phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 2 pdf

f(c), nãúu f(c) = 0 thç c chênh l nghiãûm âụng α. Nãúu f(c) ≠ 0, lục âọ ta so sạnh
dáúu ca f(c) våïi dáúu ca f(a) âãø chn khong phán ly nghiãûm måïi:
Nãúu f(c) trại dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [a,c].
Nãúu f(c) cng dáúu våïi f(a) thç khong phán ly nghiãûm måïi l [c,b].
Lục ny ta cọ khong phán ly nghiãûm måïi chè nh bàòng nỉía khong phán ly
nghiãûm ban âáưu, v k hiãûu l [a
1
,b
1
]. Ta lải tiãúp tủc nhỉ váûy cho khong phán ly
nghiãûm måïi [a
1
,b
1
] cho âãún láưn thỉï n ta âỉåüc khong phán ly [a
n
,b
n
] nọ nàòm
trong [a,b] v chè di bàòng 1/2
n
ca [a,b]. Theo âënh nghéa ta cọ:
a
n
≤ α ≤ b
n
; b
n
- a
n
=

n
ab
2
)(
−
.
Váûy cọ thãø láúy a
n
lm giạ trë gáưn âụng ca α, lục âọ sai säú l:

n
nnn
ab
aba
2
||
−
=−≤−
α
(2-10)
cng cọ thãø láúy b
n
lm nghiãûm gáưn âụng ca α, lục âọ sai säú l :

n
nnn
ab
abb
2
||

−
=−≤−
α
(2-11)
Do âọ våïi n â låïn a
n
hay b
n
âãưu â gáưn våïi α. Khi n→∞ thç a
n
→α, b
n
→α nãn ta
nọi phỉång phạp chia âäi häüi tủ.
Chụ : Trong quạ trçnh chia âäi liãn tiãúp, cọ thãø gàûp âiãøm chia m tải âọ f bàòng
khäng. Khi âọ ta cọ âiãøm chia chênh l nghiãûm âụng ca f(x) .
2.2.2 Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh (2-9), ta â chỉïng t nọ cọ khong phán ly nghiãûm [1, 2]
v cọ f(1) < 0, f(2) > 0. Ta chia âäi khong [1,2] âiãøm chia l 3/2.

01
2
3
2
3
2
3
2
>−−
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
f
trại dáúu våïi f(1) váûy α ∈ [1,3/2].
Ta chia âäi khong [1, 3/2], âiãøm chia l 5/4 ta cọ f(5/4) < 0 cng dáúu våïi f(1),
váûy α ∈ [5/4, 3/2].
Ta chia âäi khong [5/4, 3/2], âiãøm chia l 11/8. Ta cọ f(11/8) > 0 trại dáúu våïi
f(5/4), váûy α ∈ [5/4, 11/8].
Ta chia âäi khong [5/4, 11/8], âiãøm chia l 21/16. Ta cọ f(21/16) < 0 cng dáúu
våïi f(5/4), váûy α ∈ [21/16, 11/8].
Ta chia âäi khong [21/16, 11/8], âiãøm chia l 43/32. Ta cọ f(43/32) > 0 trại
dáúu våïi f(21/16), váûy α ∈ [21/16, 43/32].
Ta dỉìng quạ trçnh chia âäi tải âáy v láúy 21/16 = 1,3125 hay 43/32 = 1,34375
lm giạ trë gáưn âụng ca α thç sai säú khäng vỉåüt quạ 1/2
5
= 1/32 = 0,03125. Nhỉ

13
vỏỷy ta õaợ chia õọi 5 lỏửn khoaớng [1, 2] laỡ 2-1=1. Nóỳu yóu cỏửu sai sọỳ beù hồn thỗ ta
phaới tióỳp tuỷc chia õọi.

2.2.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp chia õọi
1) Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2) n õởnh sai sọỳ cho pheùp .
3) Xaùc õởnh khoaớng phỏn ly nghióỷm [a, b].
4) Lỏỷp chổồng trỗnh tờnh theo sồ õọử khọỳi sau õỏy:






















Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh c = (a+b)/2; Tờnh f(c)
f(c).f(a) < 0

Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S

S

Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <
Chuù yù: Xem phỏửn phuỷ luỷc õóứ tham khaớo chổồng trỗnh tờnh gỏửn õuùng phổồng
trỗnh mọỹt ỏứn bũng phổồng phaùp chia õọi.

14
2.3. PHỈÅNG PHẠP LÀÛP
2.3.1 Mä t phỉång phạp
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α v phán ly trong
khong [a, b]. Trỉåïc hãút ta chuøn phỉång trçnh (2-1) vãư dảng tỉång âỉång:

(
)
xx
ϕ
= (2-12)
Sau âọ ta chn mäüt säú x

o
no âọ ∈[a, b] lm xáúp xè âáưu räưi tênh dáưn dy säú x
n

theo quy tàõc:

()
2,1,
1
=
=
−
nxx
nn
ϕ
(2-13)
x
o
cho trỉåïc ∈ [a, b] (2-14)
Quạ trçnh ny cọ tênh làûp âi làûp lải nãn phỉång phạp ny cọ tãn l phỉång phạp
làûp, hm
ϕ
gi l hm làûp.
2.3.2. Sỉû häüi tủ ca phỉång phạp làûp
Âënh nghéa:Nãúu dy x
n
→ α khi n → ∞ thç ta nọi phỉång phạp làûp (2-13), (2-14)
häüi tủ.
Khi phỉång phạp làûp häüi tủ thç x
n

cng gáưn våïi α nãúu n cng låïn. Cho nãn ta cọ
thãø xem x
n
våïi n xạc âënh l giạ trë gáưn âụng ca α. Nãúu phỉång phạp làûp khäng
häüi tủ thç x
n
cọ thãø ráút xa α. Vç váûy chè cọ phỉång phạp làûp häüi tủ måïi cọ giạ trë.
Âãø kiãøm tra xem mäüt phỉång phạp làûp cọ häüi tủ hay khäng ta dng âënh l sau.
Âënh l 4: Xẹt phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) gi sỉí :
1) [a, b] l khong phán ly nghiãûm α ca phỉång trçnh (2-1) tỉïc l ca
phỉång trçnh (2-12);
2) Mi x
n
tênh theo (2-13) (2-14) âãưu ∈ [a, b];
3) Hm ϕ(x) cọ âảo hm tha mn:
()
bxaqx <<<≤ 1
'
ϕ
Trong âọ q l mäüt hàòng säú. (2-15)
Thãú thç phỉång phạp làûp (2-13), (2-14) häüi tủ :
x
n
→ α khi n → ∞ (2-16)
Chỉïng minh âënh l :
Trỉåïc hãút vç α l nghiãûm ca (2-12) nãn cọ α = ϕ(α) âem âàóng thỉïc ny trỉì âi
(2-13) vãú våïi vãú ta âỉåüc
α - x
n
= ϕ(α) - ϕ(x

n-1
) (2-17)
Ta s ạp dủng cäng thỉïc Lagrangiå vo vãú phi ca âàóng thỉïc trãn.
Cäng thỉïc Lagrangiå âỉåüc phạt biãøu: Cho hm säú F(x) liãn tủc trãn [a,b], cọ âảo
hm trong (a,b) thç täưn tải säú c ∈ (a,b), tỉïc l c = a + θ(b-a), 0< θ <1 sao cho:
F(b) - F(a) = F’(c)(b-a) (2-18)

15
Aùp duỷng (2-18) ta coù :
- x
n
= (c) ( - x
n-1
) (2-19)
vồùi c = a + ( - x
n-1
) (a,b).
Theo giaớ thióỳt (2-15) ta coù |(c)| q <1. Do vỏỷy (2-19) cho
| - x
n
| = |(c)| | - x
n-1
| q | - x
n-1
|
Nón coù | - x
n
| q | - x
n-1
|

Bỏỳt õúng thổùc naỡy õuùng vồùi moỹi n. Do vỏỷy coù :
| - x
n
| q | - x
n-1
|
| - x
n-1
| q | - x
n-2
|

| - x
2
| q | - x
1
|
| - x
1
| q | - x
0
|
Nhỏn caùc bỏỳt õúng thổùc naỡy vóỳ vồùi vóỳ ta õổồỹc :
| - x
n
| q
n
| - x
0
| (2-20)

Vỗ vaỡ x
0
õaợ xaùc õởnh, q
n
0 khi n do 0 < q < 1, nón vóỳ phaới 0 vaỡ ta coù
| - x
n
| 0 khi n
où chờnh laỡ õióửu phaới chổùng minh.
2.3.3 Chuù thờch
Khi haỡm õaợ thoớa maợn giaớ thióỳt 3) cuớa õởnh lyù 4 thỗ sổỷ thoớa maợn giaớ thióỳt 2) phuỷ
thuọỹc vaỡo vióỷc choỹn x
o
vaỡ noù thoớa maợn trong õióửu kióỷn sau: Giaớ sổớ |(x)| q < 1
Nóỳu (x) > 0 ta coù thóứ choỹn x
o
[a, b] mọỹt caùch bỏỳt kyỡ, coỡn nóỳu (x) < 0 thỗ
phaới choỹn xo theo quy từc:

b
ba
khibx
ba
akhiax
<<
+
=
+
<<=

2
)(
2
)(
0
0
(2-21)
Muọỳn bióỳt thuọỹc khoaớng naỡo ta chố vióỷc tờnh f((a+b)/2) rọửi so saùnh dỏỳu cuớa noù
vồùi dỏỳu cuớa f(a).
2.3.4. aùnh giaù sai sọỳ
Giaớ sổớ ta tờnh theo (2-13) (2-14) n lỏửn vaỡ xem x
n
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa . Khi
õoù sai sọỳ | - x
n
| coù thóứ õaùnh giaù bồới cọng thổùc | - x
n
| q
n
| - x
o
|. Ta coỡn coù
| - x
o
| < b - a nón: | - x
n
| q
n
(b - a) (2-22)

Nhổng cọng thổùc naỡy thổồỡng cho sai sọỳ quaù lồùn so vồùi thổỷc tóỳ. Ta xeùt mọỹt cọng
thổùc õaùnh giaù sai sọỳ khaùc nhổ sau.
ởnh lyù 5 : Xeùt phổồng trỗnh
F(x) = 0 (2-23)

16
Cọ nghiãûm X ∈ [c,d] v
X
l mäüt säú ∈[c,d] âỉåüc xem l giạ trë gáưn âụng ca X.
Lục âọ ta cọ

m
XF
XX
)(
≤−
(2-24)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
|F’(x)| ≥ m > 0, c< x < d (2-25)
Chỉïng minh : Theo gi thiãút ta cọ F(X) = 0 nãn cọ F(
X
) = F(X)
p dủng cäng thỉïc Lagrangiå (2-18) vo vãú phi âỉåüc F(
X
) = F’(C) (
X
-X)
Trong âọ C = X + θ(
X
-X) ∈ (c,d). Theo gi thiãút (2-25) ta cọ

|F(
X
)| = |F’(C)| |
X
-X| ≥ m|
X
- X| tỉì âọ ta rụt ra kãút lûn(2-24).
Ta ạp dủng kãút qu ny âãø âạnh giạ sai säú ca phỉång phạp làûp.
Våïi F(x) = x - ϕ(x), c = a, d = b
X = α,
X
= x
n
Ta thu âỉåüc
m
xx
x
nn
n
|)(|
||
ϕ
α
−
≤− (2-26)
Trong âọ m l mäüt säú dỉång tha mn
0< m < |(x - ϕ(x))’|, a < x < b
Theo gi thiãút (2-15) ca âënh l 4 ta cọ:
|(x - ϕ(x))’| = |1 - ϕ’(x)| ≥ 1 - |ϕ’(x)| ≥ 1 - q > 0
Màût khạc ϕ(x

n
) - x
n
= ϕ(x
n
) - ϕ(x
n-1
)
= ϕ’(c)(x
n
- x
n-1
)
Trong âọ c = x
n-1
+ θ(x
n
- x
n-1
) ∈ (a,b)
Do âọ :
|ϕ(x
n
) - x
n
| = |ϕ’(c)| |(x
n
- x
n-1
)| ≤ q|x

n
- x
n-1
|
Váûy (2-26) tråí thnh:

1
1
−
−
−
≤−
nnn
xx
q
q
x
α
(2-27)
Cäng thỉïc ny cho phẹp ta âạnh giạ sai säú theo nhỉỵng âải lỉåüng vỉìa tênh âỉûåc
x
n-1
v x
n
.
2.3.5. Thê dủ
Xẹt phỉång trçnh x
3
- x - 1. Ta â chỉïng minh âỉåüc nọ cọ mäüt nghiãûm thỉûc α
phán ly trong khong [1,2]. Báy giåì ta dng phỉång phạp làûp âãø tênh gáưn âụng

nghiãûm α âọ. Mún thãú trỉåïc hãút ta tçm hm làûp ϕ(x) thêch håüp âãø phỉång phạp
làûp häüi tủ, tỉïc l ϕ(x) phi tha mn nhỉỵng gi thiãút ca âënh l 4.
Phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút thnh : x = x
3
-1 (2-28)
V âàût ϕ(x) = x
3
-1 nhỉng lục ny ϕ’(x) = 3x
2
≥ 3 tai mi x ∈ [1,2].

17
Nãúu hm làûp chn nhỉ váûy phỉång phạp làûp s khäng cọ hy vng häüi tủ. Ta viãút
phỉång trçnh dỉåïi dảng khạc nhỉ sau :
x
3
= x + 1
x = (x + 1)
1/3
Ta âàût ϕ(x) = (x + 1)
1/3
(2-29)
Lục âọ ϕ’(x) = (1/3)(x + 1)
-2/3
=
3
2
)1(
1
3

1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
nãn
0 < ϕ’(x) ≤ 1/3 tải mi x ∈ [1,2]
Lục ny hm làûp ϕ(x) tha mn cạc âiãưu kiãûn ca âinh l 4 v chụ thêch åí cäng
thỉïc (2-21). Ta bàõt âáưu thỉûc hiãûn phẹp làûp tải x
0
báút k trong [1,2]; chàóng hản
chn x
0
= 1. Gi sỉí ta tênh làûp 5 láưn våïi cạc kãút qu nhỉ sau :
x
0
= 1
x
1
= 1,25992105; |α - x
1
| ≤ 0,13
x
2
= 1,312293837; |α - x
2

| ≤ 0,027
x
3
= 1,322353819; |α - x
3
| ≤ 0,005
x
4
= 1,324268745; |α - x
4
| ≤ 0,00096
x
5
= 1,324632625; |α - x
5
| ≤ 0,000182
Kãút qu ny cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi. Ta quy trn nọ âãún 4 chỉỵ säú l tháûp
phán bàòng cạch viãút: α - 1,3246 = α - x
5
+ x
5
- 1,3246
|α - 1,3246| ≤ |α - x
5
| + |x
5
- 1,3246|
|α - 1,3246| ≤ 0,000182 + 0,00003265
Do âọ : |α - 1,3246| ≤ 0,00025
Váûy ta cọ kãút qu l α = 1,3246 ± 0,00025.

Chụ : Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta dỉìng quạ trçnh tênh khi
|(x
n
- x
n-1
)| < sai säú cho phẹp ε
2.3.6 Thût toạn ca phỉång phạp làûp
- Cho phỉång trçnh f(x) = 0
- ÁÚn âënh sai säú cho phẹp ε
- Xạc âënh khong phán ly nghiãûm [a,b]
- Tçm hm làûp häüi tủ ϕ
- Chn xáúp xè âáưu x
0

- Tênh x
n
= ϕ(x
n-1
) våïi n = 1,2,3, cho tåïi khi | x
n
- x
n-1
| < ε thç dỉìng.
Láúy kãút qu α ≈ x
n
våïi sai säú
εα
q
q
x

n
−
≤−
1
trong âọ q l säú dỉång nh hån 1
tha mn |ϕ’(x)| ≤ q<1 våïi mi x ∈ (a,b).

18
2.4. PHỈÅNG PHẠP TIÃÚP TUÚN
2.4.1. Mä t phỉång phạp
Mủc tiãu ca phỉång phạp tiãúp tuún l tçm cạch thay phỉång trçnh (2-1),
phi tuún âäúi våïi x, bàòng mäüt phỉång trçnh gáưn âụng tuún tênh âäúi våïi x. Chụng
ta dng khai triãøn Taylo âãø lm âiãưu âọ.
Cäng thỉïc Taylo : Cho hm säú F(x) xạc âënh v cọ âảo hm âãún cáúp n+1
tải x
0
v lán cáûn x
0
. Thãú thç khai triãøn Taylo báûc n ca F(x) tải x
0
l:

)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2

)(
)(')()()(
)1(
1
0
0
)(
0
0
2
0
000
cF
n
xx
xF
n
xx
xF
xx
xFxxxFxF
n
n
n
n
+
+
+
−
+

+
−
++
−
+++=
(2-30)
c = x
0
+ θ(x - x
0
); 0 < θ < 1 (2-31)
Cäng thỉïc ny cọ giạ trë tải cạc giạ trë x tải lán cáûn
x
0
, c l mäüt säú trung gian nàòm
giỉỵa
x
0
v x.
Xẹt phỉång trçnh (2-1) våïi gi thiãút nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly trong [a,b]. Gi
sỉí hm f cọ âảo hm f’(x) ≠ 0 tải x ∈ [a,b] âảo hm cáúp hai f’’(x) tải x ∈ (a,b). Ta
chn x
0
∈ [a,b] räưi viãút khai triãøn Taylo báûc nháút ca f tải x
0
:

),()(],,[
)('')(
2

1
)(')()()(
00
2
0000
baxxxcbax
cfxxxfxxxfxf
∈−+=∈
−+−+=
θ

Nhỉ váûy phỉång trçnh (2-1) âỉåüc viãút thnh :

19


Ta b qua säú hảng cúi cng v âỉåüc phỉång trçnh:
0)('')(
2
1
)(')()(
2
0000
=−+−+ cfxxxfxxxf
f(x
0
) + (x - x
0
)f’(x
0

) = 0 (2-32)
Tỉïc l ta â thay phỉång trçnh (2-1) bàòng phỉång trçnh báûc nháút (2-32). Âọ l
viãûc thay thãú gáưn âụng. Gi x
1
l nghiãûm ca (2-32) ta cọ ngay :

)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx −=
(2-33)
Tỉì x
0
ta tênh mäüt cạch tỉång tỉû ra x
1
, vv v mäüt cạch täøng quat, khi â biãút x
n

ta tênh x
n+1
theo cäng thỉïc

)('
)(
1
n

n
nn
xf
xf
xx −=
+
(2-34)
x
0
chn trỉåïc trãn [a,b] (2-35)
v xem x
n
l giạ trë gáưn âụng ca nghiãûm
α
.
Phổồng phaùp tờnh x
n
theo phổồng phaùp tuyóỳn tờnh hoùa trón goỹi laỡ phổồng phaùp
Niutồn hay cuợng chờnh laỡ phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn.
Chuù yù 1 : Nhỗn vaỡo (2-34) , (2-35) ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn cuợng laỡ loaỷi
phổồng phaùp lỷp vồùi haỡm lỷp

)('
)(
)(
xf
xf
xx =

(2-36)

Chuù yù 2 : Vóử mỷt hỗnh hoỹc thỗ f(x
0
) laỡ hóỷ sọỳ goùc cuớa tióỳp tuyóỳn cuớa õọử thở haỡm sọỳ
y = f(x) taỷi x
0
. Ta xem trón hỗnh 2-6.
y
x
b
P

M
B
a

A

oỹan õọử thở AB cừt truỷc hoaỡnh taỷi M
Coù hoaỡnh õọỹ chờnh laỡ nghióỷm õuùng .
óứ tờnh gỏửn õuùng ta thay mọỹt caùch
gỏửn õuùng cung AB bồới tióỳp tuyóỳn taỷi B,
B coù hoaỡnh õọỹ x
0
, tióỳp tuyóỳn naỡy cừt
truỷc hoaỡnh taỷi P, P coù hoaỡnh õọỹ x
1
vaỡ ta
xem x
1
laỡ giaù trở gỏửn õuùng cuớa .

Hỗnh 2-6
óứ tờnh x
1
ta vióỳt phổồng trỗnh tióỳp tuyóỳn taỷi B
Vồùi x
0
= b ta coù : Y - f(x
0
) = f(x
0
) (X - x
0
)
Taỷi P ta coù X = x
1
, Y = 0 nón coù :
-f(x
0
) = f(x
0
)(x
1
- x
0
)
Tổỡ õoù ta suy ra (2-33). Cho nón phổồng phaùp naỡy õổồỹc goỹi laỡ phổồng phaùp tióỳp
tuyóỳn.
2.4.2. Sổỷ họỹi tuỷ vaỡ sai sọỳ
Vỏỳn õóử ồớ õỏy laỡ khi tờnh bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn thỗ phaới coù x
n

khi n
. ióửu naỡy õổồỹc khúng õởnh ồớ õởnh lyù sau.
ởnh lyù 6: Giaớ sổớ [a,b] laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1), f coù
õaỷo haỡm f, f vaỡ f lión tuỷc trón [a,b], f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu trong (a,b). Xỏỳp xố
õỏửu x
0
choỹn laỡ a hay b sao cho f(x
0
) cuỡng dỏỳu vồùi f. Khi õoù x
n
tờnh bồới (2-34) (2-
35) họỹi tuỷ vóử khi n , cuỷ thóứ hồn ta coù x
n
õồn õióỷu tng tồùi nóỳu ff<0, xn
õồn õióỷu giaớm tồùi nóỳu ff >0. Khi dổỡng laỷi ồớ n xaùc õởnh ta õổồỹc x
n
vaỡ coi x
n

gỏửn õuùng vồùi .
Vóử sai sọỳ aùp duỷng õởnh lyù 5 ta coù :

m
xf
x
n
n
)(|
||

(2-37)
Vồùi 0< m |f(x)|, x b (2-38)
Ta khọng chổùng minh õởnh lyù 6 nhổng coù thóứ hióứu trón caùc hỗnh 2-7 dổồùi õỏy.

20


A
a
B


x
1
b
x
y
x
2
b)
y
A
a
B

x
1
b
x
x

A
a
B


x
1
b
y
d)
y
x
A

a

B


x
1
b
c)
x
2
x
2
x
2
a)

Hỗnh 2-7

2.4.3 Thờ duỷ
* Haợy tờnh cn bỏỷc hai cuớa mọỹt sọỳ dổồng a. Tổùc laỡ coù phổồng trỗnh x
2
= a hay ta
coù thóứ vióỳt laỡ : f(x) = x
2
- a = 0 (2-39)
Roợ raỡng nghióỷm dổồng cuớa phổồng trỗnh (2-39) phỏn ly trong khoaớng [1,a];
Trong khoaớng õoù f(x) =2x > 0, f = 2 >0. Vỏỷy ta coù thóứ aùp duỷng õởnh lyù 6. Cọng
thổùc (2-34) vióỳt thaỡnh :

)(
2
1

1
n
nn
x
a
xx +=
+
(2-40)
Vồùi a = 2 ta coù f(2) =2
2
-2 > 0 cuỡng dỏỳu vồùi f nón ta choỹn x
0
= 2. Aùp duỷng cọng
thổùc (2-40) coù :
x
1
= 1,5
x
2
= 1,417
x
3
= 1,41421
Ta bióỳt
2 =1,414213562 nón ta thỏỳy phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn họỹi tuỷ rỏỳt nhanh.
Ta laỷi giaới phổồng trỗnh (2-9), f(x) = x
3
- x -1 = 0 ta õaợ tỗm õổồỹc khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa noù laỡ [1,2]. Trong khoaớng õoù
f(x) = 3x

2
-1 > 0
f(x) = 6x > 0

21
Vỏỷy coù thóứ aùp duỷng õởnh lyù 6. óứ choỹn x
0
ta tờnh f(2) = 2
3
-2 - 1 = 5 >0 cuỡng dỏỳu
vồùi f vỏỷy choỹn x
0
= 2. Ta coù cọng thổùc tờnh :

2
13
1
0
2
3
1
=


=
+
x
x
xx
xx

n
nn
nn

Ta coù baớng kóỳt quaớ tờnh toaùn nhổ sau:
n x
n
Sai sọỳ
0 2
1 1,545454545
2 1,359614916
3 1,325801345
4 1,324719049 0,0000024
5 1,324717950 2.10
-10

2.4.4. Chuù yù
Trong thổỷc tóỳ ta dổỡng quaù trỗnh tờnh khi |xn - xn-1| < sai sọỳ cho pheùp
2.4.5. Thuỏỷt toaùn giaới bũng phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0
2. n õởnh sai sọỳ cho pheùp
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b] trong õoù f vaỡ f khọng õọứi dỏỳu.
4. Choỹn x
0

5.

Tờnh
)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx =

Tờnh e = |
x
1
-
x
0
|
Thay
x
0
=
x
1

e<

S
Tờnh e = |
x
1
-
x
0
|
Vồùi sai sọỳ
m
xf
x
)(
1
1


trong õoù 0 < m < |f(x)|, x(a,b).

22
2.5. PHỈÅNG PHẠP DÁY CUNG
2.5.1. Mä t phỉång phạp
Trong phỉång phạp tiãúp tuún ta â thay cung âäư thë AB ca hm y = f(x) båíi
tiãúp tuún v tải A hay B. Báy giåì ta thay cung AB båíi dáy cung AB räưi láúy
honh âäü x
1
ca giao âiãøm P ca dáy cung våïi trủc honh lm giạ trë gáưn âụng
ca nghiãûm α. (H. 2-8).

Phỉång trçnh dáy cung AB âỉåüc viãút :
ab
aX
afbf
afY
−
−
=
−
−
)()(
)(

x
y
A

a

B
α
x
1
b
P
Tải giao âiãøm P cọ Y = 0, x = x
1
, nãn :

ab

ax
afbf
af
−
−
=
−
−
1
)()(
)(

Tỉì âọ suy ra:

)()(
)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−= (2-41)
Hçnh 2-8
Hay:

)()(
)()(
1
bfaf

abfbaf
x
−
−
= (2-42)
Phỉång phạp tênh x
1
nhỉ váûy gi l phỉång phạp dáy cung. Sau khi tênh âỉåüc x
1

ta tçm khong phán ly nghiãûm måïi xem l [a, x
1
] hay [x
1
,b] räưi lải tiãúp tủc
phỉång phạp dáy cung nhỉ trãn cho khong phán ly nghiãûm måïi, â thu nh hån
khong c. Cỉï tiãúp tủc nhỉ thãú ta âỉåüc cạc giạ trë x
2
, x
3
, ,x
n
, ngy cng gáưn α.
Sai säú cọ thãø tênh bàòng (2-24).

2.5.2. Thê dủ
Ta lải xẹt phỉång trçnh (2-9), khong phán ly nghiãûm ca nọ l [1,2]. Ta cọ:
a = 1; f(a) = f(1) = 1
3
- 1 - 1 = -1 < 0

b = 2 f(b) = f(2) = 2
3
- 2 - 1 = 5 > 0
Theo (2-42) cọ :

167,1
)1(5
)1.(25.1
1
=
−−
−
−
=x

Tiãúp tủc ta cọ f(1,167) = -0,58 < 0; khong phán ly nghiãûm måïi l [1,167;2]. Ta
tçm âỉåüc

253,1
)58,0(5
)58,0.(25.167,1
2
=
−−
−
−
=x

23
Sai sọỳ tờnh theo (2-24) laỡ 0,15. Nhổ vỏỷy phổồng phaùp dỏy cung họỹi tuỷ chỏỷm hồn

phổồng phaùp tióỳp tuyóỳn.
2.5.3. Sồ õọử toùm từt phổồng phaùp dỏy cung
1. Cho phổồng trỗnh f(x) = 0.
2. Choỹn sai sọỳ cho pheùp .
3. Tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm [a,b].
4. Sồ õọử tờnh

Nhỏỷp f(x), a,b,
Tờnh
)()(
)()(
1
afbf
abfbaf
x


=
S
f(
x
1
).f(a) < 0
Tha
y
b = c Tha
y
a = c
Tờnh e= b -
a
e <
S


Kóỳt quaớ:
= a vồùi | - a| <
= b vồùi | - b| <

Sai sọỳ | - x1| <
m
xf |)(|
1
trong õoù 0 < m < |f(x)|, x (a,b).



24