Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương

✶
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❘❯◆● ❉Ô◆●
❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ❚■➏▼ ❈❾◆ ❈Õ❆ ❚❾P ■✣➊❆◆
◆●❯❨➊◆ ❚➮ ▲■➊◆ ❑➌❚ ❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ✣➮■ ✣➬◆● ✣■➋❯
✣➚❆ P❍×❒◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✷
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❘❯◆● ❉Ô◆●
❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ❚■➏▼ ❈❾◆ ❈Õ❆ ❚❾P ■✣➊❆◆
◆●❯❨➊◆ ❚➮ ▲■➊◆ ❑➌❚ ❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ✣➮■ ✣➬◆● ✣■➋❯
✣➚❆ P❍×❒◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✺
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍♦➔♥❣
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✸
▼ö❝ ❧ö❝
❚r❛♥❣
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ð sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳ ■✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻
✶✳✷✳ ▼æ✤✉♥ Ext ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✼
✶✳✸✳ ▼æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✹✳ ❈❤✐➲✉ ✈➔ ✤ë s➙✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✶
✶✳✺✳ ❱➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët sè ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✤ë
s➙✉✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✶✻
✷✳✶✳ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✷✶
✷✳✸✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ depth
k
✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ t➟♣ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè
❧✐➯♥ ❦➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✸✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✷ ✭✐✮ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳ ✷✼
✸✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✷ ✭✐✐✮ ✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✸✵
✸✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✷ ✭✐✐✐✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✹
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ s❛✉ ❤❛✐ ♥➠♠ ❤å❝ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ s÷
♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔ ♥❣❤✐➯♠
❦❤➢❝ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍♦➔♥❣✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❤➛② ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳
❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tî✐ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❚ü ❈÷í♥❣✱ P●❙✳❚❙
◆❣✉②➵♥ ◗✉è❝ ❚❤➢♥❣✱ P●❙✳❚❙ ▲➯ ❚❤❛♥❤ ◆❤➔♥ ✈➔ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à
❉✉♥❣❀ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ð ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✈➔ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ ❙❛✉ ✣↕✐ ❤å❝ ❚r÷í♥❣

✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣
✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tî✐ ♥❣÷í✐ t❤➙♥✱ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ t➜t
❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✽ ♥➠♠ ✷✵✶✵
❍å❝ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚r✉♥❣ ❉ô♥❣
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


(R, m) tr ữỡ
ừ ởt Rổ ỳ s
r ự ữủ r t Ass
R
(J
n
M/J
n+1
M)
Ass
R
(M/J
n
M) ờ n ừ ợ ự t q
tr ổ ỹ t ờ ừ depth(I, J
n
M/J
n+1
M)
depth(I, M/J

n
M) n ừ ợ r
M tứ > k ữ s
số k 1 ởt x
1
, ..., x
r
tỷ ừ m ữủ ồ
M tứ > k ợ ộ i {1, ..., r} t õ x
i
/ p ợ ồ
p Ass
R
(M/(x
1
, ..., x
i1
)M) dim(R/p) > k ồ r r ồ
M tứ > k tố tr I õ ở ữ số
i t s tỗ t p Supp(H
i
I
(M)) õ dim(R/p) > k
ở depth
k
(I, M) t depth
1
(I, M)
ở s depth(I, M) ừ M tr I ở ừ M tố
tr I depth

0
(I, M) ở s ồ f-depth(I, M) ừ M tr I ữủ
ău depth
1
(I, M) ở s s rở ừ M tr
I ữủ ứ õ t õ ởt ọ t r

ọ
r số depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) depth
k
(I, M/J
n
M) õ
tr ờ ổ n ừ ợ tr ởt
ừ ữớ P ồ tr ớ
ọ tr õ ụ ởt t q rở ởt
ỵ ừ r ử t ỵ s
ỵ ỵ (R, m) ữỡ I, J
R M Rổ ỳ s õ ợ ồ số
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✻
♥❣✉②➯♥ k ≥ −1✱ ❝→❝ sè depth
k
(I, J

n
M/J
n+1
M) ✈➔ depth
k
(I, M/J
n
M)
trð t❤➔♥❤ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè r
k
✈➔ s
k
✈î✐ n ✤õ ❧î♥✳
▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➠♠ ✶✾✾✵✱ ❈✳ ❍✉♥❡❦❡ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t r➡♥❣ ✏t➟♣
Ass
R
(H
j
I
(M)) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ M✱ ♠å✐ ✐✤➯❛♥
I✱ ✈➔ ♠å✐ j ✑✳ ❈➙✉ tr↔ ❧í✐ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝❤♦ ❝➙✉ ❣✐↔ t❤✉②➳t ✤â ✤÷ñ❝ ✤÷❛
r❛ ❜ð✐ ❍✉♥❡❦❡✲❘✳❨✳ ❙❤❛r♣✱ ●✳ ▲②✉❜❡③♥✐❦ ❝❤♦ ❝→❝ ✈➔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❝❤ù❛ ♠ët tr÷í♥❣✳ ▼➦❝ ❞ò✱ s❛✉ ✤â ❆✳ ❙✐♥❣❤✱ ▼✳ ❑❛t③♠❛♥ ✤➣
❝❤➾ r❛ ❝→❝ ♣❤↔♥ ✈➼ ❞ö ❝❤♦ ❣✐↔ t❤✉②➳t ♥➔②✱ ♥❤÷♥❣ ❣✐↔ t❤✉②➳t ✤â ✈➝♥
❝á♥ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❑✳ ❑❤❛s❤②❛r♠❛♥❡s❤✲❙❤✳
❙❛❧❛r✐❛♥✱ ▲✳❚✳ ◆❤➔♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ Ass
R
(H
j
I

(M)) ❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥
✈î✐ ♠å✐ j ≤ depth
1
(I, M)✳ ❚ø ✤â ✈➔ tø ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❦❤✐
j ≤ r
1
= depth
1
(I, J
n
M/J
n+1
M) ✈➔ i ≤ s
1
= depth
1
(I, M/J
n
M) t❤➻
❝→❝ t➟♣ Ass
R
(H
j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ✈➔ Ass
R

(H
i
I
(M/J
n
M)) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈î✐
n ✤õ ❧î♥✳ ❱➻ t❤➳ ♥❤÷ ♠ët ❧➩ tü ♥❤✐➯♥✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❤ä✐ r➡♥❣
❈➙✉ ❤ä✐ ✷✳ ❈❤♦ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ j ≤ r
1
✈➔ i ≤ s
1
✱ ❧✐➺✉ r➡♥❣ ❝→❝ t➟♣
Ass
R
(H
j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ✈➔ Ass
R
(H
i
I
(M/J
n
M)) ❝â trð ♥➯♥ ê♥ ✤à♥❤ ❤❛②
❦❤æ♥❣ ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥❄ ❈ô♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ♥➯✉ tr➯♥ ❝õ❛ ◆✳ ❚✳ ❈÷í♥❣✱ ◆✳

❱✳ ❍♦➔♥❣ ✈➔ P✳ ❍✳ ❑❤→♥❤ ✭①❡♠ ❬✽❪✮✱ ❤å ✤➣ tr↔ ❧í✐ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝❤♦ ♠ët
❝➙✉ ❤ä✐ ②➳✉ ❤ì♥ ❝➙✉ ❤ä✐ tr➯♥✱ ❝ö t❤➸ ❤å t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✿
✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✷✳ ❬✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱
I, J ⊆ R ❧➔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✈➔ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ▲➜② r
k
=
depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) ✈➔ s
k
= depth
k
(I, M/J
n
M) ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥ ♥❤÷
tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✭✐✮ Ass
R
(H
r
−1
I
(J
n
M/J
n+1

M)) ✈➔ Ass
R
(H
s
−1
I
(M/J
n
M)) ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ê♥
✤à♥❤ ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥✳
✭✐✐✮

j≤r
0
Ass
R

H
j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ✈➔

i≤s
0
Ass
R


H
i
I
(M/J
n
M)) ❧➔ ❝→❝ t➟♣
ê♥ ✤à♥❤ ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



tj
Ass
R

H
t
I
(J
n
M/J
n+1
M)){m}

ti
Ass
R

H

t
I
(M/J
n
M)){m}
ợ ồ j r
1
i s
1
t ờ n ừ ợ
ỳ tr õ ởt ỵ q trồ
số số số ỗ t õ t út sỹ
q t ừ t ồ tr t ợ tr ữợ ử
ừ tố ởt số tự tt
số số ỗ õ q ọ
õ tr ởt tt ự ỵ
ỵ ởt số q ừ ú
ỗ ữỡ ữỡ ởt số tự
ỡ s số ố ỗ ữỡ ổ
ử ự t q ừ ữỡ t s
r ừ ữỡ ú tổ ợ t M
tứ > k ở ừ M tứ > k tr I t
ú tổ ự ỵ q ừ õ P ố ừ
ữỡ ú tổ t ởt số t t q trồ ừ M tứ
> k rở ừ ở s ữỡ ố ũ ú tổ
t ở ự ỵ r õ trữợ ộ
ự ú tổ ữ r t t õ q
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✽
❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð
❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t❛ ❧✉æ♥ ❦➼ ❤✐➺✉ (R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈î✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t m; ✈➔ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
✶✳✶ ■✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥
♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû x ∈ M s❛♦ ❝❤♦
Ann(x) = p✳ ❚➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
Ass
R
(M) ❤♦➦❝ Ass(M)✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥
❦➳t✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✶✳✷✳
✭❛✮ ❈❤♦ p ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â p ∈ Ass
R
(M) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾
♥➳✉ M ❝❤ù❛ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ R/p✳
✭❜✮ ❈❤♦ p ❧➔ ♣❤➛♥ tû tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝â ❞↕♥❣ Ann(x) tr♦♥❣
✤â 0 = x ∈ M✳ ❑❤✐ ✤â p ∈ Ass
R
(M)✳ ❱➻ t❤➳✱ M = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
Ass
R
(M) = 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ ZD(M) ❝→❝ ÷î❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ M ❝❤➼♥❤
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✾
❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M.
✭❝✮ ❈❤♦ 0 −→ M


−→ M −→ M

−→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❝→❝ R−♠æ✤✉♥✳
❑❤✐ ✤â
Ass
R
M

⊆ Ass
R
M ⊆ Ass
R
M

∪ Ass
R
M

.
✭❞✮ Ass
R
(M) ⊆ Supp
R
(M) ✈➔ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ Supp
R
(M)
✤➲✉ t❤✉ë❝ Ass
R
(M)✳
✭❡✮ ◆➳✉ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ Ass

R
(M) ❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ Ass
R
(M) ⊆ V (Ann M) ✈➔ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ V (Ann M)
✤➲✉ t❤✉ë❝ Ass
R
(M)✳ ❱➻ t❤➳ Ann(M) ❧➔ ❣✐❛♦ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥
❦➳t ❝õ❛ M✳
✭❢✮ ◆➳✉ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤➻
Ass
R
(N) ⊆ Ass
R
(M) ⊆ Ass
R
(M/N) ∪ Ass
R
(N).
✭❤✮ Ass
R
p
(M
p
) = {qR
p
|q ∈ Ass
R
(M), q ⊆ p}.
❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➲ t➼♥❤

ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ✈➔ M ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐
✤â ❝→❝ t➟♣ Ass
R
(M/I
n
M) ✈➔ Ass
R
(I
n−1
M/I
n
M) ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
n ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥✳
✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ❊①t
✣➸ t✐➺♥ t❤❡♦ ❞ã✐✱ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➢❝ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥
Ext ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♥â✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ▼ët ❣✐↔✐ ①↕ ↔♥❤ ❝õ❛ M ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣
. . . −→ P
2
−→ P
1
−→ P
0
−→ M −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

tr õ ộ P
i
ổ

ú ỵ ừ ởt ổ M ổ tỗ t t
sỷ Y ởt s ừ M ồ P
0
=
yY
R
y
ợ R
y
= R
Rổ tỹ tr t õ t õ t : P
0
M
(a
y
)
yY
=
yY
a
y
y t K
1
= Ker Y
1
s ừ K
1

P
1

Rổ tỹ s Y
1
õ t õ ởt t tỹ
f
1
: P
1
K
1
t à
1
= j
1
f
1
tr õ j
1
: K
1
P
0
ú
tỹ tứ K
1
P
0
t Im à
1
= Ker t K
2

= Ker à
1

tữỡ tỹ t õ ởt t f
2
: P
2
K
2
s P
2
ổ tỹ Im à
2
= Ker à
1
tr õ à
2
= j
2
f
2
ợ j
2
: K
2
P
1
ú tỹ ự t tử q tr tr t t ữủ ởt
ợ
. . .

à
2
P
1
à
1
P
0

M 0
tr õ ộ P
i
ổ tỹ ộ ổ tỹ
ợ tr ừ M
N Rổ t tỷ Hom(, N)
ợ tr M Rổ ừ M
. . .
f
2
P
2
f
1
P
1
f
0
P
0
à

M 0.
ở tỷ Hom(, N) ợ tr t õ ự
0 Hom(P
0
, N)
f

0
Hom(P
1
, N)
f

1
Hom(P
2
, N)
f

2
. . . .
õ Ext
i
R
(M, N) = Ker f

i
/ Im f

i1

ổ ổ ử tở
ồ ừ M
ởt số t t ỡ ừ ổ Ext

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✶
✭❛✮ ◆➳✉ M ❧➔ ①↕ ↔♥❤ t❤➻ Ext
i
R
(M, N) = 0 ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 1✳
✭❜✮ Ext
0
R
(M, N)
∼
=
Hom(M, N)✳
✭❝✮ ◆➳✉ 0 −→ N

−→ N −→ N” −→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ t❤➻ tç♥ t↕✐
❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥è✐ Ext
n
R
(M, N

) −→ Ext
n+1
R
(M, N


) ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 0 s❛♦
❝❤♦ t❛ ❝â ❞➣② ❦❤î♣ ❞➔✐
0 −→ Hom(M, N

) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N

) −→ Ext
1
R
(M, N

)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M, N

) −→ Ext
2
R
(M, N

) −→ . . .
✭❞✮ ◆➳✉ 0 −→ N

−→ N −→ N” −→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ t❤➻ tç♥ t↕✐
❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥è✐ Ext

n
R
(N

, M) −→ Ext
n+1
R
(N

, M) ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 0 s❛♦
❝❤♦ t❛ ❝â ❞➣② ❦❤î♣ ❞➔✐
0 −→ Hom(N”, M) −→ Hom(N, M) −→ Hom(N

, M) −→ Ext
1
R
(N

, M)
−→ Ext
1
R
(N, M) −→ Ext
1
R
(N

, M) −→ Ext
2
R

(N

, M) −→ . . .
❚ø ❈❤ó þ ✶✳✷✳✷ ✈➔ tø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ Ext t❛ ❝â ♥❣❛② ❦➳t q✉↔ s❛✉✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✺✳ ◆➳✉ M, N ❧➔ ❝→❝ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ Ext
n
R
(M, N)
❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ ♠å✐ n✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❣✐ú❛ Ext ✈➔ ❤➔♠ tû ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✷✳✻✳ ◆➳✉ S ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥ ❝õ❛ R t❤➻
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N)

tr♦♥❣ ✤â S
−1
❧➔ ❤➔♠ tû ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱
(Ext
n
R
(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N
p
)
✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ổ ố ỗ ữỡ
I ừ R ợ ộ Rổ M t

I
(M) =

n0
(0 :

M
I
n
) f : M N ỗ
Rổ t t õ ỗ s f

:
I
(M)
I
(N)
f

(m) = f(m) õ
I
() ởt tỷ ợ tr tứ
trũ Rổ trũ Rổ
I
() ữủ ồ
tỷ I
ờ I ừ tr R sỷ M ỳ
s t s ú

I
(M) = 0 I ZD(M) tr õ
ZD(M) = {a R : tỗ t 0 = m M s am = 0}
Ass(
I
(M)) = Ass(M)V (I) Ass(M/
I

(M)) = Ass(M)\V (I).
ởt ở ừ M ởt ợ
0M
à
E
0
f
0
E
1
f
1
E
2
f
2
. . .
tr õ ộ E
i
ổ ở
ú ỵ ở ừ ởt ổ M ổ tỗ t
M Rổ I ừ R
ở ừ M
0M
à
E
0
f
0
E

1
f
1
E
2
f
2
. . .
ở tỷ I ợ tr t ữủ ự
0
I
(E
0
)
f

0

I
(E
1
)
f

1

I
(E
2
)

f

2
. . .
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✸
❑❤✐ ✤â H
i
I
(M) = Ker f
∗
i
/ Im f
∗
i−1
❧➔ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ t❤ù i ❝õ❛
♣❤ù❝ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤ù i ❝õ❛ M ✤è✐
✈î✐ ✐✤➯❛♥ I.
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✸✳✻✳
✭❛✮ ◆➳✉ M ❧➔ ♥ë✐ ①↕ t❤➻ H
i
I
(M) = 0 ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 1✳
✭❜✮ Γ
I
(M)
∼
=

H
0
I
(M)✳
✭❝✮ ◆➳✉ 0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ t❤➻ tç♥ t↕✐
❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥è✐ H
n
I
(M

) −→ H
n+1
I
(M

) ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝â
❞➣② ❦❤î♣ ❞➔✐
0 −→ Γ
I
(M

) −→ Γ
I
(M) −→ Γ
I
(M

) −→ H

1
I
(M

)
−→ H
1
I
(M) −→ H
1
I
(M

) −→ H
2
I
(M

) −→ . . .
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❣✐ú❛ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❤➔♠ tû ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✸✳✼✳ ◆➳✉ S ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥ ❝õ❛ R ✈➔ S
−1
❧➔ ❤➔♠ tû
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ t❤➻ S
−1
H
n
I
(M)

∼
=
H
n
S
−1
I
(S
−1
M). ✣➦❝ ❜✐➺t✱ (H
n
I
(M))
p
∼
=
H
n
IR
p
(M
p
) ✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R✳
❚ø ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✳
❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽✳ ❱î✐ ♠é✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R t❛ ❝â p ∈ Ass H
n
I
(M)
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ pR
p

∈ Ass H
n
IR
p
(M
p
).
✶✳✹ ❈❤✐➲✉ ✈➔ ✤ë s➙✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ M ❧➔
R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❦❤→❝ ✵✳ ❉➣② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû a
1
, . . . , a
n
∈ R ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ M−❞➣② ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉✿
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
a
i
tỷ M/(a
1
, . . . , a
i1
)M q ợ ồ i = 1, . . . , n.
ở ừ M số tỷ ừ M ổ õ tỷ

ồ M õ ở
ữ ỵ
a R tỷ M q a ổ ữợ ừ tr
M
a
1
, . . . , a
n
R ữủ ồ M q
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0 a
i
/ p ợ ồ p Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i1
)M
ợ i = 1, . . . , n.
R tr M
Rổ ỳ s I ừ R s M = IM
a
1
, . . . , a
n
M q tr I õ r a

1
, . . . , a
n

M q tố tr I ổ tỗ t tỷ a
n+1
I
s a
1
, . . . , a
n
, a
n+1
M q õ ở n + 1.
R tr M
Rổ ỳ s I ừ R s M = IM
õ ồ q ừ M tr I õ t rở t
q tố tr I q tố ừ M tr
I õ ũ ở ở ồ ở s ừ M tr I
depth(I, M).
t R ữỡ ợ ỹ m õ
ồ M q a
1
, . . . , a
n
õ tỷ tở m ỡ
M = (a
1
, . . . , a
n

)M ú ỵ t õ M = mM t ờ
õ tỷ ừ R M q õ
M q tr m r trữớ ủ ở s ừ M
tr m ồ ở s ừ M depth M.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✺
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
Ext .
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✹✳✹✳ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ✈➔ M ❧➔
R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ✤â
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0}.
✣ë s➙✉ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛
♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✹✳✺✳ ●✐↔ sû I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ✈➔ M ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐
✤â
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
❚❛ ❣å✐ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
✱ tr♦♥❣ ✤â
p

i
= p
i+1
❧➔ ♠ët ❞➣② ♥❣✉②➯♥ tè ❝â ✤ë ❞➔✐ ♥✳ ❈❤✐➲✉ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✱ ❦➼ ❤✐➺✉
❧➔ dim R✱ ❧➔ ❝➟♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➣② ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè tr♦♥❣
R✳ ❈❤✐➲✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ dim M ❧➔ ❝➟♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❝→❝ sè n s❛♦
❝❤♦ ❝â ♠ët ❞➣② ♥❣✉②➯♥ tè ❝â ✤ë ❞➔✐ n tr♦♥❣ Supp M✳ ❑❤✐ M ❧➔ ❤ú✉
❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ Supp M = V (Ann
R
M)✱ ❞♦ ✤â
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
❑❤✐ R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤➻ ♠å✐ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤
✤➲✉ ❝â ❝❤✐➲✉ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✹✳✻✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ✤â (M/m
n
M) ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ❤➺ sè ❤ú✉ t✛ ❦❤✐
n ✤õ ❧î♥ ✈➔
dim M = deg((M/m
n
M))
= inf{t : ∃a
1
, . . . , a
t
✤➸ (M/(a

1
, . . . , a
t
M)) < ∞}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

sỷ dim M = d tr õ tỷ a
1
, . . . , a
d
m
s (M/(a
1
, . . . , a
d
M)) < ởt ữ t ữủ ồ t
số ừ M.
t q s r r ừ ởt ổ õ t trữ
tổ q t trt t ổ trt t ừ ổ ố ỗ
ữỡ
I ừ R M Rổ ỳ
s 0 õ
H
i
I
(M) = 0 ợ ồ i > dim M.
(R, m) ữỡ t dim M = sup{i : H
i
m
(M) = 0}.

ổ
ởt A ởt
tọ t t A =


n=0
A
n
tờ trỹ t õ A
n
ừ A A
n
.A
m
A
n+m
ợ ồ n, m ộ tỷ ừ A
n
ữủ ồ
tỷ t t n
A =
n0
A
n
ởt t A
0
ởt ừ
A A
n
A

0
ổ ợ ồ n 0 t A õ trú tỹ
ởt A
0
số tỗ t ỳ tỷ a
1
, . . . , a
n
A
1
s
A = A
0
[a
1
, . . . , a
n
] t t õ A A
0
số ỳ
s tr trữớ ủ A ỗ ừ tự n
tr A
0
A
0
tr t t ỡ s rt
tự tr A
0
tr t A tr
A M Aổ t M ồ Aổ

tọ s M =


n=0
M
n
ữ õ
A
n
.M
m
M
n+m
ợ ồ n, m õ ởt tỷ x M
n
ồ
tỷ t t õ n N ổ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✼
❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ M✱ N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✭♣❤➙♥
❜➟❝✮ ♥➳✉ N =

∞
n=0
(M
n
∩ N).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✽
❈❤÷ì♥❣ ✷

❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët sè
♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✤ë s➙✉
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ✈➔ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶✳
✷✳✶ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ k ≥ 0 ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ▼ët ❞➣② x
1
, ..., x
r
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ m ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐
i ∈ {1, ..., r} t❛ ❝â x
i
/∈ p ✈î✐ ♠å✐ p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, ..., x
i−1
)M) ♠➔
dim(R/p) > k✳
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ x
1
, ..., x
r
❧➔ ♠ët M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > −1 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾
♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ M, ✈➔ x
1
, ..., x
r
❧➔ ♠ët M−❞➣② tø

❝❤✐➲✉ > 0 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët ❞➣② ❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ❜ð✐ ◆✳ ❚✳ ❈÷í♥❣✱ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ✈➔ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ✭①❡♠ ❬✾❪✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
x
1
, ..., x
r
❧➔ ♠ët M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > 1 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët ❞➣②
❝❤➼♥❤ q✉② s✉② rë♥❣ ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ▲✳ ❚✳ ◆❤➔♥ ✭①❡♠ ❬✷✶❪✮✳
❈❤ó þ ✷✳✶✳✷✳ ✭✐✮ ❈❤♦ k ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ●✐↔ sû dim(M/IM) > k✳
❑❤✐ ✤â ❜➜t ❦➻ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k tr♦♥❣ I ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ✈➔
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên