Phương pháp tính dành cho sinh viên ngành cơ khí docx

1

BIÃN SOAÛN TRÁÖN MINH CHÊNH











PHÆÅNG PHAÏP TÊNH
DUÌNG CHO SINH VIÃN NGAÌNH CÅ KHÊ












ÂAÌ NÀÔNG 2004
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -

CHỈÅNG 1
SAI SÄÚ
1.1 SAI SÄÚ TUÛT ÂÄÚI V SAI SÄÚ TỈÅNG ÂÄÚI
1.1.1 Sai säú tuût âäúi
Trong tênh toạn gáưn âụng chụng ta lm viãûc våïi cạc giạ trë gáưn âụng ca
cạc âải lỉåüng . Vç váûy váún âãư trỉåïc tiãn l nghiãn cỉïu sai säú ca cạc âải lỉåüng
gáưn âụng.
Xẹt âải lỉåüng âụng A cọ giạ trë gáưn âụng l a. Lục âọ ta nọi “ a xáúp xè A”
v viãút l “ a ≈ A “. Trë tuût âäúi | a - A| gi l sai säú tuût âäúi ca a ( coi l giạ
trë gáưn âụng ca A). Nọi chung chụng ta khäng thãø biãút âỉåüc säú âụng A, nãn
khäng khäng tênh âỉåüc sai säú tuût âäúi ca a. Do váûy ta phi tçm cạch ỉåï
c lỉåüng
sai säú âọ bàòng säú dỉång ∆
a
no âọ låïn hån hồûc bàòng |a - A| :
|a - A| ≤ ∆
a
(1-1)
Säú dỉång ∆
a
ny gi l sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a. R rng nãúu ∆
a
â l
sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a thç mi säú ∆’ > ∆
a
âãưu cọ thãø xem l sai säú tuût
âäúi giåïi hản ca a. Vç váûy ty âiãưu kiãûn củ thãø ngỉåìi ta chn
∆

a
l säú dỉång bẹ
nháút cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1).
Nãúu säú xáúp xè a ca A cọ sai säú giåïi hản l ∆
a
thç ta qui ỉåïc viãút :
A = a ± ∆
a
(1-2)
Våïi nghéa ca (1-1) tỉïc l :
a - ∆
a
≤ A ≤ a + ∆
a
(1-3)
1.1.2 Sai säú tỉång âäúi
T säú :
a
a
a
∆
=
δ
(1-4)
gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a
Ta suy ra : ∆
a
= |a| δ
a
(1-5)

Cạc cäng thỉïc (1-4) v (1-5) cho ta liãn hãû giỉỵa sai säú tỉång âäúi v sai säú tuût
âäúi. Biãút ∆
a
thç (1-4) cho phẹp tênh δ
a
, biãút δ
a
thç (1-5) cho phẹp tênh ∆
a
.
Do (1-5) nãn (1-2) cng cọ thãø viãút :
A = a(1 ± δ
a
) (1-6)
Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta xem ∆
a
l sai säú tuût âäúi v lục âọ δ
a
cng l sai
säú tỉång âäúi.

2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
1.1.3 Chụ thêch
Sai säú tuût âäúi khäng nọi nãn âáưy â cháút lỉåüng ca mäüt säú xáúp xè, cháút
lỉåüng áúy âỉåüc phn nh qua sai säú tỉång âäúi. Láúy thê dủ : âo hai chiãưu di A v
B âỉåüc a = 10m våïi ∆
a
= 0,05m v b = 2m våïi ∆
b

= 0,05m. R rng phẹp âo A
cháút lỉåüng hån phẹp âo B. Âiãưu âọ khäng phn nh qua sai säú tuût âäúi vç chụng
bàòng nhau, m phn nh qua sai säú tỉång âäúi :

025,0
2
05,0
005,0
10
05,0
==<==
ba
δδ

1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ
1.2.1. Chỉỵ säú cọ nghéa
Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø
cạc chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc 0 âáưu tiãn tênh tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa.
Chàóng hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa.
1.2.2. Chỉỵ säú âạng tin
Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng :
∑
±=
s
s
a 10
α
(1.7)
trong âọ α
s

l nhỉỵng säú ngun tỉì 0 âãún 9, chàóng hản säú 76,809 âỉåüc viãút
76,809 = 7.10
1
+ 6.10
0
+ 8.10
-1
+ 0.10
-2
+ 9.10
-3
tỉïc l cọ dảng (1.7) våïi :
α
1
= 7, α
2
= 6, α
-1
= 8,

α
-2
=0, α
-3
= 9
Gi sỉí a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản ∆
a
, ta chụ
chỉỵ säú α
s

. Nãúu ∆
a
≤ 0,5.10
s
thç nọi α
s
l chỉỵ säú âạng tin, nãúu ∆
a
≥ 0,5.10
s
thç nọi
α
s
l chỉỵ säú âạng nghi.
Thê dủ : Cho a = 56,78932 våïi ∆
a
= 0,0042 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7,8 l âạng
tin cn cạc chỉỵ säú 9,3,2 l âạng nghi. Cn nãúu ∆
a
= 0,0075 thç cạc chỉỵ säú 5,6,7 l
âạng tin cn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi.
R rng nãúu α
s
l âạng tin thç cạc chỉỵ säú bãn trại nọ cng l âạng tin v
nãúu α
s
l âạng nghi thç cạc chỉỵ säú bãn phi nọ cng l âạng nghi.
1.2.3. Cạch viãút säú xáúp xè
Cho säú a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l ∆
a

. Cọ hai
cạch viãút säú xáúp xè a; cạch thỉï nháút l viãút km theo sai säú nhỉ åí cäng thỉïc (1-2)
hồûc (1-6). Cạch thỉï hai l viãút theo qui ỉåïc : mi chỉỵ säú cọ nghéa l âạng tin.
Mäüt säú viãút theo cạch thỉï hai cọ nghéa l nọ cọ sai säú tuût âäúi giåïi hản khäng
låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng cúi cng. Cạc bng säú cho sàơn nhỉ bng
logarit,v.v thỉåìng viãút cạc säú xáúp xè theo quy ỉåïc ny.

3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
1.3. SAI SÄÚ QUI TRN
1.3.1 Hiãûn tỉåüng qui trn v sai säú qui trn
Trong tênh toạn khi gàûp mäüt säú cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi ngỉåìi ta b
âi mäüt vi chỉỵ säú åí cúi cho gn, viãûc lm âọ âỉåüc coi l qui trn säú. Mäùi khi
qui trn mäüt säú thç tảo ra mäüt sai säú måïi gi l sai säú qui trn nọ bàòng hiãûu giỉỵa
säú â qui trn våïi säú chỉa qui trn. Trë tuût âäúi ca ca hiãûu âọ gi l sai säú qui
trn tuût âäúi. Qui tàõc qui trn phi chn sao cho sai säú qui trn tuût âäúi cng
bẹ cng täút, ta chn qui tàõc sau âáy : Qui tr
n sao cho sai säú qui trn tuût âäúi
khäng låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng âỉåüc giỉỵ lải cúi cng, tỉïc l 5 âån vë åí
hng b âi âáưu tiãn, củ thãø l nãúu chỉỵ säú åí hng b âi âáưu tiãn
≥
5 thç thãm vo
chỉỵ säú giỉỵ lải cúi cng mäüt âån vë, cn nãúu chỉỵ säú b âi âáưu tiãn < 5 thç âãø
ngun chỉỵ säú giỉỵ lải cúi cng.
Thê dủ : säú 56,78932 qui trn âãún säú chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba ( tỉïc l giỉỵ
lải cạc chỉỵ säú tỉì âáưu âãún chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba) s thnh säú 56,789; cng säú
âọ qui trn âãún säú l tháûp phán thỉï hai s l 56,79 v nãúu qui trn âãún ba chỉỵ säú
cọ nghéa thç s l 56,8.
1.3.2 Sai säú ca säú â quy trn
Gi sỉí a l säú xáúp xè ca säú âụng A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l ∆

a
. Ta s quy
trn a thnh a’ våïi sai säú quy trn tuût âäúi l θ
a’
, tỉïc l :
| a’ - a | ≤ θ
a
(1 - 8)
Hy tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản ∆
a’
ca a’. Ta cọ:
a’ - A = a’ - a + a - A
Do váûy :
| a’ - a | ≤ | a’ - a | + | a - A | ≤ θ
a’
+ ∆
a
Tỉì âọ cọ thãø láúy:
∆
a’
= ∆
a
+ θ
a’
(1 - 9)
R rng ∆
a’
> ∆
a
tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản.

1.3.3 nh hỉåíng ca sai säú quy trn
Xẹt mäüt thê dủ sau âáy:
p dủng cäng thỉïc nhë thỉïc Niuton ta cọ cäng thỉïc âụng :

223783363)12(
10
−=− (1 - 10)
Våïi
41421356,12 =
Báy giåì ta tênh hai vãú ca (1-10) bàòng cạch thay
2 båíi cạc säú quy trn
(xem bng 1-1). Sỉû khạc biãût giỉỵa cạc giạ trë tênh ra ca hai vãú chỉïng to sai säú
quy trn cọ thãø cọ nhỉỵng tạc dủng ráút âạng ngải trong quạ trçnh tênh toạn.

4
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Bng 1-1
2
Vãú trại Vãú phi
1,4
1,41
1,414
1,41421
1,414213563
0,0001048576
0,00013422659
0,000147912
0,00014866399
0,00014867678
33,8

10,02
0,508
0,00862
0,0001472

1.4 CẠC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ
1.4.1 Måí âáưu
Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y :
u = f(x,y) (1-11)
 biãút sai säú ca x v y, hy tênh sai säú ca u.
ÅÍ âáy lỉu ∆
x
, ∆
y
,∆
u
l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai
säú tuût âäúi ca x, y, u. Theo âënh nghéa (1-1) ta ln cọ:
|∆
x
| ≤ ∆
x
; |∆
y
| ≤ ∆
y
(1-12)
Ta phi tçm ∆
u
âãø cọ |∆

u
| ≤ ∆
u
1.4.2 Sai säú ca täøng u = x + y
Ta cọ ∆
u
= ∆
x
+ ∆
y
suy ra |∆
u
|

= |∆
x
| + |∆
y
| do âọ theo (1-12) ta cọ:
|∆
u
| ≤ ∆
x
+ ∆
y

Ta chn ∆
x+y
= ∆
x

+ ∆
y
(1-13)
Âãø cọ |∆
u
| ≤ ∆
u
. Váûy cọ quy tàõc sau:
Sai säú tuût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàòng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản
ca cạc säú hảng.
Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x v y cng dáúu. Khi âọ

|||| yxu
yx
u
u
−
∆
+
∆
=
∆
=
δ

Cho nãn nãúu |x - y| ráút bẹ thç sai säú tỉång âäúi giåïi hản ráút låïn. Do váûy trong quạ
trçnh tênh toạn ta phi tçm cạch trạnh phi trỉì cạc säú gáưn bàòng nhau.
1.4.3 Sai säú ca têch u = xy
Ta cọ ∆
u

≈ du = ydx + xdy ≈ y∆
x
+x∆
y
|∆
u
| ≤ |y||∆
x
| + |x||∆
y
|≤ |y|∆
x
+ |x|∆
y

Ta suy ra : |∆
u
| = |y|∆
x
+ |x|∆
y
Do âọ :
||||||
|||||
|| yxxy
xy
u
y
x
yx

u
u
∆
+
∆
=
∆+∆
=
∆
=
δ


5
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Tỉïc l cọ
yxxy
δ
δ
+=
∆
(1-14)
Váûy ta cọ quy tàõc :
Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi
hản ca cạc thỉìa säú ca têch. Âàûc biãût cọ:
yx
nn
δ
δ
= våïi n ngun dỉång. (1-15)

1.4.4 Sai säú ca mäüt thỉång u = x/y, y ≠ 0;
Tỉång tỉû nhỉ trỉåìng håüp têch ta cọ quy tàõc:
Sai säú tỉång âäúi ca mäüt thỉång bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi ca cạc säú
hảng:

δ
x/y
=
δ
x
+
δ
y
(1-16)
1.4.5 Cäng thỉïc täøng quạt
Cho u = f(x
1
,x
2
,x
3
, ,x
n
)
Ta cọ
∑
=
∆
∂
∂

=∆
n
i
x
i
u
i
x
f
1
|| (1-17)
V tỉì âọ ta suy ra δ
u
theo âënh nghéa (1.4).
Thê dủ : Tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca thãø
têch hçnh cáưu:

3
6
1
dV
π
=
nãúu cho âỉåìng kênh d = 3,7 ± 0,05 cm v π = 3,14.
Gii : Xem π v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ :

δ
V
=
δ

π

+ 3
δ
d

δ
π
= 0,0016/3,14 = 0,0005

δ
d
= 0,05/3,7 = 0,0135
Suy ra
δ
V
= 0,0005 + 3x 0,0135 = 0,04
Màût khạc:
3
6
1
dV
π
= =26,5 cm
3
Váûy cọ ∆
V
= 26,5x0,04 = 1,06 ≈ 1,1 cm
3
V = 26,5 ± 1,1 cm

3

1.5 - SAI SÄÚ TÊNH TOẠN V SAI SÄÚ PHỈÅNG PHẠP
1.5.1. Måí âáưu
Khi gii gáưn âụng mäüt bi toạn phỉïc tảp ta phi thay bi toạn â cho bàòng mäüt
bi toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàòng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc
nhåì mạy tênh âiãûn tỉí. Phỉång phạp thay thãú bi toạn nhỉ váûy âỉåüc gi l phỉång
phạp gáưn âụng. Sai säú do thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp. Khi

6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
gii cạc bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn cạc phẹp tênh, trong quạ trçnh tênh
toạn áúy ta ln phi quy trn cạc kãút qu trung gian. Sai säú tảo ra båïi viãûc quy
trn gi l sai säú tênh toạn. Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca
hai loải sai säú phỉång phạp v sai säú tênh toạn.
1.5.2. Thê dủ
a/ Hy tênh täøng:

.
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1

1
333333
−+−+−=A

Gii : A l täøng ca 6 phán säú. Ta cọ thãø tênh trỉûc tiãúp A m khäng cáưn phi thay
nọ bàòng mäüt täøng âån gin hån. Vç váûy bi toạn khäng cọ sai säú phỉång phạp.
Âãø tênh A ta hy thỉûc hiãûn cạc phẹp chia âãún ba chỉỵ säú l tháûp phán v âạnh giạ
cạc sai säú quy trn tỉång ỉïng:

000,1
1
1
1
1
3
== våïi
θ
1
= 0

4
6
3
5
3
4
4
3
4
3

3
2
3
10.4125,0
216
1
6
1
0008,0
125
1
5
1
10.4016,0
64
1
4
1
10.1037,0
27
1
3
1
0125,0
8
1
2
1
−
−

−
===
===
===
===
===
θ
θ
θ
θ
θ

Váûy A ≈ a = 1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899
|A - a | =
|)005,0
6
1
()008,0
5
1
()016,0
4
1
()037,0
3
1
()125,0
2
1
()1

1
1
(|
333333
−−−+−−−+−−−

Hay |A - a| ≤
|)005,0
6
1
()008,0
5
1
()016,0
4
1
()037,0
3
1
()125,0
2
1
()1
1
1
(|
333333
−−−+−−−+−−−
≤
θ

1
+
θ
2
+
θ
3
+
θ
4
+
θ
5
+
θ
6
= 9.10
-4
Do âọ a = 0,899 l giạ trë gáưn âụng ca A våïi sai säú tênh toạn l 9.10
-4
; ta viãút :
A = 0,899 ± 9.10
-4
(1-18)
b/ Hy tênh täøng dy säú sau:

1
)1(
3
1

2
1
1
1
3
1
333
+−+−+−=
−
n
B
n

Våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 5.10
-3
.

7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ. Do âọ viãûc tênh B l håüp l.
Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khäng thãø tênh hãút âỉåüc. Vç
váûy âãø tênh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè tênh B
bàòng täøng ca n säú hảng âáưu:

3
1
333
1
)1(
3

1
2
1
1
1
n
B
n
n
−
−+−+−=

Bi toạn tênh B
n
âån gin hån bi toạn tênh B. Lục âọ |B-B
n
| l sai säú phỉång
phạp, váún âãư l phi chn n sao cho täøng sai säú phỉång phạp cäüng våïi sai säú tênh
toạn phi nh hån 5.10
-3
.
Theo l thuút vãư chùi âan dáúu, ta cọ:

333
)1(
1
|
)2(
1
)1(

1
|||
+
<+
+
−
+
=−
nnn
BB
n

Nãúu ta chn n = 6 thç tháúy :

3
3
10.3
343
1
7
1
|| <=<−
n
BB

Chụ ràòng B
6
= A ta â tênh åí thê dủ trãn (xem (1-18)).
B
6

= A = 0,899 ± 9.10
-4
Váûy ta cọ:
B - 0,899 = B - B
6
+ A - 0,899
|B - 0,899| ≤ |B - B
6
| + |A - 0,899|
|B - 0,899| ≤ 3.10
-3
+ 9.10
-4
< 4.10
-4
Váûy ta â tênh âỉåüc B ≈ 0,899 våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 4.10
-3
:
B = 0,899 ± 4.10
-3
Chụ :Trong sai säú täøng håüp cúi cng cọ pháưn ca sai säú phỉång phạp
v cọ pháưn ca sai säú tênh toạn, nãn ta phi phán bäú håüp l sao cho sai säú cúi
cng nh hån sai säú cho phẹp.
1.6 . SỈÛ ÄØN ÂËNH CA MÄÜT QUẠ TRÇNH TÊNH
Xẹt mäüt quạ trçnh tênh vä hản âãø tênh mäüt âải lỉåüng no âọ. Ta nọi quạ trçnh tênh
l äøn âënh nãúu sai säú tênh toạn tỉïc l cạc sai säú quy trn têch ly lải khäng tàng
vä hản; Nãúu sai säú âọ tàng vä hản thç ta nọi quạ trçnh tênh l khäng äøn âënh.
Nhỉ váûy nãúu quạ trçnh tênh l khäng äøn âënh thç khäng cọ hy vng tênh âỉåüc âải
lỉåüng cáưn tênh våïi sai säú nh hån sai säú cho phẹp. Âãø kiãøm tra tênh äøn âënh ca
mäüt quạ trçnh tênh thỉåìng ngỉåì

i ta gi sỉí sai säú chè xy ra tải mäüt bỉåïc, sau âọ
cạc phẹp tênh âãưu lm âụng khäng cọ sai säú, nãúu cúi cng sai säú tênh toạn
khäng tàng vä hản thç xem nhỉ quạ trçnh tênh l äøn âënh. Trong thỉûc tãú, màûc d
quạ trçnh tênh l vä hản m ta cng chè lm mäüt säú hỉỵu hản bỉåïc, nhỉng váùn

8
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -

9
phaới õoỡi hoới quaù trỗnh tờnh ọứn õởnh mồùi hy voỹng vồùi mọỹt sọỳ hổợu haỷn bổồùc coù thóứ
õaỷt õổồỹc mổùc õọỹ chờnh xaùc mong muọỳn.

BAèI TP
1) Khi õo mọỹt goùc ta õổồỹc caùc giaù trở sau :
a = 21
o
373; b = 1
o
10
Haợy tờnh sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa caùc sọỳ xỏỳp xố õoù bióỳt rũng sai sọỳ tuyóỷt õọỳi
trong caùc pheùp õo laỡ 1
o
.
2) Cho a = 10,00 0,05, b = 0,0356 0.0002, c = 15300 100,
d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa S
1
= a + b + c + d; S
2
= a+ 5c - d.
S3 = c

3.
3) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa noù :
* a = 1,8921 a = 0,001
* a = 22,351 a = 0,1
4) Haợy xaùc õởnh caùc chổợ sọỳ õaùng tin cuớa sọỳ a bióỳt sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa noù :
* a = 0,3941 a = 0,0025
* a = 38,2543 a = 0,0027
5) Haợy quy troỡn caùc sọỳ õuùng dổồùi õỏy vồùi ba chổợ sọỳ coù nghộa õaùng tin rọửi xaùc
õởnh sai sọỳ tuyóỷt õọỳi vaỡ sai sọỳ tổồng õọỳi cuớa chuùng
* 2,1514 * 0,16152
* 0,01204 * -0,0015281

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
CHỈÅNG 2
TÊNH GÁƯN ÂỤNG NGHIÃÛM THỈÛC CA MÄÜT PHỈÅNG TRÇNH
2.1. NGHIÃÛM V KHONG PHÁN LY NGHIÃÛM
2.1.1 Nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh mäüt áøn
Xẹt phỉång trçnh mäüt áøn
f(x) = 0 (2-1)
trong âọ f l hm säú cho trỉåïc ca âäúi säú x.
Nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2-1) l säú thỉûc α tha mn (2-1) tỉïc l khi
thay x båíi α åí vãú trại ta âỉåüc:
f(α) = 0 (2-2)
2.1.2 nghéa hçnh hc ca nghiãûm
H
çnh 2.1
α
M
x

y
Ta v âäư thë ca hm säú y = f(x) (2-3)
trong mäüt hãû ta âäü vng gọc Oxy
(hçnh 2.1). Gi sỉí âäư thë càõt trủc honh
tải mäüt âiãøm M thç âiãøm M ny cọ tung
âäü y = 0 v honh âäü x = α. Thay chụng
vo (2-3) ta âỉåüc
0 = f(α) (2-4)
Váûy honh âäü α ca gia âiãøm M chênh l
mäüt nghiãûm ca (2-1).
Trỉåïc khi v âäư thë ta cng cọ thãø thay thãú phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh
tỉång âỉång g(x) = h(x) (2-5) räưi
v âäư thë ca hai hm säú (hçnh 2-2)
x
y
f
g
M
α
y = g(x)
y = h(x) (2-6)
Gi sỉí hai âäư thë áúy càõt nhau tải M
Cọ honh âäü x = α thç ta cọ:
g(α) = h(α) (2-7)
Váûy honh âäü α ca giao âiãøm M
ca hai âäư thë (2-6) chênh l mäüt nghiãûm
ca (2-5) tỉïc l ca (2-1).
H
çnh 2-2

2.1.3. Sỉû täưn tải nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1)
Trỉåïc khi tçm cạch tênh gáưn âụng nghiãûm thỉûc ca phỉång trçnh (2.1) ta
phi xẹt xem phỉång trçnh cọ nghiãûm hay khäng. Cọ nhiãưu cạch âãø biãút nghiãûm

10
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
coù tọửn taỷi hay khọng, chúng haỷn nhổ veợ õọử thở, khaớo saùt haỡm Ta cuợng coù thóứ sổớ
duỷng õởnh lyù sau õỏy:
ởnh lyù 1: Nóỳu coù hai sọỳ thổỷc a vaỡ b (a<b) sao cho f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu tổùc
laỡ : f(a).f(b) < 0 (2-8); õọửng thồỡi f(x) lión tuỷc trón [a,b] thỗ ồớ trong khoaớng
[a,b] coù ờt nhỏỳt mọỹt nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2-1).
ióửu naỡy coù thóứ minh hoỹa trón õọử thở (hỗnh 2-3).
ọử thở cuớa y = f(x) taỷi a x b laỡ mọỹt õổồỡng lióửn nọỳi hai õióứnm A vaỡ B, A ồớ
phờa dổồùi B ồớ phờa trón truỷc hoaỡnh nón phaới cừt truỷc hoaỡnh ờt nhỏỳt mọỹt õióứm ồớ
trong khoaớng tổỡ a õóỳn b. Vỏỷy phổồng trỗnh (2-1) coù ờt nhỏỳt mọỹt nghióỷm ồớ trong
khoaớng [a,b].

x

y
b
a
B
A
Hỗnh 2-3
y
x
b
a

B
A






Hỗnh 2-4


2-1-4. Khoaớng phỏn ly nghióỷ
m (Khoaớng taùch nghióỷm)

ởnh nghộa: Khoaớng [a,b] naỡo õoù goỹi laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh (2-1) nóỳu noù chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa phổồng trỗnh õoù.
óứ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm ta coù thóứ duỡng caùc õởnh lyù sau.

ởnh lyù 2: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm sọỳ f(x) lión tuỷc vaỡ õồn
õióỷu, õọửng thồỡi f(a) vaỡ f(b) traùi dỏỳu, tổùc laỡ coù (2-8) thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1). ióửu naỡy coù thóứ minh hoaỷ trón õọử thở (H. 2-4).
ọử thở cuớa haỡm sọỳ y = f(x) cừt truỷc hoaỡnh taỷi mọỹt vaỡ chố mọỹt õióứm ồớ trong [a,b].
Vỏỷy [a,b] chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Nóỳu f(x) coù õaỷo haỡm thỗ õióửu kióỷn õồn õióỷu coù thóứ thay bũng õióửu kióỷn
khọng õọứi dỏỳu cuớa õaỷo haỡm vỗ õaỷo haỡm khọng õọứi dỏỳu thỗ haỡm sọỳ õồn õióỷu.

ởnh lyù 3: Nóỳu [a,b] laỡ mọỹt khoaớng trong õoù haỡm f(x) lión tuỷc, õaỷo haỡm
f(x) khọng õọứi dỏỳu vaỡ f(a), f(b) traùi dỏỳu thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly nghióỷm
cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Muọỳn tỗm caùc khoaớng phỏn ly nghióỷm ngổồỡi ta thổồỡng khaớo saùt sổỷ bióỳn

thión cuớa haỡm sọỳ rọửi aùp duỷng õởnh lyù 3.

11
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
2-1-5. Thê dủ
Cho phỉång trçnh:
f(x) = x
3
- x - 1 = 0 (2-9)
Hy chỉïng t phỉång trçnh trãn cọ nghiãûm thỉûc v tçm khong phán ly nghiãûm.
Gii: Trỉåïc hãút ta xẹt sỉû biãún thiãn ca hm säú f(x), nọ xạc âënh v liãn
tủc tải mi x, âäưng thåìi: f’(x) = 3x
2
- 1 = 0 tải x = ± 1/3
½

Ta suy ra bng biãún thiãn :

x -∞ -1/3
½
+1/3
½
+∞
f(x) + 0 - 0 +
M +∞ f(x)
-∞ m
Trong âọ 01
3
1
33

1
)
3
1
( <−+−== fM
Váûy âäư thë càõt trủc honh tải mäüt âiãøm duy nháút (Hçnh 2-5) do âọ phỉång trçnh
(2-9) cọ mäüt nghiãm thỉûc duy nháút, k hiãûu nọ l α. Ta tênh thãm:
f(1) = 1
3
-1 -1 < 0 v f(2) = 2
3
-2 - 1 > 0
Váûy khong [1,2] chỉïa nghiãûm thỉûc duy nháút ca phỉång trçnh (2-9).
Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-9) cọ mäüt nghiãûm thỉûc duy nháút α nàòm trong khong
phán ly nghiãûm [1,2].

y
x
α
+1/3
½
-1/3
½

2-2 PHỈÅNG PHẠP CHIA ÂÄI
2-2-1. Näüi dung phỉång phạp
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly åí trong khong
[a,b].Ta tçm cạch thu nh dáưn khong phán ly nghiãûm bàòng cạch chia âäi liãn
tiãúp cạc khong phán ly nghiãûm â tçm ra. Trỉåïc hãút ta chia âäi [a,b] âiãøm chia
l c = (a+b)/2. R rng khong phán ly nghiãûm måïi s l [a,c] hay [c,b]. Ta tênh

12
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
f(c), nãúu f(c) = 0 thç c chênh l nghiãûm âụng α. Nãúu f(c) ≠ 0, lục âọ ta so sạnh
dáúu ca f(c) våïi dáúu ca f(a) âãø chn khong phán ly nghiãûm måïi:
Nãúu f(c) trại dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [a,c].
Nãúu f(c) cng dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [c,b].
Lục ny ta cọ khong phán ly nghiãûm måïi chè nh bàòng nỉía khong phán ly
nghiãûm ban âáưu, v k hiãûu l [a
1
,b
1
]. Ta lải tiãúp tủc nhỉ váûy cho khong phán ly
nghiãûm måïi [a
1
,b
1
] cho âãún láưn thỉï n ta âỉåüc khong phán ly [a
n
,b
n
] nọ nàòm
trong [a,b] v chè di bàòng 1/2

n
ca [a,b]. Theo âënh nghéa ta cọ:
a
n
≤ α ≤ b
n
; b
n
- a
n
=
n
ab
2
)(
−
.
Váûy cọ thãø láúy a
n
lm giạ trë gáưn âụng ca α, lục âọ sai säú l:

n
nnn
ab
aba
2
||
−
=−≤−
α

(2-10)
cng cọ thãø láúy b
n
lm nghiãûm gáưn âụng ca α, lục âọ sai säú l :

n
nnn
ab
abb
2
||
−
=−≤−
α
(2-11)
Do âọ våïi n â låïn a
n
hay b
n
âãưu â gáưn våïi α. Khi n→∞ thç a
n
→α, b
n
→α nãn ta
nọi phỉång phạp chia âäi häüi tủ.
Chụ : Trong quạ trçnh chia âäi liãn tiãúp, cọ thãø gàûp âiãøm chia m tải âọ f bàòng
khäng. Khi âọ ta cọ âiãøm chia chênh l nghiãûm âụng ca f(x) .
2.2.2 Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh (2-9), ta â chỉïng t nọ cọ khong phán ly nghiãûm [1, 2]
v cọ f(1) < 0, f(2) > 0. Ta chia âäi khong [1,2] âiãøm chia l 3/2.

01
2
3
2
3
2
3
2
>−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
f
trại dáúu våïi f(1) váûy α ∈ [1,3/2].
Ta chia âäi khong [1, 3/2], âiãøm chia l 5/4 ta cọ f(5/4) < 0 cng dáúu våïi f(1),
váûy α ∈ [5/4, 3/2].
Ta chia âäi khong [5/4, 3/2], âiãøm chia l 11/8. Ta cọ f(11/8) > 0 trại dáúu våïi
f(5/4), váûy α ∈ [5/4, 11/8].
Ta chia âäi khong [5/4, 11/8], âiãøm chia l 21/16. Ta cọ f(21/16) < 0 cng dáúu

våïi f(5/4), váûy α ∈ [21/16, 11/8].
Ta chia âäi khong [21/16, 11/8], âiãøm chia l 43/32. Ta cọ f(43/32) > 0 trại
dáúu våïi f(21/16), váûy α ∈ [21/16, 43/32].
Ta dỉìng quạ trçnh chia âäi tải âáy v láúy 21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375
lm giạ trë gáưn âụng ca α thç sai säú khäng vỉåüt quạ 1/2
5
= 1/32 = 0,03125. Nhỉ

13
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
vỏỷy ta õaợ chia õọi 5 lỏửn khoaớng [1, 2] laỡ 2-1=1. Nóỳu yóu cỏửu sai sọỳ beù hồn thỗ ta
phaới tióỳp tuỷc chia õọi.
2.2.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp chia õọi
1) Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2) n õởnh sai sọỳ cho pheùp .
3) Xaùc õởnh khoaớng phỏn ly nghióỷm [a, b].
4) Lỏỷp chổồng trỗnh tờnh theo sồ õọử khọỳi sau õỏy:

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh c = (a+b)/2; Tờnh f(c)
f(c).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S

S

Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <
Chuù yù: Xem phỏửn phuỷ luỷc õóứ tham khaớo chổồng trỗnh tờnh gỏửn õuùng phổồng
trỗnh mọỹt ỏứn bũng phổồng phaùp chia õọi.

14
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
2.3. PHỈÅNG PHẠP LÀÛP
2.3.1 Mä t phỉång phạp
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α v phán ly trong
khong [a, b]. Trỉåïc hãút ta chuøn phỉång trçnh (2-1) vãư dảng tỉång âỉång:

(
)
xx
ϕ
= (2-12)
Sau âọ ta chn mäüt säú x
o
no âọ ∈[a, b] lm xáúp xè âáưu räưi tênh dáưn dy säú x
n

theo quy tàõc:

()
2,1,
1
=
=
−
nxx
nn
ϕ
(2-13)
x

o
cho trỉåïc ∈ [a, b] (2-14)
Quạ trçnh ny cọ tênh làûp âi làûp lải nãn phỉång phạp ny cọ tãn l phỉång phạp
làûp, hm
ϕ
gi l hm làûp.
2.3.2. Sỉû häüi tủ ca phỉång phạp làûp
Âënh nghéa:Nãúu dy x
n
→ α khi n → ∞ thç ta nọi phỉång phạp làûp (2-13), (2-14)
häüi tủ.
Khi phỉång phạp làûp häüi tủ thç x
n
cng gáưn våïi α nãúu n cng låïn. Cho nãn ta cọ
thãø xem x
n
våïi n xạc âënh l giạ trë gáưn âụng ca α. Nãúu phỉång phạp làûp khäng
häüi tủ thç x
n
cọ thãø ráút xa α. Vç váûy chè cọ phỉång phạp làûp häüi tủ måïi cọ giạ trë.
Âãø kiãøm tra xem mäüt phỉång phạp làûp cọ häüi tủ hay khäng ta dng âënh l sau.
Âënh l 4: Xẹt phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) gi sỉí :
1) [a, b] l khong phán ly nghiãûm α ca phỉång trçnh (2-1) tỉïc l ca
phỉång trçnh (2-12);
2) Mi x
n
tênh theo (2-13) (2-14) âãưu ∈ [a, b];
3) Hm ϕ(x) cọ âảo hm tha mn:
()
bxaqx <<<≤ 1

'
ϕ
Trong âọ q l mäüt hàòng säú. (2-15)
Thãú thç phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) häüi tủ :
x
n
→ α khi n → ∞ (2-16)
Chỉïng minh âënh l :
Trỉåïc hãút vç α l nghiãûm ca (2-12) nãn cọ α = ϕ(α) âem âàóng thỉïc ny trỉì âi
(2-13) vãú våïi vãú ta âỉåüc
α - x
n
= ϕ(α) - ϕ(x
n-1
) (2-17)
Ta s ạp dủng cäng thỉïc Lagrangiå vo vãú phi ca âàóng thỉïc trãn.
Cäng thỉïc Lagrangiå âỉåüc phạt biãøu: Cho hm säú F(x) liãn tủc trãn [a,b], cọ âảo
hm trong (a,b) thç täưn tải säú c ∈ (a,b), tỉïc l c = a + θ(b-a), 0< θ <1 sao cho:
F(b) - F(a) = F’(c)(b-a) (2-18)

15
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Aùp duỷng (2-18) ta coù :
- x
n
= (c) ( - x
n-1
) (2-19)
vồùi c = a + ( - x
n-1

) (a,b).
Theo giaớ thióỳt (2-15) ta coù |(c)| q <1. Do vỏỷy (2-19) cho
| - x
n
| = |(c)| | - x
n-1
| q | - x
n-1
|
Nón coù | - x
n
| q | - x
n-1
|
Bỏỳt õúng thổùc naỡy õuùng vồùi moỹi n. Do vỏỷy coù :
| - x
n
| q | - x
n-1
|
| - x
n-1
| q | - x
n-2
|

| - x
2
| q | - x
1

|
| - x
1
| q | - x
0
|
Nhỏn caùc bỏỳt õúng thổùc naỡy vóỳ vồùi vóỳ ta õổồỹc :
| - x
n
| q
n
| - x
0
| (2-20)
Vỗ vaỡ x
0
õaợ xaùc õởnh, q
n
0 khi n do 0 < q < 1, nón vóỳ phaới 0 vaỡ ta coù
| - x
n
| 0 khi n
où chờnh laỡ õióửu phaới chổùng minh.
2.3.3 Chuù thờch
Khi haỡm õaợ thoớa maợn giaớ thióỳt 3) cuớa õởnh lyù 4 thỗ sổỷ thoớa maợn giaớ thióỳt 2) phuỷ
thuọỹc vaỡo vióỷc choỹn x
o
vaỡ noù thoớa maợn trong õióửu kióỷn sau: Giaớ sổớ |(x)| q < 1
Nóỳu (x) > 0 ta coù thóứ choỹn x
o

[a, b] mọỹt caùch bỏỳt kyỡ, coỡn nóỳu (x) < 0 thỗ
phaới choỹn xo theo quy từc:

b
ba
khibx
ba
akhiax
<<
+
=
+
<<=


2
)(
2
)(
0
0
(2-21)
Muọỳn bióỳt thuọỹc khoaớng naỡo ta chố vióỷc tờnh f((a+b)/2) rọửi so saùnh dỏỳu cuớa noù
vồùi dỏỳu cuớa f(a).
2.3.4. aùnh giaù sai sọỳ
Giaớ sổớ ta tờnh theo (2-13) (2-14) n lỏửn vaỡ xem x
n
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa . Khi
õoù sai sọỳ | - x
n

| coù thóứ õaùnh giaù bồới cọng thổùc | - x
n
| q
n
| - x
o
|. Ta coỡn coù
| - x
o
| < b - a nón: | - x
n
| q
n
(b - a) (2-22)
Nhổng cọng thổùc naỡy thổồỡng cho sai sọỳ quaù lồùn so vồùi thổỷc tóỳ. Ta xeùt mọỹt cọng
thổùc õaùnh giaù sai sọỳ khaùc nhổ sau.
ởnh lyù 5 : Xeùt phổồng trỗnh
F(x) = 0 (2-23)

16
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Cọ nghiãûm X ∈ [c,d] v
X
l mäüt säú ∈[c,d] âỉåüc xem l giạ trë gáưn âụng ca X.
Lục âọ ta cọ

m
XF
XX
)(

≤−
(2-24)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
|F’(x)| ≥ m > 0, c< x < d (2-25)
Chỉïng minh : Theo gi thiãút ta cọ F(X) = 0 nãn cọ F(
X
) = F(X)
p dủng cäng thỉïc Lagrangiå (2-18) vo vãú phi âỉåüc F(
X
) = F’(C) (
X
-X)
Trong âọ C = X + θ(
X
-X) ∈ (c,d). Theo gi thiãút (2-25) ta cọ
|F(
X
)| = |F’(C)| |
X
-X| ≥ m|
X
- X| tỉì âọ ta rụt ra kãút lûn(2-24).
Ta ạp dủng kãút qu ny âãø âạnh giạ sai säú ca phỉång phạp làûp.
Våïi F(x) = x - ϕ(x), c = a, d = b
X = α,
X
= x
n
Ta thu âỉåüc
m

xx
x
nn
n
|)(|
||
ϕ
α
−
≤− (2-26)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
0< m < |(x - ϕ(x))’|, a < x < b
Theo gi thiãút (2-15) ca âënh l 4 ta cọ:
|(x - ϕ(x))’| = |1 - ϕ’(x)| ≥ 1 - |ϕ’(x)| ≥ 1 - q > 0
Màût khạc ϕ(x
n
) - x
n
= ϕ(x
n
) - ϕ(x
n-1
)
= ϕ’(c)(x
n
- x
n-1
)
Trong âọ c = x
n-1

+ θ(x
n
- x
n-1
) ∈ (a,b)
Do âọ :
|ϕ(x
n
) - x
n
| = |ϕ’(c)| |(x
n
- x
n-1
)| ≤ q|x
n
- x
n-1
|
Váûy (2-26) tråí thnh:

1
1
−
−
−
≤−
nnn
xx
q

q
x
α
(2-27)
Cäng thỉïc ny cho phẹp ta âạnh giạ sai säú theo nhỉỵng âải lỉåüng vỉìa tênh âỉûåc
x
n-1
v x
n
.
2.3.5. Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh x
3
- x - 1. Ta â chỉïng minh âỉåüc nọ cọ mäüt nghiãûm thỉûc α
phán ly trong khong [1,2]. Báy giåì ta dng phỉång phạp làûp âãø tênh gáưn âụng
nghiãûm α âọ. Mún thãú trỉåïc hãút ta tçm hm làûp ϕ(x) thêch håüp âãø phỉång phạp
làûp häüi tủ, tỉïc l ϕ(x) phi tha mn nhỉỵng gi thiãút ca âënh l 4.
Phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút thnh : x = x
3
-1 (2-28)
V âàût ϕ(x) = x
3
-1 nhỉng lục ny ϕ’(x) = 3x
2
≥ 3 tai mi x ∈ [1,2].

17
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Nãúu hm làûp chn nhỉ váûy phỉång phạp làûp s khäng cọ hy vng häüi tủ. Ta viãút
phỉång trçnh dỉåïi dảng khạc nhỉ sau :

x
3
= x + 1
x = (x + 1)
1/3
Ta âàût ϕ(x) = (x + 1)
1/3
(2-29)
Lục âọ ϕ’(x) = (1/3)(x + 1)
-2/3
=
3
2
)1(
1
3
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
nãn
0 < ϕ’(x) ≤ 1/3 tải mi x ∈ [1,2]
Lục ny hm làûp ϕ(x) tha mn cạc âiãưu kiãûn ca âinh l 4 v chụ thêch åí cäng
thỉïc (2-21). Ta bàõt âáưu thỉûc hiãûn phẹp làûp tải x
0

báút k trong [1,2]; chàóng hản
chn x
0
= 1. Gi sỉí ta tênh làûp 5 láưn våïi cạc kãút qu nhỉ sau :
x
0
= 1
x
1
= 1,25992105; |α - x
1
| ≤ 0,13
x
2
= 1,312293837; |α - x
2
| ≤ 0,027
x
3
= 1,322353819; |α - x
3
| ≤ 0,005
x
4
= 1,324268745; |α - x
4
| ≤ 0,00096
x
5
= 1,324632625; |α - x

5
| ≤ 0,000182
Kãút qu ny cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi. Ta quy trn nọ âãún 4 chỉỵ säú l tháûp
phán bàòng cạch viãút: α - 1,3246 = α - x
5
+ x
5
- 1,3246
|α - 1,3246| ≤ |α - x
5
| + |x
5
- 1,3246|
|α - 1,3246| ≤ 0,000182 + 0,00003265
Do âọ : |α - 1,3246| ≤ 0,00025
Váûy ta cọ kãút qu l α = 1,3246 ± 0,00025.
Chụ : Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta dỉìng quạ trçnh tênh khi
|(x
n
- x
n-1
)| < sai säú cho phẹp ε
2.3.6 Thût toạn ca phỉång phạp làûp
- Cho phỉång trçnh f(x) = 0
- ÁÚn âënh sai säú cho phẹp ε
- Xạc âënh khong phán ly nghiãûm [a,b]
- Tçm hm làûp häüi tủ ϕ
- Chn xáúp xè âáưu x
0

- Tênh x
n
= ϕ(x
n-1
) våïi n = 1,2,3, cho tåïi khi | x
n
- x
n-1
| < ε thç dỉìng.
Láúy kãút qu α ≈ x
n
våïi sai säú
εα
q
q
x
n
−
≤−
1
trong âọ q l säú dỉång nh hån 1
tha mn |ϕ’(x)| ≤ q<1 våïi mi x ∈ (a,b).

18
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
2.4. PHỈÅNG PHẠP TIÃÚP TUÚN
2.4.1. Mä t phỉång phạp
Mủc tiãu ca phỉång phạp tiãúp tuún l tçm cạch thay phỉång trçnh (2-1),
phi tuún âäúi våïi x, bàòng mäüt phỉång trçnh gáưn âụng tuún tênh âäúi våïi x. Chụng
ta dng khai triãøn Taylo âãø lm âiãưu âọ.

Cäng thỉïc Taylo : Cho hm säú F(x) xạc âënh v cọ âảo hm âãún cáúp n+1
tải x
0
v lán cáûn x
0
. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n ca F(x) tải x
0
l:

)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
)(')()()(
)1(
1
0
0
)(
0
0
2
0
000
cF

n
xx
xF
n
xx
xF
xx
xFxxxFxF
n
n
n
n
+
+
+
−
+
+
−
++
−
+++=
(2-30)
c = x
0
+ θ(x - x
0
); 0 < θ < 1 (2-31)
Cäng thỉïc ny cọ giạ trë tải cạc giạ trë x tải lán cáûn
x

0
, c l mäüt säú trung gian nàòm
giỉỵa
x
0
v x.
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly trong [a,b]. Gi
sỉí hm f cọ âảo hm f’(x) ≠ 0 tải x ∈ [a,b] âảo hm cáúp hai f’’(x) tải x ∈ (a,b). Ta
chn x
0
∈ [a,b] räưi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút ca f tải x
0
:

),()(],,[
)('')(
2
1
)(')()()(
00
2
0000
baxxxcbax
cfxxxfxxxfxf
∈−+=∈
−+−+=
θ

Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-1) âỉåüc viãút thnh :

19


Ta b qua säú hảng cúi cng v âỉåüc phỉång trçnh:
0)('')(
2
1
)(')()(
2
0000
=−+−+ cfxxxfxxxf
f(x
0
) + (x - x
0
)f’(x
0
) = 0 (2-32)
Tỉïc l ta â thay phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh báûc nháút (2-32). Âọ l
viãûc thay thãú gáưn âụng. Gi x
1
l nghiãûm ca (2-32) ta cọ ngay :

)('
)(
0
0
01
xf
xf

xx −=
(2-33)
Tỉì x
0
ta tênh mäüt cạch tỉång tỉû ra x
1
, vv v mäüt cạch täøng quat, khi â biãút x
n

ta tênh x
n+1
theo cäng thỉïc

)('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=
+
(2-34)
x
0
chn trỉåïc trãn [a,b] (2-35)
v xem x
n
l giạ trë gáưn âụng ca nghiãûm

α
.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Phổồng phaùp tờnh x
n
theo phổồng phaùp tuyóỳn tờnh hoùa trón goỹi laỡ phổồng phaùp
Niutồn hay cuợng chờnh laỡ phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn.
Chuù yù 1 : Nhỗn vaỡo (2-34) , (2-35) ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn cuợng laỡ loaỷi
phổồng phaùp lỷp vồùi haỡm lỷp

)('
)(
)(
xf
xf
xx =

(2-36)
Chuù yù 2 : Vóử mỷt hỗnh hoỹc thỗ f(x
0
) laỡ hóỷ sọỳ goùc cuớa tióỳp tuyóỳn cuớa õọử thở haỡm sọỳ
y = f(x) taỷi x
0
. Ta xem trón hỗnh 2-6.
y
x
b
P

M

B
a

A

oỹan õọử thở AB cừt truỷc hoaỡnh taỷi M
Coù hoaỡnh õọỹ chờnh laỡ nghióỷm õuùng .
óứ tờnh gỏửn õuùng ta thay mọỹt caùch
gỏửn õuùng cung AB bồới tióỳp tuyóỳn taỷi B,
B coù hoaỡnh õọỹ x
0
, tióỳp tuyóỳn naỡy cừt
truỷc hoaỡnh taỷi P, P coù hoaỡnh õọỹ x
1
vaỡ ta
xem x
1
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa .
Hỗnh 2-6
óứ tờnh x
1
ta vióỳt phổồng trỗnh tióỳp tuyóỳn taỷi B
Vồùi x
0
= b ta coù : Y - f(x
0
) = f(x
0
) (X - x
0

)
Taỷi P ta coù X = x
1
, Y = 0 nón coù :
-f(x
0
) = f(x
0
)(x
1
- x
0
)
Tổỡ õoù ta suy ra (2-33). Cho nón phổồng phaùp naỡy õổồỹc goỹi laỡ phổồng phaùp tióỳp
tuyóỳn.
2.4.2. Sổỷ họỹi tuỷ vaỡ sai sọỳ
Vỏỳn õóử ồớ õỏy laỡ khi tờnh bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn thỗ phaới coù x
n
khi n
. ióửu naỡy õổồỹc khúng õởnh ồớ õởnh lyù sau.
ởnh lyù 6: Giaớ sổớ [a,b] laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1), f coù
õaỷo haỡm f, f vaỡ f lión tuỷc trón [a,b], f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu trong (a,b). Xỏỳp xố
õỏửu x
0
choỹn laỡ a hay b sao cho f(x
0
) cuỡng dỏỳu vồùi f. Khi õoù x
n
tờnh bồới (2-34) (2-
35) họỹi tuỷ vóử khi n , cuỷ thóứ hồn ta coù x

n
õồn õióỷu tng tồùi nóỳu ff<0, xn
õồn õióỷu giaớm tồùi nóỳu ff >0. Khi dổỡng laỷi ồớ n xaùc õởnh ta õổồỹc x
n
vaỡ coi x
n

gỏửn õuùng vồùi .
Vóử sai sọỳ aùp duỷng õởnh lyù 5 ta coù :

m
xf
x
n
n
)(|
||

(2-37)
Vồùi 0< m |f(x)|, x b (2-38)
Ta khọng chổùng minh õởnh lyù 6 nhổng coù thóứ hióứu trón caùc hỗnh 2-7 dổồùi õỏy.

20
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -


A
a
B

x
1
b
x
y
x
2
b)
y
A
a
B

x
1
b
x
x
A
a
B


x
1
b
y
d)
y

x
A

a

B


x
1
b
c)
x
2
x
2
x
2
a)

Hỗnh 2-7

2.4.3 Thờ duỷ
* Haợy tờnh cn bỏỷc hai cuớa mọỹt sọỳ dổồng a. Tổùc laỡ coù phổồng trỗnh x
2
= a hay ta
coù thóứ vióỳt laỡ : f(x) = x
2
- a = 0 (2-39)
Roợ raỡng nghióỷm dổồng cuớa phổồng trỗnh (2-39) phỏn ly trong khoaớng [1,a];
Trong khoaớng õoù f(x) =2x > 0, f = 2 >0. Vỏỷy ta coù thóứ aùp duỷng õởnh lyù 6. Cọng
thổùc (2-34) vióỳt thaỡnh :

)(
2
1
1
n
nn
x
a
xx +=
+
(2-40)
Vồùi a = 2 ta coù f(2) =2
2
-2 > 0 cuỡng dỏỳu vồùi f nón ta choỹn x

0
= 2. Aùp duỷng cọng
thổùc (2-40) coù :
x
1
= 1,5
x
2
= 1,417
x
3
= 1,41421
Ta bióỳt
2 =1,414213562 nón ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn họỹi tuỷ rỏỳt nhanh.
Ta laỷi giaới phổồng trỗnh (2-9), f(x) = x
3
- x -1 = 0 ta õaợ tỗm õổồỹc khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa noù laỡ [1,2]. Trong khoaớng õoù
f(x) = 3x
2
-1 > 0
f(x) = 6x > 0

21
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Vỏỷy coù thóứ aùp duỷng õởnh lyù 6. óứ choỹn x
0
ta tờnh f(2) = 2
3
-2 - 1 = 5 >0 cuỡng dỏỳu

vồùi f vỏỷy choỹn x
0
= 2. Ta coù cọng thổùc tờnh :

2
13
1
0
2
3
1
=


=
+
x
x
xx
xx
n
nn
nn

Ta coù baớng kóỳt quaớ tờnh toaùn nhổ sau:
n x
n
Sai sọỳ
0 2
1 1,545454545

2 1,359614916
3 1,325801345
4 1,324719049 0,0000024
5 1,324717950 2.10
-10

2.4.4. Chuù yù
Trong thổỷc tóỳ ta dổỡng quaù trỗnh tờnh khi |xn - xn-1| < sai sọỳ cho pheùp
2.4.5. Thuỏỷt toaùn giaới bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0
2. n õởnh sai sọỳ cho pheùp
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b] trong õoù f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu.
4. Choỹn x
0

5.











Tờnh
)('
)(

0
0
01
xf
xf
xx =

Tờnh e = |
x
1
-
x
0
|
Thay
x
0
=
x
1
e<

S
Tờnh e = |
x
1
-
x
0
|

Vồùi sai sọỳ
m
xf
x
)(
1
1


trong õoù 0 < m < |f(x)|, x(a,b).

22
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
2.5. PHỈÅNG PHẠP DÁY CUNG
2.5.1. Mä t phỉång phạp
Trong phỉång phạp tiãúp tuún ta â thay cung âäư thë AB ca hm y = f(x) båíi
tiãúp tuún v tải A hay B. Báy giåì ta thay cung AB båíi dáy cung AB räưi láúy
honh âäü x
1
ca giao âiãøm P ca dáy cung våïi trủc honh lm giạ trë gáưn âụng
ca nghiãûm α. (H. 2-8).
Phỉång trçnh dáy cung AB âỉåüc viãút :
ab
aX
afbf
afY
−
−
=
−

−
)()(
)(

x
y
A

a

B
α
x
1
b
P
Tải giao âiãøm P cọ Y = 0, x = x
1
, nãn :

ab
ax
afbf
af
−
−
=
−
−
1

)()(
)(

Tỉì âọ suy ra:

)()(
)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−= (2-41)
Hçnh 2-8
Hay:

)()(
)()(
1
bfaf
abfbaf
x
−
−
= (2-42)
Phỉång phạp tênh x
1
nhỉ váûy gi l phỉång phạp dáy cung. Sau khi tênh âỉåüc x
1

ta tçm khong phán ly nghiãûm måïi xem l [a, x
1
] hay [x
1
,b] räưi lải tiãúp tủc
phỉång phạp dáy cung nhỉ trãn cho khong phán ly nghiãûm måïi, â thu nh hån
khong c. Cỉï tiãúp tủc nhỉ thãú ta âỉåüc cạc giạ trë x
2
, x
3
, ,x
n
, ngy cng gáưn α.
Sai säú cọ thãø tênh bàòng (2-24).

2.5.2. Thê dủ
Ta lải xẹt phỉång trçnh (2-9), khong phán ly nghiãûm ca nọ l [1,2]. Ta cọ:
a = 1; f(a) = f(1) = 1
3
- 1 - 1 = -1 < 0
b = 2 f(b) = f(2) = 2
3
- 2 - 1 = 5 > 0
Theo (2-42) cọ :

167,1
)1(5
)1.(25.1
1

=
−−
−
−
=x

Tiãúp tủc ta cọ f(1,167) = -0,58 < 0; khong phán ly nghiãûm måïi l [1,167;2]. Ta
tçm âỉåüc

253,1
)58,0(5
)58,0.(25.167,1
2
=
−−
−
−
=x

23
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Sai sọỳ tờnh theo (2-24) laỡ 0,15. Nhổ vỏỷy phổồng phaùp dỏy cung họỹi tuỷ chỏỷm hồn
phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn.
2.5.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp dỏy cung
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2. Choỹn sai sọỳ cho pheùp .
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b].
4. Sồ õọử tờnh

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh
)()(
)()(
1
afbf
abfbaf
x

=
S
f(
x
1
).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S


Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <
Sai sọỳ | - x1| <
m
xf |)(|
1
trong õoù 0 < m < |f(x)|, x (a,b).

24
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -

25
BAèI TP
Cỏu 1 : Tỗm nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x
3
- 2x
2
+ 3x - 5 = 0
Bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn. Sai sọỳ khọng quaù 10
-5
.
Cỏu 2 : Tỗm nghióm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
4x - 5lnx = 5
Bũng phổồng phaùp lỷp. Sai sọỳ khọng quaù 10
-3
.
Cỏu 3 : Tỗm nghởóm dổồng gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x
3
- 0.2x
2
- 0.2x - 1.2 = 0
Bũng phổồng phaùp chia õọi, sai sọỳ khọng quaù 0.002.
Cỏu 4 : Tỗm nhổợng nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau vồùi 4 chổợ sọỳ õaùng
tin:
x
4

- 5x
3
- 12x
2
+ 76x - 79 = 0
Bióỳt rũng noù coù hai nghióỷm trong lỏn cỏỷn x = 2.
Cỏu 5: Tỗm nghióỷm nũm trong khoaớng (1,2) cuớa phổồng trỗnh:
x
6
= x
4
+ x
3
+ 1
Vồùi 6 chổợ sọỳ õaùng tin.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -