phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 3 ppsx

BAèI TP
Cỏu 1 : Tỗm nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x3 - 2x2 + 3x - 5 = 0
Bàịng phỉång phạp tiãúp tuún. Sai säú khäng quaù 10-5.
Cỏu 2 : Tỗm nghióm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
4x - 5lnx = 5
Bũng phổồng phaùp lỷp. Sai sọỳ khọng quaù 10-3.
Cỏu 3 : Tỗm nghởóm dổồng gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau :
f(x) = x3 - 0.2x2 - 0.2x - 1.2 = 0
Bàịng phỉång phạp chia õọi, sai sọỳ khọng quaù 0.002.
Cỏu 4 : Tỗm nhổợng nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau vồùi 4 chổợ säú âaïng
tin:
x4 - 5x3 - 12x2 + 76x - 79 = 0
Biãút ràịng nọ cọ hai nghiãûm trong lán cáûn x = 2.
Cỏu 5: Tỗm nghióỷm nũm trong khoaớng (1,2) cuớa phổồng trỗnh:
x6 = x4 + x3 + 1
Vồùi 6 chỉỵ säú âạng tin.

25


CHỈÅNG 3

TÊNH GÁƯN ÂỤNG NGHIÃÛM CA HÃÛ ÂẢI SÄÚ TUÚN TÊNH
3.1 MÅÍ ÂÁƯU
3.1.1. Dảng täøng quạt ca mäüt hãû âải säú tuún tênh
Mäüt hãû âải säú tuún tênh cọ thãø coù m phổồng trỗnh n ỏứn. Trong phaỷm vi chổồng
naỡy ta chố xeùt nhổợng hóỷ phổồng trỗnh n phổồng trỗnh n áøn khäng suy biãún.
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2

(3.1)

...............
a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = f n

trong âọ aij l hãû säú cuớa ỏứn xj ồớ phổồng trỗnh thổù i. Giaớ sổớ õaợ bióỳt aij vaỡ fi ta phaới
tỗm caùc ỏứn xj.
Ma tráûn
a11

... a1n

a 21

a 22

... a 2 n

...

...

...

a n1

A=

a12

an2

... a n 3

(3.2)

...

gi l ma tráûn hãû säú ca hãû (3.1). Cạc vẹc tå:
f1
f =

x1

f2

x=

...
fn

x2

(3.3)

...
xn

âỉåüc gi l vẹc tå vãú phi v vec tå áøn ca hãû. Ta cng cọ thãø viãút cạc vẹc tå cäüt
trãn thnh cạc vẹc tå dng nhỉ sau :

f = ( f1

f2

...

x = ( x1

f n )T

x2

... x n ) T

Biãút ràịng têch ca ma tráûn A våïi vẹc tå x viãút l Ax. Mäùi dng ca ma tráûn Ax l
mäüt vẹc tå cọ ta âäü thỉï i laì :
n

( Ax) i = ∑ a ij x j
j =1

où cuợng chờnh laỡ vóỳ traùi cuớa phổồng trỗnh thỉï i ca hãû (3.1).
Váûy hãû (3.1) cọ thãø viãút dỉåïi dảng sau :
Ax = f

(3.4)
26


3.1.2. Sỉû täưn tải v duy nháút nghiãûm ca hãû

Gi âënh thỉïc ca ma tráûn A l âënh thỉïc ca hãû, viãút l ∆ , tỉïc l : ∆ = det(A).
Nãúu ∆ = 0 ta noïi ma tráûn A suy biãún v hãû (3.1) cng l hãû (3.4) l suy biãún.
Gi ∆i l âënh thỉïc suy tỉì ∆ bàịng cạch thay cäüt thỉï i båíi cäüt vãú phi. Ta cọ âënh
lyï Crame nhæ sau .
Âënh lyï 1: Nãúu ∆ ≠ 0 tổùc laỡ nóỳu hóỷ khọng suy bióỳn thỗ hóỷ (3.1) cọ nghiãûm duy
nháút cho båíi cäng thỉïc:
xi =

∆i
∆

i = 1,2,..., n

(3.5)

3.1.3. Chụ thêch
Kãút qu ny ráút gn v ráút âẻp vãư màût l thuút nhỉng tênh nghiãûm bàịng
cäng thỉïc (3.5) täún ráút nhiãưu cäng sỉïc v giáúy bụt. Säú lỉåüng NC(n) cạc phẹp tênh
så cáúp (+, -, x, : ) cáưn thiãút l vo cåỵ NC(n) = (n+1)!n . Chố vồùi n = 15 thỗ
NC(15)= 3.1014 . ỏy laỡ mäüt säú ráút låïn. Nãúu tênh s máút ráút nhiãưu thồỡi gian.
3.2. PHặNG PHAẽP GAUSS
3.2.1 Giaới hóỷ phổồng trỗnh õaỷi säú tuún tênh
1. Mä t phỉång phạp
Âáy l phỉång phạp khỉí dáưn cạc áøn âãø âỉa hãû vãư mäüt hãû coù daỷng tam giaùc trón.
Luùc õoù ta tỗm õổồỹc xn ồớ phổồng trỗnh cuọỳi cuỡng, tổỡ õoù tờnh nguồỹc lón ta tỗm õổồỹc
caùc ỏứn coỡn laỷi. Nhổ vỏỷy ta phaới thỉûc hiãûn qua hai bỉåïc Thûn v Ngỉåüc nhỉ sau.
Cho hãû (3.1) viãút dỉåïi dảng vectå :
n

∑a

j =1

ij

x j = a i , n +1

(i = 1, n)

(3.6)

Bæåïc thuáûn : Dng phẹp biãún âäøi tỉång âỉång âỉa (3.6) vãư dảng tam giaïc trãn.
⎧ x1
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

(0
+ b12 ) x 2
x2
....

(0
+ b13 ) x 3
(1
+ b23) x 3

+ ... + b1(,0)−1 x n −1
n
( )
+ ... + b21n −1 x n −1
,
...
x n −1

+
+

0
b1(n ) x n
(
b21) x n
n

+ b

( n−2)
n −1, n

xn

xn

=
=

b1(,0 )+1
n
( )
b21n +1
,
...
( n−2)
= bn −1, n +1
( 1)
= bnnn−+1
,

(3.7)

Ta cọ cạc cäng thỉïc tênh toạn sau :
(
(
(
(
a ijk ) = a ijk −1) − a ikk −1) bkjk −1)

(i, j ≥ k )

(3.8)

27


b

( k −1)
kj

=

(
a kjk −1)

( j > k)

(k
a kk −1)

(3.9)

(
Phæång phạp Gauss thỉûc hiãûn âỉåüc nãúu a kkk −1) ≠ 0 våïi moüi k = 1, n trong âoï
0
a11 = a11

Bổồùc ngổồỹc : Tỗm caùc ỏứn theo thổù tổỷ tổỡ xn âãún x1 tỉì hãû (3.7) .
Báy giåì ta kiãøm chỉïng cạc cäng thỉïc trãn cho mäüt hãû ba phỉång trỗnh ba ỏứn.
Hóỷ xuỏỳt phaùt (3.1) coù daỷng :
a11 x1
⎪
⎨a 21 x1
⎪a x
⎩ 31 1

+

+

+ a 22 x 2
+ a 32 x 2

a13 x 3

= a14

+ a 23 x 3
+ a 33 x 3

a12 x 2

= a 24
= a 34

(3.10)

Gi sỉí a11 ≠ 0. Chia hai vãú ca phỉång trỗnh õỏửu cuớa hóỷ (3.10) cho a11 (ta goỹi
phỏửn tổớ a11 l pháưn tỉí dáùn), âỉåüc:
(0
(0
(0
x1 + b12 ) x 2 + b13 ) x 3 = b14 )
(3.11)
trong âoï

b1( 0) =

j

a1 j
q j1

( j > 1)

Nhæ váûy cäng thæïc (3.9) våïi k = 1 âæåüc chæïng minh. Tiãúp theo ta duỡng (3.11) õóứ
khổớ x1 trong caùc phổồng trỗnh thổù hai v thỉï ba ca hãû (3.10) bàịng cạch láúy
phỉång trỗnh (3.11) nhỏn vồùi ai1 (i = 2,3) rọửi trổỡ õi phổồng trỗnh thổù i tổồng ổùng.
Ta coù :
(1
a 22) x 2
⎪
⎨ (1)
⎪a 32 x 2
⎩

(1
+ a 23) x 3
(1
+ a 33) x 3

(
Trong âoï a ij1) = a ij − a i1b1( 0)
j

(1
= a 24)
(1

= a 34)

(i, j ≥ 2).

(3.10’)
Ta cọ cäng thỉïc (3.8) våïi k = 1.

(1
Chia hai vóỳ cuớa phổồng trỗnh õỏửu cuớa (3.10) cho phỏửn tổớ dáùn a 22) , ta âæåüc:

x2

våïi

b

(1)
2j

(1
+ b23) x 3

=

(
a 21j)
(1
a 22)

(1

= b24)

(3.11’)

( j > 2) .

Báy giåì ta chè coìn khổớ x2 trong phổồng trỗnh cuọỳi cuỡng cuớa (3.10) ta âæåüc :
(2
(2
a 33 ) x 3 = a 34 )
(3.10’’)
(
(
1
Trong âọ a ij2) = a ij1) − a i(2) b2(1j)

Tỉì (3.10) ta tỗm õổồỹc x3 =

(i, j 3).
(2
a 34 )

a

( 2)
33

(2
= b34 ) .

28


Lục ny ta cọ hãû tỉång âỉång dảng tam giạc ngỉåüc l:
x1

(0
+ b12 ) x 2

x2

(0
+ b13 ) x 3

(0
= b14 )

(1
+ b23) x 3

(1
= b24)

x3

=

(2
b34 )

Âãún âáy bæåïc thuáûn kóỳt thuùc.
Bổồùc ngổồỹc laỡ vióỷc tờnh caùc nghióỷm theo trỗnh tæû ngæåüc:
(2
x 3 = b34 )
(1
(1
x 2 = b24) − b23) x 3
(0
(0
(0
x1 = b14 ) − b13 ) x 3 − b12 ) x 2

3.2.2 Thê dủ
Gii hãû phỉång trỗnh :
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 2
3x1 + 2x2 + x3 = 3
Kãút qu tênh toạn ghi trong bng dỉåïi:
dng
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

x2
x1
Bỉåïc thûn
1
2
2
1
3
2
x d1 våïi -2 räöi + våïi d2
0
-3
x d1 våïi -3 räöi + våïi d3
0
-4
Chia d4 cho -3
0
1
x d6 våïi 4 räöi + våïi d5
0
0
Chia d7 cho -4
0
0
Bỉåïc nghëch
0
0
0
1

1
0

x3

f

∑

3
3
1
-3
-8
1
-4
1

1
2
3
0
0
0
0
0

7
8
9

-6
-12
2
-4

1
0
0

0
0
1

1
1
2

Khäúi lỉåüng tênh toạn ca phỉång phạp Gauss (kãø c cạc phẹp tênh kiãøm tra ∑) :
ÅÍ bỉåïc thûn, säú phẹp tênh nhán, chia l:
n(n+1)+(n-1)n+..+1.2 = (12+22+..+n2)+(1+2+..+n) =

n(n + 1)(n + 2)
3

29


ÅÍ bỉåïc ngỉåüc säú phẹp tênh nhán, chia l n(n-1). Váûy säú phẹp tênh nhán, chia ca
n
3

phỉång phạp Gauss l : N = (n 2 + 6n − 1)
Phỉång phạp naỡy coù ổu õióứm laỡ õồn giaớn dóự lỏỷp trỗnh nhỉng thût toạn s
(
(
khäng thỉûc hiãûn âỉåüc nãúu pháưn tỉí dáùn a kkk −1) = 0 . Nãúu pháưn tỉí dáùn a kkk −1) ≈ 0 cng
cọ thãø cho kãút qu khäng chênh xạc.
Ta cọ thãø láûp âỉåüc så âäư khọỳi cuớa phổồng phaùp bũng caùch duỡng chổồng trỗnh
con õóứ thổỷc hióỷn bổồùc ngổồỹc. Chổồng trỗnh con giaới bổồùc ngổồỹc :
Procedure Nguoc
Nháûp n,{bi}, [aij]; (1≤ i≤ j ≤ n)
IER = 0

S

ann≠ 0

Â
xn = bn/ann
i=n-1,n-2,..,1
S = bi
j = i+1,..,n
S = S -aijxj
aii≠ 0

S

Â
xi = S/aii
IER = 1

end
30


Dổồùi õỏy laỡ sồ õọử khọỳi cuớa chổồng trỗnh giaới hãû bàịng phỉång phạp Gauss
cọ chỉïa th tủc ngỉåüc.
GAUSS

Nháûp n, [aij] ,{bi}; (i,j =1.. n)

IER = 0

k =1,2,..,n

i = k+1,..,n
akk ≠ 0

S

Â
Pi = aik / akk

i = k+1,..,n

aij = aij-Piakj

bi = bi -Pibk

Procedure nguoc

IER = 1
Xuáút kãút quaí (xi)

END

31


3.2.3. Tờnh õởnh thổùc
Xeùt phổồng trỗnh Ax = 0. Duỡng phỉång phạp Gauss ta âỉa hãû xút phạt vãư
dảng Bx = 0. Ma tráûn B nháûn âỉåüc tỉì A bàịng cạh chia mäüt dng cho cạc pháưn tỉí
(
dáùn a kkk −1) v thãm båït cạc täø håüp tuún tênh cạc dng chỉïa pháưn tỉí dáùn. Do âọ :
(0
(0
(n
det A = a11 ) a 22) ...a nn −1) det B

Trong âoï:
(0
⎡ 1 b12 )
⎢
0 1
B=⎢
⎢... ...
⎢
⎢0 0
⎣

0
... b1(n ) ⎤
( ⎥
... b21) ⎥
n
suy ra detB = 1.
... ... ⎥
⎥
... 1 ⎥
⎦

Nhæ váûy :
(0
(0
(n
det A = a11 ) a 22) ...a nn 1)

(3-12)

3.2.4. Tỗm ma trỏỷn nghởch õaớo
Cho A laỡ ma trỏỷn khọng suy bióỳn. Ta cỏửn tỗm ma trỏỷn nghởch õaớo A −1 = ( x ë ) in, j =1 .
Do A A-1 = E nãn :
n

∑a
k =1

ik

x kj = ở

(i, j = 1, n)

(3-13)

Nhổ vỏỷy õóứ tỗm ma tráûn nghëch âo A-1, ta phi gii n hãû phỉång trỗnh õaỷi sọỳ
tuyóỳn tờnh vồùi cuỡng mọỹt ma trỏỷn A. Ta cọ thãø dng chung mäüt så âäư Gauss.
3.3 PHỈÅNG PHẠP LÀÛP ÂÅN
3.3.1. Mä t phỉång phạp
Phỉång phạp Gauss thüc loải phỉång phạp âụng, tỉïc l nãúu khäng cọ sai
säú tờnh toaùn thỗ ta seợ coù nghióỷm õuùng cuớa hóỷ. Ngoi ra cn mäüt säú phỉång phạp
khạc, dỉåïi âáy ta xẹt phỉång phạp làûp âån mäüt cacïh så lỉåüc.
Xẹt hãû (3-1) â viãút dỉåïi dảng vectå (3-4) : Ax = f Ta chuøn hãû ny vãư
dảng tỉång âỉång cọ dảng
x = Bx + g
(3. 14)
Trong âoï ma tráûn B suy tỉì A cn vectå g suy tỉì f bàịng mäüt cạch no âọ,
gi sỉí :
⎡ b11
⎢b
B = ⎢ 21
⎢ ..
⎢
⎢bn1
⎣

b12
b22
..

bn 2

... b1n ⎤
... b2 n ⎥
⎥
... .. ⎥
⎥
... bnn ⎥
⎦

Sau âọ ta xáy dỉûng cäng thỉïc tênh làûp :
32


x ( m ) = Bx ( m −1) + g

(3-15)

x(0) chn trỉåïc

(3-16)

Trong âọ
n

( Bx) i = ∑ bë x j

(3-17)

j =1

Phỉång phạp tênh x(m) theo (3-15), (3-16) gi l phỉång phạp làûp âån. Ma tráûn
B gi l ma tráûn làûp.
3.3.2 Âiãưu kiãûn häüi tủ
Âënh nghéa1 : Gi sỉí α = (α1 , α2, .. ., αn)T l nghiãûm ca hãû (3-14). Nãúu
x i( m ) → α i khi m , i = 1,2,.., n thỗ ta noùi phỉång phạp làûp (3-15), (3-16) häüi
tủ.
Âënh nghéa 2 : Cho vectồ Z = (Z1, Z2, .. , Zn)T thỗ mọựi âải lỉåüng sau:
Z

{ }

0

= max Z i

1

= Z 1 + Z 2 + ... + Z n

2

2
2
= Z 12 + Z 2 + ... + Z n

Z

Z

∀i

Goüi laì âäü daìi måí räüng ca vectå Z hay cn gi l chøn ca Z.
Chụng cọ cạc tênh cháút sau âáy :
Våïi p = 0 hay 1 hay 2 ta âãưu cọ :
1) z p ≥ 0, Z p = 0 ⇔ Z = vectå khäng.
2) λZ

p

= λ Z p , λ laì mäüt säú thæûc.

3) u + v p ≤ u p + v

p

Hãû qu : Nãúu phỉång phạp làûp (3-15),(3-16) häüi tuỷ thỗ:
x (m)

p

0

m

khi

(3-18)

vaỡ ngổồỹc lai nóỳu coù (3-18) thỗ phổồng phaùp lỷp (3-15),(3-16) họỹi tuỷ.

ọỳi vồùi ma trỏỷn B = (bij) gi sỉí ta âàût :
n

r0 = max ∑ bij
{
j =1

i

n

r1 = max ∑ bij
{
j

N

i =1

N

r2 = ∑ ∑ bij

2

I =1 j =1

Ngỉåìi ta chỉïng minh âỉåüc âënh l vãư âiãưu kiãûn häüi tủ ca phỉång phạp làûp âån:
Âënh lyï 2: Nãúu r0 <1 hoàûc r1 <1 hoàûc r2<1 (3-19) thỗ phổồng phaùp lỷp (315),(3-16) họỹi tuỷ vồùi báút k xáúp xè âáưu x(0) no, âäưng thåìi sai säú cọ âạnh giạ :
33

x

−α

(m)

x (m) − α

p

p

≤
≤

r pm

x (1) − x ( 0)

1 − rp
rp

x ( m ) − x ( m −1)

1 − rp

(3-20)

p

p

(3-21)

Trong âoï :
p = 0 nãúu r0 < 1
p = 1 nãúu r1 < 1
p = 2 nãúu r2 < 1
3.3.3 Thê dủ
Gii hãû sau bàịng phỉång phạp làûp âån :
4x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8
0,09x1 + 3x2 - 0,15x3 = 9
0,04x1 - 0,08x2 + 4x3 = 10
Giaíi: Ta âỉa hãû vãư dảng (3-14) sao cho âiãưu kiãûn họỹituỷ (3-19) thoớa maợn.Chia
tuỏửn tổỷ tổỡng phổồng trỗnh tổồng ổùng våïi 4, 3, 4 räưi chuøn vãú ta cọ hãû måïi :
- 0,06 x2 + 0,02 x3 + 2
x1 =
+ 0,05 x3 + 3
x2 = -0,03 x1
+ 2,5
x3 = -0,01 x1 + 0,02 x2
Lục ny hãû cọ dảng x = Bx + g. Âãø kiãøm tra âiãưu kiãû häüi tủ ta tênh :
3

∑b
j =1

1j

3

∑b

2j

= 0,03 + 0 + 0,05 = 0,08

3j

= 0,01 + 0,02 + 0 = 0,03

j =1
3

∑b
j =1

= 0 + 0,06 + 0,02 = 0,08

Do âoï r0 = max {0,08; 0,08; 0,03} = 0,08 < 1. Theo âënh l 2 phỉång phạp làûp
âån trãn häüi tủ våïi mi x(0) chn trỉåïc. Ta chn x(0) = (0,0,0)T. Kãút qu tênh toạn
cho trong bng :
m
0
1
2
3
4

( m)
x1
0
2
1,92
1,9094
1,90923
( m)
x2
0
3
3,19
3,1944
3,19495
(m)
x3
0
5
2,04
2,0446
2,04485
Âãø âạnh giạ sai säú ta tênh:
x ( 4 ) − x ( 3)

0

{

}

= max x i( 4 ) − x i( 3) , i = 1,2,3.

= max{0,00017 ; 0,00055 ; 0,00025}
34


= 0,00055
p dủng cäng thỉïc (3-21) ta cọ : x ( 4) − α 0 ≤

0,08
.0,00055 = 0,0022
1 − 0,08

Váûy ta cọ nghiãûm ca hãû l :
x1 = 1,90923 ± 0,0022
x2 = 3,19495± 0,0022
x3 = 2,04485± 0,0022
Hồûc ta quy trn thaình :
x1 = 1,909 ± 0,003
x2 = 3,195 ± 0,003
x3 = 2,045 ± 0,003
3.3.4 Så âäư thût toạn
1) Cho hãû tuyãún tênh Ax = b.
2) ÁÚn âënh sai säú cho phẹp ε, våïi ε > 0.
3) Âỉa Ax = b vãư dảng x = Bx + g tha mn âiãưu kiãûn häüi tủ
4) Chn x(0) ty .
5) Tênh x(m+1) =Bx(m) +g ; m = 0,1,2,.. cho tåïi khi x ( m +1) − x ( m ) p < ε thỗ
dổỡng quaù trỗnh tờnh.
6) Kóỳt quaớ

x(m+1)

Vồùi sai sọỳ x ( m +1) − α

p

≤

rp
1 − rp

ε

BAÌI TÁÛP
Cáu 1 : Giaới hóỷ phổồng trỗnh sau bũng phổồng phaùp Gauss :
7.24x1 + 0.93x2 - 4.65x3 + 1.29x4 + 0.13 = 0
-2.61x1 + 3.12x2 + 4.97x3 - 0.78x4 + 1.56 = 0
+ 4.13 = 0
3.18x1 + 0.84x2 + 2.88x3
- 2.54x4 - 3.69 = 0
0.92x1 + 1.38x2
Cáu 2 : Gii hãû phỉång trỗnh sau bũng phổồng phaùp lỷp :
4 x1 + 0.24 x2 - 0.08 x3 + 0.16 x4 - 8 = 0
3 x2 - 0.15 x3 - 0.12 x4 - 9 = 0
0.09 x1 +
0.04 x1 - 0.08 x2 + 4 x3 + 0.06 x4 - 20 = 0
0.02 x1 + 0.06 x2 + 0.04 x3 - 10 x4 + 1 = 0
Sai säú khäng vỉåüt quạ 10-3.
35

Cáu 3 : Dng phỉång phạp gaoxå gii hãû :
3,2 x1 - 1,5 x2 + 0,5 x3 = 0,90
1,6 x1 + 2,5 x2 - 1,0 x3 = 1,55
1,0 x1 - 0,2 x2 + 0,1x3 = 0,4
Cáu 4 : Dng phỉång phạp làûp gii hãû , tênh làûp ba láưn v cho biãút sai säú :
24,21 x1 + 2,42 x2 + 3,85 x3 = 30,24
2,31 x1 + 31,49 x2 + 1,52 x3 = 40,95
3,49 x1 + 4,85 x2 + 28,72x3 = 42,81

36