Một số bài tập lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT NHÓM
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ
ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1050023
Lớp: Sư phạmToán 01-K31
CẦN THƠ 2009
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Ngày….. tháng…năm 2009

Giáo viên hướng dẫn
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Ngày….. tháng…năm 2009

Giáo viên phản biện
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị
một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm
việc.

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã
tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích
phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn
Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua.
Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ
em hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong

nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình.
Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè và người
thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn

Người viết
Lê thị Đồ
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU...........................................................
PHẦN NỘI DUNG.......................................................
CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON...............................1
A. Lý thuyết...........................................................................................1
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp.......................................2
C. Một số bài tập có lời giải..................................................................3
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................10
CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH............................11
A. Lý thuyết..........................................................................................11
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................12
C. Một số bài tập có lời giải................................................................12
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................21
CHƯƠNG III. ĐỒNG CẤU NHÓM...................................23
A. Lý thuyết..........................................................................................23
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................24
C. Một số bài tập có lời giải.................................................................24
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................32
CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI
ĐƯỢC……………………………………………………… 34
A. Lý thuyết..........................................................................................34
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................36
C. Một số bài tập có lời giải.................................................................37

D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................43
CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH.......................................44
A. Lý thuyết..........................................................................................44
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................47
C. Một số bài tập có lời giải.................................................................47
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................55
CHƯƠNG VI. NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC........................56
A. Lý thuyết..........................................................................................56
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................56
C. Một số bài tập có lời giải................................................................56
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................66
CHƯƠNG VII. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH..............67
A. Lý thuyết.......................................................................................67
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp...................................67
C. Một số bài tập có lời giải..............................................................68
D. Một số bài tập rèn luyện................................................................75
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM THẢO
PHẦN MỞ DẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng
do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số
nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo
cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn
về lý thuyết nhóm.

Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một
số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết
nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “Một số bài tập lý thuyết nhóm”, em hướng đến mục đích
là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá
mới với bản thân.
Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc
biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong
toán học nói chung. Việc nghiên cứu này cũng giúp em có thêm nhiều kiến thức
chuẩn bị cho các kỳ thi sau này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân
tích, khái quát hóa.
Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau. Phân tích một số bài
tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó.
4. Nội dung luận văn
Chương I. Nhóm và nhóm con.
Chương II. Nhóm hữu hạn sinh.
Chương III. Đồng cấu nhóm.
Chương IV. Định lý Lagrange và nhóm giải được
Chương V. Nhóm lũy linh.
Chương VI. Nhóm siêu giải được.
Chương VII. Nhóm Abel hữu hạn sinh.
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON
A. LÝ THUYẾT
1. Nhóm
1.1.Định nghĩa
Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X. (X,*) được gọi là nhóm
nếu:
i) Mọi a,b,c
∈
X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c

ii) Tồn tại phần tử
Xe
∈
sao cho
Xx
∈
, ta có e*x = x*e = x
iii) Mọi phần tử
Xx
∈
luôn tồn tại
Xx
∈
,
sao cho
exxxx
==
**
,,

Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)
Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi
Xcba
∈
.,
. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) X là nhóm
ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b
X

∈
iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo
trái
iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo
phải
1.3. Định lý
Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau:
i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo
ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước)
iii) Với mọi x, y
X
∈
, ta có (xy)
111
−−−
=
xy
iv) ( x
1
−
)
-1
= x , với mọi
Xx
∈
2. Nhóm con
2.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. Ta nói rằng H là nhóm con
của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là một nhóm. Kí hiệu
GH

≤
.
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm
và được gọi là nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e}
Nếu
H
G
≤
,
H
1
≠
,
H
G
≠
thì H được gọi là nhóm con thực sự của G.
Kí hiệu
GH
<
2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)
Cho
GH
⊂
,
H
≠
Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i)
GH

≤
ii) Mọi
yx,
,H
∈
thì xy
H
∈
và x
H
∈
−
1
iii) Mọi
yx,
,H
∈
ta có xy
H
∈
−
1
2.3. Định nghĩa
Cho G là nhóm,
GH
<
i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại
GN
<
sao cho

GNH
<<
.
ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu
1
≠
H
và không tồn tại
GK
≤

sao cho
HK
<<
1
.
3. Nhóm con chuẩn tắc
3.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và
GH
≤
. Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G
hay H là ước chuẩn của G nếu mọi
Gx
∈
ta có Hx = xH. Kí hiệu H
G
3.2. Một số tính chất
i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc
ii)Cho

GH
≤
, khi đó H
G
khi và chỉ khi
Hxhx
∈
−
1
hoặc
Hhxx
∈
−
1
,với
mọi
Hh
∈
, với mọi
Xx
∈
.
iii) G là nhóm, H
G
,
GK
≤
thì
KKH 
∩

iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một
nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
v) Cho G là nhóm, H
G
và
GK
≤
. Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G
chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK
vi) Cho
n
HHH ,...,,
21
là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó
GHHH
n
...
21
.
4. Nhóm thương
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA
Xx
∈
}
cùng với phép toán xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( . ) lập
thành một nhóm.
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) Với mọi
Xzyx
∈
,,
, có (xy)z = x(yz)
(ii) Tồn tại phần tử (đơn vị )
Xe
∈
sao ch xe = ex = x, với mọi
Xx
∈
(iii) Với mọi
Xx
∈
tồn tại x
X
∈
,
sao cho
xx
exx
==
,,
Cách 2. Ta chứng minh ( X, . ) là một nhóm con của nhóm ( Y, . ), trong đó (
Y, . ) là nhóm đã biết
Bài toán 2 . Chứng minh tập H là nhóm con của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø
XH

⊆≠
(ii) Mọi
Hyx
∈
,
, ta có
Hxy
∈
và
Hx
∈
−
1
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø
XH
⊆≠
(ii) Mọi
Hyx
∈
,
, ta có
Hxy
∈
−
1

Bài toán 3. Chứng minh tập H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i)
XH
≤
(ii) Mọi
Hh
∈
, mọi
Xx
∈
, ta có
Hxhx
∈
−
1
hoặc
Hhxx
∈
−
1
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i)
XH
≤
(ii) Mọi
Xx
∈
, ta có xH = Hx
Cách 3. Ta chứng minh H = Kerf với
YXf
→

:
là một đồng cấu nào đó
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) :
a*b = a + b + ab, mọi
∈
ba,
Q
a) Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ?
b) Chứng minh rằng nếu a, b
∈
Q\{-1} thì a*b
∈
Q\{-1}
c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.
Giải.
a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*). Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm. Suy
ra -1
∈
( Q,*) luôn có phần tử nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b
= -1. Điều này vô lý . Nên ( Q,*) không lập thành nhóm.
b) Gọi a, b
∈
Q\{-1}. Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1
1
1
1
−=
+
−−

=⇔
a
a
b
( trái giả thiết a, b
≠
-1). Nên a * b
≠
-1. Vậy a * b
∈
Q\{-1}.
c) Gọi a, b, c
∈
Q\{-1}, ta có :
(a*b)*c = ( a + b + ab ) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a*( b*c ) = a*( b+ c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.
Suy ra ( a*b ) * c = a*( b*c ). Nên phép toán có tính kết hợp.
Với a
∈
Q\{-1} phần tử nghịch đảo của a là b
a
a
+
−
=
1
vì
( )
0
111

1
111
**
222
=
+
−−+
=
+
−
+
−+
=






+
−
+






+
−

+=






+
−
=
a
aaaa
a
a
a
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
aba
Tương tự b*a = 0
Vậy ( Q\{-1},*) là một nhóm.
Bài 2. Trong tập Q
+
, ta định nghĩa phép toán (*):

2009
*
ab
ba
=
, mọi a, b
∈
Q
+
Chứng minh rằng (Q
+
, *) lập thành nhóm Abel.
Giải.
• Ta có Q
+
≠
Ø, Q
+
ổn định đối với phép toán (*)
• Mọi
∈
cba ,,
Q
+
, ta có:
( )
2
2009
*

2009
**
abc
c
ab
cba
=






=
và
( )
2
2009
2009
***
abcbc
acba
=






=

Suy ra
( ) ( )
cbacba ****
=
. Suy ra Q
+
có tính kết hợp.
• Dễ thấy phần tử đơn vị e = 2009. Vì với mọi a
∈
Q
+
, ta có:
a
a
a
==
2009
2009.
2009*
và
a
a
a
==
2009
.2009
*2009
Vậy Q
+
có phần tử đơn vị là e = 2009

• Với a
∈
Q
+
có phần tử nghịch đảo là
a
a
2
,
2009
=
. Vì
aa
a
a
aa
aa *2009
2009
2009
.
2009
*
,
2
,
,
==









==


Do đó mọi
∈
a
Q
+
có nghịch đảo
a
a
2
,
2009
=
Vậy (Q
+
,*) lập thành một nhóm.
• Mặt khác mọi
∈
ba,
Q
+
, ta có
xy

yxxy
yx *
20092009
*
===
Suy ra (Q
+
,*) lập thành nhóm giao hoán.
Bài 3. Cho X =
∈















x
x
,
100
010

01
Q





Chứng minh rằng X lập thành một nhóm với phép nhân các ma trận.
Giải.
• Ta có
X
∈










100
010
001
nên X
≠
Ø
• Giả sử A =
X

x
∈










100
010
01
,
∈
x
Q và B =
X
y
∈











100
010
01
,
∈
y
Q
Ta có AB =










100
010
01 x











100
010
01 y
=










+
100
010
01 xy
X
∈
( do y +x
∈
Q ).Và
A
-1
=











−
100
010
01 x
. Thật vậy
=
,
AA










100
010
01 x











−
100
010
01 x
=
=










−
100
010
01 xx

==










3
100
010
001
I
AA
,
.
Mà
XA
∈
,
.
Vậy X là nhóm con của GL
3
(R). Do đó ( X, .) lập thành một nhóm.
Bài 4. Trong nhóm GL
2
( R ), xét tập con H =

∈









x
x
,
10
1
R



.
Chứng minh rằng H là nhóm con của GL
2
( R ).
Giải. Ta có H
≠
Ø vì
H
∈







10
01
. Giả sử
H
a
∈






=
10
1
α
và
H
b
∈







=
10
1
β
.
Ta có
H
baba
∈






+
=












=

10
1
10
1
10
1
αβ
( vì a
∈
R, b
∈
R nên a + b
∈
R ) và






−
=
−
10
1
1
a
α
. Thật vậy
αααα

1
2
1
10
01
10
1
10
1
−−
==






=






−







=
I
aa
.
Mà
H
∈
−
1
α
( do a
∈
R nên -a
∈
R ).
Vậy H là nhóm con của GL
2
( R ).
Bài 5. Trong nhóm GL
3
(R), xét tập con H =
{
∈
A
GL
3
(R)
1det
=

A
}.
Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của GL
3
(R).
Giải. Ta có H
≠
Ø vì I
3

∈
H và H
⊂
GL
3
(R).
Giả sử A, B
∈
H, khi đó det A = 1, det B = 1.
Ta có det (AB) = det A.det B = 1.1 = 1. Suy ra AB
∈
H
Ta có det A = 1 nên tồn tại
1
−
A
và det A
-1
=
1

1
1
det
1
==
A
. Suy ra A
-1
∈
H
Vậy H
≤
GL
3
(R).
Giả sử C
∈
GL
3
(R), khi đó det C = 1 và det C
-1
= 1
Ta có det ( CAC
-1
) = det C. det A. det C
-1
=1. Suy ra CAC
-1
∈
H

Vậy H

GL
3
(R).
Bài 6. a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là
một nhóm con của nhóm X.
b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X
không ? Tại sao ?
Giải. a) Giả sử
{ }
I
X
∈
α
α
là một họ nhóm con của ( X, .)
Đặt A =
α
α
X
I
∈
∩
, vì e
α
X
∈
, với mọi
I

∈
α
nên
Ae
∈
. Vậy
≠
A
Ø
Với x, y
A
∈
, thì x, y
α
X
∈
, với mọi
I
∈
α
nên xy
1
−
α
X
∈
với mọi
I
∈
α

.Do
đó xy
1
−
A
∈
Vậy A là nhóm con cuả X.
b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các
hàm số thực trên R. Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là
cộng hai hàm số thực.
Gọi
21
, XX
là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R. Dễ dàng kiểm tra được (
),(),,
21
++
XX
là các nhóm con của ( X, +). Tuy nhiên
21
XX
∪
không là nhóm.
Thật vậy, f( x =
2
2
1
3
)(, XxxgXx
∈=∈

nhưng
21
23
)()( XXxxxgxf
∪∉+=+
Do đó
21
XX
∪
không là nhóm.
Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn
có một phần tử là nghịch đảo cuả chính nó.
Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A=
{ }
2210
,....,,,
−
n
aaae
Nhận xét nếu
lk
aa ,
đều có nghịch đảo là
m
a
thì
mlmk
aaeaa
==

k
a
⇒
=
l
a
Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì
2n-2 phần tử tạo thành (n-1) cặp (
),
ji
aa
trong đó
ji
aa ,
là nghịch đảo của nhau.
Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi phần tử ở cặp kia. Nên trong A còn có một
phần tử
t
a
không có phần tử nào là nghịch đảo của nó. Điều này mâu thuẫn. Do đó
trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó.
Bài 8. Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Chứng minh rằng A là nhóm
con của X khi và chỉ khi
AAA
=
−
1
.
Giải.
)(

⇒
Ta có
1
−
A
= {
Aaa
∈
−
1
}. Khi A là nhóm con của X thì
AA
⊂
−
1
Vì
AA
⊂
−
1
nên
AAA
⊂
−
1
Mặt khác, mọi
Aa
∈
ta có
11

−−
∈=
AAaea
nên
1−
⊂ AAA
.
Vậy
AAA
=
−
1
)(
⇐
Giả sử
AAA
=
−
1
. Do đó, mọi
Aba
∈
,
, ta có
AAAab
=∈
−−
11
. Suy ra A
là nhóm con của nhóm X.

Bài 9. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng
BA
∪
là nhóm con
của X khi và chỉ khi
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
.
Giải.
)(
⇐
Giả sử
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
. Khi đó
BA
∪
B
=
hoặc
BA ∪
A
=
.

Do đó
BA
∪
là nhóm con của nhóm X

)(
⇒
Giả sử
A
B
⊄
và
AB
⊄
. Khi đó
BA \
≠
Ø và
AB \
≠
Ø nên tồn tại
ABbBAa /,/
∈∈
Vì
BA
∪
là nhóm con của X nên





∈=
∈=
⇒



∈
∈
⇒∪∈
−
−
Baabb
Ababa
Bab
Aab
BAab
1
1
Điều này vô lý vì
ABbBAa \,\
∈∈
Vậy ta phải có
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
.
Bài 10. Cho X là nhóm và

Xcba
∈
,,
. Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e,
cab = e ( với e là phần tử đơn vị của X ). Hơn nữa
( )
ab
111
−−−
=
ba
khi và chỉ khi
ab = ba
Giải. Ta có
( ) ( ) ( )
ebcabcaaabcbcbcabcabca
=⇒===
)(
2
và
( ) ( )( )
cabcabcab
=
2
=
c(abc)ab = cab
⇒
cab = e.
Hơn nữa, nếu (ab)
-1

= a
-1
b
-1
thì (ab)
-1
(ab) = e
⇒
(ba)
-1
(ba) = e = (ab)
-1
(ba)
( do (ba)
-1
= a
-1
b
-1
= (ab)
-1
). Suy ra
( ) ( )
baababab
11
−−
=
. Do đó ab=ba ( luật giản
ước). Ngược lại nếu ab = ba, với mọi a, b
∈

X thì (ab)
-1
= (ba)
-1
nên
( )
11
1
−−
−
=
baab
Bài 11. Cho X là nhóm,
Xba
∈
,
. Chứng minh rằng
( )
22
2
baab
=
khi và chỉ khi ab
= ba.
Giải.
( )
⇒
Ta có
( )
ababab

=
2
, mà
( )
22
2
baab
=
nên
( )
baabaabbbaababab
=⇒===
22
2
( luật giản ước )
( )
⇐
Ta có
( )
ababab
=
2
, mà
baab
=
nên
( )
22
2
baaabbab

==
Bài 12. Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng nếu mọi
Xa
∈

có
ea
=
2
thì X là một nhóm Abel
Giải. Ta có mọi
Xba
∈
,
,
( )
ebeaeab
===
22
2
,,
. Do đó
( )
.
22
2
ebaab
==
Mà
( )

22
2
baab
=
thì
baab
=
( theo bài 11).
Vậy X là nhóm Abel.

Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và
chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó
=
HK
{ }
KkHhhk
∈∈
,
và
{ }
HhKkkhKH
∈∈=
,
Giải.
( )
⇒
Giả sử
11
kh
,

22
kh

HK
∈
. Ta xét
( )( ) ( )
22112211
khkhkhkh
=
, do
HKKHhk
=∈
21
nên tồn tại
Kk
∈
,
1
,
Hh
∈
,
2
sao cho
,
1
,
221
khhk

=
. Nên
( )( ) ( )
( )( )
HKkkhhkhkhkhkh
∈==
2
,
1
,
2122112211
. Mặt khác mọi
HKa
∈
, ta có
hka
=
,
KkHhKkHh
∈∈⇒∈∈
−−
11
,),(
Lấy
HKKHhkb
=∈=
−−
11
. Ta có
HKabHKebaab

∈=⇒∈==
−
1
Vậy HK là nhóm.
( )
⇐
Mọi
hkaHKa
=⇒∈
−
1

),( KkHh
∈∈
. Khi đó
( )
( )
KHhkhkaa
∈===
−−
−
−
−
11
1
1
1
. Do đó
KHHK
⊂

. Mặt khác, giả sử
KHhkm
∈=
11

),(
11
HhKk
∈∈
. Lấy
HKnHKkhn
∈⇒∈=
−−−
11
1
1
1
( HK là nhóm).
Ta có
HKnmHKenmmn
∈=⇒∈==
−
1
. Do đó
HKKH
⊂
. Vì thế HK = KH
Bài 14. Giả sử A là nhóm Abel, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt
{ }
exAxA

n
n
=∈=
:
.
Chứng minh rằng:
a)
n
A
là nhóm con của A
b) Nếu (m, n) = 1 thì
{ }
eAA
mn
=∩
Giải. a) Mọi
n
Ayx
∈
,
thì
eyex
nn
==
,
Ta có (
1
−
xy
)

( ) ( )
eyxyx
nn
n
nn
===
−
−
1
1
( do A là nhóm Abel), nên
n
Axy
∈
−
1
.
Hiển nhiên e
n
A
∈
nên
≠
n
A
Ø
Vậy
n
A
là nhóm con của nhóm A.

b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại
∈
vu,
Z sao cho mu+nv=1. Gọi
mn
AAa
∩∈
,
suy ra





=
=
ea
ea
m
n
, khi đó
( ) ( )
eaaaa
v
n
u
mnvmu
===
+
Vậy

{ }
eAA
nm
=∩
Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là
nhóm con của Z khi và chỉ khi A = mZ, với
m
∈
Z
Giải.
( )
⇐
Hiển nhiên A = =mZ = { mk
∈
k
Z } là nhóm con của Z
( )
⇒
Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +)
Nếu
{ }
0
=
A
thì A= 0Z
Nếu
{ }
0
≠
A

thì A chứa những số dương. Suy ra tồn tại m là số nguyên dương
nhỏ nhất thuộc A. Ta chứng minh A = mZ .
Thật vậy, vì
Am
∈
và A là nhóm nên mZ
A
⊂

Với
Aa
∈
, thì
rmpa +=
(0
)mr
<≤
Do đó r =a- mp
A
∈
( p, r
∈
Z ).
Điều này mâu thuẫn với m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A nên r = 0
⇒

a = mp
⊂⇒
A
mZ

Vậy A= mZ
Bài 16. Cho một họ những nhóm
( )
Ii
i
X
∈
mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân.
Chứng minh tập hợp tích Descartes
i
Ii
X
∈
Π
với phép toán xác định như sau:
( ) ( ) ( )
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
yxyx
∈∈∈
=
là một nhóm
Giải. Đặt
( )
{ }
IiXxxXX

ii
Ii
ii
Ii
∈∈=Π=
∈
∈
,
Giả sử
( )
( )
( )
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyx
∈∈∈
===
γβα
,,
thuộc X. Ta xét
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
iii
Ii
iii

Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyxzyxzyxzyx
====
∈∈∈∈∈∈
γαβ
Ii
∈
=
( ) ( ) ( )
[ ]
α
=
∈∈∈
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyx
( )

βγ
Suy ra phép nhân có tính kết hợp
Gọi
i
e
là đơn vị của nhóm
i
X
với mọi
Ii
∈
. Dễ thấy phần tử
( )
Ii
i
ee
∈
=
là
phần tử đơn vị của X vì
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
αα
αα
====
====
∈∈∈∈
∈∈∈∈
Ii
i

Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
xexexe
xxexee
Giả sử
( )
Xx
Ii
i
∈=
∈
α
, khi đó
( )
Ii
i
x
∈

−
=
1
,
α
, với
1
−
i
x
là nghịch đảo của
i
x

trong
i
X
thỏa
( )
( )
( )
( )
eexxxx
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii

i
====
∈∈
−
∈∈
−
1
1
,
αα
Vậy X là một nhóm.
Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X.
Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?
Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X
là một nhóm với phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường
hợp X có n phần tử ( n
∈
N, n
≥
1 )
Giải.
• Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử
đơn vị.
Nếu X = {0, 1, 2} và f:
XX
→

0x
Khi đó f
∈

Map(X, X).
Nếu Map( X, X) là nhóm thì f phải có phần tử nghịch đảo, giả sử đó là g
∈

Map(X, X), khi đó fg = 1
X
, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0
≠
1
X
(1) = 1. Do
đó f không có phần tử nghịch đảo. Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm
• Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhân
ánh xạ có tính kết hợp, ánh xạ đồng nhất
X
1
của X là một song ánh nên
)(1 XS
X
∈
Nếu
)( XSf
∈
thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược
)(
1
XSf
∈
−
và

X
ffff 1
11
==
−−
Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
• Giả sử
{ }
n
xxxX ,....,,
21
=
. Với mỗi hoán vị
( )
inii
xxx ,....,,
21
của X ta có
một song ánh f :
XX
→
xác định bởi:
( )
ijj
xxf
=
,
nj ,1
=
. Đảo lại, với mỗi song

ánh
XXf
→
:
, cho ta một hoán vị của X.
Vậy số phần tử của S(X) bằng số hoán vị n phần tử đó là
n
!
Bài 18. Cho Y là một bộ phận của tập hợp X. Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y)
của S (X) gồm các song ánh
XXf
→
:
sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của
S(X) . Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có một phần
tử.
Giải. Ta có 1
X
(Y) = Y nên
≠
),( YXS
Ø.
Giả sử
),(, YXSgf
∈
. Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) =
g(Y) = Y. Nên
),( YXSgf
∈
.

Mặt khác
( ) ( )( ) ( ) ( )
YYYffYffYf
X
====
−−−
1
111
Vậy
( )
YXSf ,
1
∈
−
nên S(X,Y) là nhóm con của S(X).
Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng
với số các hoán vị của n-1 phần tử của tập X\Y.
Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần
tử là k!(n- k) !
D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho X = R






−
2
1

\
, trên X ta xây dựng phép toán (*):
x*y = x+2xy+y (x, y
X
∈
)
Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm Abel.
2) Trong X = Z
×
Z, ta xây dựng phép toán (*):

( ) ( ) ( )
( )
dbcadcba
c
+−+=
1,,*,
.
Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel.
3) Trong GL
2
(R), cho tập con






=







=
1,
0
0
ab
b
a
H
Chứng minh rằng H là nhóm con của GL
2
(R).
4) a) Cho
( )( ) ( )( )
5261834,4568123,,
8
==∈
βαβα
S
. Tính
αβαβα
,,
23
.
b) CMR:
( )( ) ( )( ) ( )( ){ }

2314,2413,3412,eK
=
là nhóm con giao hoán của nhóm
S
4
. Nhóm này gọi là nhóm Klein.
5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức
≠
X
Ø và đóng kín đối
với phép toán trên X ) sao cho ab=ba. Chứng minh
( )
nn
n
baab
=
, với mọi số tự
nhiên
1
≥
n
.
6) a) Chứng minh rằng ( Z
*
p
, . ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyên tố
b) Tìm phần tử nghịch đảo của
8,7,4,2
trong Z
11

7) Các mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Cho G là nhóm,
GKH
≤
,
, nếu HK=KH thì
GHK
≤
b) Với e là phần tử đơn vị của G. Nếu y
2
=e với mọi
Gy
∈
thì G là nhóm
Abel.
c) X là nhóm,
≠⊆
AXA ,
Ø. Nếu
XA ≤
thì AA
-1
=A.
d) Cho (G, .) là một nhóm, với
Gzyx
∈
,,
.
Nếu xy = xz thì y = z.
e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G,

≠
H
Ø có chứa phần tử
đơn vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con
của G.
f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần
tử nào là nghịch đảo của chính nó

CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH
A. LÝ THUYẾT
1. Tâm giao hoán
1.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và
≠⊂
AGA ,
Ø. Khi đó tập:
{ }
AaaxxaGxAC
∈∀=∈=
,)(
được gọi là tâm của tập A.
Trường hợp đặc biệt
{ }
aA
=
thì C(A) được kí hiệu là C
a
và được gọi là tâm
của phần tử a
Trường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Tức là

Z(G)=
{ }
GaaxxaGx
∈∀=∈
,
1.2. Tính chất
Cho G là nhóm. Khi đó
i) C(A)
G
≤
ii) Z(G)
G
2. Định nghĩa
Cho G là nhóm , với
Gyx
∈
,
ta gọi
xyyx
11
−−
là một hoán tử của G
Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là
[ ]
GG,
.
Nếu G là nhóm thì
[ ]
GGG ,
3. Định nghĩa

Cho G là nhóm,
GS
⊂
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí
hiệu là <S>
ii) Với
>= <≤
SHGH ,
. Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập
sinh của H.
Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.
Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm
xiclic.
iv) Nếu
{ }
n
xxxS ,...,,
21
=
thì
>> = <<
n
xxxS ,...,,
21
4. Định nghĩa
Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào
đó của G , G=<a>. Khi đó a gọi là phần tử sinh của G.
5. Phân loại nhóm xiclic
Giả sử G là nhóm xiclic sinh bởi a,

>= <
aG
. Khi đó xảy ra hai trường hợp
sau
i) Tất cả các lũy thừa a
m
(
∈
m
Z ) khác nhau đôi một. Trường hợp này G là
nhóm xiclic vô hạn.
ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau. Chẳng hạn a
k
= a
l

( )
lk
≠
thì G là nhóm
xiclic hữu hạn
6. Cấp của phần tử
6.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là
G
.
Nếu
G
hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là

nhóm vô hạn.
ii) Cấp của phần tử
Ga
∈
là cấp của nhóm <a> và kí hiệu là
a
.
Nếu
a
hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là
phần tử có cấp vô hạn.
iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn.
iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có
cấp hữu hạn.
B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho phần tử x thuộc G. Chứng minh |x| = n <
∞
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta chứng minh rằng
exexexex
nn
=≠≠≠
−
,,...,,
132
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) x
n
= e
(ii) Giả sử tồn tại k

∈
Z sao cho x
k
= e. Ta chứng minh n|k.
Bài toán 2. Cho x thuộc nhóm G. Chứng minh x có cấp vô hạn
Phương pháp giải. Lấy mọi m, n thuộc Z sao cho m
≠
n. Ta cần chứng minh x
m
≠
x
n
.
Bài toán 3. Cho G là nhóm cấp n. Chứng minh G xylic
Phương pháp giải:
Cách 1. Lấy mọi y
∈
G. Ta cần chỉ ra phần tử a
∈
G sao cho y = a
k
, k
∈
Z
Cách 2. ta cần chứng minh tồn tại a
∈
G sao cho |a| = n
Bài toán 4. Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh
Phương pháp giải. Ta cần chỉ ra tập S
⊆

G sao cho
(i) S hữu hạn phần tử
(ii) <S> = G
C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu S bằng rỗng thì
{ }
eS
>=<
b) Nếu S khác rỗng thì <S> = {
k
n
k
nn
xxx ...
21
21
|
∈∈
ii
nkSx ,,
Z, i=
k,1
}
Giải. a) Hiển nhiên.
b) Nếu S khác rỗng , đặt H = {
k
n
k
nn

xxx ...
21
21
|
∈∈
ii
nkSx ,,
Z, i=
k,1
}
Ta sẽ chứng minh H=<S>.
Thật vậy, lấy hai phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Khi đó
lk
m
l
m
m
n
k
nn
yyyyxxxx ...;...
2121
121
==
, với
nSyx
ji
;,
∈
∈

ji
m,
Z (i=
ljk ,1,,1
=
). Suy ra
( )( ) ( )( )
12212121
1221
1
2121
1
............
mm
m
l
n
k
nn
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxyyyxxxxy
lklk
−
−
−

−
==
.
Hay
lk
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxxy
−
−−
−
=
......
2121
2121
1
. Do đó
Hxy
∈
−
1
, nên
GH
≤
Hiển nhiên ta có
GS

⊂
Giả sử tồn tại
,
H
là nhóm con của G chứa S. Lấy phần tử x bất kỳ thuộc H.
Khi đó
k
n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
ii
nkSx ,,
∈
∈
Z, i=
k,1
. Vì
,
HSx
i
⊂∈
và
SH
≤
,

nên
,
Hx
i
n
i
∈
. Suy ra
,
21
...
21
Hxxx
k
n
k
nn
∈
hay
,
Hx
∈
. Do đó
,
HH
⊂
. Theo định nghĩa của
nhóm con sinh bởi tập hợp thì
>= <
SH

.
Bài 2. Cho G là nhóm, A, B là hai tập con của G. Chứng minh rằng:
a) Nếu
BA
⊂
thì
>> ⊂ <<
BA
b)
>><∪>>>=<<<∪>=<∪>>=<<∪<
BABABABA
c) Nếu
niGA
i
,1,
=⊂
thì
>><∪>=<∪<
==
i
n
i
i
n
i
AA
11
.
Giải. a) Lấy x bất kỳ thuộc <A>. Khi đó
k

n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
∈∈
knAx
ii
,;
Z, i=
n,1
. Hay
k
n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
∈∈
knBx
ii
,;
Z, i=
n,1

. Do đó
>∈ <
Bx
.Vậy
>> ⊂ <<
BA
b) Trước tiên ta chứng minh
>∪>> = < <∪<
BABA
.
Ta có
BABA
∪>⊂<∪
nên
>∪>> ⊂ < <∪<
BABA
(2.1)
Lấy x bất kỳ thuộc
>∪>< <
BA
. Khi đó
k
n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
với

BAx
i
∪>∈<
,
i
n
,
k
∈
Z, i=
k,1
.
Nếu
Bx
i
∈
,
ki ,1
=∀
thì
>∪∈ <
BAx
Nếu
kiAx
i
,1,
=∀>∈<
thì
>∪∈ <
BAx

i
(do
>∪> ⊂ <<
BAA
. Do đó
>∪∈ <
BAx
.
Nếu
1
x
,
>∈ <∈
+
AxxBxx
kll
,...,,,...,
12
, với l<k. Khi đó
>∪∈ <
BAx
i
,
với
li ,1
=
,
>∪∈ <
BAx
j

, với
klj ,1
+=
(vì
>∪> ⊂ <<
BAA
và
)>∪⊂< BAB
.
Suy ra
>∪∈ <
BAx
Do đó
>∪> ⊂ <∪>< <
BABA
(2.2)
Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra
>∪>> = < <∪<
BABA
Tương tự ta được
>><∪>=<∪<
BABA
Do đó
>><∪>>=<<∪<
BABA
Vậy
BABA
∪>>=<<∪<
>=<A
><∪

B
>=
<
>><∪><
BA
c) Ta chứng minh
>><∪>=<∪<
==
i
n
i
i
n
i
AA
11
(*) bằng quy nạp theo n.
Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng.
Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên.
Giả sử ta luôn có
>><∪>=<∪<
==
i
k
i
i
k
i
AA
11

(k>1). Đặt
i
k
i
AA
1
=
∪=
Suy ra
>∪>=<<
=
i
k
i
AA
1
Hay
>><∪>=<<
=
i
k
i
AA
1
. Do đó
>∪> =<∪∪<
++
+
=
11

1
1
kkl
k
i
AAAA
. Vì thế
>><∪>>=<<∪><∪>>=<<∪>∪>>=<<<∪>>=<<∪<
=
+
=
+
=
+
+
=
i
k
i
ki
k
i
k
k
i
ki
k
i
AAAAAAA
1

1
1
1
1
1
1
1
Vậy theo nguyên lý qui nạp thì
>><∪>=<∪<
==
i
n
i
i
n
i
AA
11
Bài 3. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì
>∪= <
HKHK
và HK=KH
b) Nếu
niGH
i
,1,
=≤
và
1,1,

−=
njGH
j

thì
>∪=<
=
i
n
i
n
HHHH
1
21
...
và
H
i
H
k
=H
k
H
i
,
nkiki ,1,;
=≠∀
c) Nếu G là nhóm Abel và
>∪=<=≤
=

i
n
i
ni
HHHHniGH
1
21
...,,,1,
Giải. a) Ta chứng minh
>∪= <
HKKH
.
Thậy vậy, ta có KH khác rỗng ( do K và H khác rỗng).
Lấy k
1
h
1
, k
2
h
2
bất kỳ thuộc KG với k
1
, k
2
thuộc K; h
1
, h
2
thuộc H. Khi đó

( )( )
( )
1
2
1
212
1
21
1
2
1
211
1
2211
−−−
−−−
==
khhkkkkhhkhkhk
. Vì
GK
≤
nên
Kkk
∈
−
1
21
. Vì
GH 
nên

HkhhkHhh
∈∈
−−−
1
2
1
212
1
21
,
. Do đó
( )
( )
KHhkhk
∈
−
1
2211
. Vậy
GKH
≤
Lấy x bất kỳ thuộc
HK
∪
. Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H . Nếu x thuộc K
thì
KHxex
∈=
(vì e
H

∈
). Nếu
Hx
∈
thì
KHexx
∈=
(vì
)Ke
∈
. Suy ra
KHx
∈

hay
KHHK
⊂∪
Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa
HK
∪
. Lấy kh bất kỳ thuộc KH với
HhKk
∈∈
,
. Khi đó



⊂∪⊂∈
⊂∪⊂∈

MHKHh
MHKKk
nên
Mkh
∈
( vì
GM
≤
). Do đó
MKH
⊂
Vậy
>∪= <
HKKH

Ta chứng minh KH=HK. Thật vậy, lấy kh bất kỳ thuộc KH với
HhKk
∈∈
,

thì kh=khk
-1
k. Vì
GH 
nên
Hkhk
∈
−
1
, do đó

HKkkhkkh
∈=
−
1
. Suy ra
HKKH
⊂
.
Tương tự ta được
KHHK
⊂
.
Vậy HK=KH .
b) Ta chứng minh
>∪=<
=
i
k
i
k
HHHH
1
21
...
(*) bằng phương pháp quy nạp
theo n
Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng
Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên
Giả sử ta luôn có
>∪=<

=
i
k
i
k
HHHH
1
21
...
, với k>1, trong đó
1,1,,,1,
−==≤
kjGHkiGH
ji

.
Ta chứng minh
>∪=<
+
=
+
i
k
i
k
HHHH
1
1
121
...

, trong đó
kjGHkiGH
ji
,1,,1,1;
=+=≤

.
Đặt
i
k
i
k
HSHHHH
1
2
121
,...
+
=
+
∪==
. Theo giả thiết quy nạp thì
>= <
SH
. Vì
GHGH
≤
,
1


nên theo kết quả câu a) ta có
>∪> > = <<∪> = <∪= <
SHSHHHHH
1111
(do bài 2) . Vì thế
>∪=<
+
=
+
i
k
i
k
HHHH
1
1
121
...
. Vậy
>∪=<
=
i
n
i
n
HHHH
1
21
...
và

kiHHHH
ikki
.,
∀=
n,1
=
c) Vì G là nhóm Abel và
niGH
i
,1,
=≤
nên
niGH
i
,1,
=

. Theo kết quả câu
b) thì
>∪∪∪= <
nn
HHHHHH ......
2121
. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu
hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh
Giải. Gọi H= < x
1
, x
2

, …, x
n
> ;
>=<
m
yyyHG ,...,,/
21
. Ta chứng minh
>=<
mn
yyyxxxG ,...,,,,...,,
2121
. Đặt
>=<
mn
yyyxxxK ,...,,,,...,,
2121
. Lấy g
bất kỳ thuộc G.
Nếu
Hg
∈
thì
Kg
∈
( vì
KH
⊂
)
Nếu

HGg \
∈
thì
eg
≠
và
( ) ( ) ( )
l
m
l
mm
yyyg ...
21
21
=
với
∈∈
lmHGy
jj
,;/
Z, j =
l,1
Vì thế
l
m
l
mm
yyyg ...
21
21

=
. Do đó
( )
Hyyyg
l
m
l
mm
∈
−
1
21
21
. Nên
( )
kl
n
k
nn
m
l
mm
xxxyyyg ...
2121
21
1
21
=
−
. Suy ra

lk
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxg ......
2121
2121
=
. Nên
Kg
∈
. Do
đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp
{ }
mn
yyyxxx ,...,,,,...,,
2121
. Vậy G là
nhóm hữu hạn sinh.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu H là nhóm con thực sự của G thì G = <G\H>.
Giải. Ta có
HG \
G⊂
nên
GHG
> ⊂<
\

( 5.1).
Lấy g bất kỳ thuộc G.
Trường hợp
Hg
∈
. Giả sử tồn tại x thuộc G\H sao cho
Hgx
∈
. Khi đó
hgxHh =∈∃ :
. Do đó
Hhgx
∈=
−
1
( do
GH
≤
) ( mâu thuẫn
HGx \
∈
) . Nên
HGxHgx \,
∈∀∉
. Hay
HGgx \
∈
. Do đó
>∈ <
HGgx \

. Vì thế tồn tại x
’
thuộc <G\H>
sao cho gx= x
’
. Do vậy
>∈ <=
−
HGxxg \
1'
.
Suy ra
>⊂ <
HGG \
(5.2)
Từ ( 5.1) và ( 5.2) ta suy ra G = < G\H >.
Vậy G = < G\H >.

Bài 6. Cho X là nhóm,
Xx
∈
. Chứng minh rằng:
∈∀⇔∞=
nmx ,
N, m
≠
n thì
nm
xx
≠

.
Giải.
( )
⇒
Giả sử tồn tại
exxxnmnm
nmnm
=⇒=>
−
:,,
Đặt d = m – n , d > 0.
Lấy
k
ayxy
=>⇒∈<
( k
∈
Z).
Chia k cho d ta được k = dp + r với
10
−<≤
dr