Idean nguyên tố liên kết, Modul compac tuyến tính

MỤC LỤC


Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn...............................ii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... iii

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.................................................................1
1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis ........................................1
1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương...........................4

Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG ................................................................................................19
2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết ...............................................................19
2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương..........39

KẾT LUẬN .....................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................49

MỤC LỤC ii
Bảng các ký hiệu toán học thường dùng trong luận văn
lim
←−
t
M
t
: giới hạn ngược của hệ ngược các môđun

M

t

lim
−→
t
M
t
: giới hạn thuận của hệ thuận các môđun

M
t

Λ
I
(M) : đầy đủ I − adic của môđun M

M : đầy đủ
m
−adic của môđun M

R : vành đầy đủ
m
−adic của vành địa phương (R,
m
)
Λ
I
: hàm tử làm đầy I − adic
L
I

i
: hàm tử dẫn xuất trái thứ i của Λ
I
H
i
I
(M) : môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M
theo iđêan I
H
I
i
(M) : môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun M
theo iđêan I
E(R/
m
) : bao nội xạ của R/
m
D(M) : đối ngẫu Matlis của môđun M
L(M) : tổng tất cả các môđun con Artin của môđun M
Spec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R
Coass
R
(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M
Ass
R
(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M
Max(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành R
V (
p
) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa

p
MỞ ĐẦU
Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đóng một vai
trò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Sau đó lý
thuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điều
địa phương, được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974),
Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman
(1999),.... Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trên
lớp môđun artin vì giới hạn ngược lim
←−
không khớp phải trên phạm trù
các môđun.
Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triển
lý thuyết đồng điều địa phương trên các môđun compăc tuyến tính là
lớp môđun rất rộng, chứa cả lớp môđun artin và chứa cả lớp môđun hữu
hạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thu
được một số kết quả đối với môđun đối đồng điều địa phương.
Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu đến như Chamless (1981), Z¨oschinger (1988), Yassemi
(1995),..., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiên
cứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyến tính.
Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau:
iii
MỞ ĐẦU iv
Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của
E(R/
m
) với
m
∈ Max(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên

tố
p
của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng
cấu cocyclic L của M sao cho
p
= Ann
R
(L). Tập các iđêan nguyên tố
đối liên kết với M được kí hiệu là Coass
R
(M) hoặc Coass(M). M được
gọi là
p
−đối nguyên sơ nếu Coass
R
(M) = {
p
}.
Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm
điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun
đồng điều địa phương H
I
i
(M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc
M. Luận văn gồm hai chương
Chương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ôn lại các kiến thức cơ bản về
đối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim
−→
, giới hạn ngược lim
←−

, môđun com-
păc tuyến tính, môđun đối đồng điều địa phương H
i
I
(M), môđun đồng
điều địa phương H
I
i
(M), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết cho
chương 2.
Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa
phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối
liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun
đồng điều địa phương H
I
i
(M). Phần đầu tiên của chương này dành cho
việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm
trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên
tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết
MỞ ĐẦU v
Bổ đề 2.1.5: Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương
đương
(i)
p
∈ Coass
R
(M).
(ii) Tồn tại
m

∈ Max(R) ∩ V (
p
) sao cho
p
∈ Ass
R
(D(M)).
Bổ đề 2.1.6: Cho M là một R−môđun. Nếu
p
∈ Ass(M) thì
p
∈
Coass(D(M)) với mọi
m
∈ Max(R) ∩ V (
p
).
Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết có
một số tính chất sau
Bổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun
0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0.
Khi đó
Coass
R
(M”) ⊆ Coass
R
(M) ⊆ Coass
R

(M

) ∪ Coass
R
(M”).
Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các R−môđun
0 −→ N −→ M −→ K −→ 0.
Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thì
Coass
R
(M) = Coass
R
(N) ∪ Coass
M
(K)
Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với các
môđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụ
thể như sau:
Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách.
Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho Coass
R
(M/xM) là hữu hạn thì
Coass
R
(M) hữu hạn.
MỞ ĐẦU vi
Hệ quả 2.1.32: Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc,
thì tập hợp Coass
R
(M) hữu hạn.

Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố
đối liên kết với môđun đồng điều địa phương của môđun compăc tuyến
tính nữa rời rạc là hữu hạn.
Định lý 2.2.3: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời
rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với
R−môđun đồng điều địa phương H
I
i
(M) hữu hạn khi R−môđun H
I
j
(M)
hữu hạn với mọi j < i
Định lý 2.2.4: Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời
rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với
R−môđun đồng điều địa phương H
I
i
(M) hữu hạn khi
I ⊆ Rad(Ann
R
(H
I
j
(M))), ∀j < i.
Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chất
hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều
địa phương.
Hệ quả 2.2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô
m

−adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i
là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối
đồng điều địa phương H
i
I
(M) là hữu hạn khi
I ⊆ Rad(Ann
R
(H
j
I
(M))), ∀j < i.
Hệ quả 2.2.8: Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địa
phương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên
MỞ ĐẦU vii
kết của môđun đối đồng điệu địa phương H
i
I
(M) là hữu hạn khi môđun
H
j
I
(M) là hữu hạn với mọi j<i.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức
nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến
đóng góp, xây dựng của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại Học
Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, lãnh đạo Phòng Khoa học - Công nghệ và
sau đại học, lãnh đạo Khoa Toán - Tin học của Trường đã tạo mọi điều
kiện tốt nhất cho Khóa Cao học 16 nói chung và Cao học Đại số và lí

thuyết số nói riêng hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.
Xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán - Tin học đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập của mình.
Và đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tiến sĩ Trần Tuấn
Nam, người đã ra đề tài và tận tâm hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
hoàn thành luận văn này.
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis
Iđêan nguyên tố liên kết
Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố
p
của R được gọi là
nguyên tố liên kết với M nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương
đương sau:
(i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) =
p
;
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/
p
.
Tập các nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là Ass
R
(M) hoặc Ass(M).
Bổ đề 1.1.1. (xem [14, 7.B]) Cho
p
là phần tử tối đại của tập các iđêan
{Ann(x)|x ∈ M, x = 0}.
Khi đó
p

∈ Ass(M).
Bổ đề 1.1.2. (xem [14, 7.B])
Ass(M) = ∅ ⇔ M = 0.
1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2
Cho M là một R−môđun. Support của M, kí hiệu Supp(M), là tập
các iđêan nguyên tố
p
của R sao cho M
p
= 0 (M
p
là địa phương hóa của
M tại
p
).
Bổ đề 1.1.3. (xem [2, §3]) Cho dãy khớp ngắn
0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0
Khi đó
Supp(M) = Supp(M

) ∪ Supp(M”).
Bổ đề 1.1.4. (xem [14, 7.D]) Cho R là một vành Noether và M là một
R−môđun. Khi đó Ass(M) ⊆ Supp(M), và bất kỳ phần tử nhỏ nhất của
Supp(M) đều nằm trong Ass(M).
Bổ đề 1.1.5. (xem [14, 7.F]) Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun
0 −→ M


−→ M −→ M” −→ 0.
Khi đó
Ass(M) ⊆ Ass(M

) ∪ Ass(M”).
Bổ đề 1.1.6. (xem [14, 7.G]) Cho R là một vành Noether và M là một
R−môđun hữu hạn thì Ass(M) cũng là một tập hữu hạn.
Cho f : R −→ R

là một đồng cấu của các vành, với mỗi
p
∈ Spec(R

)
ta có f
−1
(
p
) ∈ Spec(R). Do đó, ta có thể xác định được một ánh xạ
f
∗
: Spec(R

) −→ Spec(R)
liên tục. Điều này dẫn đến các bổ đề sau
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3
Bổ đề 1.1.7. (xem [14, 9.A]) Cho φ : R −→ R

là một đồng cấu các
vành Noether và M là một R


−môđun. Chúng ta có thể xem M như một
R−môđun theo nghĩa của φ. Khi đó
Ass
R
(M) = φ
∗
(Ass
R

(M)).
Bổ đề 1.1.8. (xem [14, 9.B]) Cho φ : R −→ R

là một đồng cấu các
vành Noether, E là một R−môđun và F là một R

−môđun. Giả sử F là
một R−môđun phẳng. Khi đó:
(i) Với bất kỳ iđêan nguyên tố
p
của R,
φ
∗
(Ass
R

(F/
p
F )) = Ass
R

(F/
p
F ) =



{
p
} nếu F/
p
F = 0
∅ nếu F/
p
F = 0.
(ii) Ass
R

(E ⊗
R
F ) =

p
∈Ass(E)
Ass
R

(F/
p
F ).
Đối ngẫu Matlis

Định nghĩa 1.1.9. Cho M là một R-môđun. Đối ngẫu Matlis của M là
môđun
D(M) = Hom
R
(M; E(R/
m
))
trong đó E(R/
m
) là bao nội xạ của R/
m
và
m
∈ Max(R).
Bổ đề 1.1.10. (xem [24, 3.4.2]) Với mọi môđun M ta có
Ann(D(M)) = Ann(M)
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4
Bổ đề 1.1.11. (xem [2, §2])
D(M ⊗ N)
∼
=
Hom(M, D(N))
1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương
Giới hạn thuận
Định nghĩa 1.2.1. Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được
gọi là một tập định hướng nếu với bất kỳ t, s ∈ V tồn tại r ∈ V sao cho
t ≤ r và s ≤ r.
Một họ {M
t
, f

rt
} gồm các R-môđun M
t
với t ∈ V và các đồng cấu
f
rt
: M
r
→ M
t
với mọi r ≤ t được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
f
tt
= id
M
t
và f
st
f
rs
= f
rt
với r ≤ s ≤ t.
Cho hai hệ thuận các R−môđun {M
t
, f
rt
} và {M


t
, f

rt
} (trên cùng một
tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ thuận
ϕ : {M
t
, f
rt
} −→ {M

t
, f

rt
}
là một họ gồm các đồng cấu {ϕ
t
: M
t
→ M

t
} thỏa mãn f

rt
ϕ
r
= ϕ

t
f
rt
với
r ≤ t.
Giới hạn thuận của hệ thuận {M
t
, f
rt
} được định nghĩa như sau: Trên
một hợp rời nhau

t
M
t
của các M
t
, ta định nghĩa một quan hệ tương
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
đương ≡ như sau
x ≡ y ⇔



x ∈ M
r
, y ∈ M
t
, ∃s,
r ≤ s, t ≤ s và f

rs
(x) = f
ts
(y)
Môđun thương


t
M
t

/≡ là giới hạn thuận của {M
t
, f
rt
} và được ký
hiệu là lim
−→
t
M
t
.
Bổ đề 1.2.2. (xem [15, Appendix A, theorem A.1]) Cho N là một
R−môđun, và cho F = {M
t
; f
rt
} là một hệ thuận các R−môđun. Khi
đó
lim

−→
t
(M
t
⊗
R
N) = (lim
−→
t
M
t
) ⊗
R
N.
Bổ đề 1.2.3. (xem [15, Appendix A, theorem A.2]) Giả sử ta có ba hệ
thuận các R−môđun được đánh thứ tự trên cùng một tập định hướng
V , F

= {M

t
; f

rt
}, F = {M
t
; f
rt
} và F” = {M
”

t
; f
”
rt
} và các ánh xạ
{ϕ
t
} : F

→ F và {ψ
t
} : F → F” sao cho với mỗi t thì
M

t
ϕ
t
−→ M
t
ψ
t
−→ M
”
t
là một dãy khớp thì dãy các giới hạn thuận
lim
−→
t
M


t
ϕ
∞
−→ lim
−→
t
M
t
ψ
∞
−→ lim
−→
t
M
”
t
cũng là một dãy khớp.
Giới hạn ngược
Định nghĩa 1.2.4. Một họ {M
t
, f
rt
} gồm các R-môđun M
t
với t ∈ V và
các đồng cấu f
rt
: M
r
→ M

t
với mọi t ≤ r được gọi là hệ ngược trên V
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 6
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
f
tt
= id
M
t
và f
st
f
rs
= f
rt
với t ≤ s ≤ r.
Khi các đồng cấu f
rt
đã được ngầm hiểu, ta có thể ký hiệu gọn hệ ngược
ở trên là {M
t
}.
Cho hai hệ ngược các R−môđun {M
t
, f
rt
} và {M

t
, f


rt
} (trên cùng một
tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ ngược
ϕ : {M
t
, f
rt
} −→ {M

t
, f

rt
}
là một họ gồm các đồng cấu {ϕ
t
: M
t
→ M

t
} thỏa mãn f

rt
ϕ
r
= ϕ
t
f

rt
với
t ≤ r.
Giới hạn ngược của hệ ngược {M
t
, f
rt
} được định nghĩa như sau: Tập
con của tích trực tiếp

t
M
t
gồm tất cả các phần tử (x
t
) thỏa mãn
f
rt
(x
r
) = x
t
với mọi r, t ∈ V, t ≤ r lập thành một R-môđun. Ta gọi
môđun này là giới hạn ngược của {M
t
, f
rt
} và kí hiệu là lim
←−
t

M
t
. Phép lấy
giới hạn ngược nói chung không phải là hàm tử khớp, nó chỉ là hàm tử
khớp trái.
Một hệ ngược {M
t
, f
rt
} của các R−môđun được gọi là thỏa mãn tiêu
chuẩn Mittag-Leffler (ML) nếu với mỗi t, tồn tại t
0
 t sao cho nếu
r, r

 t
0
, thì f
rt
(M
r
) = f
r

t
(M
r

). Chúng ta có tiêu chuẩn sau đây về tính
khớp của giới hạn ngược:

Bổ đề 1.2.5. (xem [7, 2.2]) Cho dãy khớp ngắn các hệ ngược của các
R−môđun
0 −→ {M
t
} −→ {N
t
} −→ {P
t
} −→ 0.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 7
(i) Nếu {N
t
} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì {P
t
} cũng thỏa ML.
(ii) Nếu {M
t
} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp
0 −→ lim
←−
t
M
t
−→ lim
←−
t
N
t
−→ lim
←−

t
P
t
−→ 0.
Cho F là một hàm tử hiệp biến cộng tính trên phạm trù các R−môđun.
Hàm tử dẫn xuất trái thứ i L
i
F của F được xác định như sau: với mỗi
môđun M, L
i
F (M) là môđun đồng điều thứ i của phức F (P
∗
), trong đó
P
∗
là giải thức xạ ảnh của M. Nếu F là hàm tử khớp phải, thì L
i
F = F.
Cho I là một iđêan của R. Họ toàn cấu chính tắc
M/I
t+1
M → M/I
t
M, t ∈ N
cảm sinh ra một hệ ngược các R−môđun {M/I
t
M}. Đầy đủ I−adic của
M là môđun Λ
I
(M) = lim

←−
t
M/I
t
M. Khi đó hàm tử làm đầy I−adic Λ
I
là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các R−môđun. Để ý rằng
M/I
t
M
∼
=
R/I
t
⊗
R
M.
Vì hàm tử tenxơ ⊗ không khớp trái và hàm tử giới hạn ngược lim
←−
t
không
khớp phải, nên hàm tử làm đầy I−adic không khớp trái cũng không khớp
phải. Gọi L
I
i
là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của Λ
I
, Khi đó L
I
i

cũng là
hàm tử hiệp biến, cộng tính. Đặc biết L
I
0
là hàm tử khớp phải, nhưng
nói chung L
I
0
= Λ
I
, vì hàm tử Λ
I
không khớp phải.
Cho dãy khớp ngắn
0 −→ N
f
−→ F
g
−→ M −→ 0
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 8
với F là môđun tự do. Ta có dãy khớp sau bằng cách nhân tenxơ với
R−môđun R/I
t
N/I
t
N
f
t
−→ F/I
t

F
g
t
−→ M/I
t
M −→ 0
Lấy giới hạn ngược ta thu được dãy sau
Λ
I
(N)
Λ
I
(f)
−→ Λ
I
(F )
Λ
I
(g)
−→ Λ
I
(M) −→ 0.
Dãy này thỏa mãn điều kiện ImΛ
I
(f) ⊆ kerΛ
I
(g), nhưng không nhất
thiết là khớp. Để ý rằng
kerg
t

= Imf
t
∼
=
f(N)/(f(N) ∩ I
t
F ),
tức là hệ ngược {kerg
t
} thỏa điều kiện ML vì các đồng cấu cảm sinh là
toàn cấu. Theo bổ đề 1.2.5(ii), Λ
I
(g) là toàn cấu. Vì thế
L
I
0
(M)
∼
=
Λ
I
(F )/ImΛ
I
(f)
và
Λ
I
(M)
∼
=

Λ
I
(F )/kerΛ
I
(g).
Như vậy ta có toàn cấu tự nhiên
ϕ
M
: L
I
0
(M) → Λ
I
(M).
ϕ
M
nói chung không phải là đẳng cấu.
Bổ đề 1.2.6. (xem [7, 2.3]) Cho M là một R−môđun và I là một iđêan
của R. Giả sử rằng hệ {I
t
M} là dừng, nghĩa là, tồn tại một số nguyên
dương n sao cho I
t
M = I
n
M với mọi t  n. Khi đó toàn cấu tự nhiên
ϕ
M
: L
I

0
(M) −→ Λ
I
(M)
là một đẳng cấu.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 9
Bổ đề 1.2.7. (xem [7, 2.4]) Nếu M là R−môđun Artin, thì toàn cấu tự
nhiên
ϕ
M
: L
I
0
(M) −→ Λ
I
(M)
là một đẳng cấu.
Bổ đề 1.2.8. (xem [7, 2.5]) Cho M là R−môđun. Khi đó các điều kiện
sau đây là tương đương:
(i) IM = M.
(ii) L
I
0
(M) = 0.
(iii) Λ
I
(M) = 0.
Môđun compăc tuyến tính
Định nghĩa 1.2.9. Cho M là một R-môđun. M được gọi là tôpô tuyến
tính nếu M có một cơ sở M các lân cận của phần tử 0 bao gồm các

môđun con. M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của
phần tử 0 bằng 0. Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi
là compăc tuyến tính nếu F là một họ các phủ đóng (nghĩa là các phủ
của các môđun con đóng) trong M mà có tính giao hữu hạn, thì các phủ
trong F có giao khác 0.
Rõ ràng R-môđun Artin là compăc tuyến tính và rời rạc. Nếu (R,m)
là một vành đầy đủ thì R-môđun hữu hạn cũng compăc tuyến tính và rời
rạc.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 10
Chú ý 1.2.10. (xem [5, 2.2]) Cho M là một R−môđun. Nếu M là một
họ các môđun con của M mà thỏa các điều kiện sau:
(i) Với mọi N
1
, N
2
∈ M thì có một N
3
∈ M sao cho N
3
⊆ N
1

N
2
.
(ii) Với mỗi phần tử x ∈ M và N ∈ M thì có một lân cận U của phần
tử 0 của R sao cho Ux ⊆ N,
thì M là một cơ sở của một tôpô tuyến tính trên M.
Bổ đề 1.2.11. (xem [5, 2.3])
(i) Cho M là một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là

R−môđun con đóng của M. Khi đó M là compăc tuyến tính nếu
và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính.
(ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−môđun tôpô tuyến
tính Hausdorff. Nếu M là compăc tuyến tính, thì f(M) là compăc
tuyến tính và f là ánh xạ đóng.
(iii) Nếu {M
i
}
i∈I
là một họ các R−môđun compăc tuyến tính. thì

i∈I
M
i
cũng là compăc tuyến tính với tôpô tích.
(iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−môđun compăc tuyến tính
và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính.
Bổ đề 1.2.12. (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến
tính. Chúng ta có
(i) M
∼
=
lim
←−
U∈M
M/U trong đó M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các
môđun con.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 11
(ii) Nếu N là một môđun con đóng của M và {P
i

} là một họ các môđun
con đóng của M sao cho với mỗi cặp P
i
, P
j
có một P
k
⊆ P
i
∩ P
j
, thì

i
(N + P
i
) = N +

i
P
i
.
Bổ đề 1.2.13. (xem [5, 2.4]) Cho {M
t
} là một hệ ngược các môđun
compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Nếu
0 −→ {M
t
} −→ {N
t

} −→ {P
t
} −→ 0
là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun thì dãy các giới hạn
ngược
0 −→ lim
←−
t
M
t
−→ lim
←−
t
N
t
−→ lim
←−
t
P
t
−→ 0
là khớp.
Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính và F là một R−môđun
tự do với một cơ sở {e
i
}
i∈I
. Chúng ta có thể định nghĩa tôpô trên
Hom
R

(F, M) như một tôpô tích thông qua đẳng cấu Hom
R
(F, M)
∼
=
M
J
, trong đó M
J
=

i∈J
M
i
với M
i
= M với mọi i ∈ J. Khi đó
Hom
R
(F, M) là một R−môđun compăc tuyến tính theo 1.2.11(iii). Hơn
nữa, nếu h : F −→ F

là một đồng cấu của các môđun tự do thì nó cảm
sinh đồng cấu liên tục
h
∗
: Hom
R
(F


, M) −→ Hom
R
(F, M).
Cho
F
•
: . . . −→ F
i
−→ . . . −→ F
1
−→ F
0
−→ N −→ 0.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12
là một phép giải tự do của một R−môđun N. Khi đó Ext
i
R
(N, M) là
một R−môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương của Hom(F
i
, M). Tôpô
này trên Ext
i
R
(N, M) được gọi là tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do F
•
của N.
Bổ đề 1.2.14. (xem [5, 2.5]) Nếu M là một R−môđun compăc tuyến
tính và N là một R−môđun. Khi đó với mọi i  0, Ext
i

R
(N; M) cũng là
R−môđun compăc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi một phép giải tự do
của N và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N. Hơn nữa, nếu
f : N −→ N

là một đồng cấu của các R−môđun, thì đồng cấu cảm sinh
Ext
i
R
(N

; M) −→ Ext
i
R
(N; M)
là liên tục.
Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và
F
•
: . . . −→ F
i
−→ . . . −→ F
1
−→ F
0
−→ N −→ 0.
là một phép giải tự do của N với các môđum tự do hữu hạn sinh. Như
trên, chúng ta có thể định nghĩa đối với một môđun compăc tuyến tính
M một tôpô trên T or

R
i
(N, M) được cảm sinh từ tôpô tích của F
i
⊗
R
M.
Bổ đề 1.2.15. (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh
và M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó T or
R
i
(N; M) là một
R−môđun compăc tuyến tính với một tôpô được sinh bởi một phép giải
tự do của N (bao gồm tất cả các môđun tự do hữu hạn sinh) và tôpô này
độc lập với các phép giải tự do của N. Hơn nữa, nếu f : N −→ N

là
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13
một đồng cấu của các R−môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu cảm sinh
T or
R
i
(N; M) −→ T or
R
i
(N

; M)
là liên tục.
Bổ đề 1.2.16. (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh

và {M
t
} là một hệ ngược của các R−môđun compăc tuyến tính với các
đồng cấu liên tục. Khi đó với mọi i  0, {T or
R
i
(N; M
t
)} tạo thành một
hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Hơn
nữa, ta có
T or
R
i
(N; lim
←−
t
M
t
)
∼
=
lim
←−
t
T or
R
i
(N; M
t

)
Định nghĩa 1.2.17. Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được
gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Do đó một
R−môđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−môđun compăc tuyến tính
nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin. Hơn nữa, nó còn chứa tất cả
các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ.
Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M, chúng
ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc.
Bổ đề 1.2.18. (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính
nửa rời rạc. Khi đó L(M) là một môđun Artin
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 14
Đồng điều địa phương
Với mỗi R-môđun M, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo
I, ký hiệu H
i
I
(M), được xác định theo công thức
H
i
I
(M) = lim
−→
t
Ext
i
R
(R/I
t
; M).
Từ đây ta đưa ra một định nghĩa về đồng điều địa phương như một

đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều địa phương.
Định nghĩa 1.2.19. Cho I là một iđêan của R, môđun đồng điều địa
phương thứ i của một R−môđun M theo I, ký hiệu H
I
i
(M), được xác
định theo công thức
H
I
i
(M) = lim
←−
t
T or
R
i
(R/I
t
, M).
Kí hiệu Λ
I
(M) = lim
←−
t
M/I
t
M là một đầy đủ I−adic của M, khi đó
H
I
0

(M)
∼
=
Λ
I
(M).
Chú ý 1.2.20. (xem [5, 3.1])
(i) Khi I
t
T or
R
i
(R/I
t
, M) = 0 thì T or
R
i
(M/I
t
M, N) có một cấu trúc tự
nhiên như một môđun trên vành R/I
t
với mọi t > 0. Khi đó
H
I
i
(M) = T or
R
i
(R/I

t
, M)
có một cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành
Λ
I
(M) = lim
←−
t
R/I
t
.
(ii) Nếu M là một R−môđun hữu hạn sinh thì
H
I
i
(M) = 0, ∀i > 0.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 15
Bổ đề 1.2.21. (xem [7, 3.3]) Cho M là một R-môđun. Các khẳng định
sau là đúng
(i) Với mọi i  0, môđun đồng điều địa phương H
I
i
(M) là I−tách, nghĩa
là:

s>0
I
s
H
I

i
(M) = 0
(ii) Giả sử (R,
m
) là một vành địa phương. Khi đó với mọi i ≥ 0,
H
I
i
(D(M))
∼
=
D(H
i
I
(M)),
trong đó D(M) = Hom
R
(M, E) là môđun đối ngẫu Matlis của M và
E = E(R/
m
) là bao nội xạ của trường đồng dư R/
m
.
Sau đây là một số tính chất của môđun đồng điều địa phương đối với
các môđun compăc tuyến tính.
Bổ đề 1.2.22. (xem [5, 3.3]) Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính,
thì H
I
i
(M) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với mọi i  0.

Bổ đề 1.2.23. (xem [5, 3.4]) Nếu {M
s
} là hệ ngược các môđun compăc
tuyến tính với các đồng cấu liên tục, thì
H
I
i
(lim
←−
s
M
s
)
∼
=
lim
←−
s
H
I
i
(M
s
)
Bổ đề 1.2.24. (xem [5, 3.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính.
Khi đó
L
I
i
(M)

∼
=
H
I
i
(M), ∀i ≥ 0.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 16
Bổ đề 1.2.25. (xem [5, 3.6]) Cho
0 → M

→ M → M” → 0
là dãy khớp các môđun compăc tuyến tính. Khi đó ta có dãy khớp dài các
môđun đồng điều địa phương
· · · −→ H
I
i+1
(M”) −→ H
I
i
(M

) −→ H
I
i
(M) −→ H
I
i
(M”) −→
· · · −→ H
I

1
(M”) −→ H
I
0
(M

) −→ H
I
0
(M) −→ H
I
0
(M”) −→ 0
Bổ đề 1.2.26. (xem [5, 3.7]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính.
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M là I−tách, nghĩa là

t>0
I
t
M = 0
(ii) M là đầy đủ theo tôpô I−adic, nghĩa là Λ
I
(M)
∼
=
M
(iii) H
I
i

(M)
∼
=



M nếu i = 0
0 nếu i > 0
Bổ đề 1.2.27. (xem [5, 3.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính.
Khi đó với mọi j  0
H
I
i
(H
I
j
(M))
∼
=



H
I
j
(M) , i = 0
0 , i > 0
Bổ đề 1.2.28. (xem [5, 3.9]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến
tính. Khi đó:
H

I
i


t>0
I
t
M

∼
=



0, i = 0
H
I
i
(M), i > 0
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 17
Bổ đề 1.2.29. (xem [5, 3.10]) Cho (R,
m
) là một vành Noether địa
phương và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là R−môđun
compăc tuyến tính khi và chỉ khi M là đầy đủ trong tôpô
m
−adic.
Bổ đề 1.2.30. (xem [5, 4.1]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính
nửa rời rạc. Khi đó, H
I

0
(M) = 0 khi và chỉ khi có một phần tử x ∈ I sao
cho xM = M.
Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M, khi đó
ta có bổ đề sau
Bổ đề 1.2.31. (xem [5, 4.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính
nửa rời rạc. Khi đó
H
I
i
(M)
∼
=
H
I
i
(L(M)), ∀i > 0
và dãy sau đây khớp
0 −→ H
I
0
(L(M)) −→ H
I
0
(M) −→ H
I
0
(M/L(M)) −→ 0.
Bổ đề 1.2.32. (xem [5, 4.13]) Cho (R,
m

) là một vành Noether địa
phương và M là một môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc khác không.
Khi đó H
m
i
(M) = 0 với mọi i ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại một phần tử
x ∈
m
sao cho xM = M và 0 :
M
x = 0.
Cho f : R −→ R

là một đồng cấu của các vành Noether và M là
một R

−môđun. Khi đó M có thể xem như một R−môđun theo f, nên
H
I
i
(M) có một cấu trúc tự nhiên như một Λ
I
(M)−môđun. Từ đây ta có
bổ đề sau
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 18
Bổ đề 1.2.33. (xem [7, 3.7]) Cho f : R −→ R

là một đồng cấu của các
vành Noether và M là một R


−môđun. Khi đó ta có đẳng cấu của các
Λ
I
(R)−môđun
H
I
i
(M)
∼
=
H
IR

i
(M), ∀i ≥ 0.
Bổ đề 1.2.34. (xem [7, 4.6]) Cho (R,
m
) là một vành địa phương và M
là một R−môđun Artin. khi đó H
m
i
(M) là một
ˆ
R−môđun với mọi i ≥ 0.
Bổ đề 1.2.35. (xem [7, 4.7]) Cho M là một R-môđun Artin và s là một
số nguyên dương. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(i) H
I
i
(M) là Artin với mọi i < s.

(ii) I ⊆ Rad(Ann
R
(H
I
i
(M))) với mọi i < s.