Phương pháp hàm số trong giải toán

Phương pháp hàm số trong giải toán
MỞ ĐẦU
Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở
chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng
dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm
số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương
trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được
khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị
hàm số.
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán
trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội
tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số
vào trong giải toán.
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2
1
Phương pháp hàm số trong giải toán
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) ⇔ x = y với mọi x,
y ∈ D.
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x)
luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) =

g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu
có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3
x
= 4 - x.
Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3
x
+ x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3
x
+ x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3
x
.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình:
log 11x x= −
Bài tập 2: Giải phương trình:
2 2
2 2
9 (13 ).3 9 36 0x
x x
x− − − + =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình :

2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x
x x
x x
x
 
+ +
= + +
 ÷
+ +
 
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
3 3
log ( 3) ( 3) log (2 4 5) (2 4 5)x x x xx x x x+ + + + + = + + + + +
(*)
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
.Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞)
f’(t) =
1
1
.ln 3t

+
> 0 ∀t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)
Phương trình (*) ⇔ f(x
2
+x + 3) = f(2x
2
+ 4x + 5)
⇔ x
2
+x + 3 = 2x
2
+ 4x + 5 ⇔ x = - 1 v x = - 2.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3
4
x
2x
x y y
y

− = −


− =


Bài tập 2: Giải hệ phương trình
3 3

2 2
3 3
1
x
3x
x y y
y

+ = +


+ =


Bài tập 3: Giải hệ phương trình
3 10 5
3 10 5
x y
y x

+ + − =


+ + − =


Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0

1 3 2 0
xx y y
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =


Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2
2
Phương pháp hàm số trong giải toán
Ví dụ 3: Giải phương trình 3
x
= 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3
x
- 2x - 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3
x
-2x - 1, f’(x) = 3
x
ln3 - 2, f’’(x) = 3
x
(ln3)
2
> 0 ∀x ∈ R.
Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0
và x = 1.

Bài tập 1: Giải phương trình: 2009
x
+ 2010
x
= 4017x + 2
Bài tập 2: Giải phương trình:
3
3 1 log (1 2 )x
x
x= + + +
Bài tập 3: Giải phương trình:
( )
( )
cos cos
1 cos 2 4 3.4
x x
x+ + =
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x

= + + −


= + + −


= + + −

Giải: Xét hàm số f(t) = t
3
+ t
2
+ t - 2. f’(t) = 3t
2
+ 2t + 1 > 0 ∀t∈ R. Vậy hàm số f(t) đồng biến
trên R.
Giả sử x = max{x,y,z} hay x≥ y và x ≥ z suy ra x = f(y) ≥ f( z) = y và x= f(y) ≥ f(x) = z . Từ đó
ta có y ≥ z và y ≥ x. Suy ra f(y) ≥ f(z) hay z ≥ x. Do đó x ≥ y≥ z≥ x từ đó x = y = z = 1.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x
z
x x x y
y y y y z
z z z x

+ − + − + =


+ − + − + =


+ − + − + =

Bài tập 2: Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 2 18
2 3 18
2 3 18
x x
z z
y y
y y z z
x x

+ − = +

+ − = +


+ − = +

Bài tập 3: Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2 3
3 2 2
2 2 1

2 2 1
2 2 1
x
z
z x
x x y
y y y
z z

+ + = +

+ + = +


+ + = +

Ví dụ 5: Giải bất phương trình
6 7 1x x+ − − ≥
Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) =
6 7x x+ − −
.
Ta có f’(x) =
1 1
0
2 6 2 7x x
+ >
+ −
∀ x ∈ (- 6; 7).
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7]
Bài tập 1: Giải bất phương trình
3 2
3 6 16 2 3 4x xx x+ + + < + −
Bài tập 2: Giải bất phương trình
6 8
6
3 2x x
+ <
− −
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2
3
Phương pháp hàm số trong giải toán
II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
[ ]
;
;
min ( ) max ( )
a b
a b
f x m f x≤ ≤
2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
;
max ( )
a b

f x m≥
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) ≤ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] ⇔
[ ]
;
min ( )
a b
f x m≤
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a;b] ⇔
[ ]
;
min ( )
a b
f x m≥
5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a;b] ⇔
[ ]
;
( )ax
a b
m f x m≤
Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau
2
4 2 3 21 4x x x m− + − − =
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 1 nghiệm.
c) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số
2
( ) 4 2 3 21 4f x x x x= − + − −

, ta có
2
3(2 )
'( ) 4
21 4
x
f x
x x
+
= −
− −
, f’(x) = 0 ⇔ x= - 6 (Loại) v x = 2.
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
x
-7 2 3
f’(x)
+ 0 -
f(x)
15
-30 10
a) Phương trình có nghiệm khi
[ ]
[ ]
7;3
7;3
min ( ) max ( )f x m f x
−
−
≤ ≤
⇔ - 30 ≤ m ≤ 15

b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 ≤ m < 10 hoặc m = 15.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin
4
x + cos
4
x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
0;
3
π
 
 
 
Giải : Đặt t = cos2x với - 1 ≤ t ≤ 1 . Phương trình trở thành
2
2 5 11
2 3
t t
m
t
+ +
=
+
.
Xét hàm số f(t) =
2
2 5 11
2 3

t t
t
+ +
+
Ta có
2
2
4 12 7
'( )
(2 3)
t t
f t
t
+ −
=
+
, f’(t) = 0 ⇔ t =
7
2
−
(Loại) v t =
1
2
. Bảng biến thiên
t -1 1/2 1
f’(t) - 0 +
f(t)
8 18/5
7/2
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2

4
Phương pháp hàm số trong giải toán
a) Phương trình có nghiệm khi
[ ]
[ ]
1;1
1;1
min ( ) max ( )f t m f t
−
−
≤ ≤
⇔ 7/2 ≤ m≤ 8.
b) Khi x ∈
0;
3
π
 
 
 
thì 2x ∈
2
0;
3
π
 
 
 
hay
1
1

2
t− ≤ ≤
. Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn
0;
3
π
 
 
 
khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn
1
;1
2
 
−
 
 
hay 7/2 < m ≤ 18/5
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2
4
1 4 3 2 ( 3) 2 0xx x m x− + − + + + − =
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0

x x
m m
+ − + −
− + + + =
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 2
4 4 3 2 0x xx m x m+ − − − − + + =
Bài tập 5:
Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
Bài tập 6: Tìm m để phương trình
2 3 2
3 1 2 2 1xx x m− − + + =
có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
1
;1
2
 
−
 
 
.
Bài tập 7:
Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−

 
 

4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = m.
Bài tập 8: Tìm m để phương trình
2 2
2
2 .( 4). 2 8 2 14 0
4
x
x x m x x x m
x
+
− + − + + − − − =
−
có
nghiệm thực.
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2
4 6 3 2 2 3xx x m x x+ − − = + + −
Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − − = − + + − −
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:
3
3
1

3 2x mx
x
−
− + − <
nghiệm đúng ∀x ≥ 1
Giải: BPT
( )
3 2
3 4
1 1 2
3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x
x
x x
⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥
.
Ta có
( )
5 2 5 2 2
4 2 2
4 2 4 2
2 2 2 0f x x x
x x x x x
−
 
′
= + − ≥ − = >
 ÷
 
∀ x ≠ 0.
Suy ra

( )
f x
đồng biến trên khoảng (1; + ∞) .
YCBT
( ) ( )
( )
1
2
3 , 1 min 1 2 3
3
x
f x m x f x f m m
≥
⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình
2
(4 ) ( 4 5 2) 0xx x m x− + − + + ≤
nghiệm đúng với mọi
giá trị x ∈
2; 2 3
 
+
 
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình
( ) ( )
2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng
[ ]
4,6x∀ ∈ −

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2
3 6 18 3 1x x x x m m
+ + − − + − ≤ − +
nghiệm đúng
[ ]
3,6x∀ ∈ −
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2
5
Phương pháp hàm số trong giải toán
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:
( )
12 5 4x x x m x x+ + = − + −
có nghiệm.
Giải: Chú ý: Nếu tính
( )
f x
′
rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.
Thủ thuật: Đặt
( ) ( )
3
1
12 0 0
2
2 12
g x x x x g x x
x
′
= + + > ⇒ = + >

+

( ) ( )
1 1
5 4 0 0
2 5 2 4
h x x x h x
x x
−
′
= − + − > ⇒ = − <
− −

Suy ra:
( )
0g x >
và tăng;
( )
h x
> 0 và giảm hay
( )
1
0
h x
>
và tăng
⇒
( )
( )
( )

g x
f x
h x
=
tăng. Suy ra
( )
f x m=
có nghiệm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
( )
[ ]
( )
0;4
0;4
min ;max 0 ; 4 2 15 12 ;12m f x f x f f
 
 ⇔ ∈ = = −
 
 
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
1 3 2xm x m+ ≤ − +
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
( )
3
3 2
3 1 1x x m x x+ − ≤ − −
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =



+ + + = −



Giải: Đặt
1 1
;u x v y
x y
= + = +
ta có
(
)
(
)
3

3
3
1 1 1 1
3 3x x x x u u
x x x
x
+ = + − × + = −
và
1 1 1 1 1
2 . 2 ; 2 . 2u x x x v y y
x x x y y
= + = + ≥ = = + ≥ =
Khi đó hệ trở thành
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =

+ =


⇔
 

= −
+ − + = −



⇔
,u v
là nghiệm của phương trình bậc hai
( )
2
5 8f t t t m= − + =
Hệ có nghiệm
( )
f t m⇔ =
có 2 nghiệm
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
2; 2t t≥ ≥
.
Lập Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
với
2t ≥
t
−∞
– 2 2 5/2 +
∞

( )
f t
′
– – 0 +
( )
f t
+
∞
22
2
7/4
+
∞
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
7
2 m 22
4
m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥
Bài tập 1: Chứng minh rằng ∀ m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
y x m
e e x y
− =


− = + − +


Bài tập 2: Tìm m để hệ:

4
7 7
x y
x y m

+ =


+ + + ≤


(m là tham số).
có nghiệm
( )
x; y
thỏa mãn điều kiện
9.x ≥
Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2
6