phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 4 pdf

37
CHỈÅNG 4
NÄÜI SUY V PHỈÅNG PHẠP BÇNH PHỈÅNG BẸ NHÁÚT
4.1 NÄÜI SUY ÂA THỈÏC
4.1.1 Váún âãư näüi suy
Trong thỉûc tãú nhiãưu khi phi phủc häưi mäüt hm säú f(x) tải mi giạ trë ca x
trãn âoản a ≤ x ≤ b m chè biãút mäüt säú hỉỵu hản giạ trë ca hm säú tải mäüt säú hỉỵu
hản cạc âiãøm råìi rảc ca âoản âọ. Cạc giạ trë âọ âỉåüc cung cáúp qua thỉûc nghiãûm
hay tênh toạn. Váûy ta cọ váún âãư toạn hc sau :
Trãn âoản a ≤ x ≤ b cọ mäüt lỉåïi cạc âiãøm chia ( ta gi cạc âiãøm chia ny l nụt)
x
i
, i = 0,1,2, ,n tỉïc l a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, , x
n
≤ b tỉång ỉïng tải cạc x
i
ta cọ giạ trë
ca hm säú y = f(x) l y
i
= f(x
i
) nhỉ trãn bng sau:
Bng 4-1
x x
0

x
1
x
2
x
n-1
x
n
y y
0
y
1
y
2
y
n-1
y
n
Báy giåì ta phi tçm hm f(x) dỉåïi dảng mäüt âa thỉïc dỉûa vo bng trãn âáy.
Gi sỉí ta xáy dỉûng âỉåüc âa thỉïc báûc n : p
n
(x) =a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a

n-1
x + a
n
. Sao
cho p
n
(x) trng våïi f(x) tải cạc nụt x
i
, tỉïc l p
n
(x
i
) = y
i
, i = 0,1,2, ,n . Âa thỉïc
p
n
(x) gi l âa thỉïc näüi suy ca hm f(x). Ta chn âa thỉïc âãø näüi suy hm f(x) vç
âa thỉïc l loải hm âån gin, ln cọ âảo hm v ngun hm, viãûc tênh giạ trë
cng dãù dng. Ta cọ p
n
(x) = ((a
0
x +a
1
)x +a
2
) ) +a
n
Do âọ cọ så âäư Hoocne

tênh giạ trë p
n
(c):
b
0
= a
0
, b
1
= b
0
c + a
1
, b
2
= b
1
c +a
2
, ,b
n
= b
n-1
c + a
n
= p
n
(c)
4.1.2 Sỉû duy nháút ca âa thỉïc näüi suy
Âënh l 4.1 Âa thỉïc näüi suy p

n
(x) ca hm säú f(x) âënh nghéa åí trãn nãúu cọ
thç chè cọ mäüt m thäi.
Chỉïng minh: Gi sỉí cọ hai âa thỉïc p
n
(x) v q
n
(x) cng näüi suy cho mäüt
hm f(x) Lục âọ ta phi cọ :
p
n
(x
i
) = y
i
, q
n
(x
i
) = y
i
Váûy hiãûu p
n
(x) - q
n
(x) l mäüt âa thỉïc cọ báûc ≤n lải triãût tiãu tải n + 1 giạ trë khạc
nhau x
i
vç p
n

(x
i
) - q
n
(x
i
) = y
i
- y
i
= 0. Do âọ p
n
(x) - q
n
(x) phi âäưng nháút khäng,
nghéa l p
n
(x) ≡ q
n
(x). Âa thỉïc näüi suy cọ thãø xáy dỉûng bàòng nhiãưu cạch, nhỉng
vç nọ cọ tênh duy nháút, nãn táút c cạc dảng ca nọ âãưu cọ thãø quy vãư nhau âỉåüc.
4.1.3 Âa thỉïc näüi suy Lagrangiå
Dỉåïi âáy ta xáy dỉûng âa thỉïc näüi suy theo kiãøu Lagrangiå. Gi I
i
(x) l:

)) ()() ((
)) ()() ((
)(
110

110
niiiiii
nii
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xI





=
+
+

Roợ raỡng I
i
(x) laỡ õa thổùc bỏỷc n vaỡ I
i
(x
j
) = (4-1)




=
ij
ij

0
1
Ta goỹi õoù laỡ õa thổùc Lagrangiồ cồ baớn.
Bỏy giồỡ ta thióỳt lỏỷp bióứu thổùc

(4-2)

=
=
n
i
iin
xIyxp
0
)()(
Ta thỏỳy p
n
(x) vổỡa laỡ mọỹt õa thổùc bỏỷc n vỗ caùc I
i
(x) coù bỏỷc n vổỡa thoớa maợn õởnh
nghộa p
n
(x
j
) = y
j
vỗ (4-1. Vỏỷy p
n
(x) xaùc õởnh theo (4-2) laỡ mọỹt õa thổùc nọỹi suy. Ta
goỹi noù laỡ õa thổùc nọỹi suy Lagrangiồ.

4.1.4 Mọỹt sọỳ trổồỡng hồỹp hay gỷp vaỡ thờ duỷ
1) Nọỹi suy bỏỷc nhỏỳt ( nọỹi suy tuyóỳn tờnh)
Vồùi n = 1 ta coù lổồùi trong baớng dổồùi:
Baớng 4-2
x x
0
x
1
y y
0
y
1
a thổùc nọỹi suy (4-2) seợ laỡ:
p
1
(x) = y
0
I
0
(x) + y
1
I
1
(x) (4-3)

01
0
1
10
1

0
)(;)(
xx
xx
xI
xx
xx
xI


=


=

Do õoù
01
0
1
10
1
01
)(
xx
xx
y
xx
xx
yxp

+


=
a thổùc p
1
(x) laỡ bỏỷc nhỏỳt õọỳi vồùi x coù daỷng Ax + b.
2) Nọỹi suy bỏỷc hai
Vồùi n = 2 ta coù lổồùi
Baớng 4-3
x x
0
x
1
x
2
y y
0
y
1
y
2
a thổùc nọỹi suy (4-2) laỡ :
p
2
(x) = y
0
I
0

(x) + y
1
I
1
(x) + y
2
I
2
(x) (4-4)

))((
))((
)(
))((
))((
)(
2101
20
1
2010
21
0
xxxx
xxxx
xI
xxxx
xxxx
xI

=



=


38
))((
))((
)(
1202
10
2
xxxx
xxxx
xI
−−
−
−
=

Âa thỉïc p
2
(x) l mäüt âa thỉïc báûc hai âäúi våïi x cọ dảng Ax
2
+ Bx + C.
3) Thê dủ ạp dủng
Cho lỉåïi
Bng 4-4

x 1 2 3 4
y 17 27,5 76 210,5
Hy thiãút láûp âa thỉïc näüi suy.
Gii : Ta cọ n = 3 âa thỉïc näüi suy l âa thỉïc báûc ba. Theo (4-2) ta cọ:
)34)(24)(14(
)3)(2)(1(
5,210
)43)(23)(13(
)4)(2)(1(
76
)42)(32)(12(
)4)(3)(1(
5,27
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(
17)(
3
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
+
−−−
−
−
−
+
−−−

−−−
=
xxxxxx
xxxxxx
xp

Sau khi rụt gn ta âỉåüc :
p
3
(x) = 8x
3
- 29x
2
+ 41,5x - 3,5
4.1.5 Sai säú näüi suy v váún âãư chn nụt näüi suy
Âënh l 4-2. Nãúu hm f(x) liãn tủc trãn [a,b} v cọ trong (a,b) âảo hm
âãún cáúp n+1 thç sai säú näüi suy r
n
(x) = f(x) -p
n
(x) cọ biãøu thỉïc :
[
bac
n
x
cfxr
n
n
,,
)!1(

)(
)()(
)1(
∈
+
=
+
]
π
(4-5)
Trong âọ π(x) = (x-x
0
)(x-x
1
) (x-x
n
) (4-6)
Âënh l ny cọ nghéa l nãúu tải mäüt giạ trë xạc âënh x ∈ [a,b] ta thay f(x)
båíi p
n
(x) cho âån gin thç ta phảm phi mäüt sai säú tênh båíi (4-5).
Chụ thêch : Sai säú näüi suy r
n
(x) phủ thüc vo âa thỉïc π(x) tỉïc l phủ
thüc sỉû phán bäú cạc nụt x
i
trãn âoản [x
0
,x
n

]. Trong trỉåìng håüp cạc nụt cạch âãưu
(hçnh 4-1 våïi n = 4) ta tháúy |π(x)| nh khi x åí khong giỉỵa ca x
0
, x
n
låïn dáưn khi
x ra gáưn hai mụt v cng låïn khi x vỉåüt ra ngoi khong âọ. Váûy liãûu cọ thãø chn
cạc nụt x
i
khäng cạch âãưu sao cho |π(x)| “bẹ nháút” âỉåüc khäng? Cọ cáu tr låìi l
våïi a = -1, b =1 thç cạc nụt täúi ỉu âọ l :

2
.
1
12
cos
π
+
+
=
n
i
x
i
i= 0,1, ,n (4-7)
Âọ l cạc nghiãûm ca âa thỉïc Trãbỉsẹp:
]arccos)1cos[(
2
1

)(
1
xnxT
n
n
+=
+

Lục âọ ta cọ π(x) = |T
n+1
(x) |
n
2
1
≤
. Cạc nụt (4-7) thỉa åí khong giỉỵa âoản [-1,1]
v mau âáưn åí gáưn hai nụt -1,+1 (hçnh 4-2).
39
Khi a ≠ -1 v b ≠ 1 ta dng phẹp âäøi biãún
ab
bax
t
−
−
−
=
2
âãø âỉa khong a ≤ x ≤ b
vãư khong -1≤ t ≤ 1 räưi chn cạc nụt t
i

theo (4-7).








40


-1
x
4

x
3

x
2

x
1

x
0
1
Hçnh 4-1
Hçnh 4-2

4.1.6 Näüi suy bàòng âa thỉïc Niutån
Ta xẹt mäüt phỉång phạp khạc âãø tçm âa thỉïc näüi suy phỉång phạp Niutån.
• Khại niãûm t hiãûu
Gi sỉí hm f(x) cọ lỉåïi â cho nhỉ trong bng 4-1.
Tè hiãûu cáúp mäüt ca y tải x
i
, x
j
l :

)(
)(
],[
ji
ji
ji
xx
yy
xxy
−
−
=

Tè hiãûu cáúp hai ca y tải x
i
, x
j
, x
k
l

)(
]),[],[(
],,[
ki
kjji
kji
xx
xxyxxy
xxxy
−
−
=

V tiãúp tủc nhỉ thãú ta cọ cạc tè hiãûu cáúp cao hån.
Våïi y(x) = P
n
(x) l mäüt âa thỉïc báûc n thç tè hiãûu cáúp mäüt tải x, x
0
l :

)(
)]()([
],[
0
0
0
xx
xPxP
xxP

nn
n
−
−
=
l mäüt âa thỉïc báûc n-1. Tè hiãûu cạp hai tải x, x
0
, x
1
l :

)(
]),[],[(
],,[
1
100
10
xx
xxPxxP
xxxP
nn
n
−
−
=
L mäüt âa thỉïc báûc n-2, v.v v tåïi tè hiãûu cáúp n+1 thç :
P
n
[x, x
0

, ,x
n
] = 0
Tỉì cạc biãøu thỉïc trãn ta suy ra:
P
n
(x) =P
n
(x
0
) + (x - x
0
)P
n
[x, x
0
]
P
n
[x, x
0
] = P
n
[x
0
, x
1
] + (x - x
1
) P

n
[x, x
0
, x
1
]
41
P
n
[x, x
0
, x
1
] = P
n
[x
0
, x
1
, x
2
] + (x - x
2
) P
n
[x, x
0
, x
1
, x

2
]
. . . . . .
P
n
[x, x
0
, , x
n-1
] = P
n
[x
0
, , x
n
] + (x - x
n
) P
n
[x, x
0
, , x
n
]

Chuù yù õóỳn P
n
[x, x
0
, ,x

n
] = 0 ta ruùt ra :
P
n
(x) = P
n
(x
0
) + (x - x
0
)P
n
[x
0
, x
1
] + (x - x
0
)(x - x
1
)P
n
[x
0
, x
1
, x
2
] +
+ (x - x

0
) (x - x
n-1
) P
n
[x
0
, , x
n
] (4-8)
Nóỳu P
n
(x) = p
n
(x) laỡ õa thổùc nọỹi suy cuớa haỡm y = f(x) thỗ :
P
n
(x
i
) = p
n
(x
i
) = y
i
vồùi i = 0,1,2, ,n.
Do vỏỷy caùc tố hióỷu tổỡ cỏỳp mọỹt tồùi cỏỳp n cuớaPn vaỡ y trong cọng thổùc (4-8) laỡ
truỡng nhau.
Vỗ vỏỷy thay cho (4-8) ta coù :
p

n
(x) = y
0
+ (x - x
0
) y[x
0
, x
1
] + (x - x
0
)(x - x
1
) y[x
0
, x
1
, x
2
] +
+ (x - x
0
) (x - x
n-1
) y[x
0
, , x
n
] (4-9)
a thổùc naỡy goỹi laỡ a thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ nuùt x

0
cuớa haỡm y = f(x).
Ta cuợng tờnh õổồỹc õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ nuùt x
n
cuớa haỡm y = f(x) laỡ :
p
n
(x) = y
n
+ (x - x
n
) y[x
n
, x
n-1
] + (x - x
n
)(x - x
n-1
) y[x
n
, x
n-1
, x
n-2
] +
+ (x - x
n
)(x - x
n-1

) (x - x
1
) y[x
n
, , x
0
] (4-10)
* Chuù yù : 1)Theo õởnh nghộa tố hióỷu coù tờnh chỏỳt õọỳi xổùng :
y[x
i
, x
j
] = y[x
j
, x
i
]
y[x
i
, x
j
, x
k
] = y[x
k
, x
j
, x
i
]

2) a thổùc Niutồn (4-9) truỡng vồùi õa thổùc Lagrangiồ, nhổng thióỳt lỏỷp caùch
khaùc. Theo caùch cuớa Niutồn khi thóm mọỹt nuùt x
n+1
vaỡo lổồùi nọỹi suy ta chố phaới
thóm vaỡo p
n
(x) mọỹt sọỳ haỷng :
P
n+1
(x) = p
n
(x) + (x - x
0
) (x - x
n-1
)(x - x
n
) y[x
0
, , x
n
,x
n+1
]
maỡ khọng phaới xỏy dổỷng laỷi tỏỳt caớ caùc õa thổùc cồ baớn nhổ caùch thióỳt lỏỷp cuớa
Lagrangồ.
4.1.7 Trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu
Giaớ sổớ caùc nuùt x
i

caùch õóửu, tổùc laỡ :
x
i
= x
0
+ ih, i = 0,1,2, , n.
1) Khaùi nióỷm sai phỏn tióỳn
Sai phỏn tióỳn cỏỳp mọỹt taỷi i : y
i
= y
i+1
- y
i
Sai phỏn tióỳn cỏỳp hai taỷi i :
2
y
i
= (y
i
) = y
i+2
- 2y
i+1
+ y
i
. . . . .
Sai phỏn tióỳn cỏỳp n taỷi i :
n
y
i

= (
n-1
y
i
)
Khi õoù ta coù :

n
n
n
hn
y
xxy
h
y
xxxy
h
y
xxy
!
], ,[

2
],,[
],[
0
0
2
0
2

210
0
10

=

=

=

Bỏy giồỡ ta õỷt x = x
0
+ ht trong õa thổùc Niutồn tióỳn (4-9) ta coù :
00
2
00
!
)1) (1(

!2
)1(
)(
0
y
n
nttt
y
tt
ytyxp
n

htxx
n

+


++

++=
+=
(4-11)
Goỹi laỡ a thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ x
0
trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu.
Vồùi n = 1 ta coù :

001
0
)( ytyxp
htxx
+=
+=

Vồùi n = 2 ta coù :

0
2
002
2
)1(

)(
0
y
t
tt
ytyxp
htxx


++=
+=

2) Khaùi nióỷm sai phỏn luỡi
Tổồng tổỷ nhổ khaùi nióỷm sai phỏn tióỳn ta coù caùc sai phỏn luỡi taỷi i õổồỹc xaùc õởnh :

)(

2)(
1
21
2
1
i
n
i
n
iiiii
iii
yy
yyyyy

yyy



=
+==

=


Ta coù õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ x
n
trong trổồỡng hồỹp nuùt caùch õóửu :
n
n
nnn
htxx
n
y
n
nttt
y
tt
ytyxp

+
+
++
+
++=

+=
!
)1) (1(

!2
)1(
)(
2
0
(4-12)
4.1.8 Thờ duỷ
Cho lổồùi giaù trở ( ỏy cuợng chờnh laỡ caùc giaù trở cuớa haỡm sinx) :
Baớng 4-5
x 0,1 0,2 0,3 0,4
y 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942

Haợy tờnh giaù trở gỏửn õuùng taỷi y(0,14) vaỡ y(0,46)
Giaới : Dổỷa vaỡo lổồùi ta tỗm haỡm y dổồùi daỷng mọỹt õa thổùc nọỹi suy.
Ta thỏỳy caùc nuùt ồớ õỏy caùch õóửu vồùi h = 0,1 nón ta aùp duỷng õa thổùc Niutồn.
42
Ta lỏỷp baớng sai phỏn :
Baớng 4-6
i x y y
2
y
3
y
0 0.1 0.09983
0.09884
1 0.2 0.19867 -0.00199

0.09685 -0.00096
2 0.3 0.29552 -0.00295
0.09390
3 0.4 0.38942
i x y y
2
y
3
y
a) Tờnh y(0,14) vỗ 0,14 0,1 0,2 nón ta duỡng õa thổùc Niutồn tióỳn xuỏỳt phaùt tổỡ
x
0
= 0,1 vồùi h = 0,1 dổỷa vaỡo caùc sai phỏn tióỳn õi xuọỳng ồớ baớng 4-6 (gaỷch dổồùi
mọỹt gaỷch) :
00096,0
!3
)2)(1(
00199,0
!2
)1(
09884,009983,0)(
1,01,0




+=
+=
ttttt
xp

tx

ặẽng vồùi x = 0,14 ta coù 0,14 = 0,1 + 0,1t t = 0,4. Thay vaỡo vóỳ phaới ta tờnh õổồỹc
y(0,14) p(0,1 + 0,1.0,4) = 0,13954336.
Sai sọỳ tờnh theo cọng thổùc (4-5). Trổồỡng hồỹp naỡy ta bióỳt y(x) = sinx vaỡ n = 3 nón:
|sin
n+1
(x)| = |sin
(4)
(x)| = |sinx| 1
(x) = (x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)(x - 0,4)
(0,14) = (0,14 - 0,1)(0,14 - 0,2)(0,14 - 0,3)(0,14 - 0,4) 10
-4

Theo (4-5) ta coù |sin(0,14) - 0,13954336|
6
4
10.2,4
!4
10



Ta thỏỳy rũng sọỳ 0,13954336 coù nhióửu chổợ sọỳ õaùng nghi ta qui troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ
leớ thỏỷp phỏn : y(0,14) = sin(0,14) = 0,13954 10
-5
b)Tờnh y(0,46) = sin(0,46). Vỗ 0,46 > 0,4 ta duỡng õa thổùc Niutồn luỡi xuỏỳt phaùt tổỡ
x
3
= 0,4. Dổỷa vaỡo caùc sai phỏn luỡi (gach dổồùi hai gaỷch) trong baớng 4-6:

00096,0
!3
)2)(1(
00295,0.
!2
)1(
09390,0.38942,0)(
1,04,0
+
+

+
++=
+=
ttttt
txP
tx

Vồùi x = 0,46 ta coù 0,46 = 0,4 + 0,1t t = 0,6. Thay t = 0,6 vaỡo vóỳ phaới ồớ trón ta
tờnh õổồỹc : Sin(0,46) ) p(0,4 + 0,1.0,6) = 0,4439446
Sai sọỳ tờnh theo (4-5) nhổ trón ta coù |sin(0,46) - 0,4439446| 3,8.10
-5
Ta quy troỡn õóỳn 5 chổợ sọỳ leớ thỏỷp phỏn õổồỹc sin(0,46) = 0,44394 10
-5
Nhỏỷn xeùt : Sai sọỳ khi tờnh sin(0,46) gỏỳp 5 lỏửn khi tờnh sin(0,14). Bồới vỗ 0,46
[0,1;0,4] tổùc laỡ ta phaới ngoaỷi suy coỡn 0,14[0,1;0,4] õuùng laỡ nọỹi suy.
43
4.2 phỉång phạp bçnh phỉång bẹ nháút
4.2.1 Khại niãûm

Gi sỉí cọ hai âải lỉåüng (váût ly,ï họa hc, cå hc, ) x v y cọ liãn hãû phủ thüc
nhau theo mäüt dảng â biãút, chàóng hản :
1. y = a + bx
2. y = a + bx + cx
2

3. y = a + b cosx + csinx
4. y = ae
bx

5. y = ax
b

Nhỉng chỉa xạc âënh củ thãø âỉåüc hm vç chỉa tçm âỉåüc cạc tham säú a, b, c. Âãø
xạc âënh chụng ta phi xạc âënh cạc càûp giạ trë tỉång ỉïng (x
i
,y
i
), i = 1,2, ,n. Tỉïc
l phi biãút mäüt lỉåïi gäưm n nụt xạc âënh.
Bng 4-7
x x
1
x
2
x
n
y y
1
y

2
y
n
Dỉûa vo âọ chụng ta xạc âënh cạc tham säú a, b, c bàòng phỉång phạp bçnh
phỉång bẹ nháút.
4.2.2 Trỉåìng håüp y = a + bx
Gi sỉí y phủ thüc x dỉåïi dảng y = a + bx khi âọ y
i
- ( a - bx
i
) = ε
i
; i = 1, 2, ,n
l cạc sai säú tải xi, do âọ

(4-13)
∑
=
−−=
n
i
ii
bxayS
1
2
)(
L täøng cạc bçnh phỉång ca cạc sai säú. S phủ thüc a, b cn cạc x
i
, y
i

â biãút.
Báy giåì ta xạc âënh a, b sao cho S l bẹ nháút Tỉïc l täøng cạc bçnh phỉång ca sai
säú l bẹ nháút. Nhỉ váûy a v b s l nghiãûm ca hãû phỉång trçnh :

0;0 =
∂
∂
=
∂
∂
b
S
a
S
(4-14)
Tỉïc l

∑∑∑
∑
∑
=+
=+
iiii
ii
yxxbxa
yxbna
2
(4-15)
Tỉì bng 4-7 ta tênh ra cạc täøng Σx
i

, Σy
i
, Σx
i
2
, Σx
i
y
i
thay vo hãû (4-15) räưi gii hãû
âọ ta tçm âỉåüc a, b.
Thê dủ : Biãút quan hãû giỉỵa x v y cọ dảng y = a + bx v cọ lỉåïi sau :
x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
44
Haợy xaùc õởnh a, b bũng phổồng phaùp bỗnh phổồng beù nhỏỳt.
Giaới: Ta lỏỷp baớng caùc giaù trở sau

x
i
y
i
x
i
2
x
i
y
i
-1,1 0,78 1,21 -0,858

2,1 7,3 4,41 15,33
3,2 9,2 10,24 29,44
4,4 11,9 19,36 52,36


n = 5
5,2 13,3 27,04 69,16

13,8 42,48 62,26 165,432
Tổỡ baớng ta vióỳt õổồỹc hóỷ phổồng trỗnh :
5a + 13,8b = 42,48
13,8a + 62,26b = 165,432
Giaới hóỷ ta coù a = 2,9939036 3 ; b = 1,9935131 2. Vỏỷy coù quan hóỷ laỡ :
y = 3 + 2x
Ta thổớ tờnh laỷi caùc giaù trở cuớa y theo xi vaỡ so saùnh vồùi giaù trở õaợ cho nhổ baớng
dổồùi õỏy :
x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
y mồùi 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4
Ta thỏỳy sai sọỳ laỡ khaù nhoớ 2%
4.2.3 Trổồỡng hồỹp caùc quan hóỷ khaùc
1) Trổồỡng hồỹp y = a + bx + cx
2
vaỡ y = a + b cosx + csinx
Nhổợng trổồỡng hồỹp naỡy õóửu coù quan hóỷ tuyóỳn tờnh õọỳi vồùi a, b, c nón cuợng giaới
quyóỳt nhổ trổồỡng hồỹp trón. Chúng haỷn y = a + bx + cx
2
thỗ a, b, c laỡ nghióỷm cuớa
hóỷ phổồng trỗnh :

iiiii
iiiii
iii
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yxcxbna




=++
=++
=++
2432
32
2

3) Trổồỡng hồỹp y = ae
bx
vaỡ y = ax
b

Caùc trổồỡng hồỹp naỡy coù quan hóỷ phi tuyóỳn õọỳi vồùi a, b nón ta thổỷc hióỷn mọỹt sọỳ
bióỳn õọứi.
ọỳi vồùi y = ae
bx
vồùi a>0
Lỏỳy logarit thỏỷp phỏn hai vóỳ ta coù :
45
lgy = lga + bxlge

ỷt lgy =Y, lga = A, bloge = B, x = X ta coù:
Y = A + BX õỏy chờnh laỡ daỷng y = a + bx ta õaợ xeùt ồớ trón, Chuù yù rũng tổỡ
lổồùi sọỳ lióỷu x,y ta suy ra lổồùi sọỳ lióỷu X,Y vồùi X = x; Y = lgy. Tổỡ õoù ta tỗm õổồỹc
A, B. Tổỡ A, B ta tỗm ra a, b.
ọỳi vồùi y = ax
b
vồùi a > 0, x > 0.
Lỏỳy logarit hai vóỳ ta coù :
lgy = lga + b lgx
ỷt lgy = Y, lg a = A, b = B, lgx = X ta coù : Y = A + BX ta laỷi giaới quyóỳt nhổ
trón.
BAèI TP
Cỏu 1 : Nọỹi suy bũng õa thổùc Niuton õóứ tỗm x sao cho f(x) = 3.756. Bióỳt baớng
giaù trở sau :
x 50 52 54 56
f(x) 3.684 3.732 3.779 3.825
Cỏu 2 : Tỗm f (x) taỷi x = 0.15. Bióỳt:
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 1.0000 0.9975 0.9900 0.9776 0.9604
Cỏu 3 : Tỗm sọỳ lióỷu coỡn thióỳu trong baớng sau
x 0 1 2 3 4
y 1 3 9 ? 81
Cỏu 4 : Bióứu dióựn phỏn thổùc
22
36
23
2
+
+
xxx

xx
thaỡnh tọứng caùc phỏn thổùc tọỳi giaớn.
Cỏu 5 : Bióỳt y coù quan hóỷ vồùi x daỷng y = a + bx + cx
2
vaỡ õaợ bióỳt lổồùi sau :
x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81
y 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28

Haợy xaùc õởnh haỡm y(x).
46