Thuật toán Gradient và phương pháp chỉnh lặp song song

Mục lục
Mở đầu

1

1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

ánh xạ kh«ng gi·n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
ánh xạ hút và dÃy đơn điệu Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Mô tả thuật toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Mét số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Mét số thuật toán chiếu

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

24

Xây dựng thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mét sè kÕt qu¶ héi tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số điều kiện đảm bảo sự hội tụ theo chn vµ héi tơ tun tÝnh
Mét vµi vÝ dơ vỊ tính chính quy tuyến tính (bị chặn) . . . . . . . .

3. Thuật toán dưới gradient và phương pháp chỉnh lặp song song

3.1. Thuật toán dưới gradient . . . . . .
3.1.1. C¬ së . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Các kết quả hội tụ . . . . .
3.2. Phương pháp chỉnh lặp song song .

i

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

24
27
34
39
41

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

41
41
47
50


3.2.1. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Mét sè vÝ dô minh ho¹ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Mét vµi thư nghiƯm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Bài toán với Ci là hình cÇu . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Bài toán với Ci lµ tËp møc d­íi cđa mét hµm låi . . .
3.3.3. Phương pháp chỉnh lặp trong không gian vô hạn chiều

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

50
51
55
55
57
61

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

Phụ lục

65

A Một số điểm lưu ý khi tính dưới vi phân

65

1.1. Một vài tính chất cđa d­íi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2. Mét sè vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ii


Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tâm và nhiệt tình
của thầy- GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới thầy. Cũng nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn đến các anh
nghiên cứu sinh Cao Văn Chung, Vũ Tiến Dũng cùng tập thể cán bộ, cộng tác
viên, nhân viên của Trung tâm tính toán hiệu năng cao trường ĐH Khoa học Tự
nhiên vì sự giúp đỡ tận tình và rất hiệu quả trong quá trình thực hiện luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy trong Bộ môn Toán học tính toán cùng
toàn thể thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán-Cơ-Tin học trường ĐH Khoa học Tự
nhiên-ĐH Quốc gia Hà Nội đà nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp em thu
được nhiều kiến thức bổ ích trong suốt quá trình học tập.
Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2009

Học viên
Vũ Anh Mỹ

iii


Mở đầu
Nhiều vấn đề của khoa học và công nghệ đưa về bài toán tìm một điểm
trong giao của một số tập lồi. Bài toán này được gọi là Bài toán chấp nhận lồi:
Cho X là một không gian Hilbert và C1, C2, . . . , CN là các tập lồi đóng với giao
là một tập C khác rỗng:
C = C1 ∩ . . . ∩ CN = ∅.

T×m mét ®iĨm x ∈ C .
Chóng ta xÐt hai tr­êng hợp thường gặp sau:
ã

ã

Các tập Ci là đơn giản theo nghĩa các phép chiếu (trực giao) lên Ci có thể
tính toán được tường minh. Ci trong trường hợp này có thể là siêu phẳng,
nửa không gian, không gian con đóng hay một hình cầu.
Không thể tính được phép chiếu lên Ci, tuy nhiªn cã thĨ thay nã b»ng phÐp
chiÕu lªn một tập xấp xỉ nào đó của Ci. Ci trong trường hợp này có thể là
tập mức dưới của một hàm lồi nào đó.

Hướng tiếp cận thường dùng là sử dụng một thuật toán chiếu. Sử dụng các phép
chiếu lên các tập Ci hoặc tập xấp xỉ Ci để xây dựng một dÃy các phần tử hội tụ
đến nghiệm của bài toán chấp nhận lồi.
Một số ứng dụng của bài toán chấp nhận lồi có thể kể ra như sau:

ã
ã

ã
ã

Bài toán xấp xỉ tốt nhất, trong đó mỗi tập Ci là một không gian con đóng.
Khôi phục ảnh (mô hình rời rạc): Mỗi tập Ci là một nửa không gian hoặc
một siêu phẳng, X là một không gian Euclid.
Khôi phục ảnh (mô hình liên tục): X là không gian Hilbert vô hạn chiều.
Các thuật toán dưới gradient: Một số tập Ci thuộc loại thứ 2, tức là tập mức
dưới của mét hµm låi.
1


Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu thuật toán chiÕu tỉng qu¸t:
N

x

(n+1)

(n) (n)

=A x

(n)

(n)

(n)

(n)

λi [(1 − αi )I + i Pi ] x(n) ,

=

(1.1)

i=1

đây Pi(n) là phép chiếu lên tËp xÊp xØ Ci(n) trong b­íc lỈp thø n, λi, i tương
ứng là các trọng và các tham số nới lỏng,
và thuật toán chỉnh lặp song song giải hệ phương trình đặt không chỉnh

ở

Ai (x) = 0, i = 1, . . . , N

d¹ng:



Ai x(n) + αn + γn x(n) = γn x(n) ,

i
i
N
N

(n)
x(n+1) = 1

xi .

N i=1

Trong ®ã αn lµ tham sè hiƯu chØnh, γn lµ tham sè song song hóa.
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm
3 chương:
Chương 1 mang tên "Một số kiến thức chuẩn bị", trình bày các khái niệm cơ
bản, một số kết quả phụ trợ và thuật toán dạng tổng quát với các ánh xạ không
giÃn vững với các kết quả về tính hội tụ của thuật toán tổng quát.
Chương 2 mang tên "Một số thuật toán chiếu", trình bày các thuật toán chiếu
giải bài toán chấp nhận lồi và các kết quả hội tụ.
Chương 3 mang tên "Thuật toán dưới gradient và phương pháp chỉnh lặp song
song", trình bày bài toán chấp nhận lồi khi các tập lồi Ci cho dưới dạng tập mức
dưới của một phiếm hàm lồi, và thuật toán dưới gradient. Cuối chương này là một
số ví dụ số minh họa thuật toán dưới gradient và phương pháp hiệu chỉnh song
song áp dụng cho bài toán chấp nhận lồi cùng các thử nghiệm số cho các thuật
toán trình bày trong Ch­¬ng 2.

2


Chương 1.
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. ánh xạ không giÃn
Định nghĩa 1. Cho X là một không gian Hilbert, một ánh xạ T : D D, trong
đó D là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X gọi là không giÃn nếu

T x T y x − y ∀x, y ∈ D

NÕu T x − T y = x − y ∀x, y ∈ D, ta nói T là phép đẳng cự.
Ngược lại, nếu T x − T y < x − y víi mäi x, y khác nhau trong D ta nói T là
ánh xạ không giÃn chặt. Nếu T là ánh xạ không giÃn thì tập điểm bất động của
T , ký hiệu Fix T định nghĩa bởi:
Fix T = {x D : x = T x}

là tập lồi đóng.
Mệnh đề 1

(Nguyên lý tính nửa đóng). Nếu D là một tập con lồi đóng của X ,

T : D X là ánh xạ không giÃn, (xn ) là một dÃy trong D và x D, khi đó

nếu xn

x và xn − T xn → 0 th× x ∈ Fix T .

Chứng minh: Từ giả thiết xn

x và ta có lim inf xn − x0 > lim inf xn − x
n→∞

víi mọi x0 = x. Thật vậy, từ đẳng thức
xn x0

2

= xn − x

2

+ x − x0

3

2

n→∞

+ 2 xn − x, x − x0


và do giả thiết xn
Bây giờ giả sử xn

x, số hạng cuối tiến tới 0.

x và xn T xn −→ 0, do T

kh«ng gi·n ta cã

lim inf xn − x ≥ lim inf T xn − T x = lim inf xn T x ,
n

n

n

từ bất đẳng thức chøng minh ë trªn ta suy ra x = T x hay x Fix T .
Định nghĩa 2. Nếu N là một ánh xạ không giÃn thì ánh xạ trung b×nh (1 − α)I +
αN víi α ∈ [0, 1) cũng là ánh xạ không giÃn.

Một ánh xạ không giÃn vững là một ánh xạ trung bình có dạng 1 I + 1 N với N là
2
2
một ánh xạ không giÃn.
Tính vững có thể hiểu là ngoài tính không gi·n T x − T y ≤ x − y , ánh xạ
còn thỏa mÃn bất đẳng thức chặt hơn lµ
Tx − Ty

2

+ (Id − T )x − (Id − T )y

2

x y 2.

Điều này tương đương với bất đẳng thức (ii) trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2. Nếu D là một tập con lồi đóng của X và T : D X là một ánh
xạ, khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) T là ánh xạ không giÃn vững.
(ii)

Tx Ty

2

T x T y, x y

(T

là 1ngược đơn điệu mạnh ).

(iii) 2T I là ánh xạ không giÃn.

Định nghĩa 3. Một ánh xạ được gọi là không giÃn vững nới lỏng nếu nó có thể
biểu diễn được dưới dạng (1 )I + F với F là một ánh xạ không giÃn vững
nào đó.
Hệ quả 1. Giả sử D là một tập con đóng của X và T : D X là một ánh xạ,
khi đó T là ánh xạ được trung bình hóa khi và chỉ khi nó là ánh xạ không giÃn
vững nới lỏng.

4


Mệnh đề 3. Giả sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X với phép chiếu
tương ứng là PC . Khi đó:
(i) Nếu x X thì PC x được đặc trưng bởi 2 tính chất: PC x ∈ C vµ
C − PC x, x − PC x 0 (tiêu chuẩn Kolmogorov).
(ii) PC là ánh xạ không giÃn vững.
Chứng minh:

(i): Ta sẽ chứng minh

x PC x = min{ x − z : z ∈ C} ⇐⇒ x − PC x, PC x − z ≥ 0 ∀z ∈ C.

Ta cã

x−z

2

= x − PC x + P C x − z

2

= x − PC x

2

+ 2 x − PC x, PC x − z + PC x − z

≥ x − PC x

2

2

+ 2 x − PC x, PC x − z

Nh­ vËy, tõ x−PC x, PC x−z ≥ 0 ta suy ra x−PC x = min{ xz : z C}.
Ngược lại từ x PC x = min{ x − z : z ∈ C}. Chän ®iĨm λz + (1 − λ)PC x ∈
C, λ > 0, ta cã
0 ≥ x − PC x

2

− x − (λz + (1 − λ)PC x)

2

= x − PC x

2

− x − PC x − λ(z − PC x)

2

= 2 x − PC x − λ(z − PC x), λ(z − PC x
⇔ 0 ≥ x − PC x − λ(z − PC x), z − PC x

Cho λ → 0
0 ≥ x − PC x, z − PC x
⇔ x − PC x, PC x − z 0

(ii): Để chứng minh PC là ánh xạ không giÃn vững, dựa vào mệnh đề 2, ta chỉ
cần chỉ ra PC x − PC y, x − y ≥ PC x − PC y 2.
5


Bất đẳng thức này tương đương với x y − (PC x − PC y), PC x − PC y 0. Để
chứng minh điều này, từ tiêu chuẩn Kolmogorov áp dụng cho PC y và PC x ta cã
x − PC x, PC x − PC y ≥ 0,
PC y − y, PC x − PC y ≥ 0.

Cộng từng vế ta có điều cần chứng minh.
Định nghĩa 4. Hàm tương ứng d(Ã, C) : X R : x −→ inf x−c = x−PC x

c∈C

gäi lµ hµm khoảng cách tới tập C .

Dễ thấy rằng với tập C lồi đóng thì d(Ã, C) là hàm lồi và liên tục (và do đó
là nửa liên tục dưới yếu).
Định nghĩa 5. Một dÃy (xn ) trong X được gọi là hội tụ tuyến tính tới giới hạn x
với cấp nếu [0, 1) và tồn tại số α ≥ 0 sao cho
xn − x ≤ αβ n n

Mệnh đề 4. Giả sử (xn ) là một dÃy trong X , p là một số nguyên dương và x là
một điểm trong X . Nếu (xpn )n hội tơ tun tÝnh tíi x vµ ( xn − x )n là dÃy giảm
thì toàn bộ dÃy (xn )n cũng hội tụ tuyến tính tới x.

1.2.

ánh xạ hút và dÃy đơn điệu Fejer

Định nghĩa 6. Giả sử D là một tập lồi đóng khác rỗng, T : D D là ánh xạ
không giÃn và F là một tập con lồi đóng khác rỗng của D. Ta nói T là ánh xạ
hút đối với tập F nếu với mọi x ∈ D \ F, f ∈ F
Tx − f < x f

Ta nói T là hút mạnh đối với víi tËp F nÕu tån t¹i mét sè κ > 0 sao cho víi mäi
x ∈ D, f ∈ F
κ x − Tx

2

≤ x−f

6

2

− Tx − f

2


Khi cần nhấn mạnh ta nói T là hút đối với tập F .
Bổ đề 1

(Dạng của một ánh xạ hút mạnh). Giả sử D là tập lồi đóng khác rỗng,

T : D D là ánh xạ không giÃn vững có điểm bất động, và (0, 2). Đặt
R = (1 )I + T và cố ®Þnh x ∈ D, f ∈ Fix T . Khi ®ã:
(i) Fix R = Fix T .
(ii)
(iii)

x − f, x − T x ≥ x − T x
2

x−f

2

− Rx − f

2

vµ x − T x, T x − f ≥ 0.

= 2α x − f, x − T x − α2 x − T x 2 .

(iv) R lµ (2 − α)/α-hót: x − f

2

− Rx − f

2

≥ (2 − α)/α x − Rx

2

=

2

2

(2 − α)α x − T x

(i) là hiển nhiên.
(ii): Do T là ánh xạ không giÃn v÷ng, ta cã
Chøng minh:

Tx − f

2

≤ T x − f, x − f

⇐⇒ T x − x

2

+ x−f

2

+ 2 T x − x, x − f ≤ T x − f, x − f

⇐⇒ T x − x

2

+ x−f

2

+ 2 T x − x, x − f ≤ T x − x, x − f + x − f

⇐⇒ T x − x

2

≤ x − T x, x − f = x − T x, T x − f + x − T x

2

⇐⇒0 ≤ x − T x, T x − f .

(iii): B»ng tÝnh to¸n trùc tiÕp
x−f

2

− Rx − f

= x−f

2

− (1 − α)(x − f ) + α(T x − f )

= x−f

2

− [1 − α)2 x − f

=2α x − f

2

2

− α2 x − f

2

2

+ α2 T x − f

− α2 T x − f

2
2

+ 2α(1 − α) x − f, T x − f ]

2

+ 2α2 x − f, T x − f − 2α x − f, T x − f
=2α x − f, x − f − (T x − f )
− α2 [ x − f

2

+ Tx − f

2

− 2 x − f, T x − f ]

=2α x − f, x − T x − α2 x − T x 2 .

7


(iv): Từ (ii), (iii) và định nghĩa R ta có
xf

2

Rx − f

2

= 2α x − f, T x − f − α2 x − T x
2

≥ 2α x − T x

− α2 x − T x

= α(2 − α) x − T x
2−α
=
x − Rx 2 .
α

Bỉ ®Ị chøng minh xong.

2

2

2

Hệ quả 2. Nếu P là một phép chiếu lên một tập lồi đóng khác rỗng S và ∈ (0, 2),
th× R := (1 − α)I + αP là (2 )/-hút đối với S và với x ∈ X, s ∈ S
x−s

2

− Rx − x

2

≥ (2 − )d2 (x, S).

Định nghĩa 7. Giả sử (xn ) là mét d·y trong X . Ta nãi (xn ) lµ chÝnh quy tiƯm cËn
nÕu xn − xn+1 → 0.

VÝ dơ 1. Giả sử D là một tập lồi đóng khác rỗng, F là một tập con lồi đóng khác
rỗng của D và (Tn)n0 là dÃy các tự ánh xạ không giÃn của D, trong đó mỗi ánh
xạ Tn là n-hút tương ứng với F và limn n > 0. Giả sử thêm rằng dÃy (xn) được
định nghĩa bởi
x0 D tïy ý; xn+1 := Tn xn ∀n ≥ 0.
Khi ®ã dÃy (xn) là chính quy tiệm cận.
Chứng minh:

đủ lớn,

Cố định f ∈ F vµ chän sè 0 < κ < limninf κn. Khi ®ã, víi mäi n
κ xn+1 − xn

Céng từng vế suy ra chuỗi

n

2

xn+1 f

xn+1 xn

2

2

xn − f 2 .

héi tơ, tõ ®ã

xn+1 − xn 0.

Hệ quả 3. Giả sử D là một tập lồi đóng, khác rỗng và ánh xạ T : D D là
ánh xạ hút mạnh và có điểm bất ®éng. Khi ®ã d·y (T n x0 )n≥0 lµ chÝnh quy tiƯm
cËn víi mäi x0 ∈ D.

8

Về bản chất, toán tử A = A(0)A(1) . . . A(n) chính là hợp thành của các tổ
hợp lồi các ánh xạ không giÃn vững. Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng tính chất
hút(hút mạnh) bảo toàn qua phép hợp thành và lấy tổ hợp lồi.
Mệnh đề 5. Giả sử D là một tập lồi đóng, khác rỗng; T1 , T2 , . . . , TN : D D là
các ánh xạ i -hút và
Khi đó:

N

i=1

Fix Ti là tập khác rỗng, 1 , 2 , . . . , λN > 0 vµ

(i) Fix(TN TN −1 . . . . .T1 ) =

hót.
(ii) Fix(

N

i=1

λi Ti ) =

N
i=1

N
i=1

N

i=1

λi = 1

Fix Ti vµ TN TN −1 . . . . .T1 lµ min{κ1 , . . . , κN }/2N −1 -

Fix Ti vµ

N
i=1

λi Ti lµ min{κ1 , . . . , κN }-hót.

Ta chØ cÇn chøng minh cho trường hợp N = 2.
(i) Hiển nhiên là Fix T1 Fix T2 Fix(T2T1). Để chứng minh bao hàm thức
ngược lại, chọn f Fix(T2T1) bất kỳ. Chỉ cần chỉ ra rằng f Fix T1. Giả sử
điều này sai, khi đó T1f Fix T2. Cố định f ∈ Fix T1 ∩ Fix T2, do T2 lµ hót ta
cã
Chøng minh:

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
f − f = T2 (T1 f ) − f < T1 f − f ≤ f − f .

Điều này vô lý do đó Fix T1 Fix T2 = Fix(T2T1). Tiếp theo ta chứng minh T2T1
là ánh xạ hút. Cố định x D \ Fix(T2T1), f ∈ Fix(T2T1). NÕu x = T1x th×

T2 x = x và do đó T2 T1 x f = T2 x f < x f . Ngược lại, nÕu T1 x = x
th× T2T1x − f ≤ T1x − f < x − f . Trong c¶ hai trường hợp ta đều có kết
luận T2T1 là ánh xạ hút.
Để chứng minh phần còn lại, cho x D, f Fix(T2T1). Ta có đánh giá sau:
x T2 T1 x

2

≤ ( x − T1 x + T1 x − T2 T1 x )2
≤ 2( x − T1 x 2 + T1 x − T2 T1 x 2 )
2
≤ ( x − f 2 − T1 x − f 2 )
κ1
2
+ ( T1 x − f 2 − T2 T1 x − f 2 )
κ2
2
≤
( x − f 2 − T2 T1 x − f 2 ).
min{κ1 , κ2 }

9


(i) chứng minh xong.
(ii). Hiển nhiên là Fix T1 Fix T2 Fix(1T1 + 2T2). Để chứng minh chiều
ngược l¹i, chän f ∈ Fix(λ1T1 + λ2T2), fˆ ∈ Fix T1 ∩ Fix T2. Khi ®ã ta cã
ˆ
ˆ
ˆ

f − f = λ1 T1 f + λ2 T2 f − λ1 f − λ2 f
ˆ
ˆ
≤ λ1 T1 f − f + λ2 T2 f − f
ˆ
ˆ
ˆ
≤ λ1 f − f + λ2 f − f = f − f .

Do ®ã dấu bằng phải xảy ra ở các bất đẳng thức nói trên; kết hợp với tính lồi chặt
của không gian Hilbert X ta suy ra f = T1f = T2f . VËy f ∈ Fix T1 ∩ Fix T2.
TiÕp theo ta chứng minh 1T1 + 2T2 là hút. Giả sử x = λ1T1x + λ2T2x vµ
f ∈ Fix(λ1 T1 + λ2 T2 ). Khi ®ã x ∈ Fix T1 ∩ Fix T2 và do đó
1 T1 x + 2 T2 x − f ≤ λ1 T1 x − f + λ2 T2 x − f
< λ 1 x − f + λ2 x − f = x − f .

NÕu κ = min{κ1, κ2} vµ f ∈ Fix(λ − 1T1 + λ2T2) th× ta cã
κ x − (λ1 T1 x + λ2 T2 x)

2

≤ κ(λ1 x − T1 x + λ2 x − T2 x )2
≤ κ(λ1 xT1 x

2

+ λ2 x − T − 2x 2 )

≤ λ 1 κ 1 x − T1 x
≤ λ1 ( x − f

2

2

+ λ2 κ2 x − T2 x

2

− T1 x − f 2 )

+ λ2 ( x − f
≤ x−f

2

2

− T2 x − f 2 )

− (λ1 T1 x + λ − 2T2 x) − f 2 .

VÝ dơ 2. Gi¶ sư S1, S2, . . . , SN là các tập lồi đóng, khác rỗng với các phép chiếu
P1 , . . . , PN và có giao khác rỗng. Khi đó
T :=

là hút mạnh, Fix T =

N
i=1

Si

P 1 + P2 P1 + · · · + PN . . . P 1
N

và dÃy lặp (T nx0) là chính quy tiệm cËn víi mäi x0.
10


Chứng minh: Do các phép chiếu là các ánh xạ không giÃn vững, áp dụng bổ đề 1
N

và mệnh đề vừa chứng minh ta suy ra T là hút mạnh và Fix T = Si. áp dụng
i=1
n
hệ quả 3 dÃy (T x0) là chính quy tiệm cận.
Định nghĩa 8. Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng và (xn ) lµ mét d·y trong
X . Ta nãi d·y (xn )n0 là đơn điệu Fejer tương ứng với C nÕu
xn+1 − c ≤ xn − c ∀c ∈ C; n 0.

Định lý 1 (Tính chất cơ bản của dÃy đơn điệu Fejer). Giả sử dÃy (xn )n0 là ®¬n
®iƯu Fejer t­¬ng øng víi C . Khi ®ã:
(i) (xn ) bị chặn và d(xn+1 , C) d(xn , C).
(ii) (xn ) cã nhiỊu nhÊt mét ®iĨm dÝnh u trong C . Hệ quả là (xn ) hội tụ yếu

đến một điểm trong C khi và chỉ khi tất cả các điểm dính yếu của (xn ) nằm
trong C .
(iii) Nếu phần trong của C khác rỗng thì dÃy (xn ) héi tô theo chuÈn.
(iv) D·y (PC xn ) hội tụ theo chuẩn.

(v) Các tính chất sau tương đương:
(1) (xn ) héi tơ theo chn ®Õn mét ®iĨm thc C .
(2) (xn ) có các điểm dính theo chuẩn và tất cả đều nằm trong C .
(3) (xn ) có các điểm dính theo chuẩn và một điểm nằm trong C .
(4) d(xn , C) → 0.
(5) xn − PC xn 0.

Hơn nữa, nếu (xn ) hội tụ ®Õn mét ®iĨm x ∈ C , th× xn −x ≤ 2d(xn , C) ∀n ≥
0.

11


(vi) NÕu tån t¹i mét h»ng sè α > 0 sao cho αd2 (xn , C) ≤ d2 (xn , C) −
d2 (xn+1 , C) víi mäi n, th× (xn ) héi tơ tun tÝnh tíi mét ®iĨm x ∈ C , hơn

nữa
xn x 2(1 )n/2 d(x0 , C) n 0.

(i) là hiển nhiên.
(ii): Với mỗi c ∈ C , d·y ( xn 2 − 2 xn, c ) = ( xn − c 2 − c 2) hội tụ. Do đó
nếu c1, c2 là hai ®iĨm dÝnh u cđa d·y (xn) trong C th× ta cũng kết luận được
dÃy ( xn, c1 c2 ) hội tụ và do đó c1, c1 c2 = c2, c1 − c2 . Do ®ã c1 = c2.
(iii): Cố định một điểm c0 int C , khi đó tồn tại số dương đủ bé sao cho
Chứng minh:

c0 + εBX ⊆ C.

Ta sÏ chøng minh
2ε xn − xn+1 ≤ xn − c0

2

− xn+1 − c0

x −x
ThËt vËy, ta có thể giả sử xn = xn+1. Khi đó c0 + ε x −x
®iƯu Fejer ta cã

2

n

c0 + ε

xn − xn+1
xn − xn+1

− xn+1 ≤

c0 + ε

n+1

n

n+1

∀n ≥ 0.
∈ C , và do tính đơn

xn xn+1
xn xn+1

xn .

Bình phương hai vế và giản ước ta được điều cần chứng minh.
Khi đó, vì dÃy ( xn c0 2) hội tụ nên kết hợp với bất đẳng thøc võa chøng minh
ta suy ra (xn) lµ d·y Cauchy; do đó nó hội tụ theo chuẩn.
(iv): áp dụng đẳng thức hình bình hành a b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 − a + b 2
cho a := PC xn+k − xn+k vµ b := PC xn − xn+k víi mäi n, k ≥ 0 ta nhận được,
PC xn+k PC xn

2

= 2 PC xn+k − xn+k 2 + 2 PC xn − xn+k
PC xn+k + PC xn
− xn+k 2
−4
2
≤ 2 PC xn+k − xn+k 2 + 2 PC xn − xn+k
− 4 PC xn+k − xn+k

12

2

2

2

≤ 2 PC xn − xn+k − xn+k
≤ 2( PC xn − xn

2

2

− 2 PC xn+k − xn+k

− PC xn+k − xn+k 2 ).

2


Ta nhận thấy rằng (PC xn) là dÃy Cauchy vì d·y xn − PC xn héi tô do (i).
(v): Sù tương đương giữa các mệnh đề dễ dàng suy ra từ (i), (iv) và định nghĩa
đơn điệu Fejer.
Ta có :
xn+k − xn ≤ xn+k − PC xn + PC xn − xn
≤ xn − PC xn + PC xn − xn = 2d(xn , C).

Cho k ta được ®¸nh gi¸ xn − x ≤ 2d(xn, C).
(vi): Tõ bÊt ®¼ng thøc ®· cho, céng tõng vÕ ta suy ra d2(xn, C) tiÕn tíi 0; do ®ã
(xn ) héi tơ tới một điểm x C do (v). Đánh giá về tốc độ hội tụ của dÃy (xn ) dễ
dàng suy từ đánh giá trong (v).
Ví dụ 3 (Phép lặp Krasnoselski-Mann). Giả sử C là một tập lồi đóng, T : C C
là ánh xạ không giÃn và có ®iĨm bÊt ®éng, vµ d·y (xn) cho bëi:
x0 ∈ C, xn+1 = (1 − tn )xn + tn T xn , n ≥ 0, (tn )n≥0 ⊂ [0, 1].

Khi ®ã (xn) là đơn điệu Fejer đối với Fix T
Chứng minh: KiÓm tra trùc tiÕp, chän f ∈ Fix T bÊt kú. Ta cã li
xn+1 − f

2

2

= xn − f + tn (T xn − xn )
= xn − f

2

+ 2tn xn − f, T xn − xn + t2 T xn − xn
n

NÕu tn = 0 th× xn+1 −f = xn −f , nÕu tn = 1 th×
xn − f .
Ta chØ cÇn xÐt tn ∈ (0, 1). Ta cã
2 xn − f, T xn − xn + tn txn − xn

= xn − f + T x n − xn
= T xn − f

2

= T xn − T f

2

− xn − f
2

xn+1 −f = T xn −T f ≤

2

< 2 xn − f, T xn − xn + T xn − xn
− xn − f

2
2

2

− xn − f

2

≤ 0 do T

13

2

là ánh xạ không giÃn.


Từ đẳng thức trên cho xn+1 f 2ta suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 4. Tiếp theo ví dơ 2, d·y (T nx0) héi tơ u tíi mét ®iĨm bÊt ®éng cđa T

víi mäi x0.
D·y (T nx0) lµ chính quy tiệm cận theo ví dụ đà xét, và nó là đơn
điệu Fejer tương ứng với Fix T theo ví dụ 3. Theo nguyên lý tính nửa đóng, mọi
điểm giíi h¹n u cđa (T nx0) n»m trong Fix T , áp dụng định lý 1(ii) ta có điều
cần chứng minh.
Chứng minh:

1.3. Mô tả thuật toán tổng quát

Giả sử D là một tập lồi đóng khác rỗng và C1, . . . , CN là một số hữu hạn
các tập con lồi đóng của D với giao khác rỗng.
N

C :=

Ci = .
i=1

Với mỗi chỉ số i {1, . . . , N } vµ mäi sè n ≥ 0, giả sử rằng Ti(n) : D D là
ánh xạ không giÃn vững và
Fix Ti Ci .

và i(n) [0, 2] lµ tham sè níi láng vµ
(n)

Ri

(n)

(n)

(n)

:= (1 − i )I + i Ti

là nới lỏng tương ứng của Ti(n), ((n))N là các trọng, cuối cùng
i=1
i
N

A

(n)

(n)

:=

(n)

i Ri
i=1

là trung bình có trọng của các nới lỏng tương ứng.
Với các ký hiệu này, ta xác định thuật toán bằng cách xét d·y lỈp sau:
x(0) ∈ D

tïy ý,

x(n+1) := A(n) x(n) ∀n ≥ 0.

14


víi gi¶ thiÕt r»ng d·y (x(n)) n»m trong D. Ta cũng định nghĩa tập các chỉ số thiết
thực
(n)

I (n) := {i ∈ {1, . . . , N } : λi

> 0}.

Ta nãi chØ sè i thiÕt thùc t¹i b­íc lặp n, hay bước lặp n là thiết thực cho chỉ số i
nếu i I (n). Ta luôn giả thiết rằng mọi chỉ số i đều được chọn vô hạn lần, tức là
chỉ số i là thiết thực tại một số vô hạn bước lặp n. Kết thúc mục này ta đặt
N
(n)
ài

:=

(n) (n)
i i [2

(n) (n)



j j ]
j=1

Ta cũng xét thêm một số khái niệm sau. Ta nói thuật toán là chính quy tiệm cận
nếu dÃy sinh ra bởi thuật toán là chính quy tiệm cận. Ta nói thuật toán là không
(n)
nới lỏng nếu i = 1 với mọi n và chỉ số i thiết thực tại bước lặp n. Chú ý rằng
trong trường hợp này, thuật toán đưa về tích của một số ánh xạ không giÃn vững.
Ta nói thuật toán là suy biến nếu I (n) là tËp chØ gåm mét phÇn tư víi mäi n. Ci
cïng, ta nói thuật toán đồng bộ hoặc song song nếu I (n) = {1, . . . , N } với mọi n.
1.4. Một số tính chất cơ bản
Bổ đề 2 (Tính chất cơ bản của thuật toán). Cho một thuËt to¸n
(i) NÕu x ∈ D; n ≥ 0,
x(n) − x

2

− x(n+1) − x

2

(n) (n) (n) (n)

=

λi λj αi αi

(n)

(n)

2

2

(4.1)

Ti x(n) − Tj x(n)

i(n) (n)

+2

λi αi

(n)

(n)

x(n) − Ti x(n) , Ti x(n) − x

i
N
(n) (n)
λi αi [2

+
i

(ii) NÕu x ∈

i∈I (n)

(n) (n)

(n)

λj αj ] x(n) − Ti x(n)

−
j=1

vµ n ≥ 0 thì

x(n) x

2

x(n+1) x

2

(n)



ài
i

15

(n)

x(n) Ti x(n) 2 .


(iii) NÕu x ∈
m−1

(l)

i

l=n

µi

m−1
l=n

i∈I (n)

Ci vµ m ≥ n ≥ 0 th× x(n) − x

2

− x(m) − x

2

≥

(l)

x(l) − Ti x(l) 2 .

Nói riêng, bất đẳng thức này đúng với mọi x C .
(iv) DÃy x(n) là dÃy đơn điệu Fejer tương ứng với C và do đó nó bị chặn. Đồng

thời

+
(l)

ài

(l)

x(l) Ti x(l)

2

< +.

i

l=0

(v) Nếu n 0 th×
(n) (n)

x(n+1) − x(n) ≤

λi αi

(n)

x(n) − Ti x(n) .

i

Chứng minh:(i) nhận được bằng tính toán trực tiếp.

Dễ thấy r»ng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv). ThËt vËy, (i) (ii) do hai số hạng
đầu trong (i) không ©m; (ii) ⇒ (iii) b»ng c¸ch lÊy tỉng tõng vÕ tõ l = n ®Õn
l = m − 1; (iii) ⇒ (iv) cịng b»ng c¸ch lÊy tỉng tõng vÕ.
(v): Theo cách xây dựng thuật toán:
(n)

(n)

(n)

(n)

(n)

x(n+1) x(n) =

(n)

(n)

(n)

i [(1 αi )x(n) + αi Ti x(n) ] − x(n)
i

λi [(1 − αi )x(n) + αi Ti x(n) − x(n) ]

=
i

(n)

=

λi

(n)

(n)

αi (x(n) − Ti x(n) )

i
(n) (n)

=

λi αi

(n)

x(n) − Ti x(n) .

i

Hệ quả 4 (Các điều kiện đủ đảm bảo sự hội tụ theo chuẩn). Cho một thuật toán.
(i) Nếu phần trong của C khác rỗng thì dÃy (x(n) ) hội tụ theo chuẩn tới một

điểm nào đó trong D.

16


(ii) NÕu d·y (x(n) ) cã chøa mét d·y con (x(n ) ) víi d(x(n ) , C) → 0, thì toàn bộ

dÃy (x(n) ) hội tụ theo chuẩn tới một điểm nằm trong C .
Hệ quả 5. Thuật toán là chính quy tiệm cận nếu một trong hai điều kiƯn sau tháa
m·n.
(i)
(ii)

(n)

> 0 víi mäi chØ sè i.

(n)

< 2 víi mäi chØ sè i.

lim inf

µi

lim inf

αi

n:n thiÕt thùc cho i

n:n thiÕt thùc cho i

Chøng minh: (i): Tån t¹i mét sè ε > 0 sao cho víi mäi n ®đ lớn, ài

(n)

chỉ số i thiết thực tại bước lặp n. Từ bổ đề 2(iv) ta suy ra
(n)
Ti x(n)

là hữu hạn, do đó

> với mọi

n i:i thiết thực tại n

x(n)

(n)

i:i thiết thực tại n

x(n) Ti x(n) 0.

Mặt khác, từ bổ đề 2(v),
(n) (n)

x(n+1) x(n)
i:i thiết thực tại n

i i

(n)

x(n) Ti x(n) .

Do đó x(n+1) − x(n) → 0 vµ d·y (x(n)) lµ chÝnh quy tiệm cận.
(ii): Từ bổ đề 1(iv) và Mệnh đề 5, mọi A(n) là n-hút tương ứng với C , trong ®ã
(n)
(n)
κn = min{(2 − αi )/αi : i thiÕt thùc tại n }. Giả thiết đà cho đảm bảo rằng
lim inf κn > 0, do ®ã theo vÝ dơ 1 ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng một thuật toán không nhất thiết là chính quy tiƯm cËn.
(n)
VÝ dơ 5. XÐt X = R, N := 1, T1(n) :≡ P{0} = 0, α1 ≡ 2. Khi ®ã, x(n) =
(−1)n x(0) ; do ®ã d·y cã thĨ kh«ng chÝnh quy tiƯm cËn nÕu x(0) = 0. Thuật toán
đang xây dựng cần phải ít nhất là hội tụ yếu tới một điểm nào đó, tuy nhiên, theo
ví dụ nêu trên thì ta cần phải có thêm giả thiết để đảm bảo điều này.
Định nghĩa 9. Ta nói thuật toán là tụ ( focusing) nếu với mọi chỉ sè i vµ mäi d·y

17


con (xnk )k cđa tht to¸n,
nk

(x )

x

xnk − Tink xnk → 0










i thiÕt thùc t¹i nk 

⇒ x ∈ Ci .

Dựa trên nguyên lý về tính nửa đóng ta có vÝ dơ sau.
VÝ dơ 6. Gi¶ sư N := 1, Ti(n) :≡ T ; C1 := Fix T , khi đó thuật toán là tụ.
Định lý 2 (Định lý loại trừ I). Giả sử thuật toán là tụ. Nếu

lim inf

n:n thiết thực cho i

(n)

ài

>0

với mọi chỉ số i, thì dÃy (x(n) ) hoặc hội tụ theo chuẩn tới một điểm thuộc C hoặc
không có một điểm dính theo chuẩn nào.

Dựa vào tính đơn điệu Fejer của dÃy đang xét và các tính chất đÃ
có của dÃy đơn điệu Fejer, ta chỉ cần chỉ ra rằng mọi điểm dính theo chuẩn của
dÃy (x(n)) đều nằm trong C . Thật vậy, giả sử rằng ngược lại, tồn tại một dÃy con
(x(n ) )k héi tơ tíi mét ®iĨm x ∈ C . Ta đưa vào ký hiệu sau:
Chứng minh:

k

Iin := {i {1, . . . , N } : x ∈ Ci } Iout := {i ∈ {1, . . . , N } : x ∈ Ci }

Khi ®ã Iout khác rỗng. Ta giả thiết rằng (nếu cần thì chuyển qua d·y con)
I (nk ) ∪ I (nk +1) ∪ · · · ∪ I (nk+1 −1) = {1, . . . , N }.

Ta đặt mk {nk , . . . , nk+1 1} là giá trị nhá nhÊt sao cho I (m ) ∩ Iout = ∅. Khi
®ã víi nk ≤ m < mk , ta cã I m ⊆ Iin. Do x ∈ Ci, tõ bỉ ®Ị 2(iii) ta suy ra
i∈I
(n )

(m )
(m )
x
−x ≥ x
− x , tõ ®ã suy ra x
→ x.
Sau khi chun qua mét d·y con nÕu cÇn thiÕt, ta cã thể giả sử rằng tồn tại một
chỉ số i sao cho
k

in

k

k

k

i ∈ I (mk ) ∩ Iout ∀k

Tõ bỉ ®Ị 2(iv), ta suy ra µ(m ) x(m ) − Ti(m )x(m ) 2 < +∞. Do i ∈ I (m )
i
k
(m )
(m )
Iout k và giả thiết về ài , ta suy ra x(m ) − Ti x(m ) 0. Do thuật toán là
k

k

k

k

k

18

k

k

k

k


tụ, nên với dÃy con mk đà có, ta suy ra x Ci, điều này mâu thuẫn với giả thiết
i Iout .
Hệ quả 6. Giả sử X là không gian hữu hạn chiều và thuật toán là tụ.
Nếu

(n)

lim inf

n:n thiÕt thùc cho i

µi

> 0 víi mäi chØ sè i thì dÃy x(n) hội tụ theo chuẩn tới một

điểm trong C .

Chú ý 1. Một cách đơn giản để n:n thiÕt thùc cho i µ(n) > 0 víi mét chỉ số i là giả sử
lim inf
i
tồn tại một số ε > 0 sao cho
(n)

ε ≤ αi

≤ 2 − ε và i

(n)

n đủ lớn và thiết thực cho i

vì khi đó à(n) 3. Hơn nữa, giả thiết này tương đương với
i
(n)

lim inf
ài
n:n thiết thực cho i

> 0 vµ

(n)

lim sup αi
n:n thiÕt thùc cho i

< 2.

VÝ dơ 7. Giả sử X là không gian hữu hạn chiều và thuật toán là suy biến.
Giả sử thêm rằng Ti(n) : Ti; Ci = Fix Ti, và tồn tại một số ε > 0 sao cho
(n)
ε ≤ αi ≤ 2 − ε víi mäi n vµ mäi chØ sè i. Khi ®ã, d·y (x(n) ) héi tơ theo chn
tíi mét ®iĨm trong C .

Định nghĩa sau đây cho ta dấu hiệu nhận biết một thuật toán có tụ hay
không.
(n)

Định nghĩa 10. Cho mét tht to¸n, ta nãi d·y Ti

héi tơ tõng ®iĨm tíi Ti víi

mét chØ sè i nµo ®ã nÕu
lim inf

n:n thiÕt thùc cho i

MƯnh ®Ị 6

(n)

Ti d = Ti d với mọi d D

(Dạng của một thuật toán tơ). Gi¶ sư T1, T2, . . . , TN

: D D là
(n)

các ánh xạ không giÃn vững và ®Ỉt Ci := Fix Ti víi mäi chØ sè i. NÕu (Ti ) héi
tơ tõng ®iĨm tíi Ti víi mäi chỉ số i thì thuật toán là tụ.
Chứng minh: Cố định một chỉ số i và một dÃy con (x(nk ) ) cđa (x(n) ) víi x(nk )
(nk ) (nk )

x ∈ D; x(nk ) − Ti

x

→ 0 vµ i là thiết thực tại mọi bước lặp nk . Ta ph¶i chØ

19


ra rằng x Ci. Cố định u X bất kỳ. Do ánh xạ Ti(n )PD là không giÃn nªn,
k

(nk ) (nk )

(x(nk ) − u) − (Ti

x

(nk )

− Ti

PD u), x(nk ) − u ≥ 0 ∀k.

Cho k tiến tới vô hạn; do giả thiết về Ti(n ) vµ (x(n )), ta suy ra r»ng
k

k

Ti PD u − u, x u 0.

Do u được chọn bất kú, ta cã thÓ chän u = x + tv, trong đó v là một vector bất
kỳ và t > 0. Khi ®ã
Ti PD (x + tv) − (x + tv), v ≤ 0.

Do ®ã, khi cho t → 0, ta được TiPD x x, v 0. Chọn v = x TiPD x, ta nhận
được x = TiPD x. Nh­ng do x ∈ D nªn PD x = x và do đó x Fix Ti = Ci.
Định nghĩa 11. Ta nói một thuật toán là tuần hoµn nÕu
I (n−1) = n mod N ; n ≥ 1.

Nếu tồn tại một số nguyên dương p sao cho
i ∈ I (n) ∪ I (n+1) ∪ · · · ∪ I (n+p−1) ∀i; ∀n ≥ 0.

th× ta nãi thuËt toán là p-lặp đoạn. Theo cách gọi của Y. Censor, ta nói thuật toán
là hầu tuần hoàn nếu nó lặp đoạn và suy biến.

Với khái niệm lặp đoạn nêu trên ta có kết quả sau đây cho tôpô yếu.
Định lý 3 (Các kết quả trong tôpô yếu). Cho một thuật toán.
(i) Giả sử thuật toán là tụ và lặp đoạn. NÕu víi mäi chØ sè i,

lim inf

n:n thiƯ´ thđ£ £ho i

(n)

µi

>

0 thì dÃy (x(n) ) là chính quy tiệm cận và hội tụ yếu tới một điểm trong C .
(ii) Giả sử thuật toán là tụ và p- lặp đoạn với p là một số nguyên dương nào đó.

Đặt:
(l)

n := min{ài : np ≤ l ≤ (n + 1)p − 1; i thiÕt thùc t¹i l} ∀n ≥ 0.

20


Nếu

n = +, thì dÃy (x(n) ) có một điểm dính yếu duy nhất trong C .

n

Chính xác hơn là tån t¹i mét d·y con (x(nk p) ) héi tơ yếu tới điểm dính yếu
duy nhất này sao cho:
(nk +1)p1

(l)

x(l) − Ti x(l) → 0
l=nk p

i∈I (l)

tõ ®ã suy ra:
x(nk p+rk ) − x(nk p+sk ) → 0

víi mäi d·y rk , sk trong {0, . . . , p 1}.
Nói riêng, điều này xảy ra khi

(n)

lim inf

n:n thiết thực cho i

ài

> 0 với mọi chỉ số i.

(iii) Giả sử thuật toán là tụ và dÃy (x(n) ) hội tụ yếu tới một điểm x nào đó.
(n)

Nếu
n

n

(n)
ài

ài

= + với một chỉ số i nào đó thì x Ci . Hệ quả là nếu

= + i thì x C .

(i): (x(n)) là chính quy tiệm cận. Giả sử điều ngược lại, (x(n))
không hội tụ yếu tới một điểm trong C . Khi đó, do tính đơn điệu Fejer của dÃy
(x(n) ) và định lý về tính chất cơ bản của dÃy đơn điệu Fejer phần (ii), tồn tại mét
chØ sè i vµ mét d·y con (x(n ))k héi tơ u tíi mét ®iĨm x ∈ Ci. Do tht toán là
lặp đoạn nên ta nhận được mk với nk ≤ mk ≤ nk + p − 1 vµ i ∈ I (m ) víi mäi
k ≥ 0.
Do tht to¸n lµ chÝnh quy tiƯm cËn, ta cã x(n ) − x(m ) 0 và do đó x(m ) hội
k
tụ yếu tới x. Do thuật toán là tụ, ta suy ra

Chøng minh:

k

k

k

(mk ) (mk )

lim x(mk ) − Ti

k

x

k

k

> 0.

+∞

(l)
(l)
MỈt khác, từ bổ đề về tính chất thuật toán,
ài x(l) Ti x(l) 2 < +.
l=0 i
(n)
Điều này mâu thuẫn với giả thiết về ài , do đó (i) đúng.
(ii): Cố định tạm thời c C . Theo bổ đề 3.2(iii) và định nghĩa của n,
(n+1)p1

x

(np)

c

2

x

((n+1)p)

c

2

(l)

x(l) Ti x(l)

≥ νn
l=np

21

i∈I (l)

2


víi mäi n ≥ 0. LÊy tỉng theo n vµ xét giả thiết cho n, ta nhận được dÃy con
(n p)
xk
sao cho
k

(nk +1)p−1

(l)

x(l) − Ti x(l)
l=nk p

Theo bỉ ®Ị 3.2(v), ta còng cã,

2

−→ 0.

(*)

i∈I (l)

x(nk p+rk ) − x(nk p+sk ) −→ 0

(**)

víi mäi d·y (rk ), (sk ) ⊂ {0, 1, . . . , p − 1}. ChuyÓn qua dÃy con nếu cần thiết, ta
có thể giả sử r»ng (x(n p))k héi tơ u tíi mét ®iĨm x ∈ D.
Ta sÏ chøng minh x ∈ C . ThËt vậy, cố định một chỉ số i. Do thuật toán là lặp
đoạn, tồn tại một dÃy (rk ) trong {0, 1, . . . , p − 1} sao cho,
k

x.

(1)

i ∈ I (nk p+rk ) ∀k

(2)

x(nk p+rk )

(cho sk ≡ 0 ta có điều này) và
Do (*) ta có

(3)
Do thuật toán là tụ, từ (1), (2), (3) ta suy ra x Ci. Khẳng định được chứng minh.
Từ định lý (1), x là điểm dính yếu duy nhất của (x(n)) trong C , nh­ vËy (ii) chøng
minh xong.
(iii): Tõ bæ ®Ị (2)(iv), µ(n) x(n) − Ti(n)x(n) 2 < +∞. Do ta giả thiết là
i
n
(n)
ài = +, nên phải có
(nk p+rk ) (nk p+rk )

x(nk p+rk ) − Ti

x

−→ 0.

n

(n)

lim inf

x(n) − Ti x(n) = 0.
n thiÕt thùc cho i

Do thuËt toán là tụ nên ta suy ra x Ci. định lý chứng minh xong.
Kết hợp định lý vừa chứng minh với các kết quả nêu trên ta có một số hệ quả sau
đây.

22