phương pháp tính dùng cho sinh viên ngành cơ khí phần 1 pps

BIÃN SOẢN TRÁƯN MINH CHÊNH

PHỈÅNG PHẠP TÊNH
DNG CHO SINH VIÃN NGNH CÅ KHÊ

 NÀƠNG 2004
1


CHỈÅNG 1
SAI SÄÚ
1.1 SAI SÄÚ TUÛT ÂÄÚI V SAI SÄÚ TỈÅNG ÂÄÚI
1.1.1 Sai säú tuût âäúi
Trong tênh toạn gáưn âụng chụng ta lm viãûc våïi cạc giạ trë gáưn âụng cuớa
caùc õaỷi lổồỹng . Vỗ vỏỷy vỏỳn õóử trổồùc tión l nghiãn cỉïu sai säú ca cạc âải lỉåüng
gáưn âụng.
Xẹt âải lỉåüng âụng A cọ giạ trë gáưn âụng l a. Lục âọ ta nọi “ a xáúp xè A”
v viãút laì “ a ≈ A “. Trë tuyãût âäúi | a - A| goüi laì sai säú tuyãût âäúi ca a ( coi l giạ
trë gáưn âụng ca A). Nọi chung chụng ta khäng thãø biãút âỉåüc säú âụng A, nãn
khäng khäng tênh âỉåüc sai säú tuût âäúi ca a. Do vỏỷy ta phaới tỗm caùch ổồùc lổồỹng
sai sọỳ âọ bàịng säú dỉång ∆a no âọ låïn hån hồûc bàịng |a - A| :
(1-1)
|a - A| ≤ ∆a
Säú dỉång ∆a ny gi l sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a. R rng nãúu ∆a â l
sai säú tuût õọỳi giồùi haỷn cuớa a thỗ moỹi sọỳ > ∆a âãưu cọ thãø xem l sai säú tuût
âäúi giåïi haỷn cuớa a. Vỗ vỏỷy tuỡy õióửu kióỷn cuỷ thóứ ngỉåìi ta chn ∆a l säú dỉång bẹ
nháút cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1).
Nãúu säú xáúp xè a ca A coù sai sọỳ giồùi haỷn laỡ a thỗ ta qui æåïc viãút :
(1-2)
A = a ± ∆a
Våïi nghéa cuía (1-1) tỉïc l :

(1-3)
a - ∆a ≤ A ≤ a + ∆a
1.1.2 Sai säú tỉång âäúi
T säú :
δa =

∆a
a

(1-4)

gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a
(1-5)
Ta suy ra :
∆a = |a| δa
Cạc cäng thỉïc (1-4) v (1-5) cho ta liãn hãû giỉỵa sai säú tỉång âäúi v sai säú tuyóỷt
õọỳi. Bióỳt a thỗ (1-4) cho pheùp tờnh a , bióỳt a thỗ (1-5) cho pheùp tờnh a .
Do (1-5) nãn (1-2) cng cọ thãø viãút :
(1-6)
A = a(1 ± δa)
Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta xem ∆a l sai säú tuût âäúi v lục âọ δa cng l sai
säú tỉång âäúi.
2


1.1.3 Chụ thêch
Sai säú tuût âäúi khäng nọi nãn âáưy â cháút lỉåüng ca mäüt säú xáúp xè, cháút
lỉåüng áúy âỉåüc phn nh qua sai säú tỉång âäúi. Láúy thê dủ : âo hai chiãưu di A v
B âỉåüc a = 10m våïi ∆a = 0,05m vaì b = 2m våïi ∆b= 0,05m. R rng phẹp âo A
cháút lỉåüng hån phẹp âo B. Âiãưu âọ khäng phn nh qua sai sọỳ tuyóỷt õọỳi vỗ chuùng

bũng nhau, maỡ phaớn aớnh qua sai säú tæång âäúi :
δa =

0,05
0,05
= 0,005 < δ b =
= 0,025
10
2

1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ
1.2.1. Chỉỵ säú cọ nghéa
Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø
cạc chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc 0 âáưu tiãn tênh tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa.
Chàóng hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa.
1.2.2. Chỉỵ säú âạng tin
Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng :
a = ± ∑ α s 10 s
(1.7)
trong âọ αs l nhỉỵng säú ngun tỉì 0 âãún 9, chàóng hản säú 76,809 âỉåüc viãút
76,809 = 7.101 + 6.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 9.10-3
tỉïc l cọ daûng (1.7) våïi :
α1= 7, α2 = 6, α-1 = 8, α-2 =0, α-3 = 9
Gi sỉí a l giạ trë xáúp xè cuía A våïi sai säú tuyãût âäúi giåïi hản ∆a, ta chụ
chỉỵ säú αs . Nãúu a 0,5.10s thỗ noùi s laỡ chổợ sọỳ õaùng tin, nóỳu a 0,5.10s thỗ noùi
s laỡ chổợ sọỳ âạng nghi.
Thê dủ : Cho a = 56,78932 våïi ∆a = 0,0042 thỗ caùc chổợ sọỳ 5,6,7,8 laỡ õaùng
tin coỡn cạc chỉỵ säú 9,3,2 l âạng nghi. Cn nãúu ∆a = 0,0075 thỗ caùc chổợ sọỳ 5,6,7 laỡ
õaùng tin coỡn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi.
R rng nãúu αs laỡ õaùng tin thỗ caùc chổợ sọỳ bón traùi noù cuợng laỡ õaùng tin vaỡ

nóỳu s laỡ õaùng nghi thỗ cạc chỉỵ säú bãn phi nọ cng l âạng nghi.
1.2.3. Cạch viãút säú xáúp xè
Cho säú a l giạ trë xáúp xè cuía A våïi sai säú tuyãût âäúi giåïi hản l ∆a. Cọ hai
cạch viãút säú xáúp xè a; cạch thỉï nháút l viãút km theo sai säú nhỉ åí cäng thỉïc (1-2)
hồûc (1-6). Cạch thỉï hai l viãút theo qui ỉåïc : mi chỉỵ säú cọ nghéa l âạng tin.
Mäüt säú viãút theo cạch thỉï hai cọ nghéa l nọ cọ sai säú tuût âäúi giåïi hản khäng
låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng cúi cng. Cạc bng säú cho sàơn nhỉ bng
logarit,v.v.. thỉåìng viãút cạc säú xáúp xè theo quy ỉåïc ny.
3


1.3. SAI SÄÚ QUI TRN
1.3.1 Hiãûn tỉåüng qui trn v sai säú qui trn
Trong tênh toạn khi gàûp mäüt säú cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi ngỉåìi ta b
âi mäüt vi chỉỵ säú åí cúi cho gn, viãûc lm âọ âỉåüc coi l qui trn säú. Mäùi khi
qui trn mọỹt sọỳ thỗ taỷo ra mọỹt sai sọỳ mồùi goỹi l sai säú qui trn nọ bàịng hiãûu giỉỵa
säú â qui trn våïi säú chỉa qui trn. Trë tuût âäúi ca ca hiãûu âọ gi l sai säú qui
trn tuût âäúi. Qui tàõc qui trn phi chn sao cho sai säú qui trn tuût âäúi cng
bẹ cng täút, ta chn qui tàõc sau âáy : Qui troìn sao cho sai säú qui trn tuût âäúi
khäng låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng âỉåüc giỉỵ lải cúi cng, tỉïc l 5 âån vë åí
hng b âi âáưu tiãn, củ thãø l nãúu chỉỵ säú åí hng b âi âáưu tiãn 5 thỗ thóm vaỡo
chổợ sọỳ giổợ laỷi cuọỳi cuỡng mäüt âån vë, cn nãúu chỉỵ säú b âi âáưu tión < 5 thỗ õóứ
nguyón chổợ sọỳ giổợ laỷi cuọỳi cng.
Thê dủ : säú 56,78932 qui trn âãún säú chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba ( tỉïc l giỉỵ
lải cạc chỉỵ säú tỉì âáưu âãún chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba) s thnh säú 56,789; cng säú
âọ qui trn âãún säú l tháûp phán thỉï hai s l 56,79 v nãúu qui trn âãún ba chỉỵ säú
cọ nghéa thỗ seợ laỡ 56,8.
1.3.2 Sai sọỳ cuớa sọỳ õaợ quy trn
Gi sỉí a l säú xáúp xè ca säú âụng A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l ∆a. Ta s quy
trn a thnh a’ våïi sai säú quy trn tuût âäúi l θa’, tỉïc l :

(1 - 8)
| a’ - a | ≤ θa
Hy tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản ∆a’ ca a’. Ta cọ:
a’ - A = a’ - a + a - A
Do váûy :
| a’ - a | ≤ | a’ - a | + | a - A | ≤ θa’ + ∆a
Tỉì âọ cọ thãø láúy:
(1 - 9)
∆a’ = ∆a + θa’
R rng ∆a’ > ∆a tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản.
1.3.3 nh hỉåíng ca sai säú quy trn
Xẹt mäüt thê dủ sau âáy:
p dủng cäng thỉïc nhë thỉïc Niuton ta cọ cäng thỉïc âuïng :
( 2 − 1)10 = 3363 − 2378 2
(1 - 10)
2 = 1,41421356...
Våïi
Báy giåì ta tênh hai vãú ca (1-10) bàịng cạch thay 2 båíi cạc säú quy trn
(xem bng 1-1). Sỉû khạc biãût giỉỵa cạc giạ trë tênh ra ca hai vãú chỉïng to sai säú
quy trn cọ thãø cọ nhỉỵng tạc dủng ráút âạng ngải trong quạ trỗnh tờnh toaùn.
4


Bng 1-1
2

1,4
1,41
1,414
1,41421

1,414213563

Vãú trại
0,0001048576
0,00013422659
0,000147912
0,00014866399
0,00014867678

Vãú phi
33,8
10,02
0,508
0,00862
0,0001472

1.4 CẠC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ
1.4.1 Måí âáưu
Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y :
u = f(x,y)
(1-11)
 biãút sai säú ca x v y, hy tênh sai säú ca u.
ÅÍ âáy lỉu ∆x , ∆y ,∆u l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai
säú tuût âäúi ca x, y, u. Theo âënh nghéa (1-1) ta luän coï:
(1-12)
|∆x| ≤ ∆x ; |∆y| ≤ y
Ta phaới tỗm u õóứ coù |u| u
1.4.2 Sai säú ca täøng u = x + y
Ta cọ ∆u = ∆x + ∆y suy ra |∆u| = |∆x| + |∆y| do âoï theo (1-12) ta coï:
|∆u| ≤ ∆x + ∆y

(1-13)
Ta choün
∆x+y = ∆x + ∆y
Âãø coï |∆u| ≤ ∆u . Váûy coï quy tàõc sau:
Sai säú tuyãût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàịng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản
ca cạc säú hảng.
Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x vaì y cng dáúu. Khi âọ
δu =

∆u ∆ x + ∆ y
=
|u| | x − y|

Cho nãn nãúu |x - y| ráút beù thỗ sai sọỳ tổồng õọỳi giồùi haỷn rỏỳt lồùn. Do vỏỷy trong quaù
trỗnh tờnh toaùn ta phaới tỗm caùch trạnh phi trỉì cạc säú gáưn bàịng nhau.
1.4.3 Sai säú ca têch u = xy
Ta cọ ∆u ≈ du = ydx + xdy ≈ y∆x +x∆y
|∆u| ≤ |y||∆x| + |x||∆y|≤ |y|∆x + |x|∆y
Ta suy ra :
|∆u| = |y|∆x + |x|∆y
Do âoï : δ u =

∆u | y | ∆ x | + | x | ∆ y ∆ x ∆ y
=
=
+
|u|
| xy |
|x| | y|

5


Tỉïc l cọ ∆ xy = δ x + δ y

(1-14)

Váûy ta cọ quy tàõc :
Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàịng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi
hản ca cạc thỉìa säú ca têch. Âàûc biãût cọ:
δ x n = nδ y våïi n ngun dỉång.
(1-15)
1.4.4 Sai säú ca mäüt thỉång u = x/y, y ≠ 0;
Tỉång tỉû nhỉ trỉåìng håüp têch ta cọ quy tàõc:
Sai säú tỉång âäúi ca mäüt thỉång bàịng täøng cạc sai säú tỉång âäúi ca cạc säú
hảng:
δx/y = δx + δy
(1-16)
1.4.5 Cäng thỉïc täøng quạt
Cho u = f(x1,x2,x3,..,xn)
n

Ta cọ

∆u = ∑|
i =1

∂f
| ∆ xi
∂x i

(1-17)

V tỉì âọ ta suy ra δu theo âënh nghéa (1.4).
Thê duû : Tênh sai säú tuyãût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản cuớa thóứ
tờch hỗnh cỏửu:
1
V = d 3
6

nóỳu cho õổồỡng kờnh d = 3,7 ± 0,05 cm v π = 3,14.
Gii : Xem π v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ :
δV = δπ + 3δd
δπ = 0,0016/3,14 = 0,0005
δd = 0,05/3,7 = 0,0135
Suy ra δV = 0,0005 + 3x 0,0135 = 0,04
1
6

Màût khaïc: V = πd 3 =26,5 cm3
∆V = 26,5x0,04 = 1,06 ≈ 1,1 cm3
V = 26,5 ± 1,1 cm3
1.5 - SAI SÄÚ TÊNH TOẠN V SAI SÄÚ PHỈÅNG PHẠP
1.5.1. Måí âáưu
Khi gii gáưn âụng mäüt bi toạn phỉïc tảp ta phi thay bi toạn â cho bàịng mäüt
bi toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàịng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc
nhåì mạy tênh âiãûn tỉí. Phỉång phạp thay thãú bi toạn nhỉ váûy âỉåüc gi l phỉång
phạp gáưn âụng. Sai säú do thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp. Khi
Váûy cọ

6


gii cạc bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn caùc pheùp tờnh, trong quaù trỗnh tờnh
toaùn ỏỳy ta luọn phi quy trn cạc kãút qu trung gian. Sai säú tảo ra båïi viãûc quy
trn gi l sai säú tênh toạn. Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca
hai loải sai säú phỉång phạp v sai säú tênh toạn.
1.5.2. Thê dủ
a/ Hy tênh täøng:
A=

1
1
1
1
1
1
− 3 + 3 − 3 + 3 − 3.
3
1
2
3
4
5
6

Giaíi : A l täøng ca 6 phán säú. Ta cọ thãø tênh trỉûc tiãúp A m khäng cáưn phi thay
nọ bàịng mäüt tọứng õồn giaớn hồn. Vỗ vỏỷy baỡi toaùn khọng coù sai säú phỉång phạp.
Âãø tênh A ta hy thỉûc hiãûn cạc phẹp chia âãún ba chỉỵ säú l tháûp phán v âạnh giạ
cạc sai säú quy trn tỉång ỉïng:

1 1
= = 1,000
13 1
1 1
= = 0,125
23 8
1
1
=
= 0,037
3
27
3
1
1
=
= 0,016
3
64
4
1
1
=
= 0,008
3
125
5
1
1
=

= 0,125
3
216
6

våïi θ1 = 0
θ2 = 0
θ 3 = 1.10 − 4
θ 4 = 4.10 − 4
θ5 = 0
θ 6 = 4.10 − 4

Váûy A ≈ a = 1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899
|A - a | =
1
1
1
1
1
1
| ( 3 − 1) − ( 3 − 0,125) + ( 3 − 0,037) − ( 3 − 0,016) + ( 3 − 0,008) − ( 3 − 0,005) |
6
5
4
3
2
1

Hay |A - a| ≤
1

1
1
1
1
1
| ( 3 − 1) − ( 3 − 0,125) + ( 3 − 0,037) − ( 3 − 0,016) + ( 3 − 0,008) − ( 3 − 0,005) | ≤
6
5
4
3
2
1

θ1 + θ2 + θ3 + θ4 + θ5 + θ6 = 9.10-4
Do âọ a = 0,899 l giạ trë gáưn âụng ca A våïi sai säú tênh toạn l 9.10-4; ta viãút :
(1-18)
A = 0,899 ± 9.10-4
b/ Hy tênh täøng dy säú sau:
B=

1
1
1
1
− 3 + 3 − ... + (−1) n −1 3 + ...
3
1
2
3
n

Våïi sai säú tuyãût âäúi khäng væåüt quaï 5.10-3.
7


Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ. Do âọ viãûc tênh B l håüp l.
Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khọng thóứ tờnh hóỳt õổồỹc. Vỗ
vỏỷy õóứ tờnh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè tênh B
bàịng täøng ca n säú hảng âáưu:
Bn =

1
1
1
1
− 3 + 3 − ... + (−1) n −1 3
3
1
2
3
n

Bi toạn tênh Bn âån gin hån bi toạn tênh B. Lục âọ |B-Bn| l sai säú phỉång
phạp, váún âãư l phi chn n sao cho täøng sai säú phỉång phạp cäüng våïi sai säú tênh
toạn phi nh hån 5.10-3.
Theo l thuút vãư chùi âan dáúu, ta cọ:
| B − Bn |=|

1
1

1
−
+ ... |<
(n + 1) 3 (n + 2) 3
(n + 1) 3

Nóỳu ta choỹn n = 6 thỗ tháúy :
| B − Bn |<

1
1
=
< 3.10 3
3
343
7

Chụ ràịng B6 = A ta â tênh åí thê dủ trãn (xem (1-18)).
B6 = A = 0,899 ± 9.10-4
Váûy ta coï:
B - 0,899 = B - B6 + A - 0,899
|B - 0,899| ≤ |B - B6| + |A - 0,899|
|B - 0,899| ≤ 3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-4
Váûy ta â tênh âæåüc B ≈ 0,899 våïi sai säú tuyãût âäúi khäng vỉåüt quạ 4.10-3:
B = 0,899 ± 4.10-3
Chụ :Trong sai säú täøng håüp cúi cng cọ pháưn ca sai säú phỉång phạp
v cọ pháưn ca sai säú tênh toạn, nãn ta phaíi phán bäú håüp lyï sao cho sai säú cúi
cng nh hån sai säú cho phẹp.
1.6 . SỈÛ ỉN ậNH CUA MĩT QUAẽ TRầNH TấNH
Xeùt mọỹt quaù trỗnh tênh vä hản âãø tênh mäüt âải lỉåüng no âọ. Ta noùi quaù trỗnh tờnh

laỡ ọứn õởnh nóỳu sai sọỳ tênh toạn tỉïc l cạc sai säú quy trn têch ly lải khäng tàng
vä hản; Nãúu sai säú âọ tàng vọ haỷn thỗ ta noùi quaù trỗnh tờnh laỡ khọng ọứn õởnh.
Nhổ vỏỷy nóỳu quaù trỗnh tờnh laỡ khọng ọứn õởnh thỗ khọng coù hy voỹng tờnh õổồỹc õaỷi
lổồỹng cỏửn tênh våïi sai säú nh hån sai säú cho phẹp. óứ kióứm tra tờnh ọứn õởnh cuớa
mọỹt quaù trỗnh tờnh thỉåìng ngỉåìi ta gi sỉí sai säú chè xy ra tải mäüt bỉåïc, sau âọ
cạc phẹp tênh âãưu lm âụng khäng cọ sai säú, nãúu cúi cng sai säú tênh toaùn
khọng tng vọ haỷn thỗ xem nhổ quaù trỗnh tờnh laỡ ọứn õởnh. Trong thổỷc tóỳ, mỷc duỡ
quaù trỗnh tờnh l vä hản m ta cng chè lm mäüt säú hỉỵu hản bỉåïc, nhỉng váùn
8


phaới õoỡi hoới quaù trỗnh tờnh ọứn õởnh mồùi hy vng våïi mäüt säú hỉỵu hản bỉåïc cọ thãø
âảt âỉåüc mỉïc âäü chênh xạc mong mún.
BI TÁÛP
1) Khi âo mäüt gọc ta âỉåüc cạc giạ trë sau :
b = 1o10’’
a = 21o37’3’’;
Hy tênh sai säú tỉång âäúi ca cạc säú xáúp xè âọ biãút ràịng sai säú tuût âäúi
trong cạc phẹp âo l 1o.
2) Cho a = 10,00 ± 0,05, b = 0,0356 ± 0.0002, c = 15300 ± 100,
d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt õọỳi cuớa S1 = a + b + c + d; S2 = a+ 5c - d.
S3 = c3.
3) Hy xạc âënh cạc chỉỵ säú âạng tin ca säú a biãút sai säú tỉång âäúi ca nọ :
* a = 1,8921
δa = 0,001
* a = 22,351
δa = 0,1
4) Hy xạc âënh cạc chỉỵ säú âạng tin ca säú a biãút sai säú tuût âäúi ca nọ :
* a = 0,3941
∆a = 0,0025

* a = 38,2543
∆a = 0,0027
5) Hy quy trn cạc säú âụng dỉåïi âáy våïi ba chỉỵ säú cọ nghéa âạng tin räưi xạc
âënh sai säú tuût âäúi v sai säú tỉång âäúi ca chụng
* 2,1514
* 0,16152
* 0,01204
* -0,0015281

9


CHặNG 2

TấNH GệN UẽNG NGHIM THặC CUA MĩT PHặNG TRầNH
2.1. NGHIÃÛM V KHONG PHÁN LY NGHIÃÛM
2.1.1 Nghiãûm thỉûc ca phỉång trỗnh mọỹt ỏứn
Xeùt phổồng trỗnh mọỹt ỏứn
f(x) = 0
(2-1)
trong õoù f l hm säú cho trỉåïc ca âäúi säú x.
Nghiãûm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2-1) laỡ sọỳ thổỷc thoớa mn (2-1) tỉïc l khi
thay x båíi α åí vãú traùi ta õổồỹc:
f() = 0
(2-2)
2.1.2 Yẽ nghộa hỗnh hoỹc cuớa nghiãûm
y
Ta v âäư thë ca hm säú y = f(x) (2-3)
trong mọỹt hóỷ toỹa õọỹ vuọng goùc Oxy
(hỗnh 2.1). Giaớ sổớ õọử thở cừt truỷc hoaỡnh

taỷi mọỹt õióứm M thỗ âiãøm M ny cọ tung
âäü y = 0 v honh âäü x = α. Thay chụng
M
x
vo (2-3) ta âỉåüc
α
0 = f()
(2-4)
Vỏỷy hoaỡnh õọỹ cuớa gia õióứm M chờnh laỡ
Hỗnh 2.1
mäüt nghiãûm ca (2-1).
Trỉåïc khi v âäư thë ta cng coù thóứ thay thóỳ phổồng trỗnh (2-1) bũng phổồng trỗnh
tổồng âỉång g(x) = h(x) (2-5) räưi
v âäư thë ca hai haỡm sọỳ (hỗnh 2-2)
y
f
y = g(x)
M
y = h(x)
(2-6)
Giaớ sổớ hai âäư thë áúy càõt nhau tải M
Cọ honh âäü x = thỗ ta coù:
g
g() = h()
(2-7)
x
Vỏỷy hoaỡnh õọỹ ca giao âiãøm M
α
ca hai âäư thë (2-6) chênh l mọỹt nghióỷm
cuớa (2-5) tổùc laỡ cuớa (2-1).

Hỗnh 2-2
2.1.3. Sổỷ tọửn taỷi nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2.1)
Trổồùc khi tỗm caùch tờnh gỏửn õuùng nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2.1) ta
phaới xeùt xem phổồng trỗnh coù nghióỷm hay khọng. Coù nhióửu caïch âãø biãút nghiãûm
10


cọ täưn tải hay khäng, chàóng hản nhỉ v âäư thë, kho sạt hm.. Ta cng cọ thãø sỉí
dủng âënh l sau âáy:
Âënh l 1: Nãúu cọ hai säú thỉûc a v b (al : f(a).f(b) < 0 (2-8); âäưng thåìi f(x) lión tuỷc trón [a,b] thỗ ồớ trong khoaớng
[a,b] coù ờt nhỏỳt mọỹt nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2-1).
ióửu naỡy coù thóứ minh hoỹa trón õọử thở (hỗnh 2-3).
ọử thở cuớa y = f(x) tải a ≤ x ≤ b l mäüt âỉåìng liãưn näúi hai âiãønm A v B, A åí
phêa dỉåïi B åí phêa trãn trủc honh nãn phi càõt trủc honh êt nháút mäüt âiãøm åí
trong khong tỉì a õóỳn b. Vỏỷy phổồng trỗnh (2-1) coù ờt nhỏỳt mọỹt nghióỷm ồớ trong
khoaớng [a,b].
y

y

B

B
x

a

a

b
A

Hỗnh 2-3

A

x
b
Hỗnh 2-4

2-1-4. Khoaớng phỏn ly nghiãûm (Khong tạch nghiãûm)
Âënh nghéa: Khong [a,b] no âọ gi laỡ khoaớng phỏn ly nghióỷm cuớa
phổồng trỗnh (2-1) nóỳu noù chổùa mọỹt vaỡ chố mọỹt nghióỷm cuớa phổồng trỗnh õoù.
óứ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm ta coù thóứ duỡng caùc âënh l sau.
Âënh l 2: Nãúu [a,b] l mäüt khong trong âọ hm säú f(x) liãn tủc v âån
âiãûu, âäưng thåìi f(a) v f(b) trại dáúu, tỉïc l cọ (2-8) thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn
ly nghióỷm cuớa phổồng trỗnh (2-1). Âiãưu ny cọ thãø minh hoả trãn âäư thë (H. 2-4).
Âäư thë ca hm säú y = f(x) càõt trủc honh tải mäüt v chè mäüt âiãøm åí trong [a,b].
Váûy [a,b] chỉïa mäüt v chè mäüt nghiãûm ca ca phổồng trỗnh (2-1).
Nóỳu f(x) coù õaỷo haỡm thỗ õióửu kióỷn âån âiãûu cọ thãø thay bàịng âiãưu kiãûn
khäng âäøi dáúu cuớa õaỷo haỡm vỗ õaỷo haỡm khọng õọứi dỏỳu thỗ haìm säú âån âiãûu.
Âënh lyï 3: Nãúu [a,b] laì mäüt khong trong âọ hm f(x) liãn tủc, âảo hm
f’(x) khäng õọứi dỏỳu vaỡ f(a), f(b) traùi dỏỳu thỗ [a,b] laỡ mọỹt khoaớng phỏn ly nghióỷm
cuớa phổồng trỗnh (2-1).
Muọỳn tỗm caùc khong phán ly nghiãûm ngỉåìi ta thỉåìng kho sạt sỉû biãún
thiãn ca hm säú räưi ạp dủng âënh l 3.
11

2-1-5. Thờ duỷ
Cho phổồng trỗnh:
f(x) = x3 - x - 1 = 0
(2-9)
Haợy chổùng toớ phổồng trỗnh trón coù nghióỷm thổỷc vaỡ tỗm khoaớng phỏn ly nghióỷm.
Giaới: Trổồùc hóỳt ta xẹt sỉû biãún thiãn ca hm säú f(x), nọ xạc âënh v liãn
tủc tải mi x, âäưng thåìi: f’(x) = 3x2 - 1 = 0 tải x = ± 1/3½
Ta suy ra bng biãún thiãn :
x
f(x)
f(x)

-1/3½
0
M

-∞
+

-

+∞
+
+∞

-∞
Trong âọ M = f (

+1/3½
0

m

1
3

)=−

1
3 3

+

1
3

−1< 0

Váûy âäư thë càõt trủc honh tải mäüt õióứm duy nhỏỳt (Hỗnh 2-5) do õoù phổồng trỗnh
(2-9) coù mäüt nghiãm thỉûc duy nháút, k hiãûu nọ l α. Ta tênh thãm:
f(1) = 13 -1 -1 < 0 vaì f(2) = 23 -2 - 1 > 0
Váûy khoaíng [1,2] chổùa nghióỷm thổỷc duy nhỏỳt cuớa phổồng trỗnh (2-9).
Nhổ vỏỷy phổồng trỗnh (2-9) coù mọỹt nghióỷm thổỷc duy nhỏỳt nũm trong khoaớng
phỏn ly nghióỷm [1,2].
y
-1/3ẵ

x

+1/3ẵ

2-2 PHặNG PHAẽP CHIA I
2-2-1. Nọỹi dung phổồng phaùp
Xeùt phổồng trỗnh (2-1) vồùi giaớ thióỳt nọ cọ nghiãûm thỉûc α phán ly åí trong khong
[a,b].Ta tỗm caùch thu nhoớ dỏửn khoaớng phỏn ly nghióỷm bũng cạch chia âäi liãn
tiãúp cạc khong phán ly nghiãûm â tỗm ra. Trổồùc hóỳt ta chia õọi [a,b] õióứm chia
laỡ c = (a+b)/2. R rng khong phán ly nghiãûm måïi s l [a,c] hay [c,b]. Ta tênh
12