm số cần tìm nói ở trên là: f(t) = -4,9t
2
+ 12,3t + 1,2.
Vì những điểm ở mặt đất có tung độ bằng 0 nên độ cao lớn nhất của quả
bóng chính là tung độ của đỉnh parabol. Cụ thể là:
y = -

=

9,4
09,43
'
a
8,794 (m).
Giải phơng trình 4,9t
2
+ 12,2t + 1,2 = 0, ta đợc hai nghiệm gần đúng là
-0,09 và 2,58. Loại giá trị âm, ta đợc kết quả là:
Quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây.
Bài Toán 2:
Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có
hình parabol hớng bề lõm xuống dới, đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ
độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O nh hình vẽ (x và y tính bằng mét),
chân kia của cổng ở vị trí (162 ; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10 ;
43).
Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất) ?
54
O x16210
Lời giải:
Trớc hết ta cần tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên:
f(x) = ax
2
+ bx + c, thoả mãn : f(0) = c = 0; f(10) = 100a + 10b = 43;
f(162) = 162
2

a + 162b = 0 hay 162a + b = 0.
Từ đó ta suy ra a = -
1520
43
, b =
.
760
3483
Do đó f(x) = -
1520
43
x
2
+
.
760
3483
x.
Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol nên:
Cách 1: h =






2
162
f
= f(81)

186 (m).
Cách 2: h =







a
b
f
2
= f(81)

186 (m).
Cách 3: h = -
a4


186 (m).
Ví dụ 4: ứng dụng một số kiến thức về thống kê (Đại số 10) vào thực tiễn:
Bài Toán 1: Trên hai con đờng A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h)
của 30 chiếc ôtô trên mỗi con đờng nh sau:
Con đờng A: 60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67
88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76.
Con đờng B: 76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79
55
M43

y
80 73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70
74 69 60 63.
Hãy cho biết xe chạy trên con đờng nào an toàn hơn ?
Lời giải:
Trên con đờng A: Số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn của mẫu số
liệu là:
x
73,63 km/h ; s
2


74,77 ; s

8,65 km/h.
Trên con đờng B: Số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn của mẫu số
liệu là:
x
70,7 km/h ; s
2


38,21 ; s

6,18 km/h.
Nhận xét: Lái xe trên con đờng B an toàn hơn trên con đờng A vì vận tốc
trung bình của ôtô trên con đờng B nhỏ hơn trên con đờng A và độ lệch chuẩn
của ôtô trên con đờng B cũng nhỏ hơn trên con đờng A.
Bài Toán 2:
Ngời ta tiến hành thăm dò ý kiến khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của

một loại sản phẩm mới đợc sản xuất ở một nhà máy. Dới đây là bảng phân bố tần
số theo số tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên.
Mẫu 1 2 3 4 5 Cộng
Tần số 2100 1860 1950 2000 2090 10000

Hãy cho biết nhà máy nên u tiên cho mẫu nào?
Lời giải:
Dễ thấy mốt của bảng phân bố tần số trên là 1.
Do đó trong sản xuất nhà máy nên u tiên cho mẫu 1.
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho HS kỹ năng phát hiện những mối liên hệ
giữa các đối tợng Toán học.
Phép DVBC chỉ rõ thế giới nh một chỉnh thể thống nhất. Các sự vật, hiện t-
ợng v các quá trình cấu th nh thế giới đó vừa tách biệt nhau, vừa có mối liên hệ
qua lại, thâm nhập v chuyển hoá lẫn nhau.
56
Vì vậy trong hoạt động học tập môn Toán cần tập cho HS nhận thức theo
quan điểm toàn diện, nghĩa là chúng ta phải xem xét các đối tợng Toán học trong
mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tính khác nhau
của chính sự vật đó; phải xem xét trong mối liên hệ qua lại giữa các sự vật đó với
các sự vật khác. Cần cho HS hiểu đợc giữa các đối tợng Toán học có mối liên hệ
với nhau, và từ chỗ hiểu, nắm vững những mối liên hệ đó, HS biết vận dụng vào
trong quá trình học Toán một cách linh hoạt để có thể hiểu sâu sắc bản chất Toán
học, giải quyết tốt các vấn đề Toán học.
Muốn làm đợc điều đó, theo chúng tôi GV cần quan tâm đến những vấn đề
sau:
Thứ nhất, cần cho HS thấy đợc mối liên hệ biện chứng giữa các phân môn
trong nội bộ Toán học: Đại số và Hình học, Đại số và Lợng giác, Hình học và L-
ợng giác, Đại số và Giải tích
Ví dụ 1: Khi dạy học về hệ toạ độ Đêcac vuông góc, về phơng pháp toạ độ cần
chỉ cho HS thấy đợc mối quan hệ biện chứng giữa Hình học và Đại số. Từ việc

nắm vững mối quan hệ đó HS có thể áp dụng vào làm bài tập nh chuyển các bài
Toán Hình học sang các bài Toán Đại số và ngợc lại chuyển các bài Toán Đại số
sang các bài Toán Hình học.
Bài Toán 1:
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
mxxxx =+++ 11
22
(1) .
Nếu một HS luôn ý thức đợc mối quan hệ biện chứng giữa Đại số và Hình
học thì sau bớc biến đổi phơngtrình
mxxxx =+++ 11
22
mxx =








+

+






+
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2
1
(2)
sẽ liên hệ đến khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng toạ độ. Cụ thể là
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét

57